Phơng pháp giải dạng toán liên quan Đ1 Vectơ Dạng toán 1: Mở đầu vectơ Thí dụ Cho OAB vuông cân với OA = OB = a Hãy dựng vectơ sau tính độ dài chúng: uuur OA + 21 uuur OA uuur OB , + 2.5 uuur OA uuur OB , uuur OB , 14 uuur OA uuur OA +4 uuur OB uuur OB Giải a Với C đỉnh thứ t hình vuông OACD, ta có ngay: O uuur uuur uuur OA OB OC + = , theo quy tắc hình bình hành Từ đó, suy ra: uuur uuur uuur OA OB OC a B + = = OC = b Ta có ngay: uuur uuur uuur OA OB BA = , quy tắc hiệu hai vectơ cùngOgốc A uuur uuur uuur OA OB a BA = = BA = B uuur uuur OA OB c Để dựng vectơ +4 ta lần lợt thực hiện: Trên tia OA lấy điểm A1 cho OA1 = 3OA Trên tia OB lấy điểm B1 cho OB1 = 4OB B1 Dựng hình chữ nhật OA1C1B1 Từ đó, ta có: uuuur uuuu r uuuur uuur uuur OA1 OB1 OC1 OA OB +4 = + = uuuur uuur uuur OA12 + C1A12 OC1 OA OB +4 = = OC1 = = 5a d Thực tơng tự câu c), ta dựng đợc vectơ a 541 21 uuur uuur OB OA + 2.5 = e Thực tơng tự câu c), ta dựng đợc vectơ 21 uuur OA 14 uuur OA + 2.5 A C A1 C1 uuur OB uuur OB và 14 uuur OA uuur OB = a 6073 28 Thí dụ Cho ABC có cạnh a Tính độ dài vectơ tổng uuur AB + uuur AC Giải Gọi M trung điểm BC, lấy điểm A đối xứng với A qua M, A1 B ta có ABA1C hình bình hành, suy ra: uuuur uuur uuur AA1 AC AB M + = uuur AB + uuur AC = uuuur AA1 = 2AM = a A = a C Chú ý: Với em học sinh cha nắm vững kiến thức tổng hai vectơ thờng kết luận rằng: uuur AB + uuur AC = uuur AB + uuur AC = a + a = 2a Dạng toán 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Phơng pháp áp dụng Ta lựa chọn hớng biến đổi sau: Hớng 1: Biến đổi vế thành vế lại (VT VP VP VT) Khi đó: Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực việc đơn giản biểu thức Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực việc phân tích vectơ Hớng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh đẳng thức biết Hớng 3: Biến đổi đẳng thức vectơ biết thành đẳng thức cần chứng minh Hớng 4: Tạo dựng hình phụ Khi thực phép biến đổi ta sử dụng: Quy tắc ba điểm: uuur AB uuur AC uuu r CB = + Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD có: uuur uuur uuur AC AB AD = + Hiệu hai vectơ gốc uuur uuu r uuur CB AB AC = Tính chất trung điểm: Với điểm M tuỳ ý I trung điểm AB có: uuu r MI uuuu r MA uuur MB = ( + ) Tính chất trọng tâm tam giác: Với ABC có trọng tâm G ta có: uuur uuur uuur r GA GB GC + + = uuuu r uuuu r uuuu r uuur MC MG MA MB + + =3 , với M tuỳ ý Các tính chất phép cộng, trừ vectơ phép nhân số với vectơ uuur uuur uuur CD BC AB Thí dụ Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh + + = uuur AD Giải Ta trình bày theo ba cách sau: Cách 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur BC CD AC CD AB AD VT = ( + )+ = + = , đpcm Cách 2: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur BC CD AB AB BD AD VT = +( + )= + = , đpcm Cách 3: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC CD BC CD AD AB = + = + + , đpcm Cách 4: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur BC CD AD AB BD AB = + = + + , đpcm Nhận xét: Việc trình bày thí dụ theo bốn cách mang tính chất minh hoạ cho ý tởng sau: Với cách cách 2, gom hai vectơ có "điểm cuối vectơ thứ trùng với điểm đầu vectơ thứ hai" từ sử dụng chiều thuận quy tắc ba điểm Với cách cách 4, sử dụng chiều ngợc lại quy tắc ba điểm, cụ thể "với vectơ uuur AB xen thêm vào điểm tuỳ ý để từ phân tích đợc vectơ thành tổng hai vectơ" uuur AB Thí dụ Cho điểm A, B, C, D Chứng minh uuu r CB uuur AB + uuur CD = uuur AD + Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur CD CD CB AD DB AD DB AD VT = ( + )+ = + + = + = VP Cách 2: Ta có: uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur AC CB CD AC CD CB CB AD VT = ( + )+ = + + = + = VP Cách 3: Biến đổi tơng đơng biểu thức dạng: uuur uuur uuu r uuur uuur uuur CB CD DB = DB AB AD = , Điều phải chứng minh Cách 4: Biến đổi tơng đơng đẳng thức dạng: r uuur uuur uuur uuur uuur uuu uuur uuur uuur uuur BC DC AC AC AB CB AD CD AB AD = + = + = , Nhận xét: Để thực chứng minh đẳng thức vectơ cho lựa chọn hớng biến đổi VT thành VP hai cách giải có chung ý tởng, cụ thể việc lựa chọn vectơ xuất phát AB ta có: Trong cách 1, ta ý thức đợc cần tạo xuất AD vectơ ta xen vào điểm D Trong cách 2, ta ý thức đợc cần tạo xuất CB vectơ ta xen vào điểm C Từ nhận xét hẳn em học sinh thấy đợc thêm có cách khác để giải toán, cụ thể: Hai cách với việc lựa chọn vectơ xuất phát Hai cách theo hớng biến đổi VP thành VT CD Thí dụ Cho M N lần lợt trung điểm đoạn thẳng AB CD Chứng minh rằng: uuuu r MN = uuur AC + uuur BD = uuur AD Giải a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có phân tích: uuur uuuu r uuur uuuu r AC MN NC AM = + + , (1) + uuur BC A D M N B C uuur BD = uuuu r BM + uuuu r MN + uuur ND (2) uuuu r AM r uuuu r BM uuur NC uuur ND r Cộng theo vế (1) (2) với lu ý + = + = (vì M N lần lợt trung điểm đoạn thẳng AB CD), ta đợc: uuur uuuu r uuur AC MN BD + =2 , đpcm (*) Cách 2: Ta có phân tích: uuuu r uuuu r uuur uuur MN = MA + AC + CN , (3) uuuu r uuur uuur uuur MN = MB + BD + DN , (4) uuuu r uuur r uuur uuur r MA + MB = NC + ND = Cộng theo vế (3) (4) với lu ý (vì M N lần lợt trung điểm đoạn thẳng AB CD), ta đợc: uuuu r uuur uuur MN AC BD = + , đpcm b Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AC DC BC CD BC BD AD AD + = + + + = + , đpcm (**) Từ (*) (**) ta đợc đẳng thức cần chứng minh Thí dụ Cho O tâm hình bình hành ABCD Chứng minh với điểm M bất kì, ta có: uuuu r MO Giải Ta có: uuuu r MA + uuur MB = + uuuu r MO = uuuu r MC + uuur OA uuuu r MA ( + uuur MB + uuuu r MC + uuuu r MD ) uuuu r MD uuuu r MO uuur OB uuuu r MO uuur OC uuuu r MO + + + + + + uuuu r uuur uuur uuur uuur uuuu r MO OA OC OB OD MO =4 +( + )+( + )=4 uuuu r MA ( + uuur MB + uuuu r MC + uuuu r MD )= uuuu r MO + uuur OD , đpcm Chú ý: Các em học sinh trình bày thêm cách biến đổi VT thành VP Thí dụ Cho ABC Gọi M, N, P lần lợt trung điểm BC, CA, AB Chứng minh rằng: uuuu r AM + uuur BN + uuu r CP = r Giải Sử dụng quy tắc trung điểm ta biến đổi: VT = = uuur uuur (AB + AC) + uuur uuur (BA + BC) uuur uuu r (CA + CB) + uuur uuur uuur uuur uuu r uuu r (AB + BA + AC + CA + BC + CB) , đpcm Thí dụ Cho A1B1C1 A2B2C2 lần lợt có trọng tâm G1, G2 Chứng minh rằng: uuuuur A1A + uuuuu r B1B2 + uuuuu r C1C =3 uuuuur G 1G Giải Với G1, G2 tâm A1B1C1 A2B2C2, ta có: uuuuur uuuuu r uuuuu r r G1A1 G1B1 G1C1 + + = (1) uuuuuu r uuuuur uuuuur r G 2A2 G B2 G 2C2 + + = (2) Mặt khác, ta có: uuuuur uuuuur uuuuur uuuuuu r A1A A1G1 G1G G 2A2 = + + (3) uuuuu r uuuuu r uuuuur uuuuur B1B2 B1G1 G1G G B2 = + + (4) uuuuu r uuuuu r uuuuur uuuuur C1C C1G1 G 1G G C2 = + + (5) Cộng theo vế (3), (4), (5) sử dụng kết (1) (2), ta đợc: uuuuur uuuuu r uuuuu r uuuuur A1A B1B2 C1C G1G + + =3 , đpcm Thí dụ Cho ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC, cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN a Chứng minh uuur AK = uuur AB + uuur AC b Gọi D trung điểm BC Chứng minh Giải a Từ giả thiết ta nhận thấy: AB = 2AM uuuu r uuur uuur uuuu r AB AM AB AM =2 ; AC = 3AN uuur uuur AC AN KD uuur AC = =3 uuur AB uuur AN + uuur AC Vì K trung điểm MN nên: uuur AK uuuu r AM uuur AN uuur AD uuur AB uuur AC 1 uuur 2 AB = ( + )= ( b Vì D trung điểm BC nên: = ( từ đó, suy ra: KD = uuur AD uuur AK + + )= uuur AB + uuur AC , đpcm ) uuur AB = uuur AC ( + uuur AC )( uuur AB + uuur AC )= uuur AB + uuur AC , đpcm Dạng toán 3: Xác định điểm M thoả đẳng thức vectơ cho trớc Phơng pháp áp dụng Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trớc dạng: uuuu r OM = r v , điểm O cố định vectơ r v biết Thí dụ Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O uuur uuur uuur r OA + OB + OC = a Chứng minh b Hãy xác định điểm M, N, P cho: uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur OM OA + OB ON OB + OC OP OC + OA = ; = ; = Giải a Vì ABC nên O trọng tâm ABC, ta có ngay: uuur uuur uuur r A OA + OB + OC = M b Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự trung điểm BC, AC,C1AB O Dựng hình bình hành AOBM việc lấy điểm M đối uuuu r uuur uuur B C OM OA + OB xứng với O qua C1, ta có đợc = Các điểm N, P đợc xác định tơng tự Thí dụ Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: uuuu r MA uuur MB + uuuu r MC = r (*) Giải M đổi (*) dạng: Biến A B C uuur BA Từ uuuu r MC uuuu r MC r uuur AB + = = ABCM hình bình hành đó, để xác định điểm M ta thực hiện: Kẻ Ax // BC Kẻ Cy // AB Giao Ax Cy điểm M cần tìm Thí dụ Cho ABC đều, nội tiếp đờng tròn tâm O a Hãy xác định điểm M, N, P cho: uuuu r OM P = uuur OA + uuur uuur OB ON M b Chứng minh , uuur OA = + uuur OB uuur OB + + uuur uuu r OC OP uuur OC , = r = uuur OC + uuur OA A Giải a Dựa theo quy tắc hình bình hành, ta lần lợt có: O Với điểm M thoả mãn: C B uuuu r uuur uuur N OM OA OB = + M đỉnh thứ t hình bình hành AOBM CM đờng kính (O), ABC Với điểm N thoả mãn: uuur uuur uuur ON OB OC = + N đỉnh thứ t hình bình hành BOCN AN đờng kính (O), ABC Với điểm P thoả mãn: uuu r uuur uuur OP OC OA = + P đỉnh thứ t hình bình hành AOCP BP đờng kính (O), ABC Vậy, điểm M, N, P nằm đờng tròn (O) cho CM, AN, BP đờng kính đờng tròn (O) uuur uuuu r OC MO b Dựa vào kết câu a) = , ta có ngay: uuur uuur uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r r uuuur OA OB OC OM MO MO OM MM + + = + = + = = Thí dụ Cho ABC a Tìm điểm I cho b Tìm điểm K cho uur IA +2 uuur KA uur IB +2 = uuur KB r = uuu r CB c Tìm điểm M cho uuuu r MA + uuur MB +2 uuuu r MC = r Giải a Ta biến đổi: uur uuur r uur uur uuur (IA + AB) IA IA AB = +2 =3 +2 uur IA b Ta biến r = uuur AB = , suy điểm I đợc hoàn toàn xác định đổi: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur BC KC KA KB KB KA KB + +( + )= + + K trọng tâm ABC c Gọi E, F, N trung điểm AB, BC, EF, ta có: uuuu r uuuu r uuuu r r uuuu r uuur uuur uuur MC MC MN MA MB ME MF =( + )+( + )=2 +2 =4 M N Thí dụ Cho trớc hai điểm A, B hai số thực , thoả mãn + a Chứng minh tồn điểm I thoả mãn b Từ đó, suy với điểm M, ta có: uuuu r uuur uuu r MA + MB = ( + ) MI uur IA + uur IB = r Giải a Ta có: r r r uur uur uur uur uuur uur uuur 0 IA IB IA IA AB IA AB + = + ( + ) = ( + ) + = uur uuur uur uuur + AB AI AB AI ( + ) = = uuur + AB Vì A, B cố định nên vectơ không đổi, tồn điểm I thoả mãn điều kiện đầu b Ta có: uuuu r uuur uuu r uur uuu r uur uuu r uur uur MA MB MI IA MI IB MI IA IB + = ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) uuu r MI = ( + ) , đpcm Nhận xét quan trọng: Nếu = = điểm I trung điểm AB Bài toán đợc mở rộng tự nhiên cho ba điểm A, B, C ba số thực , , cho trớc thoả mãn + + 0, tức là: a Tồn điểm I thoả mãn: uur r uur uur IC IA IB + + = b Từ suy với điểm M, ta có uur uuuu r uuur uuu r IC MA MB MI + + = ( + + ) = = = I trọng tâm ABC n 1, n Việc mở rộng cho n điểm Ai, i = n số thực i, i = dành cho bạn đọc Kết đợc sử dụng để giải toán: 1, n thoả mãn i =1 i 0, xin n 1, n Cho n điểm Ai, i = n số thực i, điểm cố định I cho đẳng thức vectơ n uuuuu r uuu r i MAi 1, n thoả mãn i =1 i Tìm số thực k MI i =1 =k , (1) thoả mãn với điểm M Phơng pháp giải Vì (1) thoả mãn với điểm M, với M I, đó: n uuur i IA i r ur i =1 II =k = (2) Xác định đợc điểm I từ (2) Từ (2), suy n n uuuuu r MA i i i uuur i =1 MI i =1 = Từ (1) (3), suy ra: n i uuu r i =1 MI (3) n =k uuu r MI k= i =1 i Thí dụ Cho tứ giác ABCD, M điểm tuỳ ý Trong trờng hợp tìm số k điểm cố định I, J, K cho đẳng thức vectơ sau thoả mãn với điểm M a b uuuu r MA uuuu r MA + + uuur MB uuur MB =k +2 uuu r MI uuuu r MC =k uuu r MJ 10 c uuuu r MA + uuur MB + uuuu r MC +3 