Đang tải... (xem toàn văn)
Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp cấu trúc, đối tượng rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán học dành cho máy tính. Người ta thường kể đến trong toán học rời rạc lý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boole. Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc với các tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như số học modulo m, lý thuyết nhóm hữu hạn, lý thuyết mật mã, ... Trong các cấu trúc, đối tường rời rạc không có một cấu trúc nào là cơ bản thực sự, bởi vì hầu hết cấu trúc có thể được định nghĩa thông qua hầu như bất kỳ các kiểu khác. Do vậy, trong modul này, nội dung sẽ trình bày những cấu trúc cơ bản và quan trọng nhất. Điều này cũng đúng với vị trí của modul (vì người học sẽ tiếp cận modul Toán rời rạc 2 nói về lý thuyết đồ thị cũng như về ngôn ngữ hình thức)
Chương Đường đồ thị I ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH EULER Định nghĩa Chu trình đơn đồ thị G qua cạnh nó, cạnh qua lần gọi chu trình Euler Đường đơn G qua cạnh nó, cạnh qua lần gọi đường Euler Đồ thị gọi đồ thị Euler có chu trình Euler, gọi đồ thị nửa Euler có đường Euler Rõ ràng đồ thị Euler nửa Euler, điều ngược lại không Thí dụ Đồ thị G1 hình đồ thị Euler có chu trình Euler a, e, c, d, e, b, a Đồ thị G chu trình Euler có đường Euler a, c, d, e, b, d, a, b, G đồ thị cửa Euler Đồ thị G2 chu trình đường Euler Hình Đồ thị G1, G2, G3 Thí dụ Đồ thị H2 hình đồ thị Euler có chu trình Euler a, b, c, d, e, a Đồ thị H3 chu trình Euler có đường Euler c, a, b, c, d, b H3 đồ thị nửa Euler Đồ thị H1 chu trình đường Euler Hình Đồ thị H1, H2, H3 Điều kiện cần đủ để đồ thị đồ thị Euler Euler tìm vào năm 1736 ông giải toán hóc búa tiếng giới thời bảy cầu thành phố Konigsberg định lý lý thuyết đồ thị Định lý (Euler) Đồ thị vô hướng liên thông G đồ thị Euler đỉnh G có bậc chẵn Hệ Đồ thị vô hướng liên thông G nửa Euler có không đỉnh bậc lẻ Định lý (Euler tổng quát) Đồ thị vô hướng liên thông G có k đỉnh bậc lẻ (k số chẵn) cần k/2 đường để qua tất cạnh đồ thị, cạnh qua lần Hơn để đường cần xuất phát từ đỉnh bậc lẻ kết thúc đỉnh bậc lẻ khác Giả sử G đồ thị Euler, thuật toán đơn giản sau cho phép xác định chu trình Euler làm tay Thuật toán Flor Xuất phát từ đỉnh u G ta theo cạnh cách tuỳ ý cần tuân thủ qui tắc sau: (1) Xoá bỏ cạnh qua đồng thời xoá bỏ đỉnh cô lập tạo thành (2) Ở bước ta qua cầu không cách lựa chon khác Định lý Đồ thị có hướng liên thông mạnh đồ thị Euler Deg+(v)=deg- (v), v V II ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH HAMILTON Trong mục xét toán tương tự mục trước khác ta quan tâm đến đường qua tất đỉnh đồ thị, đỉnh lần Sự thay đổi tưởng chừng không đáng kể thực tế dẫn đến phức tạp hoá vấn đề cần giải Định nghĩa Đường qua tất đỉnh đồ thị đỉnh lần gọi đường Hamilton Chu trình đỉnh v qua tất đỉnh lại đỉnh lần quay trở v gọi chu trình Hamilton Đồ thị G gọi đồ thị Hamilton chứa chu trình Hamilton gọi đồ thị Hamilton có đường Hamilton Rõ ràng đồ thị Hamilton nửa Hamilton, điều ngược lại không Thí dụ Trong hình 4: G3 Hamilton, G2 nửa Hamilton G1 không nửa Hamilton Hình Đồ thị Hamilton G3, nửa Hamilton G2 , G1 Cho đến việc tìm