UBND THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN NGHIỆM TỐI ƯU VÀ NGHIỆM TỐI ƯU XẤP XỈ CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG LỒI CÓ VÔ HẠN RÀNG BUỘC Mã số: CS2014-38 Xác nhận Chủ tịch HĐ Nghiệm thu PGS TS Phạm Hoàng Quân Chủ nhiệm đề tài TS Tạ Quang Sơn TP HỒ CHÍ MINH - 6/2015 THÔNG TIN VỀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung • Tên đề tài: Nghiệm tối ưu nghiệm tối ưu xấp xỉ toán không lồi có vô hạn ràng buộc • Mã số: CS2014-38 • Chủ nhiệm: TS Tạ Quang Sơn • Thời gian thực hiện: 06/2014 – 06/2015 Mục tiêu đề tài • Cải tiến số điều kiện tối ưu công bố báo số [13] để nhận nghiệm xấp xỉ cho lớp toán không lồi có vô hạn ràng buộc • Dựa vào lược đồ đối ngẫu hỗn hợp để nghiên cứu mối liến quan toán gốc toán đối ngẫu thông qua định lý đối ngẫu dạng xấp xỉ • Thiết lập mối quan hệ giá trị xấp xỉ tối ưu toán gốc toán đối ngẫu lớp toán nêu Tính đề tài • Nới lỏng điều kiện để thu số kết điều kiện tối ưu xấp xỉ công bố trước • Giới thiệu lược đồ đối ngẫu cho toán tối ưu không lồi có vô hạn ràng buộc để từ nhận kết kiểu đối ngẫu Mond-Weir Wolfe Kết nghiên cứu • Hai định lý điều kiện tối ưu xấp xỉ • Sáu định lý liên quan đối ngẫu dạng xấp xỉ Sản phẩm Bài báo khoa học quốc tế: Ta Quang Sơn, Refinements of ε-Duality Theorems for a Nonconvex Problem with an Infinite Number of Constraints, Journal of Nonlinear Analysis and Optimization, Vol 4, No 2, (2013), 61-70 Mục lục Thông tin chung Mục tiêu đề tài Tính đề tài Kết nghiên cứu Sản phẩm I Giới thiệu đề tài nghiên cứu 1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu 1.2 Danh mục số công trình công bố thuộc lĩnh vực đề tài 1.3 Mục tiêu đề tài 10 1.4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu, cách tiếp cận, phương 1.5 pháp nghiên cứu 11 Nội dung nghiên cứu 11 II Nội dung nghiên cứu 13 Bài toán tối ưu không lồi có vô hạn ràng buộc 14 1.1 Giới thiệu toán 14 1.2 Các kiến thức chuẩn bị 16 Điều kiện tối ưu xấp xỉ 21 2.1 Điểm lại số kết biết 21 2.2 Một số kết điều kiện tối ưu xấp xỉ có cải tiến 23 Các định lý đối ngẫu xấp xỉ 3.1 Các định lý 3.2 Mối quan hệ xấp xỉ giá trị tối ưu toán gốc toán đối ngẫu 27 27 32 MỘT SỐ KÝ HIỆU X X∗ R T R(T ) x |x| D TD (x) ND (x) f (z; d) f c (z; d) ∂f c (z) ∅ {zn } F, A Không gian Banach Không gian đối ngẫu X Không gian số