BÀI TẬP TÍCH VƠ HƯỚNG I.Lý thuyết : 1.Định nghĩa : Tích vơ hướng vecto a ; b số thực ký hiệu a b cho cơng thức :   a b  a b cos a ; b 2.Tính chất : a b  b.a a (p b )  (pa ).b  p(a b ) a (b  c )  a b  a c a  b  a b  a  a a  b  2  a  2a b  b Nếu a ; b hướng a b  a b 2 (a  b )(a  b )  a  b Nếu a ; b ngược hướng a b   a b 3.Biểu thức tọa độ tích vơ hướng : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ a  a1 ; a  ; b  b1 ; b  a b  a1 b1  a b Một số cơng thức cần nhớ : a  b  a1 b1  a b    cos a ; b  a a  a12  a 22 a1 b1  a b 2 a 2 b b 2  AB  x B  x A 2  x B  x A 2 Bài 1: Tính tích vơ hướng vecto Phương pháp:   -Áp dụng cơng thức a , b  a b cos a ; b  -Tính a ; a góc tạo vecto a ; b Thí dụ : Cho tam giác ABC vng cân A có AB =AC = a Tính AB.AC ; AC.CB GIẢI AB  AC  AB.AC  AC, CB  CA.CB  CA.CB cos 45  a 2  a BÀI TẬP 1.Cho hình vng ABCD có cạnh a Tính AB.AD ; AB.AC ĐS: ; a2 2.Cho tam giác ABC vng C có AC = BC = Tính AB.AC ĐS:81 3.Cho tam giác ABC có AB=2 BC = CA = a.TínhAB.AC suy cos A b.Gọi G trọng tâm tam giác TínhAG.BC c.Tính GA.GB  GB.GC  GC.GA d.Gọi D giao điểm phân giác góc A với BC Tính AD theo AB; AC suy AD HD: cos A   1 b.AG  AM  AB  AC  AG.BC  AB  AC AC  AB 3 29 c.ĐS:  AD  BC  AC  AB bình phương vế : ĐS : -      ĐS : Bài 2:Chưng minh đẳng thức vec tơ có lien quan đến tích vơ hướng hay đẳng thức độ dài Phương pháp : -Ta sử dụng phép tốn vec tơ tính chất tích vơ hướng -Về độ dài ta ý :AB2 = AB Thí dụ1 : Cho tam giác ABC M điểm 1.Chứng minh MA.BC  MB.CA  MC.AB  2.Gọi G trọng tâm tam giác chứng minh MA  MB2  MC  3MG  GA  GB2  GC2 3.Suy GA  GB2  GC   a  b2  c2  với a ; b ;c độ dài cạnh tam giác Chưng minh VT  MA.(MC  MB)  MB(MA  MC)  MC(MB  MA)   MA.MC  MA.MB  MB.MA  MB.MC  MC.MB  MC.MA    2.MA  MA  MG  GA  MG  GA  2MG.GA    MG  GC MB  MB  MG  GB  MG  GB2  2MG.GB MC  MC 2  MG  GC  2MG.GC   VT  3MG  GA  GB2  GC  MG.GA  MG.GB  MG.GC     3MG  GA  GB2  GC  2MG GA  GB  GC  3MG  GA  GB2  GC 3.M  A  AB2  AC  4GA  GB2  GC M  B  BA  BC  4GB2  GA  GC M  C  CB2  AC  4GC  GB2  GA    GA  GB2  GC  2(a  b  c )  GA  GB2  GC   a  b2  c2  BÀI TẬP: 1.Cho điểm cố định A B M điểm H hình chiếu M lên AB I trung điểm AB.Chứng minh : a)MA.MB  MI  AB2 b)MA  MB2  2MI  AB2 c)MA  MB2  2AB.IH 2.Cho tứ giác ABCD a.Chứng minh AB2  BC2  CD2  DA  2AC.DB b Chưng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD có đường chéo vng góc :AB2+CD2=BC2+AD2 3.Cho tam giác ABC vng A có cạnh huyền BC = a3 Gọi M trung điểm BC biết a2 AM, BC  Tính AB AC ĐS : AB  a AC  a 4.Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M N điểm thuộc đương tròn AM BN cắt I a.Chưng minh AI.AM  AI.AB ; BI.BN  BI.BA :b,Từ tính AI.AM  BI.BN theo R 5.Cho tam giác ABC có trực tâm H M trung điểm BC Chứng minh MH.MA  BC 6.Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC BD vng góc với M P trung điểm AD Chứng minh MP  BC  MA.MC  MB.MD Bài 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định hình dạng tam giác ABC Phương pháp :  Tính AB  x  x1 2  y  y1 2 x  x 2  y  y 2 BC  CA  x1  x 2  y1  y 2 –Nêu AB = BC = CA =>Tam giác ABC –Nếu AB = AC =>Tam giác ABC cân –Nếu AB = AC BC = AB2 => Tam giác ABC vng cân B –Nếu BC2=AB2 +AC2 =>tam giác ABC vng A Thí dụ 1: TRong mpOxy cho tam giác ABC với A( 