Vì < a < 7Ĩ _ ot ^= cos— a Từ tan — < — + c o sa < — nêncos— sin— đêu dươntỊ 2 /3 -2 ^ V a _ - cos a + 2^/2 + n/2 ; c o t - = - n/2 b) T tập hợp tất số tự nhiên gồm hai chữ số khác lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, nên số phần tử T - Ag = 36 IQI = Suy số phần từ không gian mẫu Cgg Gọi biến cố A: 'tích hai số chọn số chẵn".Ta có tích hai số số chẵn hai số chẵn có số chẵn, số lẻ Trong 36 sổ tập T có 15 số lẻ 21 sổ chẵn Suy số cách chọn hai số chẵn C21; cách chọn số chẵn, sổ lẻ C21.CỊ5 Do số kết thuận lợi cho biến cố A C21 + C21 CỊg SH = ^ W ậ y thể tích: V sabcd= Với Xo = 2; yo = 180 -BĐT- c = A c = B (loại) Vậy hai điểm A, B là: A _4V3 7’ í ^ V 2^ 7’ 7' A 4^/3 7’ ;B 4n/3 7’ C âu Điều kiện: X e {-1} u [1; +co), X - y > Với X = -1: không thỏa hệ Với - \ , Biến đổi phương trình đầu hệ thành 2(x + l)(x - y ) + (x - ) = 3^ { x - y ) ( x ^ - ) ^ ( x - y ) ( x + l) = V x- (*) 2^ ( x - y ) ( x + l) = V x - l Bình phương hai vế phương trình thứ hai (x + 1)(x - y) = — Thế vào (*) tìm tất nghiệm hệ phương trình là: (x;y) ='J5 41^ ( 23' ’ 3ẽj V ' Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh sau: /z+X y+ z (x + y + z y x+y -1 -1 -3> X +z xy + yz + zx ly + x 'vZ + y _ x(x-y) + y(y-z) + z(z-x) ^ y - z , z - x , x - y = -> - h x+z y+z z+y xy + yz + zx ( x - y ) +(z -x ) xy + yz + zx z xy + yz + ZX (x -y ) yz zx , N xy + (y - z)—— + (z - x)—^ < z+X y+ z x+y ^ yz y+z zx xy + z - X)íl^x + y z+X zx — -— - + — — — < : (y + z)(z + x) (x + y)(z + x) -BĐT- 181 I ^ X * - ĐE SO 25 •’ ' ' ' X "1“2 C âu (1 điêm) Khảo sát biên thiên vẽ đô thị hàm sô: y = — - — " ■ 2x + Câu (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y = cos^2x - sinxcosx + C âu (1 điểm) a) Giải phưcmg trình nghiệm phức; (iz - l)(z + 3i)(z - + 3i) = b) Giải hệ phưong trình: Í2(x^ + 2x - y - l) = ::x ^ ( y + l) (x, y G R) 1y^ + 4x +1 + ln(y^ + 2x) = Câu (1 điểm) Tính tích phân I J Y Câu (1 điểm) Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có cạnh bàng c ừên đường thẳng d: —= ^ Tìm tọa độ đửih c, biết đỉnh A, B trục Oz Câu (1 điểm) a) Giải phưong trình: cosx(l + ^ sin2x) = cos3x - 4cos( — - 2x) b) Trong kì thi tuyển sinh, trường A có học sinh gồm nam nữ đỗ vào khoa X trường Đại học số sinh viên vào khoa X chia ngẫu nhiên thành lớp Tính xác xuất để có lớp có nam nữ trường A C âu (1 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A Khoảng cách từ AA' đến (B C B'C ) a, khoảng cách từ C đến (A BC) b góc hai mặt phẳng (A B C ) (ABC) cp Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C theo q>, a b Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm C(2; -5 ) đường thẳng A: 3x - 4y + = Tìm A, tọa độ hai điểm A B, biết ' ’ f 5^ A, B đôi xứng qua điêm I 2;— diện tích tam giác ABC băng 15 V 2j C âu (1 điểm) Giải bất phưong trình: -v/2x^ + X - - V x- < X C âu 10 (1 điểm) Cho ba số thực X, y, z e [1; 3] Tìm giá trị nhỏ U-' ' D 2y + —z biêu thức p -= 36x + — zx xy yz 182 -BĐT- LỜ I G IẢ I Câu • Tập xác định: D = R \ Sự biến thiên: lim y = lim y = — nên tiêm cân ngang: y = — x-»+00 2 lim -1 y = -oo, lim y = + 00 nên tiệm cận đứng: X y’= (2x + 3)"* < 0, Vx e D f'(t) = - 2t - - ; f ’(t) = t = - - : c h ọ n So sánh: f ( - l) = — , f 16 ^9 ^81 Vây miny , maxy = — 16 Câu a) Ta có: (iz - l)(z + 3i)(z - + 3i) = nên: - iz - = tức z = - i - z + 3i = tức z = -3 i - z - + 3i = t ứ c l z - - i = hay z = + 3i -BĐT- 183 Vậy phương trình có ba nghiệm là: - i, -3 i + 3i b) Điều kiện y + 2x > H ệđ ăch o : = +4x + + ln(y^ + 2x) = | ( x ' + 2)(2x - y - l ) - (1) [y^ + 4x + + ln(y^ + 2x) = (2) | ( 2x = y + l Ịy® + 4x + + ln(y® + 2x) = Thay (1) vào (2) ta được: y^ + 2y + + ln(y^ + y + 1) = (3) Xét hàm số f(y) = y^ + 2y + + ln(y^ + y + 1) R f'(y) = 3y' + + - ^ ^ > , Vy R y + y +1 ■ y"+y + l Do hàm số đồng biến R mà f ( - l) = nên y = -1 nghiệm (3) => X = Vậy hệ có nghiệm (0; -1) , s i n t ,, Câu Đổi biến X dx = — — d t cost cos^ t Kh i x = = > t = ; x = = ^ t = - / Khi I = _ -|f dx = Ịtan^ tdt ^ rt = ¥ - V - : oUos^ t dt = 4(tan t - ) C âu Hạ CH Oz, ta có CH Ce ab -4 S — nên C(t; -t; t), ta có H(0; 0; t) ^ CH = (-t; t; 0) => CH^ = 2t^ nên t^ - o t = ±1 Vậy điểm: C (-l; 1; -1 ) hay C(l; -1 ; 1) Câu a) Biến đổi phương trình cho sau: cosx + \/3 sin2xcosx = cos3x + 4sin2x (cos3x - cosx) + 4sin2x - \ Ỉ sin2xcosx = 2sin2x(2 - sinx - \Í3 cosx) = 184 -BĐT- kn sin2x = sin2x = , (k e Z) 71 sin(x + —) • L sin X + n/ s cosx = + k2n b) Với học sinh có cách xếp vào lóp lớp Suy số cách xếp lóp cho học sinh vào lớp 4^ Số cách chọn học sinh nam học sinh nữ học sinh C3.C2 X = — Với cách chọn trên, có cách xếp học sinh vào lóp có 3^ cách xếp học sinh không chọn vào lóp lại Suy sổ cách xếp có học sinh nam học sinh nữ vào lớp c V c ^ X, V p n - 4C3^C^.3" _ 27 Từ xác xuât cân tính p = - ^ ^ 4'’ 128 C âu Hạ AH BC ^ AH ± (BCB'C) Ta có: AA' // (BCB'C’)nên d(AA’, (BCB'C)) - d(A, (BCB'C)) = AH = a Hạ CK A C AB CK AB AA' => AB (ACA’C ) Nên AB CK CK (A BC) ^ CK = d(C, (A BC)) = b Ta có AB T (A CA 'C) => ÕẤC' = ẹ A C = ^ =- l l v C C = ^ = ^ sin (ị) sin (Ị) C0 S(ị) cosộ Hơn nữa; 1 AB-^ => AB = yjh^ - 1 a ^ sin ‘'^(ị) AH' ab sin'^ ộ Do S abc= -A B A C = ~ -2 