tiêu chuẩn nhận biết đồ thị Hamilton mở, vấn đề trung tâm lý thuyết đồ thị Hơn nứa, chưa có thuật toán hiệu để kiểm tra đồ thị có Hamilton hay không Các kết thu phần lớn điều kiện đủ để đồ thị đồ thị Hamilton Phần lớn chúng điều có dạng "nếu G có số cạnh đủ lớn G Hamilton" Một kết phát biểu định lý sau Định lý (Dirak) Đơn đồ thị vô hướng G với n>2 đỉnh, đỉnh có bậc không nhỏ n/2 đồ thị Hamilton Định lý sau tổng quát hoá định lý Dirak cho đồ thị có hướng: Định lý Giả sử G đồ có hướng liên thông với n đỉnh Nếu deg+ (v)≥n/2, deg – (v) ≥ n/2, v G Hamilton III.BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TỐT NHẤT Trong ứng dụng thực tế, toán tìm đường ngắn hai đỉnh đồ thị liên thông có ý nghĩa to lớn Có thể dẫn toán nhiều toán thực tế quan trọng Ví dụ, toán chọn hành trình tiết kiệm (theo tiêu chuẩn khoảng cách thời gian chi phí) mạng giao thông đường bộ, đường thủy đường không; toán chọn phương pháp tiết kiệm để đưa hệ thống động lực từ trạng thái xuất phát đến trạng trạng thái đích, toán lập lịch thi công công công đoạn công trình thi công lớn, toán lựa chọn đường truyền tin với chi phí nhỏ mạng thông tin, v.v… Hiện có nhiều phương pháp để giải toán Thế nhưng, thông thường, thuật toán xây dựng dựa sở lý thuyết đồ thị tỏ thuật toán có hiệu cao Trong phần xét số thuật toán KHÁI NIỆM Trong phần xét đồ thị G =(V,E) có trọng số dương, nghĩa là, cạnh (u,v) E đặt tương ứng với số thực dương a[u,v] gọi trọng số Chúng ta đặt a[u,v] = , cạnh (u,v) Nếu dãy v0, v1, , vp đường G, độ dài định nghĩa tổng sau p a[vi-1, vi] i=1 tức là, độ dài đường tổng trọng số cung (Chú ý gán trọng số cho tất cung 1, ta thu định nghĩa độ dài đường số cung đường phải qua) ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT XUẤT PHÁT TỪ MỘT ĐỈNH - THUẬT TOÁN DIJKSTRA Thuật toán Dijkstra tìm đường tốt xuất phát từ đỉnh s đến đỉnh v lại đồ thị G=(V,E), có ma trận trọng số với a[u,v] trọng số cạnh (u,v) Việc tìm đường tốt có hai vấn đề: Tìm độ dài tốt đường Tìm lộ trình đường Ta dùng hai mảng để giải hai vấn đề Mảng d[v] để lưu trữ độ dài đường từ s đến v Mảng p[v] để lưu trữ đỉnh kế trước đỉnh v đường tốt từ s đến v (mảng sở để xác định lộ trình tốt từ s đến v) Bước khởi đầu: Với đỉnh v V, ta tạm xem đường từ s đến v trực tiếp (tức không qua đỉnh trung gian nào) Các việc bước khởi đầu gồm: Đặt d[v] = a[s,v] Đặt p[v] = s Đánh dấu tìm đường tốt cho đỉnh xuất phát s Bước lặp: Mỗi bước lặp tìm đường tốt từ đỉnh s đến đỉnh vmin (bước lặp kết thúc tìm đường tốt tới đỉnh) Các công việc bước lặp gồm: Tìm đỉnh vmin đỉnh có d[vmin] nhỏ đỉnh chưa đánh dấu tìm đường tốt Đánh dấu tìm đường tốt cho đỉnh vmin Với đỉnh v chưa đánh dấu tìm đường tốt nhất, kề với vmin , thực hiện: Nếu d[v] > d[vmin] + a[vmin,v] o d[v]= d[vmin] + a[vmin,v] o p[v] = vmin Chú í: kết thúc thuật tóan với đỉnh v V Độ dài đường tốt từ s đến v là: d[v] Lộ trình từ s đế v xác định sau: v
![Kết quả tính toán theo thuật toán được trình bày theo bảng dưới đây. Qui ước viết hai thành phần trong cột theo thứ tự là: d[v],p[v] của đỉnh ứng với cột đó - Toan roi rac va ly thuyet do thi chuong 5](https://media.store123doc.com/figures/000/685/ket-thuat-bang-uoc-viet-thanh-phan-dinh-685827.png)
