MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Bài toán tìm giá trị lớn giá trị nhỏ dạng toán phổ biến, thường xuất đề thi tuyển sinh vào lớp 10, tốt nghiệp THPT, tuyển sinh đại học cao đẳng, đề thi học sinh giỏi, học sinh thường gặp không khó khăn giải loại toán Vì để giúp em học sinh tự tin làm tốt loại toán này, riêng Thầy cô giáo đồng nghiệp xem tài liệu tham khảo bổ ích, mạnh dạng đưa số phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số mà áp dụng việc giảng dạy cho học sinh nhiều năm qua đạt kết tốt Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: + Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số (hoặc biểu thức) + Một số bất đẳng thức quen thuộc, tính chất bất đẳng thức + Một số phương pháp thường sử dụng để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số (hoặc biểu thức) + Ứng dụng phương pháp vào việc giải số tập cụ thể - Phạm vi nghiên cứu: toàn kiến thức có liên quan lớp 10, lớp 11, lớp 12, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp 2, cấp 3, ôn thi đại học, cao đẳng, THCN Phương pháp nghiên cứu: Trên sở định nghĩa khái niệm mối liên hệ khái niệm với khái niệm khác có liên quan, đề tài phân tích, tổng hợp để đưa số phương pháp để giải vấn đề NỘI DUNG Chương I GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D ⊂ R Giá trị M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số f(x) tập D nếu:  f ( x) ≤ M ∀x ∈ D  ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = M Giá trị m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số f(x) tập D nếu:  f ( x) ≥ m ∀x ∈ D  ∃x0 ∈ D : f ( x0 ) = m Ta ký hiệu GTLN GTNN hàm số f (x) lần lược là: M = max f ( x) x∈D m = max f ( x) x∈D * Đối với hàm biểu thức nhiều biến ta có định nghĩa tương tự * Từ định nghĩa thông thường để tìm GTLN GTNN ta tiến hành bước sau: - Bước 1: lập bất đẳng thức dạng f ( x ) ≤ M f ( x ) ≥ m Với M, m số - Bước 2: Xét xem dấu đẳng thức sảy - Bước 3: kết luận Max theo yêu cầu Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng (a; b): giá trị cực đại hay giá trị cực tiểu hàm số (a; b) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số nửa khoảng, đoạn [a; b]: Lập bảng biến thiên hàm số, dựa vào bảng biến thiên ta suy kết cần tìm 1.2 Bất đẳng thức Côsi Bunhiacôpski: 1.2.1 Bất đẳng thức Côsi: Cho a, b hai số không âm, ta có bất đẳng thức: xãy a= b -2- a+b ≥ ab Dấu Tổng quát: với n số không âm, ta có bất đẳng thức a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an Dấu xãy khi: a1 = a2 = = an n 1.2.2 Bất đẳng thức Bunhiacôpski: Với bốn số thực ta có: ac + bd ≤ a + b c + d Dấu xãy khi: a c = b d Tổng quát: Với hai số thực (a1; a2;…; an) (b1; b2;…; bn) Ta có: (a1b1 + a2b2 + + anbn ) ≤ (a12 + a22 + + an2 )(b12 + b22 + + bn2 ) Dấu xãy a1 a2 a = = = n b1 b2 bn Chú ý: ta phải thêm, bớt, tách nhóm, chia, nhân số hạng để đưa dạng áp dụng trực tiếp 1.3 Tam thức bậc hai: 1.3.1 Định nghĩa tam thức bậc hai: Tam thức bậc hai biểu thức f ( x) = ax + bx + c Trong x ẩn, a, b, c hệ số a≠ Nghiệm tam thức nghiệm phương trình bậc hai f(x)=0 1.3.2 Định lý: ĐL1: Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) ∆ = b − 4ac + Nếu ∆ < a f ( x) > ∀x ∈ R + Nếu ∆ = a f ( x) ≥ ∀x ∈ R f ( x) = ⇔ x = − b 2a + Nếu ∆ > f(x) có hai nghiệm x1 , x2 a f ( x) > ∀x ∈ (−∞; x1 ) ∪ ( x2 ; + ∞) ; a f ( x) < ∀x ∈ ( x1 ; x2 ) ĐL2: Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) số thực α Nếu a f (α ) < f(x) có hai nghiệm x1 , x2 x1 < α < x2 1.3.3 Đồ thị hàm số f ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) : Dựa vào đồ thị ta có:  b  + Nếu a>0 f ( x) ≥ f  − ÷∀x ∈ R  2a  -3-  b  + Nếu a 0) , dấu xãy A=B=0 2.1.2 Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức P ( x, y ) = x + y − x + y + Phân tích: + Ta thấy: P ( x, y ) = x − x + y + y + = ( x − x + 1) + ( y + y + 1) + + Nên: P ( x, y ) = ( x − 1) + ( y + 1) + ≥ ∀x, y ∈ R x −1 = x = ⇔ Vậy: P =  y + =  y = −1 + Dấu “ =” sảy  3x + x + 10 Ví dụ 2: Tìm GTLN hàm số : f ( x ) = x + 2x + Phân tích: 3x + x + 10 3( x + x + 2) + + f ( x) = = x + 2x + x2 + x + + f ( x) = + 4 =3+ ≤7 x + 2x + ( x + 1) + + Dấu “ =” Sảy x+1=0 hay x=-1 Vậy: maxf(x) = x=-1 Ví dụ 3: Cho x > Tìm x để biểu thức M = Phân tích: -5- x đạt giá trị lớn ( x + 2000) + Vì x > nên M = x → > M → max ⇔ ( x + 2000) M x + x.2000 + 20002 x − 2.2000 x + 20002 + 4.2000 x + = ( x + 2000) = = M x x x = ( x − 2000) + 8000 ≥ 8000 x + Dấu “=” sảy x = 2000 nên + Vậy maxM = = 8000 x=2000 M đạt x = 2000 8000 Ví dụ 4: Cho x + y + z = Tìm GTLN GTNN biểu thức: T = xy + yz + zx Phân tích: + Từ ( x + y + z ) ≥ ⇒ x + y + z + 2( xy + yz + zx ) ≥ Dấu xãy x+y+z=0 + Khi đó: + 2T ≥ ⇔ T ≥ − 1 ;z = − Dấu xãy khi: x = 0; y = 2 2 Vậy T = − ( x − y ) ≥  2 2 + Ta có : ( y − z ) ≥ ⇒ 2( x + y + z ) ≥ 2( xy + yz + zx) ( z − x ) ≥  + Suy T ≤ Dấu sảy x = y = z = ± Vậy: maxT = x = y = z = ± 3 2.2 Phương pháp đưa việc khảo sát tam thức bậc hai: 2.2.1 Phương pháp: - Biến đổi biểu thức đưa phương trình bậc hai : ax + bx + c = (a ≠ 0) - Áp dụng tính chất tam thức bậc hai: + Nếu phương trình có nghiệm ∆ = b − 4ac ≥ + Nếu ∆ ≤ af ( x ) ≥ ∀x -6- - Kết hợp với định nghĩa, đưa kết - Xét toán tìm GTLN GTNN hàm số y = ax + bx + c với x ∈ R mx + nx + k * Áp dụng phương pháp trên, ta có: + Biến đổi: y (mx + nx + k ) = ax + bx + c ⇔ (my − a ) x + (ny − b) x + ky − c = + Từ điều kiện có nghiệm phương trình ( ∆ ≥ ), ta suy y ≤ M y ≥ m ta tìm GTLN GTNN * Chú ý: Ta cần xét A = so sánh giá trị y hai trường hợp A ≠ A = Đồ thị hàm số y = ax + bx + c = (a ≠ 0) parabol với đỉnh có tọa ∆   b ; − ÷  2a 4a  độ S  − Nếu dùng ẩn phụ để đưa dạng bậc hai phải ý điều kiện kèm theo 2.1.2 Các ví dụ: x2 + Ví dụ 5: Tìm GTLN GTNN hàm số y = x −x+2 + Tập xác định hàm số R + Biến đổi đưa pt bậc hai ẩn x: y = x2 + ⇔ ( y − 1) x − yx + y − = (*) x −x+2 + Xét trường hợp: y -1 = ⇔ y = ta có x = -1 + Xét trường hợp: y -1 ≠ ⇔ y ≠ Phương trình (*) có nghiệm x nên ∆ ≥ hay y − 4( y − 1)(2 y − 3) ≥ ⇔ −7 y + 20 y − 12 ≥ ⇔ ≤ y≤2 + So sánh hai trường hợp ta có: Maxy = x =1 Miny = x=-3 Ví dụ 6: Tìm GTLN GTNN hàm số: y = sin x − sin x + + Đặt t = sinx Điều kiện t ∈ [ −1;1] , ta y = t2 – t + 4, tung độ đỉnh t = -7- ∈ [ −1;1]   15 + Suy Maxy = Max { y ( −1); y (1)} = y (−1) = Miny= ys= y  ÷ = 2 Ví dụ 7: Tìm GTLN GTNN hàm số y = + x + − x − (3 + x)(6 − x) 3 + x ≥ ⇔ −3 ≤ x ≤ 6 − x ≥ + Điều kiện  + Đặt t = + x + − x > ⇒ t = + + x − x ≥ ⇒ t ≥ + Mặt khác: t = + x + − x ≤ = (BĐT BCS) t2 − 9 + Do f ( x ) = g (t ) = t − = − t + t + với ≤ t ≤ 2 2 t2 − 9 + g (t ) = t − = − t + t + parabol với đỉnh S có hoành độ t=1 2 ( ) < ≤ nên Minf =Ming= g = − ; Maxf =Maxg=g(3)=3 Ví dụ 8: Tìm GTLN GTNN hàm số y = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) + Ta có y = ( x − x + 4)( x − x + 6) + Đặt t = x − x + = ( x − ) − 9 Ta có: t ≥ − 4 Miny=y(-1)=-1 x → +∞ y → +∞ nên không tồn giá trị lớn + Xét hàm số y = f (t ) = t + 2t với t ≥ − Dựa vào bảng biến thiên ta 2.3 Phương pháp tọa độ vectơ: 2.3.1 Phương pháp: - Chọn vectơ với tọa độ thích hợp - Áp dụng bất đẳng thức vectơ để đưa định nghĩa 2.3.2 Các ví dụ: Ví dụ 9: Cho x, y, z thỏa mãn 2x + 2y – z – = Tìm GTNN biểu thức P = (1 − x) + (2 − y ) + (3 − z ) + Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét điểm A(1; 2; 3) mặt phẳng (α ) có phương trình: 2x + 2y – z – = + Nếu M(x ; y ;z)∈ (α ) thì: AM = (1 − x ) + (2 − y ) + (3 − z ) -8- + Mà AM ≥ d ( A,(α )) = 2+ 4−3−9 + +1 = nên P= (1 − x) + (2 − y ) + (3 − z ) ≥ dấu “=” xãy M(x; y; z) chân đường vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng (α ) + Vậy MinP=4 2.4 Phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi Bunhiacôpsky-shwarz: * Phương pháp: - Áp dụng bất đẳng thức thích hợp, kết hợp với định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ để đến kết cần tìm - GTLN hay GTNN đạt dấu xãy * Các ví dụ: Ví dụ 10: Tìm GTLN biểu thức: A= ab c − + bc a − + ca b − Với a ≥ 3; b ≥ 4; c ≥ abc + Thu gọn, ta có: A = + Phân tích: c−2 = c−2 a −3 b−4 + + c a b (c − 2).2 = (c − 2).2 2 + Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm c-2 ta có: c−2 ≤ (c − 2) + c c−2 = Dấu “=” xãy c–2=2 ⇔ ⇒ ≤ 2 2 c 2 c=4 + Tương tự: a −3 ≤ Dấu “=” xãy a– 3= ⇔ a = a b−4 1 ≤ = Dấu “=” xãy b– 4= ⇔ b = b 4 + Vậy MaxA = 2 + + a=6; b=8; c=4 Ví dụ 11: Tìm GTNN hàm số y = x + với x >0 x2 -9- + Phân tích: y = x + x= 1 = x + x + ≥ 3 x.x = Dấu “=” xãy x x x ⇔ x3 = ⇔ x = > Vậy Miny=3 x Ví dụ 12: Cho x, y, z >0 thỏa mãn điều kiện x +y +z = Tìm GTLN biểu thức Q= x y z + + x +1 y +1 z +1 + Từ bất đẳng thức quen thuộc: với a, b, c >0 ta có 1 1 1 (a + b + c)( + + ) ≥ ⇔ + + ≥ a b c a b c a +b+c + Biến đổi Q = ≤ 3− x +1−1 y +1−1 z +1−1 1 + + = 3−( + + ) x +1 y +1 z +1 x +1 y +1 z +1 9 = − = Dấu “=” xãy x = y = z = x +1+ y +1+ z +1 4 + Vậy MaxQ = Ví dụ 13: Cho x,y z thỏa điều kiện x + y + z = Tìm GTLN GTNN biểu thức P=x+y+z+xy+yz+zx + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski – swharz ta có : x + y + z ≤ 3( x + y + z ) = xy + yz + zx ≤ x + y + z x + y + z = x + y + z = 1 + Suy P ≤ + Dấu “=” xãy x=y=z= Vậy MaxP= + + Mặt khác: ( x + y + z ) = x + y + z + 2( xy + yz + zx) = + 2( xy + yz + zx ) ( x + y + z ) − ( x + y + z + 1)2 − + Suy P = x + y + z + = ≥ −1 2 Dấu “=” xãy x=-1; y= 0; z= Vậy MinP=-1 Ví dụ 14: Cho ba góc a, b, c cho a+b+c= π Tìm GTLN biểu thức : T = tga.tgb + + tgb.tgc + + tgatgc + - 10 - + Ta có a + b = π − c ⇒ tan(a + b) = cot c hay tana.tanb+tanb.tanc+tana.tanc= + Khi đó: T = tan a.tan b + + tan b.tan c + + tan a.tan c + ≤ tan a.tan b + tan b.tan c + tan a.tan c + = + = Dấu “=” xãy a = b = c = π Vậy MaxT= 2.5 Phương pháp đạo hàm: 2.5.1 Phương pháp: - Lập bảng biến thiên hàm số - Dựa vào bảng biến thiên để kết luận 2.5.2 Các ví dụ: Ví dụ 15: Tìm GTNN hàm số f ( x ) = + khoảng ( 0;1) 1− x x x2 + x − − = + Ta có f '( x ) = ; f '( x ) = ⇔ x = −1 ± (1 − x) x x (1 − x) + Bảng biến thiên: x -1+ f'(x) - + f(x) 3+2 + Vậy Minf ( x ) = + 0< x