thực Tập số, vô hạn Không gian dãy suy rộng Chuẩn véc-tơ x Giá trị tuyệt đối véc-tơ x Tập đóng không gian X Nón tiếp xúc D x Nón chuẩn D x Đạo hàm theo hướng d hàm f z Đạo hàm Clarke theo hướng d hàm f z Dưới vi phân Clarke hàm f z Tập rỗng Dãy số dãy véc-tơ Tập chấp nhận Phần I Giới thiệu đề tài nghiên cứu 1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu Tối ưu hóa chuyên ngành toán học quan tâm nhiều thập kỷ vừa qua Các toán tối ưu thường xuất toán kinh tế, kỹ thuật, truyền thông, nhận dạng, nhu cầu nhanh nhất, rẻ nhất, nhiều nhất, tốt nhất, ngắn nhất, nhất, vấn đề thường đặt toán thực tế Từ việc nghiên cứu nghiệm xác toán tối ưu, người ta quan tâm đến nghiệm xấp xỉ ý nghĩa thực tiễn thuật toán Gần đây, dạng toán tối ưu nửa vô hạn (semi infinite optimization problem) nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu toán tối ưu có vô hạn ràng buộc Nhiều tài liệu đề cập đến ứng dụng quan trọng toán kể toán lồi không lồi [2], [3], [4], [5] Trong đề tài nghiên cứu này, từ việc tìm hiểu nghiệm tối ưu quan tâm tìm kiếm số kết nghiệm tối ưu xấp xỉ lớp toán tối ưu không lồi có vô hạn ràng buộc Cần phải nhắc lại rằng, lớp toán này, số vấn đề nghiên cứu điều kiện tối ưu, điều kiện tối ưu xấp xỉ, đặc trưng tập nghiệm,vv, gần số tác giả nghiên cứu thiết lập báo số [14], [13], [6] nhiều nghiên cứu tiếp sau khác Về vấn đề nghiệm tối ưu, báo [13], điều kiện cần đủ để nhận nghiệm tối ưu giới thiệu Năm 2011, vấn đề phát triển sâu cách dựa vào điều kiện cần đủ tối ưu để đưa số đặc trưng tập nghiệm cho lớp toán không lồi có vô hạn ràng buộc nói Song song với việc quan tâm nghiệm tối ưu, vấn đề nghiệm tối ưu xấp xỉ lớp toán quan tâm khảo sát Năm 2008, dựa vào khái niệm hầu tựa nghiệm xấp xỉ (almost approximate solution) đề xuất Loridan, tác giả T.Q Son, J.J Strodiot, V.H Nguyen thiết lập điều kiện cần đủ tối ưu hầu tựa nghiệm xấp xỉ định lý đối ngẫu xấp xỉ dạng Wolfe cho dạng toán tối ưu không lồi đơn mục tiêu có vô hạn ràng buộc Kết đăng tải tạp chí Journal of Optimization Theory and Applications năm 2009 với báo có tên: “ε-Optimality and ε-Lagrangian Duality for a Nonconvex Programming Problem with an Infinite Number of Constraints” Gần đây, hầu tựa nghiệm xấp xỉ Pareto toán tối ưu không lồi đa mục tiêu tác giả T.Q Sơn D.S.Kim quan tâm nghiên cứu