Đang tải... (xem toàn văn)
Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp cấu trúc, đối tượng rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán học dành cho máy tính. Người ta thường kể đến trong toán học rời rạc lý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boole. Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc với các tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như số học modulo m, lý thuyết nhóm hữu hạn, lý thuyết mật mã, ... Trong các cấu trúc, đối tường rời rạc không có một cấu trúc nào là cơ bản thực sự, bởi vì hầu hết cấu trúc có thể được định nghĩa thông qua hầu như bất kỳ các kiểu khác. Do vậy, trong modul này, nội dung sẽ trình bày những cấu trúc cơ bản và quan trọng nhất. Điều này cũng đúng với vị trí của modul (vì người học sẽ tiếp cận modul Toán rời rạc 2 nói về lý thuyết đồ thị cũng như về ngôn ngữ hình thức)
Chương Phương pháp đếm I TẬP HỢP KHÁI NIỆM TẬP HỢP Để tập hợp ta dùng chữ in hoa, chẳng hạn A, B, C,…., X,Y,Z Để phần tử ta dùng chữ thường, chẳng hạn a, b, c,…., x,y,z Để x phần tử tập hợp A Ký hiệu x A Để x không phần tử tập hợp A Ký hiệu x A Tập vũ trụ: Tập A nằm tập U U gọi vũ trụ A Tập hợp rỗng: Tập hợp phần tử gọi tập hợp rỗng, ký hiệu Tập hợp nhau: A = B x A x B x B x A 2.CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT TẬP HỢP Cách liệt kê: Ta liệt kê tất phần tử tập hợp ký hiệu ngoặc Ví dụ: A = a, b, c Cách nêu đặc trưng phần tử: A = x U / p(x) với U tập vũ trụ tập A. hay vắn tắt (khi hiểu ngầm tập vũ trụ U): A = x / p(x) Ví dụ: A = n N / n số nguyên tố B = n N / có số tự nhiên m cho n = m2 QUAN HỆ "bao hàm trong" VÀ TẬP HỢP CON Định nghĩa: A B (hay B A) x A x B a b c Ví dụ: 0, 1, 2 n N : n < 10 Các tập hợp số N Z Q R C, N tập hợp số tự nhiên, Z tập hợp số nguyên, Q tập hợp số hữu tỉ, R tập hợp số thực, C tập hợp số phức Cho X tập hợp Sưu tập tất tập hợp X ký hiệu P(X) Nói cách khác, P(X) tập hợp mà phần tử tập hợp X Ví dụ: X= 0, 1, 2 Thì P(X)= 0, 1, 2 Tính chất: A A A, với tập hợp A (A B) (B A) (A = B) (A B) (B C) (A C) X Y P(X) P(Y) Nếu tập hợp X có n phần tử (n N) tập hợp P(X) có 2n phần tử 4.CÁC PHÉP TÓAN TẬP HỢP Giao A B = x : (x A) (x B) Hợp A B = x : (x A) (x B) Hiệu A - B = x : (x A) (x B) Phần bù A =U–A c Tích Descartes tập hợp A x B = (a,b) : a A b B Trong trường hợp B = A, ta kỳ hiệu A x A = A2 Các tính chất phép toán: Tính giao hoán: AB=BA AB=BA Tính kết hợp: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Tính phân bố: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Luật De Morgan: (A B)c = Ac Bc (A B)c = Ac Bc Phần tử trung hòa: A=A AU=A Phần bù: A Ac = U A Ac = Tính thống trị: AU=U A= II ÁNH XẠ 2.1 Định nghĩa ánh xạ Cho X Y tập hợp khác rỗng Một ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y phép tương ứng cho phép tương ứng nầy phần tử x X có phần tử y Y tương ứng mà ta ký hiệu f(x) gọi ảnh x Ta viết f:XY x f(x) Ta thường minh họa ánh xạ f sơ đồ sau đây: Hai ánh xạ f g từ X vào Y gọi ta có: x X : f(x) = g(x) Cách xác định ánh xạ Ta xác định ánh xạ f từ X vào Y nhiều cách, chẳng hạn cách liệt kê tất ảnh phần tử X, cách cho công thức để xác định ảnh f(x) phần tử x, ta đưa thủ tục xác định để tính (hay tìm ra) phần tử f(x) ứng với phần tử x X Ví dụ: f : N N xác định f(n) = 2(n+1) Thì f(1)=4 f(2)=6 ….2.2 Ảnh ảnh ngược Ảnh tập hợp Cho f ánh xạ từ X vào Y Giả sử A tập hợp X Ảnh tập A qua