UBND THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG PHÂN LỚP CÁC PHẠM TRÙ PICARD PHÂN BẬC VÀ ỨNG DỤNG Mã số: CS2013-11 Chủ nhiệm đề tài: ThS Chế Thị Kim Phụng TP Hồ Chí Minh, 03/2014 UBND THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG PHÂN LỚP CÁC PHẠM TRÙ PICARD PHÂN BẬC VÀ ỨNG DỤNG Mã số: CS2013-11 Chủ nhiệm đề tài: ThS Chế Thị Kim Phụng TP Hồ Chí Minh, 03/2014 i MỤC LỤC Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phạm trù Picard 1.2 Phạm trù Picard phân bậc 1.3 Đối đồng điều đối xứng Γ-môđun Chương Phân lớp phạm trù Picard phân bậc ứng dụng 10 2.1 Hệ nhân tử lấy giá trị phạm trù Picard 10 2.2 Hệ nhân tử lấy giá trị phạm trù Picard kiểu (M, N ) 16 2.3 Mở rộng Γ-môđun 22 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu nước Vào đầu năm 1940, lý thuyết phạm trù hàm tử giới thiệu nhà toán học người Mỹ Mac Lane nhà toán học người Ba lan Eilenberg kết công bố Eilenberg Mac Lane [11, 12] Sau đó, vấn đề tiếp tục nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, điển hình nghiên cứu Mac Lane [23, 24, 25], Buchsbaum [3, 4, 5], Freyd [26], Gabriel [16], Lubkin [22], Heller [18], Eilenberg [14], Phạm trù với tích tenxơ nghiên cứu Bénabou [1] Kelly [19], Mac Lane [27], Các tác giả xét phạm trù có trang bị phép toán ⊗ với ràng buộc kết hợp, ràng buộc đơn vị trái ràng buộc đơn vị phải Năm 1971, Mac Lane [30] bổ sung số điều kiện khớp cho ràng buộc trang bị phạm trù với tích tenxơ đưa khái niệm phạm trù monoidal cho lớp phạm trù Phạm trù monoidal trở thành phạm trù với cấu trúc nhóm bổ sung thêm khái niệm vật khả nghịch (xem Laplaza [21] Rivano [33]) Hơn nữa, phạm trù bao gồm mũi tên đẳng cấu ta phạm trù monoidal giống nhóm hay Gr-phạm trù (xem Fr¨ohlich Wall [15] H X Sính [34]) Lý thuyết phạm trù monoidal phân bậc giới thiệu Fr¨ohlich Wall [15], mở rộng lý thuyết phạm trù monoidal nhóm Γ bổ sung Sau đó, toán phân lớp phạm trù monoidal phân bậc giải Cegarra, Garzon Ortega [6] Một số kết gần theo hướng nghiên cứu thuộc Cegarra, Garzón Ortega [7, 8], Vitale [35], Cegarra Khmaladze [9, 10], N T Quang [32] 2 Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết phạm trù hàm tử lĩnh vực quan trọng đại số đại, nhiều nhà toán học nước nghiên cứu thu kết quan trọng Một vấn đề quan tâm nghiên cứu lý thuyết phạm trù hàm tử toán nghiên cứu cấu trúc số dạng phạm trù monoidal Trong thời gian gần đây, vấn đề nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Qua thời gian tìm hiểu, nhận thấy hướng mở tiếp tục nghiên cứu phát triển, chẳng hạn nghiên cứu toán phân lớp phạm trù Picard phân bậc ứng dụng Bên cạnh đó, việc giải toán phân lớp phạm trù Picard ứng dụng tạo hướng nghiên cứu tốt cho giảng viên sinh viên Khoa Toán - Ứng dụng, Trường Đại học Sài Gòn Mục tiêu đề tài Nghiên cứu toán phân lớp phạm trù Picard phân bậc ứng dụng Cách tiếp cận phương pháp nghiên cứu 4.1 Cách tiếp cận - Tiếp cận hệ thống: Đọc tài liệu có liên quan đến lĩnh vực nghiên cứu đề tài, đặc biệt báo công bố tạp chí khoa học quốc tế xuất thời gian gần - Tiếp cận định tính: Xét cấu trúc đặc trưng hệ nhân tử phạm trù Picard để giải toán phân lớp phạm trù Picard phân bậc 4.2 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu tham khảo; - Trao đổi thông tin với Người hướng dẫn, nhóm nghiên cứu tác giả khác có hướng nghiên cứu; viết cho tạp chí khoa học để kiểm tra kết nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu 5.1 Đối tượng nghiên cứu: Phạm trù Picard phân bậc 5.2 Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết phạm trù monoidal đại số đồng điều Nội dung nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, đề tài gồm có hai chương Chương trình bày phần kiến thức chuẩn bị bao gồm số khái niệm kết bổ trợ có liên quan đến nội dung chương Mục 1.1 trình bày phạm trù Picard Mục 1.2 dành để trình bày phạm trù Picard phân bậc Mục 1.3 đề cập đến đối đồng điều đối xứng Γ-môđun Chương phân lớp phạm trù Picard phân bậc phương pháp hệ nhân tử Mục 2.1 phạm trù Picard phân bậc P tương đương với mở rộng tích chéo hệ nhân tử F : Γ → Z3s lấy hệ tử phạm trù Picard kiểu (π0 P, π1 P) (Định lý 2.1.5) Mục 2.2 chứng minh phạm trù Picard phân bậc P cảm sinh cấu trúc Γ-môđun nhóm aben M = π0 P, N = π1 P (M, N ) (Định lý 2.2.2).Mục cảm sinh 3-đối chu trình chuẩn tắc h ∈ ZΓ,s 2.3 trình bày phân lớp mở rộng Γ-môđun nhờ vào hàm tử monoidal đối xứng phân bậc (Định lý 2.3.2) CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số khái niệm kết phạm trù Picard (xem H X Sính [34]), phạm trù Picard phân bậc đối đồng điều đối xứng Γ-môđun (xem Cegarra Khmaladze [9]) Những nội dung làm sở cho chương 1.1 Phạm trù Picard 1.1.1 Định nghĩa Một phạm trù monoidal đối xứng ⊗-phạm trù C với vật đơn vị I đẳng cấu tự nhiên a = (aX,Y,Z ), c = (cX,Y ), l = (lX ) r = (rX ) với X, Y, Z ∈ C , ∼ aX,Y,Z : (X ⊗ Y ) ⊗ Z −→ X ⊗ (Y ⊗ Z), ∼ cX,Y : X ⊗ Y −→ Y ⊗ X, ∼ lX : I ⊗ X −→ X, ∼ rX : X ⊗ I −→ X, thỏa mãn điều kiện sau đây: aX,Y,Z⊗T ◦ aX⊗Y,Z,T = (idX ⊗ aY,Z,T ) ◦ aX,Y ⊗Z,T ◦ (aX,Y,Z ⊗ idT ), (idX ⊗ lY ) ◦ aX,I,Y = rX ⊗ idY , cX,Y ◦ cY,X = idX⊗Y , (idY ⊗ cX,Z ) ◦ aY,X,Z ◦ (cX,Y ⊗ idZ ) = aY,Z,X ◦ cX,Y ⊗Z ◦ aX,Y,Z Các đẳng cấu tự nhiên a, c, l r tương ứng gọi ràng buộc kết hợp, ràng buộc giao hoán, ràng buộc đơn vị trái ràng buộc đơn vị phải Giả sử C C hai phạm trù monoidal đối xứng Một hàm tử monoidal đối xứng từ C đến C ba (F, F , F ) bao gồm: (i) hàm tử F : C → C , ∼ (ii) đẳng cấu hàm tử F = (FX,Y ) với FX,Y : F (X ⊗ Y ) → F X ⊗ F Y , ∼ (iii) mũi tên đẳng cấu F : F I → I cho với vật X, Y, Z ∈ C , điều kiện khớp sau thỏa mãn: FX⊗Y,Z ◦ (FX,Y ⊗ idF Z ) ◦ aF X,F Y,F Z = F (aX,Y,Z ) ◦ FX,Y ⊗Z ◦ (idF X ⊗ FY,Z ), FX,I ◦ (idF X ⊗ F ) ◦ rF X = F (rX ) , FI,X ◦ (F ⊗ idF X ) ◦ lF X = F (lX ), FX,Y ◦ cF X,F Y = F (cX,Y ) ◦ FY,X Hàm tử monoidal đối xứng (F, F , F ) từ phạm trù monoidal đối xứng C đến phạm trù monoidal đối xứng C gọi tương đương monoidal đối xứng F : C → C hàm tử tương đương Khi đó, hai phạm trù monoidal đối xứng C C gọi tương đương monoidal đối xứng với Giả sử (F, F , F ) (G, G, G) hai hàm tử monoidal đối xứng từ phạm trù monoidal đối xứng C đến phạm trù monoidal đối xứng C Mũi tên hàm tử θ : F −→ G gọi mũi tên hàm tử monoidal đối xứng GX,Y ◦ θX⊗Y = θX ⊗ θY ◦ FX,Y , G ◦ θI = F Mũi tên hàm tử monoidal đối xứng gọi đẳng cấu hàm tử monoidal đối xứng mũi tên θ đẳng cấu hàm tử 1.1.2 Định nghĩa Một phạm trù monoidal đối xứng gọi phạm trù Picard (hay Pic-phạm trù ) vật khả nghịch mũi tên đẳng cấu Nếu (F, F , F ) hàm tử monoidal đối xứng hai phạm trù Picard đẳng cấu F : F I → I suy từ F F , ta bỏ qua F không cần thiết Giả sử P Pic-phạm trù, Π0 (P) nhóm aben lớp vật đẳng cấu P Π1 (P) = Aut(0) nhóm aben tự đẳng cấu vật đơn vị Các phần tử trung hòa Π0 (P) Π0 (P) ký hiệu Xây dựng phạm trù S bao gồm vật phần tử có dạng x ∈ Π0 (P), mũi tên tự đẳng cấu có dạng (x, u) : x → x với u ∈ Π1 (P) Phép hợp thành mũi tên cho (x, u) ◦ (x, v) = (x, u + v) Phép toán ⊗ cho x ⊗ y = x + y, (x, u) ⊗ (y, v) = (x + y, u + v) Ràng buộc đơn vị chặt chẽ (theo nghĩa lx = rx = idx ) Ràng buộc kết hợp a