CHUYÊN ĐỀ 11: CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Kiến thức bản: Phương pháp 1: Áp dụng tính chất đường đồng quy tam giác Phương pháp 2: Chứng minh đường thẳng qua điểm: Ta hai đường thẳng cắt điểm chứng minh đường thẳng qua điểm Phương pháp 3: Dùng định lý đảo định lý Talet Phương pháp 4: Định lý Lyness mở rộng (Bổ đề Sawayama): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M  BC Một đường tròn (O') tiếp xúc với hai cạnh MA MC E F đồng thời tiếp xúc với đường tròn (O) K Khi ta có tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm đường thẳng EF Định lý Pascal: Cho điểm A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn Khi giao điểm cặp cạnh AB DE, BC EF, CD FA thẳng hàng Phương pháp 6: Định lý CEVA: Cho tam giác ABC Lấy điểm D, E F nằm cạnh BC, AC, AB Định lý phát biểu đường thẳng AD, BE CF đường thẳng đồng quy khi: AF BD CE 1 FB DC EA Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho tam giác ABC dựng tam giác MAB, NBC, PAC thuộc miền tam giác ABC Chứng minh rằng: a) MC = NA = PB b)  AM,MC   MC,BP   BP.NA   600 c) MC, NA, PB đồng quy Chứng minh a) Xét Δ ABN Δ MBC, có: AB = MB; BC = BN (các cạnh tam giác đều) ABN  MBC (cùng 600 + ABC ) Suy Δ ABN = Δ MBC (c.g.c) Suy AN = MC (*) Tương tự: Δ ABP = Δ AMC (c.g.c) AB = AM; BC = BN (các cạnh tam giác đều) BAP  MAC (cùng 600 + BAC ) Suy BP = MC (**) Từ (*) (**) ta có: AN = MC = BP (đpcm) b) Trong Δ APC, có: A1  C2  P1  P2  1800 mà P1  C1 P = C Trong Δ PCK, có: C1  C2  P2  K  1800   Suy 600  C1  P2  K  1800  K  600 (1) Tương tự: Δ ABN = Δ MBC Suy N1  C3 mà N1  N2  600 Suy N2  C3  600 mà C4  600 Suy Δ NKC có N2  C3  C4  K  1800 Suy K  600 (2) Tương tự: Δ ACN = Δ PCB Suy P2  A mà P1  P2  600 Suy P1  A  600 mà A  600 Suy Trong Δ AKP, có: K  600 (3) Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh c) Giả sử MC BP  K , ta chứng minh cho A, K, N thẳng hàng Theo chứng minh ta có: K  600 ,K  600,K  600  K  K  K  1800 Suy A,K,N thẳng hàng Vậy AN, MC, BP đồng quy (đpcm) Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD Trên AB CD lấy điểm E F cho AE = CF Trên AD BC lấy H G cho DH = BG a) Chứng minh: Tứ giác EGFH hình bình hành b) Chứng minh: AC, BD, EF, GH cắt điểm Chứng minh a) Xét Δ DHF Δ BGE, ta có: DH = BG HDF  GBE (vì ABCD hình bình hành) DF = BE (vì AE = CF) Suy Δ DHF = Δ BGE Suy HF = EG (1) Mặt khác, ta có: DHG  BGH DHF  BGE  FCG  EGH (2) Từ (1), (2) suy ra: Tứ giác EGFH hình bình hành b) (Theo câu a) Suy tứ giác EGFH hình bình hành Gọi I giao điểm đường chéo HG EF (của hình bình hành EGFH) Ta lại có: Tứ giác AGCH hình bình hành (AH // CG AH = CG) Suy giao đường chéo HG AC I (I trung điểm HG) Tương tự, ta có: Hình bình hành HBGD có giao điểm đường chéo HG BD I (I trung điểm HG) Suy HG, EF, AC, BD cắt điểm I (cũng điểm nhất) Bài tập 3: Cho hai đường thẳng d1 d2 cắt O Trên d1 lấy ba điểm phân biệt A, B, C khác O cho OA = AB = BC Trên d2 lấy ba điểm E, M, N khác O cho OE = OM = MN Chứng minh ba đường thẳng AE, BN CM đồng