2sin(ị)yb^-a^ sin^ (Ị) ab" Vậy: V = C C S abc = sin 2^yjh^ - a ^ sin^ [ị) Câu Hai điểm A B thuộc đường thẳng A; 3x - 4y + = A, B dối xứng qua điểm I 3t + Ta có A t: B v^’ y diện tích tam giác 16-3t^ Theo giả thiết: AI = - — =(2 -t)^ + s = 15 , d(C; A) = 6 -3 t r - 4t = Cí> t =0; t = Vậy A(0; 1), B(4; 4) ngược lại -BĐĨ- 185 C âu Điều kiện: X > BPT: \j2x^ + X - - Vx - < X \j2x^ + X - < X + Vx - 27 với a, b, c > LỜ I GIẢI C âu Hàm số: y = x^ - 3x^ • Tập xác định; D = R • Sự biến thiên: lim y = - 00 ; lim y = +00 X —* — c c X ^+ cc y' = 3x^ - 6x, y' = X = Bảng biến thiên; X X = nghịch biến (0,2) có điểm CĐ(0; 0), CT(2; -4) Đ thị y" = 6x - 6,y " = « x = Tâm đối xứng lag điểm uốn 1(1; -2) C âu Tập xác định D = R y' = -x^ + 3mx = -x(x^ - 3m) -BĐT- 187 y' = X = = 3m Điều kiện đồ thị (1) có cực trị 3m > Ci> m > Khi điểm cực trị: 0(0; 0), A -\/3m; —m^ì, b Í Vsĩn; — ( / ỉ, X ^ _ Í O A = OB lam giác: OAB đêu < =>-^( OA = AB [OA - AB m _ ,/3m + — = 2\j3m 3m + — m ‘ = 12m V 16 16 lổ — m=— íchonVVâv ơiá tri cần tìm: rm = —Ẳ/ẽ m"=— m = —n/6 (chon) Vây giá C àu3 ' ^ a) Phương trình: 2iz^ - 2(5i + 2)z + 28i + = ^ z ^ - 2(5-2i)z + 28 - 4i = O.A' = (5 - 2i)^ - (28 - 4i) = -3 - 12i Ta tim bậc hai X + yi, (x, y e R) A': , -\2 _ TC ,-v [x^-y^=-35 (x + yi) = - - i < = > < [2xy = - Ta có: x^ + y^ - ^J35^ +12^ = a/1369 - 37 Do giải bậc là: ±(1 - 6i) nên phương trình có nghiệm: Z i = - 4i, Z = + 2i b) Ta có bất phương trình: 2^ +7^3x +2 ^ ^2x +5 ^ +522x+5^ ’‘‘*'^ 3^x+2 / V-3 2’ 3>‘_3 ^ ^ < X < + logg v2y Vậy nghiệm BPT X < + logg 2 C âu Ta có diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = —, y = -x + y = X 1/2 / | ( - ( - x + 2)jdx+ I - - ( - x + 2) 1/2^^ 1/2 1^ N = | x d x + ^—+ x - 2jdx s= 1/2 ^ Do s = — + Inx + - — 2x V 188 -BĐT- 1/2 ln2 - — Vậy diện tích; s = ln2 - — (đvdt) C âu Gọi E(0; y; z) H(1; 1; 0) trung điểm AB Ta có: ÃB = (-4; 6; - 8), ẼH = (]; - y; -z) ^/6ã nên Tam giác EAB cân E có diện tích EH.AB = EH 4z - 3y + = 2S AB ^ ' + (1 - y)^ + = 22 Giải phương trình trên, ta đươc: (y;z)= (—;!); ( 11 " i Vậy E 0; - ; l E 0;‘ ’” l 3’ J 11 - , 75 25 C âu 3tĩ a) Vì 7Ĩ < a < — nên cosa < 0, sina < tana > Ta có; o ■- = tan^a - 2tana - = tana Vì tana > nên chọn tana = _ -1 cosa = — F = , sina Ta có cos a = + ta n ^ a 10 Vĩõ n/ĨÕ -6 -3 Vĩũ+ 2 s i n a - t a n a _ y ịĩõ = -9 Do T = -1 cosa + cota ^/ĨÕ -3 tana - 3cota = tana Vậy T = -9(16 + 5VĨÕ) 2n+l ik '2n+l b) Dùng khai triển; 2^"^ '= (1 + 1)^"^ ' k=0 hệ số Cgn+I = C2n+| với k = n + , , 2n + = 2^" - được: + 10 Theo giả thiết, suy n1= 10 f Khai triển: ỴO ~1 + X7 10 / = Ẽ c ;,U 10 (x’r = x c x ' " - “ } k=0 y Chọn k cho: Ik - 40 = 37 k = Vậy hệ số k=0 -EĐT- 189 , ^ 4- b Gọi N trung điêm AB N —— ; a - Đường thẳng A có VTCP =(1; -1) Ta có hệ phương trình: ~ ^ ■ (b -a )-(-4 -2 a ) = [N A ^ r +(a-l) + 2= o " bĨ-5 Từ suy A (l; 3), B (-5; -3) Đường thẳng BC có phương trình X + 2y + 11 = Do C (-2c - 11; c) Vì điểm M e BM => M(m; -3) Ta có M trung điểm AC nên ^^ => c = -9 C)(7; -9) Đường cao vẽ từ B có phương trình X - 2y - = Trực tâm H nghiệm hệ phương trình: - y + l = ^ |x = -l Vậy trực tâm H (-l; -1) C âu Điều kiện: X, y > -1 , xy > Phương trình thứ nhất: yịxỹ = X + y - Đặt t = ựxỹ = X + y - (t > 0) Bình phương hai vế phương trình thứ hai: X + y + j x y + X + y + = 14 r r — Í0 < [4 (t^ + t + 4) = ( l l - t ) ^ Í02 -5ĐT-351 Suy ra; —-— + —-— + —-— > -x -y -z Ta có 2yfã < a + nên; 1 _ -^ /x -^ /v - ^ / z ~ o -x -y 2x 4^ -z 2y 2^ 2z 24 z > _ L— + _ 2 - - ^ 2 1+x 1+y l+z Từ suy đpcm Dấu đẳng thức xảy X = y = z = ĐỀ SỐ 59 Câu 1.(1 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = x"* + 2x^ + C âu (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến (A) đồ thị (C) hàm số: y = — cho khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thi (C) đến (A) X- đạt giá trị lớn Câu (1 điểm) -1 + Vãi a) Cho số phức z Tính p z+- + V V b) Giải phương trình: 2z, y 5[ 5J V + z'^ + z J x"* J s Câu (1 điểm) Tính I = r ^ ^ dx ( x( l + x^) Câu (1 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): X - 2y + 2z - = hai đường thẳng A |: =z ^ ^ At; -^ ^ = Ỉ-4Ả Xác định toạ độ điểm M thuộc đưòng thẳng A| X ““2 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng A2 khoảng cách từ M đến mặt phăng (P) bàng C âu (1 điểm) a) Giải phương trình: + sinx + sin2x = cos3x 352 -BĐT- b) Tìm hệ số khai triển: P(x) = (x + l)^.(3-x)''^ Câu (1 điểm) Cho khối chóp tứ giác S.ABCD Một mặt phẳng (a) qua A, B trung điểm M cạnh sc Tính ti sổ thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phảng Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác vuông ABC vuông A với C(-3; 0), B(7; 0), bán kính r = 2sJĨÕ - tâm đường tròn nội tiếp J có tung độ dương Câu 9, (1 điểm) Giải hệ phương trình: ỊVx + 6y = y + [7x + y + x - y = Câu 10 (1 điểm) Cho biểu thức: p = X, y, z x^ + y^ + X4 + y + _4 z 2 X y y'^z^ = Tính giá trị nhỏ _2 z X LỜ I G IẢ I C ầu Hàm số: y = x‘*+ 2x^ + Tập xác định: D = R, hàm số chẵn • Sự biến thiên: Giới hạn: lim y = +00 ; lim y = +00 x-y-Qo x->+í» y' = 4x(x^ + 1), y' = X = 0; y (0) = Bảng biến thiên: +00 —00 x - y + +CC V 1^+00 ^ Hàm số đồng biến (0 ; +oo) nghịch biến (-QO; 0) Hàm số