uuuu r MD =k uuuu r MK Giải a Vì (1) thoả mãn với điểm M, với M I, đó: r uur uur ur IA IB II + =k = Từ (1.1), ta đợc: uur IA uur IA uuur AB r uur IA uuur AB +( + )= = Từ (1.1), ta đợc: uuuu r uuur uuu r uuu r MA MB MI MI + = (2 + 1) =3 Từ (1) (1.2), suy ra: uuu r MI (1.1) xác định đợc điểm I (1.2) uuu r MI =k k = b Vì (2) thoả mãn với điểm M, với M J, đó: uur uur uur uu r r JA JB JC JJ + +2 =k = (2.1) Gọi E trung điểm AB, từ (2.1), ta đợc: uur uur r JE JC +2 = J trung điểm CE Từ (2.1), ta đợc: uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuur MC MJ MJ MA MB + +2 = (1 + + 2) =4 (2.2) Từ (2) (2.2), suy ra: uuu r uuu r MJ MJ =k k = c Vì (3) thoả mãn với điểm M, với M K, đó: uuur r uuur uuur uuur uuur KC KA KB KD KK + + +3 =k = (3.1) Gọi G trọng tâm ABC, từ (3.1), ta đợc: uuur r uuur KG KD +3 = K trung điểm GD Từ (3.1), ta đợc: uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuuu r MC MA MB MD MK + + +3 =6 (3.2) Từ (3) (3.2), suy ra: uuuu r uuuu r MK MK =k k = 11 Chú ý: Bài toán tìm điểm đợc mở rộng thành toán tìm tập hợp điểm (quĩ tích) Với toán quĩ tích ta cần nhớ rằng: uuuu r MA uuur MB Nếu | | = | |, với A, B cho trớc M thuộc đờng trung trực đoạn AB uuuu r uuur MC AB | | = k| |, với A, B, C cho trớc M thuộc đờng tròn tâm C, bán kính k.AB uuur uuuu r BC MA Nếu =k , với A, B, C cho trớc a Với k Ă điểm M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC Ă b Với k + điểm M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC uuur BC theo hớng Ă c Với k điểm M thuộc nửa đờng thẳng qua A song song với BC uuur BC ngợc hớng Thí dụ Cho ABC, tìm tập hợp điểm M thoả mãn: a uuuu r MA +k b (1 k) uuur MB uuuu r MA k + uuuu r MC uuur MB = k r uuuu r MC = r (1) (2) Giải a Ta biến đổi (1) dạng: uuuu r uuur uuur uuuu r uuuu r MC MB BC MA MA = k( ) =k M thuộc đờng thẳng qua A song song với BC b Ta biến đổi (2) dạng: uuuu r r uuuu r uuur uuuu r MC MA MB MA + k( + )= Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB AC, ta đợc: r uuur uuur uuur uuur ME MF ME MF (3) 2k = =k M thuộc đờng trung bình EF ABC (3) Dạng toán 4: Biểu diễn vectơ thành tổ hợp vectơ Phơng pháp áp dụng Ta lựa chọn hai hớng: 12 Hớng 1: Từ giả thiết xác định đợc tính chất hình học, từ khai triển vectơ cần biểu diễn phơng pháp xen điểm hiệu hai vectơ gốc Hớng 2: Từ giả thiết thiết lập đợc mối liên hệ vectơ đối tợng, từ khai triển biểu thức phơng pháp xen điểm hiệu hai vectơ gốc r uur uur IA IB Thí dụ Cho đoạn thẳng AB điểm I cho +3 = uur AI a Tìm số k cho =k uuur AB b Chứng minh với điểm M ta có uuu r MI = uuuu r MA + uuur MB Giải a Biến đổi giả thiết: r =2 uur IA +3 uur IB =5 uur IA + 3( uur IB uur IA ) = uur AI +3 uuur AB uur AI uuur AB = Vậy, với k = thoả mãn điều kiện đầu b Biến đổi giả thiết: r uur uur uuuu r uuu r uuur uuu r IA IB MA MI MB MI =2 + = 2( ) + 3( ) uuu r MI =2 uuuu r MA +3 uuur MB