NGT ThS Lấ HONH PHề C ỏc c h u y n Bin 5T THI XUT BN I HC QUC GIA H NI Th.s NH GIO U T L HONH PH ề CC CHUYấN BM ST THI THPT QUC GIA HM S V PHNG TRèNH M LễGARIT NH XUT BN I HC Q c GIA H NI NH XUT BN I HC QUếC GIA H NI 16 Hng Chui - Hai B Trng - H Ni in thoi: Biờn - Ch bn: (04) 39714896; Q un lý xut bn: (04) 39728806; Tng biờn tp; (04) 39715011 Fax: (04) 39729436 i\i * C h u tr ỏ c h n h im x u t bn: G iỏm dc - T ng biờn tp: TS PH M T H TRM B iờn tp: N G U Y ấ N C N H BA C h bn: N G U Y N K H I M IN H T rỡn h by bỡa: N H S CH H N G N Di tỏc liờn kt xu t bn: N H S CH H N G N 20C N guyn T h M in h K hai - Q1 - T P H C h M in h SCH LIấN KT CC CHUYấN BM ST THI THPT QUC GIA _ HM S V PHdNG TRèNH M LễGARIT Mó s: 1L-269H2015 In 1.000 cun, kh 17 X 24cm ti Cụng ti c phn Vn húa Vn Lang a ch: s Nguyn Trung Trc - P5 - Q Bỡnh Thnh - TP H Chớ Minh S xut bn: 1121- 2015/CXBIPH/48-189/HQGHN, ngy 12/5/2015 Quyt nh xut bn s: 287LK-TN/Q-NXBOHQGHN, ngy 19/5/2015 In xong v np lu chiu quý III nm 2015 LI NểI U Cỏc Em hc sinh th õn mn! Nhm mc ớch giỳp cỏc bn hc sinh lp 12 chun h th t tụt cho KY THI TRUNG HC PH THễNG QUC GIA t im khỏ, im cao trỳng tuyn vo cỏc trng Cao ng, i hc m mỡnh ó xỏc nh ngh nghip cho tng lai, theo nh hng mi B sỏch ny gm cuụn cho chuyờn , cỏc em tin dựng ụn luyn theo chng trỡnh hc v trc k thi: - KHO ST HM S - HM S V PH N G TR èN H M LễGARIT - NGUYấN HM V TC H PHN - S PH C V T H P - H èN H HC KHễNG GIAN - TA KHễNG GIAN - LNG GIC V TA PHANG - PH N G T R èN H V HAT n G t h c Cun HM S V PH NG TR èN H M Lễ G A R IT gm cú 15 phn nh tin luyn theo ch T cỏc kiờn thc v phng phỏp gii Toỏn cn bn v nõng cao dn dn, kt hp ụn Toỏn lp 10 v 11, b sung v m rng kin thc v phng phỏp gii khỏc nhau, luyn thờm Toỏn khú, Toỏn tng hp, cỏc bn rốn luyn k nng lm bi v tng bc gii ỳng, gii gn cỏc bi tp, cỏc bi toỏn kim tra, thi c Dự ó cụ" gng kim tra quỏ trỡn h biờn song cng khụng trỏn h nhng sai sút m tỏc gi cha thy hờ"t, mong dún nhn cỏc gúp ý ca quý bn c, hc sinh ln in sau hon thin hn Tỏc gi L ấ H M I PHề MC LC BlẫN ểI LU TMA V M BIN I Lễ G A RIT 20 HM S M, LU TIIA 30 HM S LễGARIT 45 SO SNH BIU THC M V LOGARIT 59 BT NG THC V GI TR LN NHT NH NIT CA HM S M V LOGARIT 65 PPiN G TRèNH M .75 PHNG TRèNH LễGARH' .90 IU KIN V NGHIM PHNG '1'RèNH M V PHNG TRèNH LễGARIT 103 10 BT PHNG TRèNH M 113 11 BT PHNG TRèNH LễGARIT 119 12 IU KIN V NGHIM BT P1 lUNG TRèNII M V BT PHNG TRèNH LễGARIT 128 13 H PHNG TRèNH M 138 14 H PHNG TRèNH LễGARIT 149 15 IU KIN V NGHIM H PHNG T R èN H 167 BIN I LU THA V M Lu tha vi cỏc h i s m - Lu tha vi s m nguyờn dng: a = a.a a, n tha s a (vi mi a v n e N*) - Lu tha vi s m v nguyờn õm: a^ = v a'" - ^ (vi a O v n Ê N ) - Lu tha vi s m hu t; = a " = >/ó^ a (vi a> v r = n n e z, n Ê N ) - Lu tha vi s m thc: a = lima'" (vi a> 0, a Ê R, r Ê Q v limr = a) - Bin i lu tha: Vi cỏc s a > 0, b > 0, a v p tu , ta c: j ^ ^a^p ^a ^ ^ ^ a -P ^ ^aP (a.b) = a" (a: b)" = ; b" Quan h so sỏnh Nu a > I thỡ: a > cp p Nu < a < thỡ: a > a< p Nu < a < b thỡ: a^ < b a > 0; a^ > b C a < Cn bc cao - Cn bc n: Khi n l, b = ^ Gii E=(o,5'^* = 0,5^^ = 0,5'= - ỡ = ^ U ; 16 p _ '2^2-3-s[5 ^-/s _> 2^-343 2^''^ _2^ -34^+343_2^ _^ Bi toỏn 1,4: Tớnh giỏ tr cỏc biu thc sau: p _ -^\+i 42 p _ Gii g _ 2>+2V2 g2 _ 2^+242 t 442 _ 2^+242-242 _ ^1 _ p _ L 24I _ ^ 43- ^ 2-243 _ 24^2 2-2/3 _ 22/ 3-2 2-2/3 _ 2^/3 _ l / 4Bi toỏn 1.5: Vit cỏc biu thc sau di dng lu tha ca mt s vi s m hu t: b.[ó = lx ^ x (x > 0); J = -3 (a > 0, b > 0) a Vb Gii n I = x^lx = x 'x ^ V x' Gii Bi toỏn 1.7: Rỳt gn cỏc biu thc: a )A =V + 2V2 + V 18- 8V2 V^^úVè + V3 7 è + b)B - V2 V2 + V3 +V 14- 5V3 Gii a) T acú + 2>/2=(V + i v 18-8^/2 = ( - V2)^ N n A = ^ ( V + l) ' + V (4 -V )- = V + l + - V - b) Ta cú; v r r ^ ^ = - í = - V2 V3 + V5 + V - 3V5 = ^ ^ + + V l4 -6 V j = ^ ^ V + V 5y -+ A /(3 -V )^)= ^ ( l + V + - V ) = ^ = 2V2 Biu thc trờn t ca B l :3 v /2 +2y[2 - y =3 V V2 + V3 + V 14- 5V3 = ^ ^ V + 2V3 + V - I 0V3 j = ^ [ V ế ^ ^ + V ( - V y ) = ^ ( l + V + - V ) = A = 3V^ Vy B = 3y2~ Bi toỏn 1.8: Rỳt gn cỏc biu thc: a) Q = x - + 2-v/x + l X +1 -3 - n/ x +1 b) p _ 3/2 + V4^ | V ( + x)^ - V(2 - x)^ + yl4 -: Gii a) iu kin X+1 > 0,x + 5>ớ: 3Vx +1 ô> x > - 1,X x - + 2>/x + l ^ (Vx + l +1)^ - 4^ X +1 - 3-v/x +1 =1 V:ớ + 1(-\/x + - ) ^21: - ^ = 7= ^Jx + {^fx + \ - ) Vx + Vy Q = \/x +1 + V x+ vi X >-I,x?t8 ( X ^ 8) Bi toỏn 14.32: Gii h phong trỡnh: X y + y - y + y = x +1 (6x + y)log]^(x + y) + (x - y )lo g ^ (x + y)^ - = Gii iu kin: X+ y > 0, X > y T PT (1) ta cú: (y - l)(x^ + y ^ + l) = y=l Th vo PT(2) ta c PT: (6x + l)lo g 2(x + 1) + 6(x - l)log2(x + 1) - = Vi X= - khụng phi l nghiờm Vi X thỡ PT bõc hai cú nghiờm; log2(x+ l) = -1 hay log2(x+ l) - ^ 6x + l r ^ - => nghim (x, y) = ;1 2 ^ u -;+00 vi X e 1; 6x + l ) 67 Xột log2(x + ) - - Xột log2(x + 1) Kh i x e 1; - - thỡ VT l hm s f(x) ng bin, VP l hm g(x) nghch bin V m f V Khi X e =g nờn X= l nghim nht tha V ;+00 thỡ VT l hm s f(x) ng bin, VP l hm g(x) nghch bin m f(l) = g (l) nờn X = l nghim nht tha "i \ ^ Võy hờ ó cho cú nghiờm: - ;1 ;(l;l) V Bi toỏn 14.33: Gii h phng trỡnh: _ J m x ^ + l'* 'y ^+ l lo g ,^ lo g = l xy+1 (2) Gii iu kin