đạt cực trị X = 0, ycT = Đồ thị: cắt trục tung (0; 1) đối xứng qua Oy Câu Ta có: lim y = ; lim y = =>y = 21à tiệm cận ngang X->+ X = l t i ệ m c ậ n đ ứ n g X“ * l“ x-^l'*' Nên 1(1; 2) tâm đối xứng (C) Phương trình tiếp tuyến (A) (C) M(x„; yo) e (C) -(x -x J + - (A); y = (Xo -1 ) Hay (A): X - (Xo X - - 1)^ y + x^ - 6xo + = -BĐT- 353 Khoảng cách từ I đến (A) là: |x „ - l | _ |x „ - l | Dấu xảy 1Xo - 1= Xo = 0; Vậy: (A): y = X + (A): y = X - Câu a) Ta có z = ^^ Xo = nên 2z + = ^/3i =ì> (2z + 1)^ = -3 z^ + z + l = c í > z + - = - l z +— -2 = -l z; Do z^ + -4_3 z + z+- V -3 z + Zy ^ = z; ^ "7 = z Vậy p = (-1)^ + (-1)^ + 2‘^ + (-1)^ = 15 f3f 3Ỵ ~^ _ \ Í ^ b) Phưong r u u u ỉ i K trình; Lllỉlỉl / — — = r= - V 5U J Võ Hai vế dưomg, lôgarit hoá hai vế theo số 5: ( x - l)lo g (^ )+ ^ lo g ( ^ ) = 5 ^ «> x(log53 - 1) - Iog53 + - ^ b g ^ l Câu Ta CÓI = " 4^ ~ ^ ~ + log5 _ ^^ _ 2(log5 - ) o g -7 J Vây tâp nghiêm s ={ V X logg - f dx / x d + x^) ^ị-8x^ +1 + ^ d x = l ^ í ^ d x + r -V-^ dx Jx ® + x /x ( l + x d ' x(l + x d ln(x® 354 -BĐT- + f - — 7~dx = In 129 + - í - r /x d l + xd 7jJx" (1 + x d = ln l2 + i l n - ^ + x" = ln l2 + i l n ^ 129 C âu Ả2 qua A (l; 3; -1 ) có vectơ phưcmg u = (2; 1; -2) M e A| => M (-l + t; t; - + 6t) Ta có MÃ = (2-t; - t; 8-6t), [M Ã , ũ ] = (8t - 14; 20-14t; t-4) ^ I[M Ã , ũ ] I = 3V29t^ - 8 t + 68 Khoảng cách từ M đến A2: "m ã , ủ ] d(M; A2) = V29t^ - 8 t + 68 u Khoảng cách từ M đến (P): d(M, (P» = + (-2)'“^ +2^ Ta có d(M, A2) = d(M, (P)) \j29t^ - 8 t + 68 = o - 35t^ - 88t + 53 = t = t = — 35 18 M Với t = => M(0; 1; -3), t = ■M 35 ’ ’35 C âu a) Phương trình cho tương đương với - cos3x + sinx + sin2x = 3x „ 3x X s i n ' +2 s i n - — c o s — = T 2 3x " 3x x' s i n s in — + co s— = — l 2, k27i V 't ^ Xét: s •i n ^ _= n0 Vs.BMN = —V s.BCD = • - V s.ABCD4 Do đó: V s.abmn = Vs.ANB + Vs.BMN Vây tỉ số thể tích: ^S.ABMN— _ ^ V'' abmn.abcd 'ĩ Câu Gọi (xo; yo) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Để ý B, nằm trục Ox yo > nên ta có: yo = r = V Ĩ Õ - (1) ’’ Mặt khác, góc BJC = 180* B c : 180'’ - — c = 135" M =^xo - 7; yo); CJ = (xo + 3; yo) =í> BJ CJ = X g -4 x „ -2 + yg (2) BC = (-1 ; )= > B C = 10 BJ C J = BJ C Ic o sl 35" = - B.