uuu r MI = uuuu r MA + uuur MB , đpcm Thí dụ Cho OAB Gọi M, N lần lợt trung điểm hai cạnh OA OB Hãy tìm số m n thích hợp đẳng thức sau đây: uuuu r OM uuur AN =m =m uuur OA uuur OA +n +n uuur OB uuur OB Giải a Ta có uuuu r OM đẳng thức b Ta có: = =m ; uuur MB =m =m M A uuur OA uuuu r OM ; uuuu r MN uuur OA +n uuur OB có m = uuur OA uuur OA O +n +n uuur OB uuur OB ; ; N B n = 13 uuuu r MN uuur AB uuur OB uuur OA uuur OA uuur OB = ( )= + 1 uuuu r uuur uuur MN OA OB 2 đẳng thức =m +n có m = n = c Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur AN AO ON OA OB = + = + uuur uuur uuur AN OA OB đẳng thức =m +n có m = n = d Ta có: uuur uuuu r uuur uuur uuur MO OB OB OA MB = + = + uuur uuur uuur OA OB MB đẳng thức =m +n có m = n = r uuur r uuur a GA b GB Thí dụ Gọi G trọng tâm ABC Đặt = = Hãy biểu thị r r uuur uuur uuur uuur a b AB GC BC CA vectơ , , , qua vectơ = Giải a Sử dụng quy tắc hiệu hai vectơ gốc, ta có ngay: uuur uuur r r uuur GB GA b a AB = = b Vì G trọng tâm ABC nên: uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r r GA GB GC GC GA GB a b + + = = = c Sử dụng quy tắc hiệu hai vectơ gốc kết b), ta có: uuur uuur uuur r r r r r BC GC GB a b b a b = = = d Sử dụng quy tắc hiệu hai vectơ gốc kết b), ta có: uuur uuur uuur r r r r r CA GA GC a a b a b = = ( ) = + Thí dụ Cho ABC Gọi M, N, P lần lợt trung điểm BC, CA, AB Tính vectơ uuur AB , uuur uuur BC CA , Giải Ta lần lợt có: uuur AB = uuuu r uuur AM + MB = theo vectơ uuuu r uuur uuuu r 3GM + (GB GM) = uuur BN uuu r CP uuuu r uuur 2GM + GB 14 =2 = uuur BC r uuur uuu BN CP 3 = uuur CA Vectơ uuur uuur uuur (GB + GC) + GB uuur uuur GC GB = = uuur uuur 2GB + GC = r uuur uuu BN CP 3 P r uuur uuu CP + BN 3 uuur AB uuuu r MC r C M Thí dụ Cho ABC a Tìm điểm M N cho: uuur MB G N B đợc biểu diễn tơng tự uuuu r MA A uuur NA uuur NB uuur NC r + = , + + = b Với điểm M N câu a), tìm số p q cho: uuuu r MN =p uuur AB +q uuur AC Giải a Ta lần lợt thực hiện: r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuur uuur uuur MC MC MC MC MA MB BA AB AB = + = + = + = M đỉnh thứ t hình bình hành ABCM r uuur uuur uuur uuur uuur NA NB NC NA NE =2 + + =2 +2 , với E trung điểm BC uuur uuur r NA NE + = N trung điểm AE b Ta có biểu diễn: uuuu r MN = uuuu r MA uuur AB + uuur AN uuur AC = uuu r CB + uuur AB uuur AE uuur AC uuur AB uuur AC =( )+ ( + )= Thí dụ Cho ABC trọng tâm G Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI J điểm BC kéo dài cho 5JB = 2JC uuur uur uur uuur AC AI AJ AB A a Tính , theo uuur uur uur AG AJ AI b Tính theo G Giải a Ta có: J B I C 15 2CI = 3BI uur uur IC IB 2( uuur AC uur AI = Ta có: 5JB = 2JCI uur uur JB JC uur AJ =3 ) = 3( uuur AB uur AI uur IC + uuur AB uuur AC uur JB uur IB =2 )5 uuuu r AM uuur AB uur AI uur AJ uuur AG 35 uur 48 AI uur 16 AJ =3 uuur AB uur JC 5( uur AJ uuur AB uuur AB uur AJ uuur AB uuur