Các điều kiện cần đủ tối ưu xấp xỉ cho hầu tựa nghiệm Pareto định lý đối ngẫu xấp xỉ cho toán đa mục tiêu có vô hạn ràng buộc giới thiệu báo “ε-Optimality and εDuality theorems of a Multiobjective Nonconvex Program with infinite constraints” đăng tạp chí Journal of Global Optimzation năm 2013 Với nghiên cứu đạt mô tả nêu trên, loạt vấn đề tiếp tục nghiên cứu để bổ sung cho toán không lồi có vô hạn ràng buộc nói chẳng hạn như: nới lỏng điều kiện cài đặt cho toán, tìm hiểu mối liên quan giá trị tối ưu xấp xỉ toán tối ưu đối ngẫu, vai trò hàm Lagrange xấp xỉ, đặc trưng tập nghiệm thông qua toán đối ngẫu 1.2 Danh mục số công trình công bố thuộc lĩnh vực đề tài Danh mục công trình công bố thuộc lĩnh vực đề tài chủ nhiệm thành viên tham gia nghiên cứu (họ tên tác giả, báo, ấn phẩm, yếu tố xuất bản) • T.Q Son and D.S Kim, ε-Mixed type duality for nonconvex multiobjective programs with an infinite number of constraints, Journal of Global Optimization (2013), Vol 57, Issue 2, 447-465 • T.Q Son, D.S Kim and P.N Nam Duality theorems of a nonconvex program with infinite constraints, Proceedings of the 7th International Conference on Nonlinear Analysis and Convex Analysis, Yokohama Publishers (2013), 181-196 • T.Q Son and D.S Kim, Some new properties of Lagrange function and its applications, Fixed Point Theory and Applications (2012), 2012:192, DOI: 10.1186/1687-1812-2012-192 • T.V Thach and T.Q Son, Almost ε-quasisolutions of a nonconvex programming problem with an infinite number of constraints, Journal of Science and Technology Development (VNU), (2012), 57-68 • T.Q Son, D.S Kim and N.N Tam, Weak stability and strong duality of a class of nonconvex programs via augmented Lagrangian, Journal of Global Optimization, Volume 53, Number (2012), 165-184 Điều kiện cặp KKT suy rộng dùng báo [13] để khảo sát nghiệm xấp xỉ (P) Tiếp sau đây, nhắc lại điều kiện đủ để nhận hầu tựa ε-nghiệm (P) Tiếp sau đây, cách cải tiến giả thiết thiết lập hàm số có toán, mở rộng kết sau 2.2 Một số kết điều kiện tối ưu xấp xỉ có cải tiến (T ) Định lý 2.2.1 Với toán (P), cho ε ≥ cho (zε , λ) ∈ Aε × R+ cặp KKT suy rộng xác đến ε Giả sử hàm f ε-chính qui zε hàm ft , t ∈ T , nửa lồi C Nếu điều kiện (1.1) Định nghĩa 1.2.1 thỏa mãn cho f z = zε với α ≥ 4ε √ f (zε ) ≤ f (x) + ε x − zε với