1;5) B(3;–1) C(6;0).Xác định hình dạng tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC GIẢI : AB  3  12  (1  5)  40 6  32  (0  1) BC   10 CA  1  62  5  02  50 CA  50 ; AB  BC  40  10  50  CA  AB  BC  ABC vuông B  S  2 2 BA.BC  10đvdt Thí dụ 2:Cho tam giác ABC với A(–1;3) B(3;5) C(2;2).Xác định hình dạng tam giác ABC ,Tính diện tích tam giác ABC chiều cao kẻ từ A AB  20 BC  10 ; CA  10  AB  2.BC  ABC vng cân A S=5đvdt  Thí dụ 3:Trong mpOxy cho A(4;0) B 2;2  Chứng minh tam giac OAB Tìm trực tâm tam giác OAB Giải : OA  OB  AB  2  42  2 30  4  OA  OB  AB   OAB  3  Trực tâm H tam giác OAB trọng tâm tam giác OAB  H 2;   Bài Tập : Cho tam giác ABC với A(1;0) B(–2;–1) C(0;3).Xác định hình dạng tam giác ABC Tìm Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: Vng A , Tâm I (–1;1) 2.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(0;2) B(m ; 0) C(m+3; 1) Định m để tam giác ABC vng A ĐS:m = –1 hay m =-2 Cho tam giác ABC biết A(–1;3) B(–3;–2) C(4;1) , Chứng minh tam giác ABC vng từ suy khoảng cách từ C đến AB 4.Ch điểm A (2 ; –1) B(–2;1) Tìm điểm M biết tung độ tam giác ABM vng C ĐS: M(1;2) M(–1;2) 5.Trong mpOxy cho điểm A(2;4) B(1 ; 1) Tìm điểm C cho tam giác ABC vng cân B ĐS: C(4;0) C(–2;2) Bài 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Phương pháp :  x  x  x y1  y  y  ; –Trọng tâm G   3   Tìm trực tâm H -Gọi H(x;y)là trực tâm tam giác ABC Tính AH  x  x1 ; y  y1  Tính AH.BC Tính BH  (x  x ; y  y ) ; BH.CA  AH.BC  Do H trực tâm   Giải hệ tìm x ; y  BH CA   Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I(x;y) Tính AI2=(x-x1)2+(y–y1)2 BI2=(x-x2)2+(y–y2)2 CI2=(x-x3)2+(y–y3)2 I tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác ABC AI = BI =CI Giải hệ tìm x ; y Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(5 ;4) B(2 ;7) C(–2 ;–1) a.Tìm trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b.Chứng minh I ; G ;H thẳng hang GIẢI  10    -  1 ; a)Gọi G trọng tâm tam giác ABC  G   G ;  3    Gọi H(x; y ) trực tâm tam giác ABC AH  x  5; y   ; BC  (4;8) AH, BC  4(x  5)  8(y  4)  4x  8y  52 BH  x  2; y   ; CA  (7;5) BH, CA  7(x  2)  5(y  7)  x  5y  49 11  x  4x  8y  52  11 14   H ;    H trực tâm tam giác ABC   3 3 7x  5y  49 y  14  Gọi I(x; y) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  x  (x  5)  (y  4)  (x  2)  (y  7) AI  BI  6x  6y  12         (x  5)  (y  4)  (x  2)  (y  1) AI  CI  14 x  10 y  36 y    2  2 b, IG  1;  IH  3;2   31;   3IG  I; G; H thẳng hàng  3  3 BÀI TẬP:  8  I ;   3 1.Cho tứ giác ABCD với A(3;4) B(4;1) C(2;–3;D(–1;6) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn HD: Tìm tâm I bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (ĐS: I(-1;1), Chứng minh IA =ID 2.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;–3) B(2;5) C(4;0).Xác định trực tâm H tam giác ABC  164 15  ĐS:  ;   31 31  3.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;4) B(–4;0) C(2;–2) Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam  1  giác ABC ĐS: I ;   2 4.Trong mpOxy cho điểm A(–2;–2) B(5 ;–4) a)Tìm điểm C cho trọng tâm tam giác ABC điểm G(2;0) ĐS:C(3;6) b)Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  169 47  ĐS I  ;   66 33  5.