quy Chứng minh Gọi D giao điểm BN CM Qua M kẻ đường thẳng song song với OC cắt BC F Qua O kẻ đường thẳng song song với BN cắt MF G Xét Δ FBO Δ OGF, ta có: BOF  GFO (so le trong) OF cạnh chung BFO  GOF (so le trong) Suy Δ FBO = Δ OGF (g-c-g) Suy FG = BO (1) Xét Δ NFM Δ OGM, ta có: GOM  FNM MO = MN Th S: Phạm Ngọc Tưởng Facebook: www.facebook.com/2222hn OMG  NMF (đối đỉnh) Suy Δ NFM = Δ OGM Suy MF = MG (2) Từ (1) (2), suy ra: MF = OA = AB = BC Sử dụng kết vừa tìm kết hợp: DCB  DMF (so le trong) DBC  DFM (so le trong) Suy ra: Δ DBC = Δ DFM (g-c-g) Do đó: DC = DM hay D trung điểm CM (3) Xét Δ CEM, ta có: CO trung tuyến ứng với cạnh ME (do OE = OM) nên CA  CO Suy A trọng tâm Δ CEM Suy AE qua trung điểm cạnh CM (4) Từ (3) (4), ta suy AE qua D Vậy BN,CM AE đồng quy D Bài tập 4: Cho Δ ABC, đường cao AD, BE, CF tam giác đồng quy H Gọi I trung điểm HC a) Chứng minh BCEF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp Δ DEF DIEF tứ giác nội tiếp đường tròn c) Về phía Δ ABC dựng Δ ABM Δ CAN cho chúng tam giác vuông cân đỉnh B C tương ứng Chứng minh đường thẳng AD, BN, CM đồng quy Chứng minh a) HS tự làm b) Ta dễ dàng chứng minh tứ giác AEHF, AEDB nội tiếp đường tròn Khi đó, ta có: FAH  FEH (cùng chắn FH ) FAH  BAD BAD  BED (cùng chắn BD ) BED  HED Suy FEH  HED Suy HE tia phân giác FED Tương tự, ta có: HF tia phân giác EFD HD tia phân giác EDF Suy H giao điểm đường phân giác Δ DEF Vậy H tâm đường nội tiếp Δ DEF * Theo chứng minh trên, ta có: FED  2FAD FAD  FCD (HS tự chứng minh tứ giác ACDF nội tiếp) HID  2FCD (góc tổng góc không kề) Suy FED  2FAD  2FCD  HID  FID Hay FED  FID Suy tứ giác EIDF nội tiếp c) Trên tia đối tia AD, lấy T cho AT = BC MBC  900  ABC  TAB Suy Δ MBC = Δ BAT (c - g - c) Suy BTD  BCM Suy CM ┴ TB Tương tự, ta có: BN ┴ TC Mà TD ┴ BC Vậy TD, CM, BN đồng quy (3 đường cao Δ TBC) Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD, AD, BC không song song, nội tiếp đường tròn (O) P giao điểm AC BD Đường tròn (O1) tiếp xúc với đoạn PA, PB tiếp xúc với (O) E Đường tròn (O2) tiếp xúc với đoạn PC, PD tiếp xúc với (O) F Chứng minh AD, BC, EF đồng quy Chứng minh Giả sử (O2) tiếp xúc PB, PC X, Y tiếp xúc (O) F Theo bổ đề Sawayama (định lí Lyness mở rộng) ta có XY qua H, K (với H,K tâm nội tiếp Δ ADC, Δ BDC Gọi Z, T giao điểm HK AD, BC Gọi M, N, P, Q trung điểm cung AD, BD, AC, BC (O) Vì (O2) tiếp xúc AC, BD nên F, X, N F, Y, P thẳng hàng Ta chứng minh: M, Z, F thẳng hàng Thật vậy: Gọi Z′ giao FM AD AN giao BM S Gọi R trung điểm cung CD Theo định lí Pascan cho lục giác MFNADB ta có S, Z′, X thẳng hàng Tiếp tục với lục giác NARBMC ta có H, K, S thẳng hàng Mà H, K, X thẳng hàng, nên ta có Z′, X, H, K thẳng hàng hay Z′ trùng Z Tương tự, ta có: F, T, Q thẳng hàng Gọi (O3) đường tròn tiếp xúc AD, BC tiếp xúc (O) cung nhỏ DC Ta chứng minh (O3) (ZFT) Thật vậy, gọi Z", T" tiếp điểm AD, BC (O3) theo bổ đề Sawayama, ta có Z", T", H, K thẳng hàng hay Z", T" trùng Z, T Mà MZ NT cắt F nên ta có ZFT (O3) Từ đó, ta quy