ràng buộc giao hoán c liên kết với hàm ξ η thỏa mãn đẳng thức: ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0, (1.1.1) ξ(x, y, z) − ξ(y, x, z) + ξ(y, z, x) + η(x, y + z)η(x, y) − η(x, z) = 0, (1.1.2) η(x, y) + η(y, x) = (1.1.3) thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc ξ(0, y, t) = ξ(x, 0, y) = ξ(x, y, 0) = Phạm trù S xây dựng Pic-phạm trù gọi Picphạm trù thu gọn Pic-phạm trù P hay gọi Pic-phạm trù kiểu (Π, A), Π = Π0 (P) A = Π1 (P) ký hiệu S = (Π, A) 1.1.3 Định nghĩa Giả sử P P Pic-phạm trù, S = (Π, A) S = (Π , A ) Pic-phạm trù thu gọn P P Một hàm tử F : S → S gọi hàm tử kiểu (ϕ, f ) tồn cặp đồng cấu nhóm ϕ:Π→Π, f :A→A cho điều kiện sau thỏa mãn: F (x) = ϕ(x) , F (x, u) = (ϕ(x), f (u)) 1.1.4 Định lý Giả sử S = (Π, A) S = (Π , A ) Pic-phạm trù thu gọn P P , F = (F, F , F ) hàm tử monoidal đối xứng từ S đến S Khi đó, F hàm tử kiểu (ϕ, f ) 1.2 Phạm trù Picard phân bậc Giả sử Γ nhóm Ta xem Γ phạm trù với vật ∗, mũi tên phần tử Γ phép hợp thành phép toán nhóm Khi phạm trù C với hàm tử gr : C → Γ gọi Γ-phạm trù (hay phạm trù phân bậc) Hàm tử gr : C −→ Γ gọi Γ-phân bậc C Nếu f : X −→ Y mũi tên phạm trù C gr(f ) = σ σ gọi bậc mũi tên f f gọi σ -mũi tên Γ-phân bậc gr gọi Γ-phân bậc ổn định với X ∈ Ob(C) σ ∈ Γ tồn mũi tên đẳng cấu u C với nguồn X cho gr(u) = σ Giả sử (C, gr) Γ-phạm trù Ta ký hiệu C ×Γ C phạm trù phạm trù tích C × C mà vật vật (X, Y ) C × C mũi tên cặp mũi tên (f, g) C × C cho gr(f ) = gr(g) Khi C ×Γ C với hàm tử gr : C ×Γ C → Γ Γ-phạm trù với gr (f, g) = gr(f ) = gr(g) 1.2.1 Định nghĩa Một phạm trù monoidal Γ-phân bậc đối xứng bao gồm phạm trù C , Γ-phân bậc ổn định gr : C → Γ, hàm tử Γ-phân bậc ∼ ⊗ : C ×Γ C → C , I : Γ → C đẳng cấu tự nhiên bậc aX,Y,Z : (X ⊗ Y ) ⊗ Z → ∼ ∼ ∼ X ⊗ (Y ⊗ Z), lX : I ⊗ X → X, rX : X ⊗ I → X cX,Y : X ⊗ Y → Y ⊗ X , với I = I(∗) thỏa mãn điều kiện khớp phạm trù monoidal đối xứng Giả sử C C hai Γ-phạm trù monoidal đối xứng Một Γ-hàm tử monoidal đối xứng (F, F , F ) : C → C là ba (F, F , F ) bao gồm: (i) Γ-hàm tử F : C → C , (ii) đẳng cấu tự nhiên bậc 1: F = (FX,Y ) với FX,Y : F (X ⊗ Y ) → F X ⊗ F Y, 17 ϕ1 = idM Để đơn giản, với σ ∈ Γ, x ∈ M a ∈ N, ta đặt σx = ϕσ (x), σa = f σ (a) Gọi ξ, η ràng buộc kết hợp, đối xứng phạm trù Picard S Khi cặp ξ, η thỏa mãn hệ thức ξ(y, z, t) − ξ(x + y, z, t) + ξ(x, y + z, t) − ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0, η(x, y) + η(y, x) = 0, ξ(x, y, z) − ξ(y, x, z) + ξ(y, z, x) + η(x, y + z) − η(x, y) − η(x, z) = (2.2.1) (2.2.2) (2.2.3) σ = (f (x, y, σ), σ(x + y)) Do F σ hàm tử monoidal đối xứng Bây đặt Fx,y F σ = id nên tính tương thích F σ với ràng buộc a c dẫn đến f (y, z, σ) − f (x + y, z, σ) + f (x, y + z, σ) − f (x, y, σ) = σ(ξ(x, y, z)) − ξ( σx, σy, σz), f (x, y, σ) − f (y, x, σ) = η( σx, σy) − σ(η(x, y)) (2.2.4) (2.2.5) Tính tương thích F σ với ràng buộc đơn vị kéo theo tính chuẩn tắc hàm f : f (x, 0, σ) = f (0, y, σ) = Tiếp theo ta xét đẳng cấu hàm tử monoidal θσ,τ = (θxσ,τ ) với θxσ,τ = (t(x, σ, τ ), στ x) : F σ F τ x −→ F στ x Từ định nghĩa phép biến đổi tự nhiên hàm tử monoidal, ta có hệ thức sau f σ f τ = f στ , (2.2.6) f (x, y, στ ) − f (τ x, τ y, σ) − σ(f ((x, y, τ )) = t(y, σ, τ ) − t(x + y, σ, τ ) + t(x, σ, τ ), (2.2.7) t thỏa mãn điều kiện chuẩn tắc t(0, σ, τ ) = Hệ thức (2.2.6) xác định đồng cấu nhóm f : Γ → Aut N Do N Γ-môđun f = idN Hơn nữa, điều kiện đối chu trình (2.1.1) dẫn đến hệ thức σt(x, τ, γ) + t(x, σ, τ γ) = t(x, στ, γ) + t(γx, σ, τ ) (2.2.8) 18 Như vậy, bốn (ξ, η, f , t) xác định ánh xạ chuẩn