Ĩ.CJ.sinl 35" = -2SjBc = -r.BC = -1 r (3) Từ (1), (2) (3) suy x„^ - 4xo - 21 + (2 n/ĨÕ - 5)''^ = -10(2VĨÕ - 5) „ ^ [xo = + V ĩõ x ^ -4 X f,- = [xo = - Do có hai điểm J thoả mãn toán J|(2+ n/ĨÕ ; \/ĨÕ -5 ) J2(2-^/ĨÕ; 2^/ĨÕ -5) Vậy phưong trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC thoá mãn đề là: (C,): (x - - V ĩõ 356 -BĐT- (y - n/ĨO + 57 = (2 7ĨÕ - (C2): ( X - + >/ĨÕ)^ + (y - V Ĩ Õ +5ý = (2síĩÕ - ) Câu Hệ phương trình: =y +3 [Vx + y + V x - y = y ^ -3 » • [y > -3 + 6y = (y + 3)^ o ■(x + y)(x - y) = Vx + y + V x - y = [7x + y + y j x - y = Đặt u = yjx + y , V = y j x - y (u, íu = |v = l ju -l > =3 I +y - Ị v x - y =1 _ U x + y= =3 V > 0) ta được: J ~ ^ ~^ [u + v = [u + v = íx + y = |x - y = l íx + y = l LU-y =9 íx = ịy = C:> íx-5 [ly =-4 Ket hợp với điều kiện y > -3 , hệ cho có nghiệm (x, y) (5;4) Câu 10 Nhận xét: Với a, b, c dương tùy ý theo bất đẳng thức Côsi ^ 1 có: —+ ^ + - > Dấu a = b = c a b c a+b+c Đặt t = x^y^ + y'z^ + z^x^ => t e 0;: Áp dụng nhận xét, ta có p - 1 1 ^ x % y ^ + z '‘ ^ x V ^ y V ^ z V •H l-2 t t ' f Khảo sát hàm sô f(t) = — -— ¥ —với t e 0; — l-2 t t \ suy minP = minf(t) = f = 30 -BĐT- 357 ĐE SO 60 Câu (1 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thỊ hàm số: y = - 3x + Câu (1 điểm) Cho hai điểm A(0; -16) B (-l; -8) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) hàm số: y = X** + 2x^ - cho tam giác MAB có diện tích nhỏ Câu (1 điểm) a) Cho z số phức thỏa mãn n - z)(i + z ) số ảo Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ T = I z - i I í - 2xy + y - x + = Iy , (x, y € R) b) Giải hệ phưcmg trình: [2 log.^ (2x - y) + log2(y +1) = dx C âu (1 điểm) Tính I = j x"* -2x^^ +1 C âu (1 điểm) Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc o Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; V2 ) Gọi M trung điểm cạnh sc, mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA, BM; tính thể tích khối chóp S.ABMN C âu (1 điểm) a) Các góc A, B, c tam giác ABC thỏa mãn; A B C sinA + sinB + sinC - 2sin — sin — = 2sin — Tính góc c 2 _ ^ _ Qn b) Tính tổng: T ^ — Cl+ — C l + — ơị + + (n + l)(n + )' "■ C ầu (1 điểm) Cho điểm M tứ diện ABCD Các đường thẳng MA, MB, MC, MD cắt mặt đối diện A', B',C' D' tương ứng Tìm giá trị nhỏ , , ; MA MB MC MD nhât tông: = —— + _ + — + — — ^ M A’ MB' MC' MD' Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(->/3 ; 0), C(yÍ3 ; 0), góc hai đường thẳng BC AB bàng 30°, góc hai đường thẳng BC CA 60° Tìm tọa độ đỉnh A biết hoành độ A bé , , x‘‘ -2 x ^ + x -l _ C âu (1 điểm) Giải bất phương trình: Vx>— ^ ^ , X e R C âu 10 (1 điểm) Cho X, y, z, t, s số thực thay đổi, thoả mãn: < x < y < z < t < s v x + y + z + t + s = Tìm giá trị lớn biểu thức: p = x(yz + ys + zt + ts) + zt(y + s - x) -BĐT- LỜ I GIẢI Câu a) • Tập xác định: D = R • Sự biến thiên: lim y = - 00, lim y = +00 X— >-00 X->-K0 Đạo hàm: y' = 3x^ - , y' = X = -1 X = y' > X e (-oo; -1 ) u (1; +oo); y' < X e (-1; 