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;1) B(3;2) C(1;5) Tìm trực tâm H tam giác ABC ĐS:  21 25  H ;   11 11  Bài 5: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC A J Phương Pháp: –Tính AB ;AC; k =-AB/AC –Gọi D giao điểm đường phân giác góc A với cạnh BC  DB  k DC  tọa độ D –Tính BA BD =k’= –BA/BD –Gọi J giao điểm đường phân giác góc A góc B => JA  k' JD =>tọa độ J 1  Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–2;3) B  ;0  C(2;0) 4  Tìm tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC GIẢI AB  15 AB ; AC   k    AC Gọi D giao điểm phân giác góc A BC  DB   DC 1   x   2  x  x       D(1;0) y   y   0  y)  15 BA  ; BD   k'  5 4 Gọi J giao điểm phân giác góc B AD  JA  5JD  x    x  5(1  x)     3  y  5(0  y) y   1 1  J ;  2 2 Bài tập: 1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(2;6) B(–3;–4) C(5;0) a.Chứng minh tam giác ABC vng b.Tìm tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC ĐS : J(2;1) Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) C(4;-1).Tìm tâm J đương tròn nội tiếp tam giác ABC ĐS J(1;0)   15  ;2  B(12;15) C(0;3) Tìm tâm J đương tròn nội tiếp Trong mpOxy cho tam giác ABC với A   tam giác ABC ĐS J(-1;2) Bài 6: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3).Gọi A’ chân đường vng góc kẻ từ A lên BC.Tìm A’ Phương pháp: Gọi A’(x;y)  Tính AA'  (x  x1 ; y  y1 ) ; BC  (x  x ; y  y ) BA'  (x  x ; y  y ) (x  x1 )(x  x )  (y  y1 )(y  y )  AA'.BC    Giải hệ   x  x  t (x  x ) BA'  t BC y  y  t ( y  y )  Tìm x ; y theo t , Thay vào (1) tìm t từ đó x y Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1 ; 5) B(3;–1) C(6;0).Tìm chân đường cao B’ kẻ từ B lên CA GIẢI: Gọi B' (x; y) : BB'  (x  3; y  1) CA  (5;5) AB'  (x  1; y  5)  5(x  3)  5(y  1)  BB'.CA   B' chân đường cao kẻ từ B lên AC    x   5t AB'  t AC  y   5t   t  x   5t    y   5t  x   B' (5;1)  x  y  4 y     BÀI TẬP: 1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(3;–1) B(1;5) C(6;0) Gọi A’ chân đường cao kẻ từ A lên BC tìm A’ ĐS:A’(5;1) 6 8 2.Trong mpOxy cho điểm A(2;1) B(–2;4) Gọi H hình chiếu O lên AB Tìm H ĐS:H  ;  5 5 3.Trong mpOxy cho tam giác BAC với A(3;–4) B(–4;–2) C(1;3) Tìm chân đường cao A’ đường cao  37 156  kẻ từ A lên BC ĐS:A’   ;   53 53  Bài Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3),Tính cosA Phương pháp :  Tính AB ; AC  CosA   Tính AB AC; Tính AB.AC AB.AC AB.AC Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;3) B(2;2) C(–6;1).Tínhsố đo góc A AB  (2;1)  AB  AC  (6;2)  AC  40  10 AB.AC  12   10 cos A  AB.AC  10    A  135 AB.AC 10 II,DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Tính tích vơ hướng vecto Phương pháp:   -Áp dụng cơng thức a , b  a b cos a ; b  -Tính a ; a góc tạo vecto a ; b Thí dụ : Cho tam giác ABC vng cân A có AB =AC = a Tính AB.AC ; AC.CB GIẢI AB  AC  AB.AC  AC, CB  CA.CB  CA.CB cos 45  a 2 BÀI TẬP 1.Cho hình vng ABCD có cạnh a Tính AB.AD ; AB.AC  a ĐS: ; a2 2.Cho tam giác ABC vng C có AC = BC = Tính AB.AC ĐS:81 3.Cho tam giác ABC có AB=2 BC = CA = a.TínhAB.AC suy cos A b.Gọi G trọng tâm tam giác TínhAG.BC c.Tính GA.GB  GB.GC  GC.GA d.Gọi D giao điểm phân giác góc A với BC Tính AD theo AB; AC suy AD HD: BC  AC  AB bình phương vế : ĐS : - cos A   1 b.AG  AM  AB  AC  AG.BC  AB  AC AC  AB ĐS : 3 3 29 c.