toán phát biểu đơn giản sau: (O3) tiếp xúc AD, BC tiếp xúc cung nhỏ CD F Tương tự có E Khi AD, BC, EF đồng quy Bài tập 6: Chứng minh dựa vào định lý CEVA Định lý CEVA: Cho tam giác ABC Lấy điểm D, E F nằm cạnh BC, AC, AB Định lý phát biểu đường thẳng AD, BE CF đường thẳng đồng quy khi: AF BD CE 1 FB DC EA Chứng minh Giả sử AD, BE CF đồng qui điểm O (trong hay tam giác) Do Δ BOD Δ COD có chung chiều cao (độ dài đường cao), ta có: SBOD BD  SCOD DC Tương tự SBAD BD  SCAD DC Suy BD SBAD  SBOD SABO   DC SCAD  SCOD SCAO Tương tự CE SBCO  EA SABO AF SCAO  FB SBCO Nhân ba đẳng thức cho ta: AF BD CE  (điều phải chứng minh) FB DC EA Ngược lại, giả sử ta có điểm D, E F thỏa mãn đẳng thức Gọi giao điểm AD BE O, gọi giao điểm CO AB F' Theo chứng minh AF' BD CE 1 F'B DC EA Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được: AF'  AF F'B FB Thêm vào vế ý AF'' + F''B = AF + FB = AB, ta có: AB AB  F'B FB Do F''B = FB, F F'' trùng Vì AD, BE CF = CF'' đồng qui O, định lí chứng minh (là theo hai chiều) Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Cho tam giác ABC dựng tam giác MAB, NBC, PAC thuộc miền tam giác ABC Chứng minh MC, NA, PB đồng quy Bài tập 2: Cho tam giác ABC dựng tam giác MAB, NBC, PAC có tâm O1, O2, O3 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác đồng quy điểm Bài tập 3: Gọi A', B', C' tiếp điểm đường tròn nội tiếp Δ ABC với cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: AA', BB', CC' đồng quy Hướng dẫn Chứng minh A 'B B'C C' A   AA', BB', CC' đồng quy A 'C B' A C'B Bài tập 4: Cho hình thang ABCD (AB > CD) Gọi E giao điểm hai cạnh bên AD BC; F trung điểm AB Chứng minh rằng: AC, BD, CF đồng quy Bài tập 5: Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AH, BK, CL cắt I Gọi D, E, F trung điểm BC, CA, AB Gọi P, Q, R trung điểm IA, IB, IC Chứng minh PD, QE, RF đồng quy Gọi J điểm đồng quy, chứng minh I trung điểm đường Hướng dẫn Chứng minh PEDQ, PRDF hình chữ nhật Suy PD, QE, RF đường chéo hình chữ nhật Suy điều phải chứng minh Bài tập 6: Cho Δ ABC nội tiếp đường tròn (O) có H trực tâm Gọi A', B', C' điểm đối xứng H qua BC, CA, AB Qua H, vẽ đường thẳng d Chứng minh rằng: Các đường thẳng đối xứng d qua cạnh Δ ABC đồng quy điểm (O) Hướng dẫn Gọi d1, d2, d3 đường thẳng đối xứng d qua cạnh Δ ABC Gọi I giao d1 d2 Chứng minh tứ giác A'B'C'I tứ giác nội tiếp Suy A'B'C'I nội tiếp (O) Chứng minh I thuộc d3  ... O cho OE = OM = MN Chứng minh ba đường thẳng AE, BN CM đồng quy Chứng minh Gọi D giao điểm BN CM Qua M kẻ đường thẳng song song với OC cắt BC F Qua O kẻ đường thẳng song song với BN cắt MF G Xét... BC, EF đồng quy Bài tập 6: Chứng minh dựa vào định lý CEVA Định lý CEVA: Cho tam giác ABC Lấy điểm D, E F nằm cạnh BC, AC, AB Định lý phát biểu đường thẳng AD, BE CF đường thẳng đồng quy khi:... Δ ABC nội tiếp đường tròn (O) có H trực tâm Gọi A', B', C' điểm đối xứng H qua BC, CA, AB Qua H, vẽ đường thẳng d Chứng minh rằng: Các đường thẳng đối xứng d qua cạnh Δ ABC đồng quy điểm (O) Hướng