ánh xạ f, ký hiểu f(A), tập hợp Y gồm tất phần tử y cho y ảnh phần tử x thuộc A f(A) = f(a) : a A Ảnh ngược (hay tạo ảnh) tập hợp Cho f ánh xạ từ X vào Y Giả sử B tập hợp Y Aûnh ngược tập B ánh xạ f, ký hiểu f-1(B), tập hợp X gồm tất phần tử x cho f(x) thuộc B f-1(B) = x X : f(x) B Trong trường hợp tập B có phần tử y ảnh ngược B viết vắn tắt f1 (y) Ví dụ: Cho ánh xạ f : Z N xác định f(n) = n2+1 Đặt A = -2, -1, 0, 1, 2, 3 B = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Ta có : f(A) = 1, 2, 5, 10 f-1(B) = -2,-1, 0, 1,2 2.3 Các ánh xạ đặc biệt Đơn ánh: Ánh xạ f : X Y gọi đơn ánh ảnh phần tử khác tùy ý khác nhau, nghĩa với x x' thuộc X ta có: x x' f(x) f(x') hay f(x) = f(x') x = x' Toàn ánh: Ánh xạ f : X Y gọi toàn ánh phần tử Y ảnh phần tử x thuộc X, nghĩa f(X) = Y Song ánh: Aùnh xạ f : X Y gọi song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh Khi với y Y, có phần tử x X cho f(x) = y Như phép tương ứng liên kết y với x cho ta ánh xạ từ Y vào X Ta gọi ánh xạ nầy ánh xạ ngược f ký hiệu f1 Vậy ta có f-1 : Y X, xác định f-1(y) = x, với f(x) = y Ví dụ: Ánh xạ f : Z N xác định f(n) = n2+1 đơn ánh f(-1) = f(1) = mà -1 Ánh xạ f : N N xác định f(n) = n2+1 đơn ánh ta thấy với n n' thuộc N ta có: f(n) = f(n') n = n' Cho a b số thực tùy ý a Ánh xạ f : R R xác định f(x) = a.x+b song ánh với số thực y phương trình ax + b = y có nghiệm thực x x = (y-b) / a Từ ta có ánh xạ ngược xác định f-1(y) = (y-b) / a III CÁC NGUYÊN LÝ ĐẾM 3.1 Phép Đếm Định nghĩa: Cho A tập hợp khác rỗng Nếu tồn số nguyên dương n song ánh f từ A vào 1, 2, , n ta nói A tập hợp hữu hạn A có n phần tử Khi song ánh f : A 1, 2, , n xem phép đếm tập hợp A Tập hợp rỗng có số phần tử 0, xem tập hữu hạn Số phần tử tập hợp hữu hạn A ký hiệu |A| (còn gọi lực lượng tập hợp A) Nếu tập hợp A không hữu hạn, ta nói A vô hạn viết |A| = 3.2 Nguyên lý cộng Mệnh đề: Cho A B tập hợp hữu hạn rời nhau, nghĩa A B = Khi ta có: | AB|=|A|+|B| Một cách tổng quát: Nếu A1, A2, , An tập hợp hữu hạn rời thì: | A1 A2 An | = | A1 | + | A | + + | A n | Nguyên lý bù trừ: Trong trường hợp hai tập hợp hữu hạn A B tùy ý ta có: |AB|=|A|+|B|-|AB| Nguyên lý cộng : để thực công việc ta chọn hai phương án khác nhau, cách thực phương án thứ luôn khác cách thực phương án thứ hai Phương án thứ có m cách thực hiện, phương án thứ hai có n cách thực Thì tất có (m+n) cách thực công việc 3.3 Nguyên lý nhân Mệnh đề: Cho A B tập hợp hữu hạn rời Khi ta có: |AxB|=|A|.|B| Một cách tổng quát: Nếu A1, A2, , An tập hợp hữu hạn số phần tử tích Descartes tập hợp tích số lượng phần tử tập hợp trên: | A1 x A x x A n | = | A | | A | | A n | Nguyên lý nhân : Để thực công việc phải qua hai giai đọan Giai đọan thứ ta có m cách làm, ứng với cách làm giai đọan thứ có n cách làm giai đọan thứ hai Thì có (m*n) cách thực công việc Ví dụ: Các ghế ngồi hội trường ghi nhãn gồm mẫu tự số nguyên dương không lớn 100 Hỏi số ghế tối đa ghi nhãn khác bao nhiêu? Lời giải Thủ tục ghi nhãn cho ghế gồm giai đọan : ghi 26 mẫu tự ghi 100 số nguyên dương Qui tắc nhân cho thấy có 26 x 100 = 2600 cách khác để ghi nhãn cho ghế ngồi Do số ghế lớn ghi nhãn khác 2600 Ví dụ: Một mật bao gồm ký tự, gồm mẫu tự đến ký số thập phân Hỏi có mật khác nhau? Lời giải Có 26 cách chọn cho mẫu tự có 10 cách chọn cho ký số thập phân Do đó, theo qui tắc nhân, có tất 26.26.26.10.10.10 = 17 576 000 mã khác Ví dụ: Mỗi người sử dụng