ĐS:  AD       Bài 2:Chưng minh đẳng thức vec tơ có lien quan đến tích vơ hướng hay đẳng thức độ dài Phương pháp : -Ta sử dụng phép tốn vec tơ tính chất tích vơ hướng -Về độ dài ta ý :AB2 = AB Thí dụ1 : Cho tam giác ABC M điểm 1.Chứng minh MA.BC  MB.CA  MC.AB  2.Gọi G trọng tâm tam giác chứng minh MA  MB2  MC  3MG  GA  GB2  GC2 3.Suy GA  GB2  GC  a  b  c  với a ; b ;c độ dài cạnh tam giác Chưng minh 10 VT  MA.(MC  MB)  MB(MA  MC)  MC(MB  MA)   MA.MC  MA.MB  MB.MA  MB.MC  MC.MB  MC.MA    2.MA  MA  MG  GA  MG  GA  2MG.GA    MG  GC MB  MB  MG  GB  MG  GB2  2MG.GB MC  MC 2  MG  GC  2MG.GC   VT  3MG  GA  GB2  GC  MG.GA  MG.GB  MG.GC     3MG  GA  GB2  GC  2MG GA  GB  GC  3MG  GA  GB2  GC 3.M  A  AB2  AC  4GA  GB2  GC M  B  BA  BC  4GB2  GA  GC M  C  CB2  AC  4GC  GB2  GA    GA  GB2  GC  2(a  b  c )  GA  GB2  GC   a  b2  c2  BÀI TẬP: 1.Cho điểm cố định A B M điểm H hình chiếu M lên AB I trung điểm AB.Chứng minh : AB2 AB2 a)MA.MB  MI  b)MA  MB2  2MI  c)MA  MB2  2AB.IH 2.Cho tứ giác ABCD a.Chứng minh AB2  BC2  CD2  DA  2AC.DB b Chưng minh điều kiện cần đủ để tứ giác ABCD có đường chéo vng góc :AB2+CD2=BC2+AD2 3.Cho tam giác ABC vng A có cạnh huyền BC = a3 Gọi M trung điểm BC biết a2 AM, BC  Tính AB AC ĐS : AB  a AC  a 4.Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi M N điểm thuộc đương tròn AM BN cắt I a.Chưng minh AI.AM  AI.AB ; BI.BN  BI.BA :b,Từ tính AI.AM  BI.BN theo R BC 6.Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC BD vng góc với M P trung điểm AD Chứng minh MP  BC  MA.MC  MB.MD 5.Cho tam giác ABC có trực tâm H M trung điểm BC Chứng minh MH.MA  Bài 3: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định hình dạng tam giác ABC Phương pháp :  Tính AB  x  x1 2  y  y1 2 BC  x  x 2  y  y 2 CA  x1  x 2  y1  y 2 –Nêu AB = BC = CA =>Tam giác ABC –Nếu AB = AC =>Tam giác ABC cân 11 –Nếu AB = AC BC = AB2 => Tam giác ABC vng cân B –Nếu BC2=AB2 +AC2 =>tam giác ABC vng A Thí dụ 1: TRong mpOxy cho tam giác ABC với A( 1;5) B(3;–1) C(6;0).Xác định hình dạng tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABC GIẢI : AB  3  12  (1  5)  40 6  32  (0  1) BC   10 CA  1  62  5  02  50 CA  50 ; AB2  BC  40  10  50  CA  AB2  BC  ABC vuông B  S  BA.BC  10đvdt Thí dụ 2:Cho tam giác ABC với A(–1;3) B(3;5) C(2;2).Xác định hình dạng tam giác ABC ,Tính diện tích tam giác ABC chiều cao kẻ từ A AB  20 BC  10 ; CA  10  AB  2.BC  ABC vng cân A S=5đvdt Thí dụ 3:Trong mpOxy cho A(4;0) B 2;2 Chứng minh tam giac OAB Tìm trực tâm tam giác OAB Giải :  OA  OB  AB  2  42  2 30   4  OA  OB  AB   OAB  3  Trực tâm H tam giác OAB trọng tâm tam giác OAB  H 2;    Bài Tập : Cho tam giác ABC với A(1;0) B(–2;–1) C(0;3).Xác định hình dạng tam giác ABC Tìm Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ĐS: Vng A , Tâm I (–1;1) 2.