tắc h : M ∪ (M |M ) ∪ (M × Γ) ∪ (M × Γ2 ) → N Các hệ thức (2.2.1)-(2.2.5), (2.2.7) (2.2.8) đảm bảo h 3-đối chu (M, N ) (xem Cegarra Khmaladze trình chuẩn tắc đối xứng thuộc nhóm ZΓ,s [9]) (ii) Trước hết F hàm tử đồng phạm trù S Từ điều kiện (ii) Định nghĩa 2.1.1, nghĩa θ1,σ = θσ,1 = idF σ với σ ∈ Γ, ta t(x, 1, σ) = t(x, σ, 1) = Bởi vậy, với τ = đẳng thức (2.2.7) kéo theo f (x, y, 1) = 0, nghĩa = id Vậy F hàm tử monoidal đối xứng đồng Fx,y Từ Định lý 2.1.5 Định lý 2.2.1, thu kết sau 2.2.2 Định lý Mỗi phạm trù Picard phân bậc P cảm sinh cấu trúc Γmôđun M = π0 P, N = π1 P cảm sinh 3-đối chu trình chuẩn tắc (M, N ) h ∈ ZΓ,s Chứng minh Định lý 2.1.5 đảm bảo P tương đương với mở rộng tích chéo ∆F , F hệ nhân tử đối xứng phạm trù Picard S = (M, N, ξ, η) Vì vậy, từ Định lý 2.2.1 ta có điều phải chứng minh Ví dụ sau mô tả hệ nhân tử F lấy hệ tử phạm trù Picard DisM 2.2.3 Ví dụ Cho nhóm aben M , ta ký hiệu DisM phạm trù Picard chặt chẽ kiểu (M, 0, 0) Giả sử F hệ nhân tử đối xứng Γ lấy hệ tử DisM Khi với σ ∈ Γ, hàm tử monoidal đối xứng F σ cặp (ϕσ , f σ ), σ = id với x, y ∈ M mũi tên f σ = id : → 0, mũi tên Fx,y θσ,τ mũi tên đồng id0 Theo Định lý 2.2.1 (i), đồng cấu nhóm ϕσ : M → M xác định đồng cấu nhóm ϕ : Γ → Aut M Như vậy, hệ nhân tử Γ lấy hệ tử phạm trù Picard DisM đồng cấu ϕ : Γ → Aut M Đồng cấu xác định cấu trúc Γ-môđun M Ví dụ mô tả hệ nhân tử đối xứng F lấy hệ tử phạm trù Picard RedN 19 2.2.4 Ví dụ Cho N nhóm aben, ta ký hiệu RedN phạm trù Picard chặt chẽ kiểu (0, N, 0) Giả sử F hệ nhân tử Γ lấy hệ tử RedN Khi với σ ∈ Γ, ta có hàm tử monoidal đối xứng F σ = (ϕσ , f σ ) : (0, N ) → (0, N ), ϕσ = id Theo phép chứng minh Định lý 2.2.1, M = nên đẳng cấu tự nhiên F σ xác định hàm Γ → N , ký hiệu f Hơn nữa, tính chuẩn tắc hàm t nên θσ,τ đồng Mặt khác, hàm ξ, η t đồng nên hệ thức (1.3.4), (1.3.5) (1.3.7) hiển nhiên, hệ thức (2.2.6) xác định đồng cấu f : Γ → Aut N , N Γ-môđun Hệ thức (2.2.7) trở thành f (στ ) = f (σ) + σ f (τ ), nghĩa f : Γ → N đồng cấu chéo Như vậy, hệ nhân tử đối xứng F Γ lấy hệ tử phạm trù Picard RedN cặp (f, f ) xác định Cho hai phạm trù Picard S = (M, N, ξ, η) S = (M, N, ξ , η ) Giả sử F = (F σ , θσ,τ ) F = (F σ , θ σ,τ ) hai hệ nhân tử liên kết với S S Ta nói F F đồng luân tồn hàm tử monoidal đối xứng Φ : S → S họ đẳng cấu uσ : ΦF σ → F σ Φ cho (i) u1 = idΦ ; (ii) Với σ, τ ∈ Γ, biểu đồ sau giao hoán Φθσ,τ ΦF σ F τ uσ F τ  σ F ΦF τ σ τ F u / F σ F τ Φθ / ΦF στ σ,τ Φ/ F  (2.2.9) uστ στ Φ 2.2.5 Bổ đề Mỗi hệ nhân tử đối xứng F đồng luân với hệ nhân tử đối xứng chặt chẽ Chứng minh Giả sử F = (P, F σ , θσ,τ ) hệ nhân tử đối xứng Theo Bổ đề 1.1 [7], tồn phép biến đổi monoidal uσ : F σ → F σ với F σ = id Khi họ (uσ )σ∈Γ với hàm tử monoidal đồng Id : P → P đồng luân 20 2.2.6 Bổ đề Hai hệ nhân tử F, F : Γ → Z3s đồng luân 3-đối chu trình cảm sinh hF , hF đối đồng điều Chứng minh Do F F đồng luân nên tồn hàm tử monoidal đối xứng (Φ, Φ) : (M, N, ξ, η) → (M, N, ξ , η ) Khi Φ hàm tử đồng Φx,y = (g(x, y), •), g : M → N thỏa mãn (ξ , η ) − (ξ, η) = ∂ g (2.2.10) Đẳng cấu uσ : ΦF σ → F σ Φ xác định hàm g¯ : M × Γ → N, g¯(x, σ) = uσx Cặp (g, g¯) xác định 2-đối dây chuyền chuẩn tắc g Bây ta chứng tỏ hF − hF = ∂g Để đơn giản, ta ký hiệu h = hF h = hF Trước hết, (2.2.10) nên ta có hệ thức (h − h)(x, y, z) = g(y, z) − g(x + y, z) + g(x, y + z) − g(x, y), (h − h)(x|y) = g(x, y) − g(y, x) (2.2.11) (2.2.12) Vì uσ mũi tên hàm tử monoidal nên ta có hệ thức (h − h)(x, y, σ) = σg(x, y) − g(σx, σy) − g(y, σ) + g(x + y, σ) − g(x, σ) (2.2.13) Mặt