hệ thống máy tính có mật khẩu, dài từ đến ký tự, ký tự chữ in hoa ký số thập phân Mỗi mật phải có chứa ký số Hỏi có mật khác nhau? Lời giải Đặt P số lượng tất mật khẩu, P6, P7, P8 số mật có độ dài 6, 7, Do qui tắc cộng ta có P = P6 + P7 + P8 Chúng ta tính P6, P7, P8 Tính trực tiếp P6 tương đối khó Để tính P6 cho dễ, ta tính số chuỗi có độ dài gồm chữ in hoa hay ký số thập phân (kể chuỗi ký số thập phân), trừ cho số chuỗi (với độ dài 6) ký số thập phân Theo qui tắc nhân, số chuỗi gồm ký tự 366 số chuỗi ký số 266 Suy P6 = 366 - 266 = 176 782 336 - 308 915 776 = 867 866 560 Tương tự, ta tính : P7 = 367 - 267 = 78 364 164 096 - 031 810 176 = 70 332 353 920 P8 = 368 - 268 = 821 109 907 456 - 208 827 064 576 = 612 282 842 880 Từ ta tính : P = P6 + P7 + P8 = 684 483 063 360 IV GIẢI TÍCH TỔ HỢP LỌAI KÝ HIỆU CÔNG THỨC Ank n * (n 1) * * Không Lặp A(n, k ) hay Ank Chỉnh Hợp (n k 1) n! (n k )! Có Lặp Không Lặp Hóan vị P(n, k ) hay P kn Pnk n k A(n, n) hay Ann Ann n! C (n, k ) hay Cnk n! n1! * n2 ! * .* nk ! n! k Cn k!(n k )! (n k 1)! Cnkk 1 k!(n 1)! Có Lặp Không Lặp Tổ Hợp Có Lặp =n*(n Với số thự nhiên n ta có: C(n, 0) = C(n, n) = Cho n r số nguyên không âm k n Ta có: C(n,k) = C(n,n-k) Cho n k số nguyên cho < k < n Khi ta có: C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1) Ðịnh lý Cho x y biến thực, n số nguyên không ấm tùy ý Ta có: Hệ Cho n số nguyên không âm tùy ý Ta có: Hệ Cho n số nguyên không âm Ta có: a) b) c) a) b) c) BÀI TẬP Bài 1: Có chuỗi nhị phân dài tối đa bit? Bài 2: Có chuỗi nhị phân dài 10 bit, cho bit đầu hay bit cuối Bài 3: Một mật phải có độ dài ký tự (không phân biệt ký tự hoa, thường), ký tự lấy từ bảng 26 chữ 10 chữ số Tính số mật tạo trường hợp sau: Không có điều kiện thêm Trong mật phải có ký tự số Trong mật phải có ký tự số ký tự A Bài 4: Có dãy nhị phân dài 12 bit, chứa bit bit Bài 5: Cần bầu ủy ban gồm đại biểu, chọn từ Bà Ông ứng viên Có cách chọn trường hợp sau: Chọn tùy ý? Chọn số Bà số Ông? Chọn số Bà số Ông? a) b) c) d) e) a) b) c) d) Bài 6: Có tam giác tạo từ điểm phân biệt mặt phẳng cho điểm thẳng hàng Bài 7: Có 100 vé số, đánh số từ đến 100, bán cho 100 người khác Người ta trao giải thưởng nhất, nhì, ba, tư Hỏi Có cách trao giải? Có cách trao giải, người có vé 50 trúng giải nhất? Có cách trao giải, người có vé 50 không trúng giải nào? Có cách trao giải, người có vé 10,15, 20 trúng giải? Có cách trao giải, người có vé 20,30 trúng giải, người có vé 15 không trúng giải? Bài 8: Có người vào tiệm ăn phở, tiệm có lọai phở Hỏi có cách gọi cho người tô phở? Bài 9: Cô dâu, rể, chụp hình với người bạn, có cách xếp thành hàng ngang để chụp, trường hợp sau: Xếp tùy í? Xếp cho cô dâu, rể bên nhau? Xếp cho cô dâu bên trái rể? Xếp cho cô dâu, rể đứng hàng? ... số 26 6 Suy P6 = 366 - 26 6 = 176 7 82 336 - 308 915 776 = 867 866 560 Tương tự, ta tính : P7 = 367 - 26 7 = 78 364 164 096 - 031 810 176 = 70 3 32 353 920 P8 = 368 - 26 8 = 821 109 907 456 - 20 8 827 ... Cho ánh xạ f : Z N xác định f(n) = n2+1 Đặt A = -2, -1, 0, 1, 2, 3 B = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Ta có : f(A) = 1, 2, 5, 10 f-1(B) = -2, -1, 0, 1 ,2 2. 3 Các ánh xạ đặc biệt Đơn ánh: Ánh xạ... số thập phân Hỏi có mật khác nhau? Lời giải Có 26 cách chọn cho mẫu tự có 10 cách chọn cho ký số thập phân Do đó, theo qui tắc nhân, có tất 26 .26 .26 .10.10.10 = 17 576 000 mã khác Ví dụ: Mỗi người