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(0;2) B(m ; 0) C(m+3; 1) Định m để tam giác ABC vng A ĐS:m = –1 hay m =-2 Cho tam giác ABC biết A(–1;3) B(–3;–2) C(4;1) , Chứng minh tam giác ABC vng từ suy khoảng cách từ C đến AB 4.Ch điểm A (2 ; –1) B(–2;1) Tìm điểm M biết tung độ tam giác ABM vng C ĐS: M(1;2) M(–1;2) 5.Trong mpOxy cho điểm A(2;4) B(1 ; 1) Tìm điểm C cho tam giác ABC vng cân B ĐS: C(4;0) C(–2;2) Bài 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Phương pháp :  x  x  x y1  y  y  ; –Trọng tâm G   3   Tìm trực tâm H 12 -Gọi H(x;y)là trực tâm tam giác ABC Tính AH  x  x1 ; y  y1  Tính AH.BC Tính BH  (x  x ; y  y ) ; BH.CA  AH.BC  Do H trực tâm   Giải hệ tìm x ; y  BH CA   Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi I(x;y) Tính AI2=(x-x1)2+(y–y1)2 BI2=(x-x2)2+(y–y2)2 CI2=(x-x3)2+(y–y3)2 I tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác ABC AI = BI =CI Giải hệ tìm x ; y Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(5 ;4) B(2 ;7) C(–2 ;–1) a.Tìm trọng tâm G , trực tâm H tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b.Chứng minh I ; G ;H thẳng hang GIẢI   -  1  10  a)Gọi G trọng tâm tam giác ABC  G ;   G ;    3  Gọi H(x; y ) trực tâm tam giác ABC AH  x  5; y   ; BC  (4;8) AH, BC  4(x  5)  8(y  4)  4x  8y  52 BH  x  2; y   ; CA  (7;5) BH, CA  7(x  2)  5(y  7)  x  5y  49 11  x   4x  8y  52  11 14  H trực tâm tam giác ABC      H ;  3 3 7x  5y  49 y  14  Gọi I(x; y) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  x  AI  BI (x  5)  (y  4)  (x  2)  (y  7)  x  y  12    8          I ;  2 2 AI  CI (x  5)  (y  4)  (x  2)  (y  1)  3  14 x  10 y  36 y    2  2 b, IG  1;  IH  3;2   31;   3IG  I; G; H thẳng hàng  3  3 BÀI TẬP: 1.Cho tứ giác ABCD với A(3;4) B(4;1) C(2;–3;D(–1;6) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn HD: Tìm tâm I bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (ĐS: I(-1;1), Chứng minh IA =ID 2.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;–3) B(2;5) C(4;0).Xác định trực tâm H tam giác ABC  164 15  ĐS:  ;   31 31  3.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–1;4) B(–4;0) C(2;–2) Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam  1  giác ABC ĐS: I ;   2 4.Trong mpOxy cho điểm A(–2;–2) B(5 ;–4) a)Tìm điểm C cho trọng tâm tam giác ABC điểm G(2;0) ĐS:C(3;6) 13  169 47  ĐS I  ;   66 33  5.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;1) B(3;2) C(1;5) Tìm trực tâm H tam giác ABC  21 25  ĐS: H ;   11 11  Bài 5: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3) Xác định tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC A Phương Pháp: –Tính AB ;AC; k =-AB/AC –Gọi D giao điểm đường phân giác góc A với cạnh BC  DB  k DC  tọa độ D J –Tính BA BD =k’= –BA/BD –Gọi J giao điểm đường phân giác góc A góc B B D => JA  k' JD =>tọa độ J b)Tìm tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C 1  Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(–2;3) B  ;0  C(2;0) 4  Tìm tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC GIẢI 15 AB AB  ; AC   k    AC Gọi D giao điểm phân giác góc A BC  DB   DC 1   x   2  x  x       D(1;0) y    y   0  y)  15 BA  ; BD   k'  5 4 Gọi J giao điểm phân giác góc B AD  JA  5JD  x    x  5(1  x) 1 1      J ;  2 2 3  y  5(0  y) y   Bài tập: 1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(2;6) B(–3;–4) C(5;0) a.Chứng minh tam giác ABC vng b.Tìm tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC ĐS : J(2;1) Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) C(4;-1).Tìm tâm J đương tròn nội tiếp tam giác ABC ĐS J(1;0) 14   15  Trong mpOxy cho tam giác ABC với A ;2  B(12;15) C(0;3) Tìm tâm J đương tròn nội tiếp   tam giác