khác, hệ thức (2.2.9) dẫn đến hệ thức (h − h)(x, σ, τ ) = σg(x, τ ) − g(x, στ ) + g(τ x, σ) (2.2.14) (M, N ) Vậy hF hF Các hệ thức (2.2.11)-(2.2.14) chứng tỏ h − h = ∂g ∈ BΓ,s đối đồng điều Ngược lại, hF − hF = ∂g , ta đặt Φx,y = (g(x, y), •), uσx = g(x, σ) Khi với Φ = id (Φ, Φ) hàm tử monoidal từ (M, N, ξ, η) đến (M, N, ξ , η ) uσ mũi tên từ ΦF σ đến F σ Φ Hơn nữa, họ (uσ )σ∈Γ với (Φ, Φ) đồng luân 21 (M, N ) xác định hệ nhân tử chặt 2.2.7 Bổ đề Mỗi phần tử h ∈ ZΓ,s chẽ F : Γ → Z3s (M, N ) Chứng minh Theo định nghĩa Γ-đối chu trình, với h ∈ ZΓ,s h = (ξ, η, f , t) họ hàm nhận giá trị N Khi S = (M, N, ξ, η) phạm trù Picard hệ nhân tử đối xứng F : Γ → Z3s xác định sau: F σ x = σx, F σ = id, F σ (c, x) = (σc, σx), σ = (f (x, y, σ), σ(x + y)), Fx,y với σ, τ ∈ Γ, x ∈ M c ∈ N Từ hệ thức (2.2.4) (2.2.5), ta (F σ , F σ ) hàm tử monoidal đối xứng Với σ, τ ∈ Γ x ∈ M , ta đặt θxσ,τ = (t(x, σ, τ ), στ x), θσ,τ : F σ F τ → F στ đẳng cấu hàm tử Hơn nữa, tính khớp tính tự nhiên θσ,τ xác định hệ thức (2.2.7) (2.2.8) Vì vậy, hệ nhân tử vừa xác định cảm sinh h Trong định nghĩa sau đây, giới thiệu phạm trù Picard phân bậc có chung kiểu (M, N ) Khi toán phân lớp tương đương phạm trù Picard Γ-phân bậc thực phạm trù Picard phân bậc dạng 2.2.8 Định nghĩa Giả sử M N Γ-nhóm Một phạm trù Picard Γ-phân bậc P gọi phạm trù Picard Γ-phân bậc tiền đính kiểu (M, N ) tồn cặp đẳng cấu Γ-nhóm (p, q) : (M, N ) → (π0 P, π1 P) Dễ thấy Γ-hàm tử hai phạm trù Picard Γ-phân bậc tiền đính kiểu (M, N ) Γ-tương đương Với chuẩn bị trên, nhận kết phân lớp phạm trù Picard phân bậc Cegarra Khmaladze [9] 2.2.9 Định lý ([10], Định lý 3.11) Tồn song ánh Γ Pic[M, N ] ↔ HΓ,s (M, N ), 22 Γ Pic[M, N ] tập lớp tương đương phạm trù Picard Γ-phân bậc tiền đính kiểu (M, N ) Chứng minh Theo Định lý 2.1.5, phần tử Γ Pic(M, N ) đại diện mở rộng tích chéo ∆F , hệ nhân tử đối xứng F : Γ → Z3s lấy hệ tử phạm trù Picard S kiểu (M, N ) Từ Bổ đề 2.2.5, ta giả thiết F chặt chẽ Khi theo Định lý 2.2.1, F cảm sinh 3-đối chu trình h = hF Vì Bổ đề 2.2.6 đảm bảo tương ứng [F] → [hF ] đơn ánh Hơn nữa, Mệnh đề 2.2.7 tương ứng toàn ánh 2.3 Mở rộng Γ-môđun Cegarra Khmaladze [10] mô tả nhóm aben ExtnZG (M, N ) đối chu trình aben đường sơ cấp, nghĩa không dùng tới lý luận dựa dãy phổ hệ tử phổ dụng hay dãy phổ Borel (xem Breen [2]) Theo Định lý 10 [10], tồn song ánh HΓ,ab (M, N ) ∼ = Ext1ZΓ (M, N ) Cegarra Khmaladze [9] mô tả nhóm aben Ext1ZΓ (M, N ) nhóm đối đồng điều đối xứng HΓ,s (M, N ) ∼ = Ext1ZΓ (M, N ) (2.3.1) Kết suy từ dãy phổ hệ tử phổ dụng phù hợp tính toán biết Eilenberg-MacLane [13] cho nhóm đồng luân không gian K(M, 3) chiều thấp Trong mục này, chứng minh song ánh (2.3.1) nhờ lý thuyết Schreier cho mở rộng Γ-môđun theo phương pháp mà Cegarra cộng [7] làm cho mở rộng nhóm đẳng biến 2.3.1 Định nghĩa Một mở rộng Γ-môđun N M dãy khớp ngắn Γ-môđun đồng cấu Γ-môđun i p E:0→N → − B→ − M → (2.3.2) 23 Khi i phép bao hàm B/N ∼ = M Hai mở rộng Γ-môđun E E M N gọi hai mở rộng tương đẳng tồn Γ-đồng cấu β : B → B thỏa mãn biểu đồ giao hoán / E:0 E :0 / N N / i i / B  B p / M / p / M / (2.3.3) β Ký hiệu ExtZΓ (M, N ) tập tất lớp tương đẳng mở rộng Γmôđun N M Khi ExtZΓ (M, N ) = Ext1ZΓ (M, N ) Bây giờ, áp dụng Định lý 3.12 [9] để thu định lý cổ điển Schreier cho mở rộng Γ-môđun Trước hết, ta xây dựng hai phạm trù Picard Γ-phân bậc DisΓ M RedΓ N từ Γ-môđun M N sau Phạm trù Picard Γ-phân bậc rời rạc DisΓ M xác định Γ-môđun M , có vật phần tử nhóm aben M mũi tên σ : x → y phần tử σ thuộc Γ cho