AC ) = 2( uuur AC uuur AB uuur AC = + = Thay (4) vào (3) ta nhận đợc: 25 uur 16 AI uur 16 AJ uuur AC uuur AC = = ( + )= ( + Mặt khác từ hệ tạo (1) (2), ta nhận đợc: = +2 uuur AC (1) =5 = b Gọi M trung điểm BC, ta có: uuur AG uur AI uuur AC uuur AB uur AI uur AJ ) (2) ) (3) (4) Dạng toán 5: Chứng minh hai điểm trùng Phơng pháp áp dụng Muốn chứng minh hai điểm A1 A2 trùng nhau, ta lựa chọn hai cách sau: uuuuur Cách 1: Chứng minh Cách 2: Chứng minh A1A uuuur OA1 = uuuur OA với O điểm tuỳ ý uuur uuur CD AB Thí dụ Chứng minh = trung điểm hai đoạn thẳng AD BC trùng Giải Ta có: Nếu uuur AB = trùng uuur CD = r ABCD hình bình hành Do đó, AD BC có trung điểm 16 Nếu AD BC có trung điểm trùng ABCD hình bình hành Do đó: uuur AB = uuur CD Thí dụ Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lợt trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh hai tam giác MPR NQS có trọng tâm Giải Gọi G trọng tâm MPR, ta có: uuuu r uuu r uuur r GM GP GR + + = (1) Lại có: uuuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r GM GA GB GP GC GD GR GE GF = + ,2 = + , = + uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r GM GP GR GA GB GC GD GE GF 2( + + )= + + + + + Suy ra: uuur uuur uuur uuur uuur uuu r r GA GB GC GD GE GF + + + + + = (do(1)) Do đó: uuur uuu r uuur uuur uuur uuur r GA GF GB GC GD GE ( + )+( + )+( + )= uuur uuur uuu r uuur r uuu r uuur r GQ GQ GS GN GS GN +2 +2 = + + = Vậy, ta đợc G trọng tâm SNQ Tóm lại, MPR NQS có trọng tâm Dạng toán 6: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phơng pháp áp dụng Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: uuur AB uuur AC Ă =k ,k (1) Để nhận đợc (1), ta lựa chọn hai hớng: Hớng 1: Sử dụng quy tắc biến đổi vectơ biết uuur uuur AC AB Hớng 2: Xác định vectơ thông qua tổ hợp trung gian Chú ý: Ta có kết quả: Cho ba điểm A, B, C Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng là: uuuu r MC uuuu r MA uuur MB = + (1 ) , với điểm tuỳ ý M số thực 17 uur IA Thí dụ Cho ABC, lấy điểm I, J thoả mãn = Chứng minh IJ qua trọng tâm G ABC Giải uur IB uur IB Viết lại = dới dạng: r uur uur IA IB = uur uur r JA JC Biến đổi +2 = dạng: uur ur uur ur r uur ur uur IC IJ IC IJ IA IJ IA 3( ) + 2( )= +2 =5 Trừ theo vế (1) cho (2), ta đợc: uur ur uur ur uur uur IC IJ IG IJ IA IB 2( + + )=5 = I, J, G thẳng hàng , uur JA + uur JC = r uur IA (1) (2) Thí dụ Cho ABC Gọi O, G, H theo thứ tự tâm đờng tròn H ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm ABC Chứng minh rằng: O a uuur AH uuur OH =2 uuur OE uuur OA A , với E trung điểm BC uuur OB uuurA1 OC b = + + c Chứng minh O, G, H thẳng hàng B E Giải a Gọi A1 điểm đối xứng với A qua O, ta đợc: BH // CA1 cù ng vu ông góc vớ i AC CH // BA1 cù ng vu ông góc vớ i AB A1BHC hình bình hành uuur uuur OE AH A1, E, H thẳng hàng =2 , đpcm b Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OH