Đang tải... (xem toàn văn)
Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp cấu trúc, đối tượng rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán học dành cho máy tính. Người ta thường kể đến trong toán học rời rạc lý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boole. Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc với các tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như số học modulo m, lý thuyết nhóm hữu hạn, lý thuyết mật mã, ... Trong các cấu trúc, đối tường rời rạc không có một cấu trúc nào là cơ bản thực sự, bởi vì hầu hết cấu trúc có thể được định nghĩa thông qua hầu như bất kỳ các kiểu khác. Do vậy, trong modul này, nội dung sẽ trình bày những cấu trúc cơ bản và quan trọng nhất. Điều này cũng đúng với vị trí của modul (vì người học sẽ tiếp cận modul Toán rời rạc 2 nói về lý thuyết đồ thị cũng như về ngôn ngữ hình thức)
Chương Cây khung đồ thị CÂY VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA CÂY Định nghĩa1 Ta gọi đồ thị vô hướng liên thông chu trình Đồ thị chu trình gọi rừng Như vậy, rừng đồ thị mà thành phần liên thông Thí dụ Trong hình rừng gồm T1, T2, T3 Hình Rừng gồm T1, T2, T3 Có thể nói đồ thị vô hướng đơn giản Định lý sau cho ta số tính chất Định lý Giả sử G=(V,E) đồ thị vô hướng n đỉnh Khi mệnh đề sau tương đương: (1) T cây; (2) T không chứa chu trình có n-1 cạnh; (3) T liên thông có n-1 cạnh; (4) T liên thông cạnh cầu; (5) Hai đỉnh T nối với đường đơn; (6) T không chứa chu trình thêm vào cạnh ta thu chu trình CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Định nghĩa Cho đồ thị vô hướng liên thông G=(V,E) khung T=(V T,ET) xác định sau: Tập đỉnh T tập đỉnh đồ thị G tức là: V T = V Tập cạnh T tập tập cạnh đồ thị G tức là: ET V Nói cách khác, từ đồ thị G ta bỏ bớt cạnh cho thành cây, khung đồ thị Như đồ thị có nhiều khung Ví dụ: Hình Đồ thị khung (nó có khung khác) BÀI TOÁN TÌM CÂY KHUNG NHỎ NHẤT Bài toán khung nhỏ đồ thị số toán tối ưu đồ thị tìm ứng dụng nhiều lĩnh vực khác đời sống Trong mục trình bày thuật toán để giải toán Trước hết phát biểu nội dung toán Cho G=(V,E) đồ thị vô hướng liên thông Mỗi cạnh e đồ thị G gán với trọng số không âm c(e), gọi độ dài Giả sử T=(V T,ET) khung đồ thị G Ta gọi độ dài c(T) khung T tổng độ dài cạnh nó: c(T) = c(e) e ET Bài toán đặt tất khung đồ thị G tìm khung với độ dài nhỏ Cây khung vậy gọi khung nhỏ đồ thị toán đặt gọi toán khung nhỏ Để minh hoạ cho ứng dụng toán khung nhỏ nhất, đây, ta phát biểu hai mô hình thực tế tiêu biểu Bài toán xây dựng hệ thống đường sắt Giả sử ta muốn xây dựng hệ thống đường sắt nối n thành phố cho hành khách từ thành phố đến thành phố lại Mặt khác quan điểm kinh tế đòi hỏi chi phí xây dựng hệ thống đường phải nhỏ Rõ ràng đồ thị mà đỉnh thành phố cạnh tuyến đường sắt nối thành phố tương ứng với phương án xây dựng tối ưu phải Vì vây, toán đặt dẫn toán tìm khung nhỏ đồ thị đầy đủ n đỉnh, đỉnh tương ứng với thành phố, với độ dài các cạnh chi phí xây dựng đường ray nối hai thành phố tương ứng (chú ý toán ta giả thiết không xây dựng tuyến đường sắt có nhà ga phân tuyến nằm thành phố) Bài toán nối mạng máy tính Cần nối mạng hệ thống gồm n máy tính đánh số từ đến n Biết chi phí nối máy i với máy j c[i,j], i,j = 1, 2, ,n ( thông thường chi phí phụ thuộc vào độ dài cáp nối cần sử dụng) Hãy tìm cách nối mạng cho tổng chi phí nối mạng nhỏ 3.1 Thuật toán Kruskal Cho đồ thị vô hướng liên thông có trọng số G=(V,E) Thuật tóan tìm khung nhỏ Tmin=(Vmin,Emin) Các bước làm sau: Bước khởi đầu: Tập đỉnh Tmin tập đỉnh đồ thị G, tức là: Vmin = V Tập cạnh Tmin rỗng: Emin = ước lặp: Mỗi lần lặp chọn cạnh cho (Lặp lại chọn đủ số cạnh số đỉnh trừ 1) Xét cạnh có trọng số nhỏ cạnh chưa xét Nếu cạnh không tạo thành chu trình với cạnh chọn trước đó, chọn vào Ngược lại bỏ qua không chọn Thí dụ 3.Tìm khung nhỏ đồ thị cho hình Hình Đồ thị để tìm khung nhỏ Bước khởi tạo Đặt Tmin= Bước lặp: Xét cạnh (3,5) chọn vào Xét cạnh (4,6) chọn vào Xét cạnh (4,5) chọn vào Xét cạnh (5,6) không chọn vào Xét cạnh (3,4) không chọn vào Xét cạnh (1,3) chọn vào Xét cạnh (2,3) chọn vào Đã chọn đủ cạnh, Tmin = (3,5) , (4,6) , (4,5) , (1,3) , (2,3) Chính tập cạnh khung nhỏ cần tìm 3.2 Thuật toán Prim Thuật toán Prim gọi phương pháp lân cận gần Trong phương pháp đỉnh tuỳ ý đồ thị, ta nối s với đỉnh lân cận gần nhất, chẳng hạn đỉnh y Nghĩa số cạnh kề đỉnh s, cạnh (s,y) có độ dài nhỏ Tiếp theo số cạnh kề với hai đỉnh s y ta tìm cạnh có độ dài nhỏ nhất, cạnh dẫn đến đỉnh thứ ba z, ta thu phận gồm đỉnh cạnh Quá trình tiếp tục ta thu gồm tất đỉnh đồ thị, khung nhỏ cần tìm Cho đồ thị vô hướng liên thông có trọng số G=(V,E) Thuật tóan tìm khung nhỏ Tmin=(Vmin,Emin) Các bước làm sau: Bước khởi đầu: Tập đỉnh Tmin đỉnh tùy í s: Vmin = {s} Tập cạnh Tmin rỗng: Emin = ước lặp: Mỗi lần lặp chọn đỉnh cạnh cho (Lặp lại chọn hết đỉnh đồ thị) Tìm đỉnh gần Tmin Thêm vào Tmin đỉnh này, cạnh ngắn nối đỉnh với Thí dụ 4.Tìm khung nhỏ đồ thị cho hình Hình Đồ thị để tìm khung nhỏ Bước khởi tạo Đặt Vmin= , Emin = Bước lặp: Vmin= , Emin = Vmin= , Emin = Vmin= , Emin = Vmin= , Emin = Vmin= , Emin = Kết thúc Bài tập Một địa đạo gồm hầm đường hầm với độ dài hình vẽ a) Cần tham quan tất đường hầm, cho đường hầm qua lần, phải trổ cửa lên mặt đất hầm nào, để số lần phải xuống-lên mặt đất Chỉ đường tham quan Nếu muốn trổ cửa hầm mà yêu cầu, phải đào thêm đường hầm nữa? b) Nếu yêu cầu hầm tới Hãy đưa phương án phải đào đường hầm đường hầm cho, để tổng chiều dài đường hầm phải đào nhỏ 70 40 140 50 100 120 60 40 80 140 60 30 180 50 110 220 70 Nói rõ áp dụng thuật tóan ... cạnh (4 ,6) chọn vào Xét cạnh (4,5) chọn vào Xét cạnh (5 ,6) không chọn vào Xét cạnh (3,4) không chọn vào Xét cạnh (1,3) chọn vào Xét cạnh (2,3) chọn vào Đã chọn đủ cạnh, Tmin = (3,5) , (4 ,6) ,... đào đường hầm đường hầm cho, để tổng chiều dài đường hầm phải đào nhỏ 70 40 140 50 100 120 60 40 80 140 60 30 180 50 110 220 70 Nói rõ áp dụng thuật tóan ... cạnh; (3) T liên thông có n-1 cạnh; (4) T liên thông cạnh cầu; (5) Hai đỉnh T nối với đường đơn; (6) T không chứa chu trình thêm vào cạnh ta thu chu trình CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ Định nghĩa Cho đồ