σx = y Hợp thành mũi tên phép nhân Γ Hàm tử phân bậc gr : DisΓ M → Γ cho gr(σ) = σ Tích tenxơ phân bậc xác định σ σ σ (x − → y) ⊗ (x − → y ) = (x + x − → y + y ) Hàm tử phân bậc đơn vị I : Γ → DisΓ M cho σ σ I(∗ − → ∗) = (0 − → 0) Các ràng buộc kết hợp, giao hoán đơn vị đồng Phạm trù Picard Γ-phân bậc thu gọn RedΓ N với vật nhất, xác định Γ-môđun N sau Groupoid tích nửa trực tiếp N Γ, σ -mũi tên cặp (n, σ) với n ∈ N σ ∈ Γ Hợp thành hai mũi tên cho (n, σ)(m, τ ) = (n + σm, στ ) (2.3.4) Hàm tử phân bậc gr : RedΓ N → Γ cho gr(n, σ) = σ Tích tenxơ phân bậc (n, σ) ⊗ (m, σ) = (n + m, σ) (2.3.5) 24 Hàm tử phân bậc đơn vị I : Γ → RedΓ N xác định I(σ) = (0, σ) Các ràng buộc kết hợp, giao hoán đơn vị đồng Để trình bày định lý sau đây, ta ký hiệu HomΓ,s [DisΓ M, RedΓ N ] tập lớp đồng luân hàm tử monoidal đối xứng phân bậc từ DisΓ M đến RedΓ N 2.3.2 Định lý (Lý thuyết Schreier cho mở rộng Γ-môđun) Tồn song ánh Ω : ExtZΓ (M, N ) → HomΓ,s [DisΓ M, RedΓ N ] Chứng minh Bước Mỗi mở rộng Γ-môđun (2.3.2) N M cảm sinh hàm tử monoidal đối xứng Γ-phân bậc từ DisΓ M tới RedΓ N Với x ∈ M , ta chọn phần tử đại diện ux ∈ B cho p(ux ) = x, u0 = Mỗi phần tử B biểu diễn dạng ux + n với n ∈ N x ∈ M Mặt khác, ux + uy thuộc lớp với ux+y σux thuộc lớp với uσx nên tồn phần tử f (x, y), f (x, σ) ∈ N cho ux + uy = f (x, y) + ux+y , (2.3.6) σux = f (x, σ) + uσx (2.3.7) Như ta xác định hàm f : M × M ∪ (M × Γ) → N Do u0 = nên f (x, 0) = = f (0, y) (2.3.8) Tính kết hợp giao hoán phép toán B suy f (x, y) + f (x + y, z) = f (y, z) + f (x, y + z), (2.3.9) f (x, y) = f (y, x) (2.3.10) Do B Γ-môđun nên điều kiện σ(ux + uy ) = (σux ) + (σuy ), τ (σux ) = (τ σ)ux kéo theo σf (x, y) + f (x + y, σ) = f (x, σ) + f (y, σ) + f (σx, σy), (2.3.11) 25 f (x, στ ) = σf (x, τ ) + f (τ x, σ) (2.3.12) Ta dựng hàm tử monoidal đối xứng (F, F ) : DisΓ M → RedΓ N sau F (σ) = (f (x, σ), σ), Fx,y = (f (x, y), 1) Với cách đặt vậy, (F, F ) hàm tử monoidal đối xứng phân bậc phạm trù Picard phân bậc Thật vậy, hệ thức (2.3.8), (2.3.9) (2.3.10) chứng tỏ (F, F ) tương thích với ràng buộc đơn vị, kết hợp đối xứng phạm trù Picard; điều kiện (2.3.12) chứng tỏ hàm tử F bảo toàn phép hợp thành mũi tên Tính tự nhiên Fx,y đòi hỏi biểu đồ sau giao hoán F (x + y) Fx,y −−−→   F (σ⊗σ) F xF y  F (σ)⊗F (σ) Fσx,σy F (σx + σy) −−−−→ F (σx)F (σy), nghĩa (f (x, σ), σ) ◦ (f (x, y), 1) = (f (σx, σy), 1) ◦ (f (x + y, σ), σ) Điều tương đương với hệ thức (2.3.11) Bước Hai mở rộng Γ-môđun E E tương đẳng hàm tử monoidal đối xứng cảm sinh FE FE đồng luân Giả sử FE , FE : DisΓ M → RedΓ N hai hàm tử đồng luân θ : F → F Khi tồn ánh xạ g : M → N cho θx = (g(x), 1) với x ∈ M Do vậy, từ điều kiện khớp đồng luân θ, ta g(0) = fE (x, y) + g(x + y) = g(x) + g(y) + fE (x, y) (2.3.13) Với x, y ∈ M, σ ∈ Γ, tính tự nhiên θx kéo theo, fE (x, σ) + g(σx) = σg(x) + fE (x, σ) (2.3.14) Kết hợp hệ thức (2.3.13) (2.3.14), ta ánh xạ β:B→B, β(n, x) = (n + g(x), x) đồng cấu Γ-nhóm Hơn nữa, đồng cấu β thỏa mãn biểu đồ giao hoán (2.3.3) Như vậy, hai mở rộng E E tương đẳng 26 Để chứng minh điều ngược lại, trước hết ta mở rộng Γ-môđun E tương đẳng với mở rộng Γ-môđun tích chéo Theo Bước 1, mở rộng E cảm sinh hàm f : M × M ∪ (M × Γ) → N xác định (2.3.6) (2.3.7) thỏa mãn điều kiện (2.3.9)-(2.3.12) Đặt B0 = N ×f M = {(n, x)|n ∈ N, x ∈ M } với phép cộng xác định (n, x) + (m, y) = (n + m + f (x, y), x + y) Khi B0 nhóm aben Thật vậy, tính kết hợp tính giao hoán phép cộng B0 suy từ (2.3.9) (2.3.10), phần tử trung hòa (0, 0) (do (2.3.8)) phần tử đối −(n, x) = (−n − f (x, −x), −x) Ngoài ra, nhờ (2.3.11) (2.3.12) B0 Γ-môđun tác động σ(n, x) = (σn + f (x, σ), σx) Nhờ vậy, ta thu mở rộng Γ-môđun i p E0 : → N → − B0 → − M → 0, i(n) = (n, 0) p(n, x) = x, Hơn nữa, dễ thấy E tương đẳng với E0 Γ-đẳng cấu β0 : B → B0 , ux + n → (n, x) Bây giờ, giả sử hai mở rộng E E tương đẳng Khi chúng tương đẳng với mở rộng Γ-môđun tích chéo E0 E0 Hiển nhiên, E0 E0 hai mở rộng tương đẳng, nghĩa tồn Γ-đẳng cấu β : N ×fE M → N ×fE M Khi tồn hàm g : M → N thỏa mãn g(0) = β : (n, x) → (n + g(x), x) Tính Γ-đồng cấu β kéo theo hàm g thỏa mãn hệ thức (2.3.13) (2.3.14), fE fE tương ứng hàm xác định từ mở rộng E E theo công thức (2.3.7) (2.3.8) Gọi F F hàm tử monoidal đối xứng Γ-phân bậc với Fx,y = (fE (x, y), 1) Fx,y = (fE (x, y), 1) Khi hàm g : M → N đồng luân F F 27 Từ hai bước trên, ta Ω : [E] → [FE ] đơn ánh Bước Ω toàn ánh Giả sử (F, F ) : DisΓ M → RedΓ N hàm tử monoidal đối xứng phân bậc Theo Bổ đề 2.2.5, ta giả thiết F∗ = id Khi ta đặt F (σ) = (f (x, σ), σ) Fx,y = (f (x, y), 1), f : (M × M ) ∪ (M × Γ) → N Hàm f thỏa mãn hệ thức (2.3.8)-(2.3.12) Thật vậy, tính tương thích (F, F ) với ràng buộc đơn vị, kết hợp giao hoán kéo theo hệ thức (2.3.8)-(2.3.10), tính tự nhiên Fx,y dẫn đến (2.3.11) tính bảo toàn phép hợp thành mũi tên kéo theo (2.3.12) Khi theo Bước 2, ta thu mở rộng Γ-môđun tích chéo E Dễ thấy E cảm sinh (F, F ) Vì vậy, Ω toàn cấu 2.3.3 Nhận xét Khi Γ = hàm f mô tả hàm tử monoidal đối xứng phân bậc từ Dis1 M đến Red1 N hệ nhân tử mở rộng nhóm aben M nhóm aben N Hệ phân lớp đối đồng điều mở rộng Γ-môđun Cegarra Khmaladze [9] 2.3.4 Hệ ([9], Định lý 2.4) Giả sử M N hai Γ-môđun Khi tồn song ánh ExtZΓ (M, N ) ↔ HΓ,s (M, N ) Chứng minh Từ Định lý 3.12 [9], ta có HomΓ,s [DisΓ,s M, RedΓ N ] ↔ HΓ,s (π0 (DisΓ M ), π1 (RedΓ N )) (2.3.15) Do π0 (DisΓ,s M ) = M π1 (RedΓ N ) = N nên song ánh (2.3.15) Định lý 2.3.2 kéo theo kết luận hệ 28 KẾT LUẬN Kết đề tài bao gồm: - Xây dựng lý thuyết hệ nhân tử đối xứng phạm trù Picard phân bậc; - Giải thích nhóm đối đồng điều đối xứng chiều Γ-môđun nhờ lý thuyết hệ nhân tử đối xứng Kết dẫn đến định lý phân lớp phạm trù Picard phân bậc Cegarra Khmaladze [9]; - Trình bày lý thuyết Schreier cho mở rộng Γ-môđun nhờ vào hàm tử monoidal đối xứng phân bậc Lý thuyết kéo theo định lý phân lớp đối đồng điều mở rộng Γ-môđun Cegarra Khmaladze [9] Các kết Chương công bố báo: N T Quang, P T Cuc and C T K Phung (2013), Factor sets in graded Picard categories, Universal Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, (2), 253-284 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bénabou J (1963), Catégories avec multiplication, (French) C R Acad Sci Paris, 256, 1887-1890 [2] Breen L (1998), Braided n-categories and Σ-structures Higher category theory, Contemp Math., 230, 59–81 [3] Buchsbaum D A (1955), Exact categories and duality, Trans Amer Math Soc., 80, 1-34 [4] Buchsbaum D A (1959), A note on homology in categories, Ann of Math., 69(2), 66-74 [5] Buchsbaum D A (1960), Satellites and universal functors, Ann of Math., 71(2), 199-209 [6] Cegarra A M., Garzón A R., and Ortega J A (2001), Graded extensions of monoidal categories, J Algebra, 241(2), 620-657 [7] Cegarra A M., García-Calcines J M., and Ortega J A (2002), On graded categorical groups and equivariant group extensions, Canad J Math., 54(5), 970-997 [8] Cegarra A M., García-Calcines J M., and Ortega J A (2002), Cohomology of groups with operators, Homology Homotopy Appl., 4(1), 1-23 [9] Cegarra A M and