OA OA OE OA OB OC AH = + = +2 = + + , đpcm c Ta có: uuur OG = uuur OA ( + uuur OB + uuur OC )= uuur OH O, G, H thẳng hàng Thí dụ Cho ABC, lấy điểm M, N, P thoả mãn: uuuu r MA uuur MB r uuur AN uuur AC + = ,3 = Chứng minh M, N, P thẳng hàng r , uuu r PB =2 uuu r PC Giải 18 Ta có: uuur uuu r uuuu r MP AP AM = , (1) uuuu r uuur uuu r MN AN AP = (2) uuu r uuuu r uuur uuur uuur AP, AM, AN AC AB Ta tính theo , cụ thể từ giả thiết: uuuu r MA + uuur MB uuur AN = uuur AC r uuuu r uuur AM = AB uuur AN r (3) uuur AC = = uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r (AC AP) PC AB + 2AC AB AP AP =2 =2 = Thay (3), (4), (5) vào (1) (2) ta đợc: uuu r PB uuur MP uuuu r MN = uuur uuur AB + 2AC uuur AC uuur AB uuur uuur AB 2AC = = + = Từ (6) (7) ta nhận thấy: uuuu r MN = uuur MP uuur uuur AB + 2AC uuur uuur AB AC (4) (5) (6) (7) M, N, P thẳng hàng Dạng toán 7: Xác định đặc tính K đối tợng S thoả mãn đẳng thức vectơ Phơng pháp áp dụng Phân tích đợc định tính xuất phát từ đẳng thức vectơ giả thiết Lu ý tới hệ thức biết trung điểm đoạn thảng trọng tâm tam giác Thí dụ Cho ABC, có cạnh a, b, c trọng tâm G thoả mãn: uuur GA uuur GB uuur GC r uuur GB uuur GC a + b + c = Chứng minh ABC tam giác Giải Ta có: uuur GA uuur GB uuur GC r uuur GA + + = = Thay (2) vào (1), ta đợc: uuur uuur uuur uuur r GB GC GB GC a.( ) + b + c = (1) (2) 19 uuur GB uuur GC r (b a) + (c a) = (3) uuur uuur GB GC Vì hai vectơ không phơng, (3) tơng đơng với: b a = c a = a = b = c ABC tam giác Thí dụ Cho tứ giác ABCD Giả sử tồn điểm O cho: uuur uuur uuur uuur | OA |=| OB |=| OC |=| OD | uuur uuur uuur uuur r OA + OB + OC + OD = Chứng minh ABCD hình chữ nhật Giải Từ phơng trình thứ hệ , ta suy ra: O tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA , từ phơng ta đợc: r uuur uuur uuur uuur uuuu r uuu r uuuu r uuu r OA OB OC OD OM OP OM OP = + + + =2 +2 + = M, P, O thẳng hàng O trung điểm MP uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur uuur OQ OQ OA OB OC OD ON ON = + + + =2 +2 + = N, Q, O thẳng hàng O trung điểm NQ Từ (2), (3), suy MNPQ hình bình hành suy A, C, O thẳng hàng O trung điểm AC B, D, O thẳng hàng O trung điểm BD Do ABCD hình bình hành Từ (1) (4) suy ABCD hình chữ nhật (1) trình thứ hai hệ r (2) r (3) (4) 20 ... vectơ ta xen vào điểm C Từ nhận xét hẳn em học sinh thấy đợc thêm có cách khác để giải toán, cụ thể: Hai cách với việc lựa chọn vectơ xuất phát Hai cách theo hớng biến đổi VP thành VT CD Thí... (3) Dạng toán 4: Biểu diễn vectơ thành tổ hợp vectơ Phơng pháp áp dụng Ta lựa chọn hai hớng: 12 Hớng 1: Từ giả thiết xác định đợc tính chất hình học, từ khai triển vectơ cần biểu diễn phơng pháp. .. AJ ) (2) ) (3) (4) Dạng toán 5: Chứng minh hai điểm trùng Phơng pháp áp dụng Muốn chứng minh hai điểm A1 A2 trùng nhau, ta lựa chọn hai cách sau: uuuuur Cách 1: Chứng minh Cách 2: Chứng minh