ABC ĐS J(-1;2) Bài 6: Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3).Gọi A’ chân đường vng góc kẻ từ A lên BC.Tìm A’ Phương pháp: Gọi A’(x;y)  Tính AA'  (x  x1 ; y  y1 ) ; BC  (x  x ; y  y ) BA'  (x  x ; y  y ) (x  x1 )(x  x )  (y  y1 )(y  y )  AA'.BC    Giải hệ   x  x  t (x  x ) BA'  t BC y  y  t ( y  y )  Tìm x ; y theo t , Thay vào (1) tìm t từ đó x y Thí dụ :Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(1 ; 5) B(3;–1) C(6;0).Tìm chân đường cao B’ kẻ từ B lên CA GIẢI: Gọi B' (x; y) : BB'  (x  3; y  1) CA  (5;5) AB'  (x  1; y  5)  5(x  3)  5(y  1)  BB'.CA   B' chân đường cao kẻ từ B lên AC    x   5t AB'  t AC  y   5t   t  x   t     y   5t  x   B' (5;1)  x  y  4 y     BÀI TẬP: 1.Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(3;–1) B(1;5) C(6;0) Gọi A’ chân đường cao kẻ từ A lên BC tìm A’ ĐS:A’(5;1) 6 8 2.Trong mpOxy cho điểm A(2;1) B(–2;4) Gọi H hình chiếu O lên AB Tìm H ĐS:H  ;  5 5 3.Trong mpOxy cho tam giác BAC với A(3;–4) B(–4;–2) C(1;3) Tìm chân đường cao A’ đường cao  37 156  kẻ từ A lên BC ĐS:A’   ;   53 53  Bài Trong mp Oxy cho tam giác ABC với A(x1;y1) B(x2;y2) C(x3;y3),Tính cosA Phương pháp :  Tính AB ; AC  Tính AB AC; Tính AB.AC AB.AC AB.AC Thí dụ : Trong mpOxy cho tam giác ABC với A(0;3) B(2;2) C(–6;1).Tínhsố đo góc A  CosA  15 AB  (2;1)  AB  AC  (6;2)  AC  40  10 AB.AC  12   10 cos A  AB.AC  10    A  135 AB.AC 10 ************************************************************************************** BÀI TẬP TÍCH VƠ HƯỚNG 1.Cho hai vectơ a b Chứng minh :  2 2 2 2 2  2  2  2 a b =  a  b  a  b  =  a  b  a  b  =  a  b  a  b        2.Cho hai vectơ a , b có a = , b = 12 a + b = 13.Tính tích vơ hướng a ( a + b ) suy góc hai vectơ a a + b 3.Cho tam giác ABC cạnh a Gọi H trung điểm BC,tính a) AH BC b) AB AC c) AC CB 4.Cho hình vng ABCD tâm O,cạnh a.Tính: a) AB AC b) OA AC c) AC CB Tam giác ABC có AC = ,BC = ,C = 90o ,tính AB AC Tam giác ABC có AB = ,AC = ,A = 120o a)tính AB BC b) Gọi M trung điểm AC tính AC MA Tam giác ABC có AB = ,BC = ,CA = a)Tính AB AC suy giá trị góc A b)Tính CA CB c)Gọi D điểm cạnh CA cho CD = CA Tính CD CB 8.Cho hai vectơ a b thỏa mãn | a | = , | b | = ( a , b ) = 120o Với giá trị m hai vectơ a + m b a – m b vng góc Tam giác ABC có AB = ,AC = góc A = 60o Trên tia AC lấy điểm M đặt AM = k AC Tìm k để BM vng góc với trung tuyến AD tam giác ABC 10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a hai trung tuyến BM, CN vng góc Tính cosA 11 Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11 a)Tính AB AC b)Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N cho AN = 4.Tính AM AN 12.Cho O trung điểm AB,M điểm tuỳ ý Chứng minh : MA MB = OM2 – OA2 16 13.Cho hình vng ABCD tâm O, M điểm thuộc cạnh BC.Tính MA AB MO AB 14.Cho tứ giác ABCD , I trung điểm BC, chứng minh : a) AB AC = IA2 – IB2 b) AB AC = (AB2 + AC2 – BC2) c) AB CD = (AD2 + BC2 – AC2 – BD2) 15.Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh : MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 16.Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a,b,c Gọi G trọng tâm,hãy tính: a) AB AC b) GA GB c) GA GB + GB GC + GC GA d) Chứng minh : BC CA + CA AB + AB BC = – (a2 + b2 + c2) e)Tính AG theo a ,b ,c 17.Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh : BC AD + CA BE + AB CF = 18.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N hai điểm (O) I = AM∩BN Chứng minh : a) AI AM = AI AB b) BI BN = BI BA c) AI AM + BI BN = 4R2 19.Cho điểm A,B,C,D tuỳ ý a) Chứng minh : AB CD + AC DB + AD BC = b)Từ chứng minh tam giác,ba đường cao đồng qui 20.Cho tam giác ABC cân A.Gọi H trung điểm BC,và D hình chiếu H AC, M trung điểm HD Chứng minh AM BD 21.Cho hình vng ABCD Gọi M N trung điểm BC CD Chứng minh : AN  DM 22.Cho hình chữ nhật ABCD Gọi K hình chiếu vng góc B AC, M N trung điểm AK DC Chứng minh : BM  MN 23.Cho hình thang ABCD vng A B AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b Tìm điều kiện a ,b ,h để a) AC  BD b) IA  IB với I trung điểm CD 24.Cho tam giác ABC có AB = ;AC = A = 45o Gọi L chân đường phân giác góc A a)Tính AB AC b)Tính AL theo AB AC  độ dài AL c)M điểm cạnh AC cho AM = x Tìm x để AL  BM 25.Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a A = 120o a) Tính BC BA BC b)Gọi N điểm cạnh BC cho BN = x Tính AN theo AB AC ,x 17 c)Tìm x để AN  BM 26.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng: AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = AC DB 27.Cho tam giác ABC có H trực tâm M trung điểm BC Chứng minh : MH MA = BC2 28.Cho tứ giác ABCD Hai đường chéo cắt O Gọi H ,K trực tâm tam giác ABO CDO; I J trung điểm AD BC Chứng minh HK  IJ 28.Cho đường tròn (O;R) hai dây cung AA’ ,BB’ vng góc S Gọi M trung điểm AB chứng minh rằng: SM  A’B’ 29.Cho tam giác ABC Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn : a) AM AB = AC AB b) MA2 + MA MB + MA MC = c) MA2 = MC MA d) ( MA + MB ).( MA + MC ) = e) ( MA – MB ).(2 MB – MC ) = 30.Cho điểm A cố định nằm ngồi đường thẳng , H hình chiếu A .Với điểm M , ta lấy điểm N tia AM cho AN AM = AH2 Tìm quĩ tích điểm N 31.Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với M,gọi P trung điểm đoạn thẳng AD Chứng minh MP  BC  MA MC = MB MD 32* Xác định dạng tam giác ABC biết rằng: ( AB BC ) CA + ( BC CA ) AB +( CA AB ) BC = AC 33.Cho hình vng ABCD,điểm M nằm đoạn thẳng AC cho AM = N trung điểm đoạn thẳng DC,chứng minh BMN tam giác vng cân 34.Cho AA’ dây cung đường tròn (O) M điểm nằm dây cung Chứng minh MA MO = MA(MA – MA’) 35.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm M cho góc AMB ,BMC ,CMA 120o Các đường thẳng AM ,BM ,CM cắt đường tròn (O) A’ ,B’ ,C’ Chứng minh rằng: MA + MB + MC = MA’ + MB’ + MC’ 36*.Cho tam giác ABC có cạnh Gọi D điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB , M trung điểm cạnh CB a)Xác định đường thẳng AC điểm N cho tam giác MDN vng D.Tính diện tích tam giác b)Xác định đường thẳng AC điểm P cho tam giác MPD vng M.Tính diện tích tam giác c) Tính cosin góc hợp hai đường thẳng MP PD 37.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M điểm tuỳ ý,chứng minh : 18 a) MA + MC = MB + MD b) MA MC = MB MD c) MA2 + MC2 = MB2 + MD2 d) MA2 + MB MD = MA MO 38.Cho tam giác ABC hình vng ABED, ACHI ,BCGH Chứng minh : I a) ( AD + BF ) AC = b) ( AD + BF + CH ) AC = D H c) AD + BF + CH = A E d) AE + BG + CI = 39.Cho tam giác ABC vng A, AB = c, AC = b Gọi M điểm cạnh BC cho CM = 2BM, N B điểm cạnh AB cho BN = 2AN C a) Tính vectơ AM CN theo hai vectơ AB AC b)Tìm hệ thức liên hệ b c cho AM  CN 40.a)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O,R) M điểm tuỳ ý đường tròn Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 b) Tổng qt tốn cho đa giác n cạnh F 41*.Cho lục giác A1A2…A6 nội tiếp đường tròn (O,R) vàGmột điểm M thay đổi đường tròn Chứng minh : ˆA = ˆ A + …+ cos MO ˆ A + cos MO a) cos MO 2 2 b) MA1 + MA2 + …+ MA6 số ( = 12R2) 42*.