X, y > (1): r -1 ^ - x^ +1 y^ +1 xy +1 163 (xy + l)(x^ + + 2) = 2(x^ + l)(y^ + 1) xy(x^ + y^) + 2xy + x^ + y^ + = 2xV^ + 2(x^ + y^) + xy(x - y)^ = (x - y)^ (x - y)^(xy - 1) = - Nu x = y i ỡ x = y = l l nghim Xột trng hp X = y thỡ: (1): (log X - l)(log X - 1) = log2 X.log3 X = log2 X + log X - + - = log, X log3 X logx2 + logx3 = logxú = lx = =>y = Nu xy = thỡ y = v X ^ 1, ta cú X X log2 ^ log3 ^ = (log2X - 1)(log3X + 1) = -1 3x log2X log3X = log3X - log2X -log2 X lo g , X 2 logx2 - logx3x = log^ - = X = - = y= Vy h phong trỡnh ó cho cú ba nghim l (x; y) = (1; 1), (6; 6), 3 Bi toỏn 14.34: Gii h phng trỡnh: v^-x- X^+1 y +1 31og3(x + 2y+6) = 21og2(x + y + 2)+l ( 1) ( 2) Gii iu kin x + 2y + > , x + y + > PT(1): e'( x - + l ) = e ' ' ' ( y ' + l ) Xột hm s f(t) = e'(t + 1), t > Ta cú f'(t) = e + e \t + 1) = e(t + 2) > nờn f l hm ng bin Phng trỡnh f(x^) = f(y^) x^ = y ^ o x = y - Neu X = y thỡ phng trỡnh (2) tr thnh 31og3(3x + 6) = 21og2(2x + 2) + Cớ> log3(x + 2) = lg2(x + 1) t lg3(x + 2) = lg2(x + 1) = t thỡ X + = 3, X + = 2' => 3' = + ô Y - + l3 j = v ỏi l hm s nghch bin nờn phng trỡnh ny cú khụng quỏ mt nghim thc 164 Ta li thy t = tha nờn phng trỡnh cú nghim nht l t = 1, suy x + = x =l Tng ng, ta cú y = v nghim (x, y) = (1, 1) tha iu kin xỏc nh - Neu X = -y thỡ (2) 31og3(6 - x) = 21 og 22 + lg3(6 - x) = 6 -X = X = Suy y = -3 v nghim (x, y) = (3, -3) cng tha iu kin xỏc nh Vy h phng trỡnh ó cho cú hai nghim l (x, y) = (1, 1), (3;-3) ớx + 3y > - l o g Bi toỏn 14.35: Gii h bõt phng trỡnh: < , [ln(4">'- + 3.4'> '-')< ln2 Gii p dng bt ng thc Cụ si: ln2 > ln(4^^y-' + 3.4^y-') > ln2V 4'^^-'.3.4^''" = > èn(2^ớr) = \n2 x + y = - l o g ^ Do ú du = xy nờn: Gii c: X \r*y-' =3.4^^'- =1 = Ig4l2, y = log4 x = log4l2 Vy nghim ca h phng trỡnh: ^ ' ô - BI TP Bi 14.1: Gii h phng trỡnh: ^ J x - ỡ +^J2- y = 31og9(9x^)-log3 =3 HD-S (1; l ) v (2; 2) ớlog,y+log^x = Bi 14.2: Gii h phng trỡnh: < , [ x ' - x - y = 20 + l o g , x HD-S PT(1) X = y >0, khỏc 165 l o g i ( y - x ) - l o g 4Bi 14.3: Gii h phng trỡnh: X' + = 25 HD-S x = ,y = Bi 14.4: Gii h phng trỡnli: x^-y^=l [\og^{x + y ) - \ o g , { x - y ) = HD-S Lụgarit hoỏ PT(1) theo c s , , Bi tõp 14,5: Gii h phng trỡnh: Sx' + x ' = y +7v^ [lnjc + 21n> = HD-S Xột f(t) = 5t+ 7t^ t G R thỡ f (t) = 35t^ + 351^^ > 0, V t nờn f ng bin trờn R Do ú f(x) = f(y) X = y S X; = = e^ =y= ớln(2x + 5) - ln(y -1) = Bi 14.6: Gii h phng trỡnh: - 1)[(^+y - 1, =1^ + - 2y) HD-S (2) |x + y | - , = y - lx + y| y -1 X ộ tf(t)= t - i , D = (0; + oo) t h ỡ f ' ( t ) = l + - ! r > , V t e D t t^ => hm s ng bin trờn D nờn I X+ y I = y - Bi 14.7: Gii h phng trỡnh: (/gx - Igy = (>; - x)(x^ + xy + [x ' + y ' = HD-S x= l,y= l 10g2X + log4>; + log4Z = Bi 14.8: Gii h phng trinh: log3;;+loggZ + log9 X = log4 Z + log,^x + l o g y = HD-S Bin i lụgarit v c s log,(x + 2) lo g , 16 ) HD-S H tng ng: |0 < X + < 27 |o < + 2x - < 16 , '^log,(x + 2) > Bi 14.10: Gii h bt phng trỡnh: , [(X -1 ) Ig + lg(2^^' + 1) < lg(7.2^ + 12) HD-S Kx t u = Igx, V = Igy H: [lgxy + lg^x + lg^;/ = [ig X Ig j( lg ^ + l)0g y + ^) = m m + v + m^ + v^ = (w^ + m) + (v^ + v) = [mv(w + l)(v +1) = w [{u +u){v +v) = m t X = +u; Y = +v Vỡ t^ + = - + (t + )^ > - nờn iu kin X, Y > - , , X +Y = Trong iờu kiờn ú thỡ hờ toTig ng: < [XY = m Do ú X, Y l cỏc nghim ca phng trỡnh: X^ - 8X + m = vi X > - 169 Ta cú: X - 8X = - m Xột parabol Y = F(X) = x^ - 8X, X > - iu kin ng thng Y = -m ct (P) ti im cú honh x > - - l: f ( ) < - m < f ( - - ) < : > - < m < 16 4 16 X 33 Vy giỏ tr cõn tỡm l: < m < 16 16 Cỏch khỏc: dựng o hm ỏnh giỏ hm s theo mt bin Bi toỏn 15.5: Tỡm m h phng trỡnh: 51nx + 61ny = m [ln-x-41n\v-4 = cú mt cp nghim nht, tỡm cp nghim ú Gii iu kin: X , y > t u = Inx, V = Iny 51nx + 61ny = m 5M+ 6v = m ln'x-41n'y-4 = ^ T(l) u= m - 6v (1) | m' - v- - = (2) Th vo (2) ta c: 64v^ + 12mv + 100 - m^ = (3) H cú mt nghim nht v ch (3) cú mt nghim nht: A = ô 100(m^o 36m^ 64(100 m^) = 00 100(m^ 64) = o rri 6m Vi m = -8 V = u = - : nghim h [e - - 64 6m V i m = ^ v = - 64 => u = - : nghim h ^ ^ Bi toỏn 15.6: nh m h phng trỡnh; log3^ x - f f l o g x.log3 _y + log3 y = m^ - 3m + cú mt nghim nht ^log,^ x + 21og3 x.log, y + m\og^^ y = n r - Am+ iu kin: X , y >0 t u =log3x; V Gii = log3y H: 2 log3 X - w l o g x.log3 y + log3 y = m -3 m + log3^ x + 21og3 x.logj y + m\og^^ y = I - muv + v^ = [u^+2uv + mv^ = 170 -3 m + -Am +3 ( 1) (2) -4 m +3 Nu (u;v) l nghim ca h thỡ (-u; -v) cng l mt nghim H cú mt nghim nht iu kin cn l:u = - u v v = - v = > u = v = , ^ ớớm^ ^ - m + = t u = Inx, V = Iny ớlnx + l n y = H , ^ [In x + ln y = ô ớw + v = 2 [u +v =a Ta cú s = u +v = v p = uv = [(u + v)^ - (u^ + v^)] = (36 - a) Do ú u; V l hai nghim ca PT; , - 6X + (36 - a) = iu kin cú nghim l : A' = - > < ằ a > Khi ú: s = In'^ X + In'^ y u'* + v"* = (u^ + v^)^ - 2u^ v^ = a^ - -A(36 - a)^ = - (a^ + 72a - 1296) = - [(a - 18)(a + 90) +324] 173 124 Vỡ a > 18 nờn: s = = 162 Vy s = 162 t c a = 18 Bi toỏn 15.12: Tỡm m h phng trỡnh: 2''+x| = y + x ' + m cú nghim nht x ^ +y ^ =1 Gii Gi s (x, y) l mt nghim thỡ (-X , y) cng l nghim, m h cú nghim nht nờn X = ớl + = y + 2m y = l Do ú: [2m = l - y ly ^ = l Khi y = -1 =ớ> m = Khi y = => m = 2ll+ |x | = y + x - + o li, vi m = thỡ h: i x^+y^=l H ny khụng nghim nht vỡ (0; -1), (1; 0) u l nghim +|x| = y + x- Vi m = thỡ h; (1) x^ +y^ =1 (2) T (2) |x | < , ly i ' ' l > Do ú y = v X = 0: nghim nht Vy giỏ tr cn tỡm: m = I y2x+>/^ _ y V+1 + 2017 x ( 2) Gii iu kin X > - PT(1); -l)< 2017(l-x) - Nu X = thỡ bt phoTig trỡnh tha -2 Nu X < thỡ 7^^ - < 0, - X > thỡ BPT tha - Nu X > thỡ 7^^'^ - > 0, - X < thỡ BPT khụng tha x , - Nu -1 < X v 2x + x -2 - jc + , xe[-l;l] x-2 Lp BBT thỡ f(x) = -2 nờn bt phng trỡnh cú nghim v chi m > -2 Vy iu kin cn tỡm l m > -2 X ộtf(x)= 174 x^ < thỡ (2): m> e' =2017- y ( 1) V r ^ Bi toỏn 15.14: Chng minh rng h phng trỡnh: e>' =2017- ^ ( 2) cú ỳng hai nghim phõn bit Gii iu kin xỏc nh | x | , lyl > = e" T hai PT ca hờ, ta cú e' - Xột hm s f(t) = e f'(t) = e + y ltl>l > nờn f l hm ng bin (t'-i)V t^ Do ú f(x) = f(y) X = y Ta xột phng trỡnh: e + 2017 = Lõp hm s g(t) = e , ^ - 2017, |t| >1, ta chng minh g(t) = cú hai Vt'-1 nghim khong (1, +oo) BI TP 31gx + alg_>' = Bi tõp 15.1: Tỡm a, b hờ phng trỡri; -^ ^ 21gx + l g y = cú vụ s nghiờm dng HD-S D = - - a, Du = -(a + b), Dv = 3b - a^, a tựy ý, b = ớlog2(x + y) + lo g , (x -y ) = l cú nghim Bi 15.2: Tỡm m h phng trỡnh: [x^ - y ^ =m HD-S Bin i lụgarit v c s Bi 15,3: Tỡm m h phng trỡnh: ớffớ.log2 x + 8.1og2 y + - w = \{m - l).log2 x + (m + 2).log2 y -H4 - 3m = vụ nghim HD-S m = 175 logj + log, 3; = Bi 15,4: Tỡm m h phng trỡnh: cú nghim \xf +y^ - m y = HD-S Bin i (1) lụgaril v c s 3, m > Bi 15.5: Tỡm m h phng trỡnh: flog5X + log5y = m < [log5 X + lg5 y = e - m cú nghim HD-S a v bc theo mt n, -2 < m < Bi 15.6: Xỏc nh a h phng trỡnh: |ln^x-ln^;; = l ( l n x - a ) " + l n ' y = cú ỳng nghim; cú ỳng nghim IID-S flny=lnx rH: f , ,a = l ; a = V2 21n^ x - 2a ln x + a -1 = Bi 15.7: Tỡm a h phng trỡnh: l g - = a(l + lg x lg ;/) y , cú nghim + lgx>^ + lg x lg y = HD-S + Ig V ' T (2) suy Igx = ^ , th vo (1); + lgT T r I I (a - l)lg^ y+ (a - 2)lgy - (a + 2) = 0, dựng hm s, a 4Bi 15.8 : Tỡm a h phng trỡnh: a +a cú nghim V e [0;l] x-\- y - b ^ - b + \ HD-S M húa PT(2), < a < 322 176 a ^ w w w n h a , s a c l i h i o r T ? a n c o n n v n E m a il: n h a s a c h h o n g a n @ h o t m a il.c o m C N g u y n T h M in h K h a i - Q - T P H C M T: 38246706 - 39107371 - 39107095 Fax: 39107053 9' EQ Quý khỏch xa liờn h: w w w h o n g a n t r u c t u y e n v n chỳng tụi c phc v ^/n tớmy o : ) V C ỏc ch uyờn C ỏc ch uyờn d ộ C ỏ c ch u y * n clộ- ỏM IIèT o THI Bliin ớ n THI C ỏ c c h u y n (l I 1II' l