Khmaladze E (2007), Homotopy classification of graded Picard categories, Adv Math., 213(2), 644-686 [10] Cegarra A M and Khmaladze E (2007), Homotopy classification of braided graded categorical groups, J Pure Appl Algebra, 209(2), 411-437 [11] Eilenberg S and Mac Lane S (1942), Natural isomorphisms in group theory, Proc Nat Acad Sci U S A., 28, 537-543 30 [12] Eilenberg S and Mac Lane S (1945), General theory of natural equivalences, Trans Amer Math Soc., 58, 231-294 [13] Eilenberg S and MacLane S., On the groups H(Π, n) I, II, Ann of Math., 58, (1953), 55–106; 60, (1954), 49–139 [14] Eilenberg S (1960), Abstract description of some basic functors, J Indian Math Soc., 24, 231-234 [15] Fr¨ohlich A and Wall C T C (1974), Graded monoidal categories, Compositio Math., 28, 229-285 [16] Gabriel P (1962), Des catégories abéliennes, (French) Bull Soc Math France, 90, 323-448 [17] Grothendieck A (1971), Catégories fibrées et descente (SGA I, exposé VI), Lecture Notes in Math 224, Springer-Verlag: Berlin, 145–194 [18] Heller A (1958), Homological algebra in abelian categories, Ann of Math., 68(2), 484-525 [19] Kelly G M (1965), Tensor products in categories, J Algebra, 2, 15-37 [20] Laplaza M L (1972), Coherence for distributivity Coherence in categories, Lecture Notes in Math., 281, Springer, Berlin, 29-65 [21] Laplaza M L (1983), Coherence for categories with group structure: an alternative approach, J Algebra, 84(2), 305-323 [22] Lubkin S (1960), Imbedding of abelian categories, Trans Amer Math Soc., 97, 410-417 [23] Mac Lane S (1948), Groups, categories and duality, Proc Nat Acad Sci U S A., 34, 263-267 [24] Mac Lane S (1950), Duality for groups, Bull Amer Math Soc., 56, 485516 [25] Mac Lane S (1961), Locally small categories and the foundations of set theory, Infinitistic Methods (Proc Sympos Foundations of Math., Warsaw), 25-43 31 [26] Freyd P (1962), Abenlian Categories (Mimeographed Notes), Columbia University, New York [27] Mac Lane S (1963), Natural associativity and commutativity, Rice Univ Studies, 49(4), 28-46 [28] Mac Lane S (1967), Homology, Springer-Verlag, Berlin-New York [29] Mitchell B (1983), Low-dimensional group cohomology as monoidal structures, Amer J Math., 105(5), 1049-1066 [30] Mac Lane S (1998), Categories for the working mathematician, SpringerVerlag, New York [31] N T Quang, N T Thuy and P T Cuc (2011), Monoidal functors between (braided) Gr-categories and their applications, East-West J Math., 13 (2), 163–186 [32] Quang N T (2010), The factor sets of Gr-categories of the type (Π, A), Int J Algebra, 4(14), 655 - 668 [33] Rivano N S (1972), Catégories Tannakiennes, (French) Lecture Notes in Mathematics, 265 Springer-Verlag, Berlin-New York [34] Sinh H X (1975), Gr-catégories, Université Paris VII, Thèse de doctorat [35] Vitale E M (2003), On the categorical structure of H , J Pure Appl Algebra, 177(3), 303-308 ... CHƯƠNG PHÂN LỚP PHẠM TRÙ PICARD PHÂN BẬC VÀ ỨNG DỤNG Phạm trù Picard phân bậc giới thiệu Cegarra Khmaladze [9] khái quát lên khái niệm phạm trù Picard (xem H X Sính [34]) đưa vào cấu trúc phân bậc. .. thiệu phạm trù Picard phân bậc có chung kiểu (M, N ) Khi toán phân lớp tương đương phạm trù Picard Γ -phân bậc thực phạm trù Picard phân bậc dạng 2.2.8 Định nghĩa Giả sử M N Γ-nhóm Một phạm trù Picard. .. cứu toán phân lớp phạm trù Picard phân bậc ứng dụng Bên cạnh đó, việc giải toán phân lớp phạm trù Picard ứng dụng tạo hướng nghiên cứu tốt cho giảng viên sinh viên Khoa Toán - Ứng dụng, Trường