1) Bảng biến thiên: X —00 -1 +CC + y' y - '^+00 ' —00 Hàm số đồng biến khoảng (-ũo; -1 ) (1; +oo), nghịch biến khoảng (-1; 1) Hàm số đạt cực đại X = -1 , ycD = đạt cực tiểu X = 1, ycT = Đồ thị; Đồ thị cắt trục Oy điểm (0; 2) y" = 6x, y" = y > -1 Jy ^ -2 x y + y - x + = [2 log2(2x - y) + log2(y +1) = Biến đổi hệ; [(y -2 x )(y + ) ^ - [(y -2 x )^ (y + ự =16 í ( y - x f ( y + l f =4 D ođó-!''' ‘ suy y +1 = nên y =3 l(y -2 x )^ (y + l f =16 Giải tiếp ừên ta nghiệm: (x; y) = Câu Ta có: 1 1 x x^ - 2x^ + ~ (x + l)^(x - 1)^ ~ 1 (x-1)^ (x + 1)^ ( x - l ) ( x + l) 1 (x + 1)^ _ í _ Ị _ ' x + x-1 ~ (x-1)^ 360 -BĐT- x+1 1/2 Từđól= dx f— X ‘ -2 x ^ + X 4^ X- X +1 + In x+1 x -1 1/2 ln 3 ~4~ C âu Ta có C (-2; 0; 0), D(0; -1 ; 0), M ( - l; 0; >/2 ) SÃ = ( ; ; - V ) , BM = ( - ! ; - ! ; ^/2 ) cos (SA.BM) = |cos(SA, BM)| = — (SA, BM) = 30^" Ta có: [S Ã ;B M ] = ( - ^ ^ ; ; -2), ĂB = (-2; 1;0) nên d(SA, BM) = [ s a , b m ’ AB _ 2^/6 [s a ,b m ] Vì MN // AB, CD nên N trung điểm SD =í> N(0; ; yỈ2 ) SM = ( - l ; ; - ^ / ) ,S B = ( ; ;-2 V ), SN = { ■ - - , - ^ Ỉ ) [SA SM ] = (0; V2 ; 0) Ta có: V s.A B M = Vậy: Ss a b m n C âu I rS Ã ,S M ].S B H L “ Vs,ABM+ J g ,V s.A M N ^ s a ,s m s n Vs.AMN- V2 A B C a) Ta có sinA + sinB + sinC = c o s ^ cos —cos — 2 A B c - A B n ê n c o s ^ cos —co s— -2 s in -^ s in — 2 2 A + B_», A B A c, = cos - = ( c o s ^ c o s - sin ^ s m ^ ) 2 2 Do co s— cos —(2cos— - 1) = 2 Vì cos— co s— > nên cos— = i =í> c = 120'^ 2 2 b) Ta có số hạng tổng quát 1 k+l 1 pk+l _ "ik+2 ■C^ =■ ^n+2 (k + l)(k + 2) k +2 n +1 n +1k +2 (n + l)(n + 2) Ẩp dụng có: ^ -.c? , + — ci + —.c! + + C" 1.2 2.3 3.4 (n + l)(n + 2) ( c L + c L , + c : , , + -fC;::^) (n + l)(n + 2) 2"^'^ - n - (n + l)(n + 2) -B Đ T -3 Ỉ C âu Gọi H, I hình chiếu A, M lên mặt phẳng (BCD) Ta có H, I, A' thẳng hàng Gọi V, V), V 2, V 3, V thể tích tứ diện ABCD hình chóp đỉnh M với đáy tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Ta có: = (V, +V2 + V3 + V4) V '^1 1 ■+ — + ■ V '^2 V ''3 V -4 >16-4=12 Vậy minT = 12 M trọng tâm tứ diện ABCD Câu Gọi A(x; y) với X - r x‘‘ -2 x 'V x -l Bât phương trình: vx> -T ’ ' x'^-2x"+2x -BĐT- ' _ (x+l)(x-l)^ _ (x -ự v x > —p =j x [(x -ự + lj X+ ( x - ự + Xét hàm số: f(t) = Thì f'(t) = — ,t € R +1 + 3t^ > với t hàm f đồng biến R +vf B ấtphưong trình: f(V x) > f(x -l) n/ x > x-1 < X < X > 1, X > 0 p = x(y + t)(z + s) + zt(y + s - x) Theo bất đẳng thức Cô si, ta có: x(y + t)(z + s) < X zt(y + s - x) < y + t + z + s'"’ '^y + z + t + s - x ^ ^ Từ đ ó : P < '^^^ 27 i í-/- \ _ x(l - x)^ (l-2 x )^ Xét hàm sô f(x) = - + — ,