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R) ,M điểm đường tròn a)Chứng minh : MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 b)Chứng minh : MA2 + MB MC = 3R2 c)Suy M cung nhỏ BC MA = MB + MC 43.Cho tam giác ABC có A = 60o ,AB = ,AC = , gọi M trung điểm BC a)Tính độ dài đoạn AM độ dài đường phân giác góc A 44* Tam giác ABC có tính chất gì,biết rằng: ( AB BC ) CA + ( BC CA ) AB + ( CA AB ) BC = 45.Cho tam giác ABC có AB = AC = , góc BAC = 120o nội tiếp đường tròn tâm I Gọi D trung điểm AB E trọng tâm tam giác ADC a)Tính AB AC b)AH đường cao tam giác ABC.Tính AH theo AB AC c)Chứng minh IE  CD 46.Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M ,N ,P ,Q trung điểm đoạn thẳng AC, BD, BC AD Đặt u = AB , v = AC , w = AD 1 a)Chứng minh : MN = ( u + w – v ) ; PQ = ( u + v – w ) b)Chứng minh :nếu MN = PQ AB  CD.Điều ngược lại có khơng? 19 47.Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a ,b ,c Gọi D trung điểm AB I điểm thỏa IA + IB – IC = a)Chứng minh BCDI hình bình hành b)Tính CI AB theo a ,b ,c c)M điểm tùy ý, chứng minh : MA2 + 3MB2 – 2MC2 = 2MI2 + IA2 + 3IB2 – 2IC2 d)Khi M chạy đường thẳng (d) cố định,hãy tìm vị trí M để biểu thức MA2 + 3MB2 – 2MC2 nhỏ 48.Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý a)Chứng minh vectơ v = MA + MB – MC khơng phụ thuộc vị trí điểm M b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh : 2MA2 + MB2 – 3MC2 = MO v c)Tìm quĩ tích điểm M cho 2MA2 + MB2 = 3MC2 49.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1) Chứng minh rằng: tam giác ABC vng cân A 50 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1) a)Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành b)Kẻ đường cao AH Tìm tọa độ chân đường cao H 51.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) D(0;– 2) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD hình thang cân 52.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0) a)Chứng minh rằng: điểm A ,B ,C tạo thành tam giác b)Tính góc B tam giác ABC 53.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M thay đổi trục hồnh.Tìm giá trị nhỏ MA + MB 54.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn 55.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn 20 ... ĐS : -      ĐS : Bài 2:Chưng minh đẳng thức vec tơ có lien quan đến tích vơ hướng hay đẳng thức độ dài Phương pháp : -Ta sử dụng phép tốn vec tơ tính chất tích vơ hướng -Về độ dài ta ý...  10 AB.AC  12   10 cos A  AB.AC  10    A  135 AB.AC 10 II,DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Tính tích vơ hướng vecto Phương pháp:   -Áp dụng cơng thức a , b  a b cos a ; b  -Tính... c.ĐS:  AD       Bài 2:Chưng minh đẳng thức vec tơ có lien quan đến tích vơ hướng hay đẳng thức độ dài Phương pháp : -Ta sử dụng phép tốn vec tơ tính chất tích vơ hướng -Về độ dài ta ý