x ∈ C cho ft (x) ≤ ft (zε ) với t ∈ T (λ) Đặc biệt zε hầu tựa 4ε-nghiệm cho (P) (T ) Chứng minh Cho trước ε ≥ Giả sử (zε , λ) ∈ Aε × R+ cặp KKT suy rộng xác đến ε Nếu T (λ) = ∅, ta nhận u ∈ ∂ c f (zε ), ut ∈ ∂ c ft (zε ), ∀t ∈ T (λ), w ∈ N (C, zε ), v ∈ B ∗ and ft (zε ) ≥ với t ∈ T (λ) cho √ λt ut (x − zε )+ ε x − zε = −w(x − z) ≥ 0, ∀x ∈ C, u(x − zε ) + t∈T (λ) (2.3) Chú ý hàm ft , t ∈ T , nửa lồi zε Nếu ft (x) ≤ ft (zε ) với t ∈ T (λ) ut (x − zε ) ≤ ftc (zε ; x − zε ) = ft (zε ; x − zε ) ≤ 0, ∀t ∈ T (λ), ∀x ∈ C 23 Khi đó, từ (2.3), ta nhận u(x − zε ) + √ ε x − zε ≥ với x ∈ C Vì u ∈ ∂ c f (zε ) f ε-chính qui zε , nên f c (zε ; x − zε ) ≤ √ f (zε ; x − zε ) + ε x − zε Ta nhận √ f (zε ; x − zε ) + 4ε x − zε ≥ 0, ∀x ∈ C Vì điều kiện (1.1) Định nghĩa 1.2.1 thỏa cho f z = zε với α ≥ 4ε, từ bất đẳng thức trên, ta suy kết Với T (λ) = ∅, ta u(x − zε ) + √ ε x − zε = −w(x − z) ≥ 0, ∀x ∈ C Kết luận suy dễ dàng (T ) Hệ 2.2.1 Với toán (P), cho ε ≥ cho (zε , λ) ∈ Aε × R+ cặp KKT suy rộng xác đến ε Nếu ft , t ∈ T , hàm nửa lồi zε f ε-nửa lồi zε √ f (zε ) ≤ f (x) + ε x − zε với x ∈ C cho ft (x) ≤ ft (zε ) với t ∈ T (λ) Đặc biệt, zε hầu tựa ε-nghiệm (P) Chứng minh Sử dụng lập luận chứng minh định lý ý hàm f qui với α = , ta dễ dàng suy kết Nhận xét: Vì hàm lồi hàm nửa lồi (xem [9], [13]), thấy Định lý 2.1.2 hệ hệ nêu Một kết sau liên quan đến hàm Lagrange toán (P) Ta nhắc lại cấu trúc hàm Lagrange: (T ) λt ft (y), for all (y, λ) ∈ X × R+ L(y, λ) = f (y) + t∈T 24 (T ) Dễ thấy với λ ∈ R+ , hàm L(·, λ) Lipschitz địa phương X Chú ý hàm f hàm ft , t ∈ T, nửa lồi hay ε-nửa lồi zε L(·, λ) nói chung có tính chất tương tự Chúng đề nghị phiên khác cho định lý sau: (T ) Định lý 2.2.2 Với toán (P), cho ε ≥ cho (zε , λ) ∈ Aε × R+ cặp KKT suy rộng xác đến ε Giả sử hàm ft , t ∈ T, qui zε f ε-chính qui zε Nếu điều kiện (1.1) Định nghĩa 1.2.1 thỏa mãn cho hàm L(·, λ) z = zε với α ≥ 4ε √ f (zε ) ≤ f (x) + ε x − zε với x ∈ C cho ft (x) ≤ ft (zε ) for all t ∈ T (λ) Đặc biệt, zε hầu tựa 4ε-nghiệm (P) (T ) Chứng minh Cho (zε , λ) ∈ Aε × R+ cặp KKT suy rộng xác đến ε Nếu T (λ) = ∅, chứng minh trường hợp chứng minh Định lý 2.2.1 Khi T (λ) = ∅, ta ft (zε ) ≥ 0, với t ∈ T (λ) Sử dụng lập luận chứng minh Định ký 2.2.1, ta nhận u ∈ ∂ c f (zε ), ut ∈ ∂ c ft (zε ), ∀t ∈ T (λ), w ∈ N (C, zε ), v ∈ B ∗ cho u(x−zε )+ √ λt ut (x−zε )+ εv(x−zε ) = −w(x−zε ) ≥ ≥ 0, ∀x ∈ C t∈T (λ) Vì hàm ft , t ∈ T, qui zε hàm f ε-chính qui zε , ta suy f (zε ; x − zε ) + λt ft (zε ; x − zε ) + t∈T (λ) 25 √ 4ε x − zε ≥ 0, ∀x ∈ C, tức L (·, λ)(zε ; x − zε ) + √ 4ε x − zε ≥ 0, ∀x ∈ C Vì điều kiện (1.1) Định nghĩa 1.2.1 thỏa cho hàm L(·, λ) zε với µ ≥ 4ε, kéo theo √ λt ft (x)+ 4ε x − zε ≥ f (zε ) + f (x) + t∈T (λ) λt ft (zε ),∀x ∈ C t∈T (λ) Mặt khác ta có ft (x) ≤ ft (zε ), với t ∈ T (λ) Khi đó, f (x) + √ 4ε x − zε ≥ f (zε ), ∀x ∈ C Vì A ⊂ C, dễ dàng suy zε hầu tựa 4ε-nghiệm (P) (T ) Hệ 2.2.2 Với toán (P), cho ε ≥ cho (zε , λ) ∈ Aε × R+ cặp KKT xác đến ε Nếu hàm f, ft , t ∈ T, qui zε hàm L(·, λ) ε-nửa lồi zε √ f (zε ) ≤ f (x) + ε x − zε với x ∈ C cho ft (x) ≤ ft (zε ) với t ∈ T (λ) Đặc biệt, zε hầu tựa ε-nghiệm (P) Chứng minh Nếu hàm L(·, λ) ε-nửa lồi điều kiện (1.1) Định nghĩa 1.2.1 thỏa mãn cho hàm L(·, λ) với α = ε Mặt khác, hàm f qui zε u(x − zε ) ≤ f c (zε ; x − zε ) = f (zε ; x − zε ), u ∈ ∂ c (zε ) Sử dụng lập luận chứng minh định lý nêu trên, ta suy kết 26 Chương Các định lý đối ngẫu xấp xỉ Trong báo [13], toán dối ngẫu (P) thiết lập dạng dối ngẫu Wolfe Một số kết liên quan đến định lý đối ngẫu xấp xỉ thiết lập Trong nghiên cứu này, quan tâm thêm dạng đối ngẫu hỗn hợp kiểu dối ngẫu Wolfe Mond-Weir Bằng cách tiếp cận này, thu lại kết có trước, đồng thời định lý dối ngẫu xấp xỉ dạng Mond-Weir suy Ngoài ra, vài đánh giá xấp xỉ giá trị tối ưu toán gốc toán dối ngẫu đề nghị 3.1 Các định lý Xét toán đối ngẫu (P) dạng hỗn hợp xấp xỉ sau đây: (D) Maximize L(x, λ) := f (y) + t∈T λt ft (y) √ s.t ∈ ∂ c f (y) + t∈T (λt + µt )∂ c ft (y) + N (C, x) + εB ∗ , µt ft (y) ≥ 0, t ∈ T, (T ) (T ) (y, λ, µ) ∈ C × R+ × R+ Ký hiệu F tập chấp nhận (D) Dựa định nghĩa tựa ε-nghiệm toán đối ngẫu toán (P) giới thiệu 27 báo [13], chúng tối đề nghị định nghĩa tựa ε-nghiệm (D) sau: ¯ µ Định nghĩa 3.1.1 Điểm (yε , λ, ¯) ∈ F gọi tựa ε-nghiệm (D) ¯ ≥ L(y, λ) − L(yε , λ) √ √ ε y − yε − ¯ , ∀(y, λ, µ) ∈ F ε λ−λ Định lý 3.1.1 Nếu hàm f, ft , t ∈ T, qui C L(·, ζ) (T ) ε-nửa lồi C ζ ∈ R+ ε-đối ngẫu yếu (P) (D) nhận được, tức là, f (x) + √ ε x − y ≥ L(y, λ), ∀x ∈ A, ∀(y, λ, µ) ∈ F Chứng minh Lấy x (y, λ, µ) tương ứng nghiệm chấp nhận (P) (D) Ta có √ (λt + µt )∂ c ft (y) + N (C, y) + εB ∗ , µt ft (y) ≥ 0, t ∈ T ∈ ∂ c f (y) + t∈T Sử dụng lập luận chứng minh định lý nêu ta suy L(x, λ + µ) + √ ε x − y ≥ L(y, λ + µ), ∀x ∈ C Khi x ∈ A, ta ft (x) ≤ với t ∈ T Từ điều µt ft (y) ≥ 0, t ∈ T, bất đẳng thức nói kéo theo f (x) + √ ε x − y ≥ L(y, λ) (T ) ¯ ∈ A × R+ cặp KKT suy rộng chặt đến Định lý 3.1.2 Cho (z, λ) ε Nếu hàm f, ft , t ∈ T, qui z L(·, ζ) ε-nửa lồi tạiz (T ) ¯ 0) tựa ε-nghiệm của(D) với ζ ∈ R+ (z, λ, 28 Chứng minh Lấy (y, λ, µ) ∈ F Sử dụng lập luận chứng minh định lý trên, ta L(x, λ + µ) + √ ε x − y ≥ L(y, λ + µ) ≥ L(y, λ), ∀x ∈ C Vì thế, L(z, λ + µ) ≥ L(y, λ) − √ ε z−y (3.1) ¯ t − λt − µt )ft (z) (λ (3.2) Chú ý ¯ − L(z, λ + µ) = L(z, λ) t∈T ¯ cặp KKT chặt xác đến ε Thế thì, λ ¯ t = (z, λ) ft (z) ≤ Vì thế, ft (z) ≤ ta nhận ¯ − L(z, λ + µ) = − L(z, λ) (λt + µt )ft (z) ≥ (3.3) t∈T Nếu < ft (z) ≤ √ ε ¯ t − λt − µt )ft (z) ≥ −|λ ¯ t − λt − µt |ft (z) ≥ −|λ ¯ t − λt |ft (z) (λ Kết hơp điều này, (3.2), (3.3), ta nhận √ ¯ − L(z, λ + µ) ≥ − ε λ ¯ − λ L(z, λ) Điều (3.1) kéo theo ¯ − L(y, λ) = L(z, λ) ¯ L(z, λ) √ −¯L(z, λ + µ) √ + L(z, λ + µ) − L(y, λ) ≥− ε λ−λ 1− ε z−y (3.4) ¯ 0) ∈ F , ta suy kết luận Hơn nữa, (z, λ, 29 Khi µ = 0, toán (D) trở thành toán đối ngẫu (P) dạng Wolfe, định lý tương ứng suy Khi λ = ta nhận toán đối ngẫu (P) theo dạng Mond-Weir sau: (DM ) Maximize f (y) √ s.t ∈ ∂ c f (y) + t∈T µt ∂ c ft (y) + N (C, x) + εB ∗ , µt ft (y) ≥ 0, t ∈ T, (T ) (y, µ) ∈ C × R+ Tập chấp nhận (DM ) ký hiệu FM Định nghĩa 3.1.2 Điểm (z, µ ¯) ∈ FM gọi tựa ε-nghiệm (DM ) f (z) + √ ε z − y ≥ f (y), ∀(y, µ) ∈ FM Nhận xét: Khi λ = 0, từ định lý 3.1.1, ta nhận f (x) + √ ε x−y ≥ f (y), x ∈ A, (y, 0, µ) ∈ F Kết hợp điều với toán (DM ) ta nhận định lý đối ngẫu yếu dạng xấp xỉ dạng Mond-Weir Khi µ = 0, Định lý 3.1.1 trở thành định lý đối ngẫu yếu dạng xấp xỉ giới thiệu báo [13] Ngoài định lý 3.1.2 kéo theo hệ 5.2 báo [13] Định lý 3.1.3 Cho (z, µ ¯) cặp KKT xác đến Giả sử hàm f, ft , t ∈ T, qui z L(·, ζ) ε-nửa lồi z với (T ) ζ ∈ R+ Khi z tựa ε-nghiệm (DM ) Chứng minh Cho (y, µ) ∈ FM Dùng lập luận chứng minh chứng minh định lý 3.1.1, ta suy L(x, µ) + √ x − y ≥ L(y, µ) ≥ f (y), ∀x ∈ C 30 Vì (z, µ ¯) cặp KKT xác đến nên (z, µ ¯) điểm tập FM Hơn z ∈ A, nên ft (z) ≤ với t ∈ T Kết từ bất đẳng thức nêu trên, ta có f (z) + √ z − y ≥ L(x, µ ¯) + √ z − y ≥ L(y, µ ¯) ≥ f (y) Ta suy điều cần chứng minh Mối quan hệ toán (P) toán đối ngẫu hỗn hợp làm rõ qua hai định lý 3.1.4 and 3.1.5 Định lý 3.1.4 Giả sử hàm f, ft , t ∈ T, qui zε (T ) ¯ µ L(·, ζ) ε-nửa lồi zε ζ ∈ R+ Cho (zε , λ, ¯) ¯ t ft (zε ) ≥ với t ∈ T nghiệm chấp nhận (D) cho λ Nếu zε ∈ Aε hầu tựa ε-nghiệm (P) ¯ µ Chứng minh Cho (zε , λ, ¯) nghiệm chấp nhận (D) Sử dụng lập luận trên, ta suy ¯ µ L(x, λ, ¯) + √ ¯ µ x − z ≥ L(zε , λ, ¯) ≥ f (z), ∀x ∈ C Nếu zε ∈ Aε với x ∈ A ta f (x) + √ ¯ µ x − z ≥ L(zε , λ, ¯) ≥ f (z) Nhận xét: Khi µ = 0, định lý trở thành mệnh đề 5.2 báo [13] Định lý sau phiên cải tiến nhỏ Chúng bỏ qua chứng minh 31 Định lý 3.1.5 Giả sử hàm ft , t ∈ T, nửa lồi zε f ¯ µ ε-nửa lồi zε Cho (zε , λ, ¯) nghiệm chấp nhận ¯ t ft (zε ) ≥ với t ∈ T Nếu zε ∈ Aε (D) cho λ hầu tựa ε-nghiệm (P) Nhận xét: Khi µ = 0, định lý 3.1.4 3.1.5 định lý đối ngẫu xấp xỉ dạng Wolfe 3.2 Mối quan hệ xấp xỉ giá trị tối ưu toán gốc toán đối ngẫu Chúng ta biết rằng, toán tối ưu, đối ngẫu mạnh xãy toán cho toán đối ngẫu ta nhận giá trị tối ưu trùng hai toán Trong trường hợp đối ngẫu xấp xỉ, giá trị sai khác Phần nghiên cứu dành để giới thiệu kết đánh giá sai khác giá trị tối ưu điểm tựa ε-nghiệm tương ứng Định lý 3.2.1 Cho trước ε > Giả sử zε tựa ε-nghiệm (T ) (P) tồn λ∗ , µ∗ ∈ R+ cho (zε , λ∗ + µ∗ ) cặp KKT ¯ µ xác đến ε Cho (yε , λ, ¯) tựa ε-nghiệm của(D) Nếu L(·, ζ) (T ) ε-nửa lồi C với ζ ∈ R+ √ ¯ − λ∗ − ε λ − √ ¯ − f (zε ) ≤ ε yε − zε ≤ L(yε , λ) √ ε yε − zε (3.5) ¯ µ Chứng minh Cho (yε , λ, ¯) tựa ε-nghiệm (D) Ta ¯ ≥ L(y, λ) − L(yε , λ) √ ε y − yε − 32 √ ¯ , ∀(y, λ, µ) ∈ F (3.6) ε λ−λ Cho zε tựa ε-nghiệm (P) (zε , λ∗ + µ∗ ) cặp KKT xác đến ε Ta nhận ft (zε ) = với t ∈ T (λ∗ + µ∗ ) Chú ý T (λ∗ ), T (µ∗ ) ⊂ T (λ∗ + µ∗ ) Điều kéo theo ft (zε ) = với t ∈ T (µ∗ ) ∪ T (λ∗ ) Khi đó, µ∗t ft (zε ) = với t ∈ T Điều dẫn đến (zε , λ∗ + µ∗ ) nghiệm chấp nhận (D) Từ (3.6), ta nhận ¯ ≥ L(zε , λ∗ ) − L(yε , λ) √ ε zε − yε − √ ¯ ε λ∗ − λ Chú ý ft (zε ) = với t ∈ T (λ∗ ) Vì vậy, L(zε , λ∗ ) = f (zε ) Do đó, ¯ ≥ f (zε ) − L(yε , λ) √ ε zε − yε − √ ¯ ε λ∗ − λ (3.7) ¯ ε-nửa lồi C, ta Mặt khác, áp dụng định lý 3.1.1 với L(·, λ) f (zε ) + √ ¯ ε zε − yε ≥ L(yε , λ) Điều (3.7) dẫn đến kết luận Ta nhận kết sau toán đối ngẫu thiết lập dạng Mond-Weir Hệ 3.2.1 Cho trước ε > Giả sử zε tựa ε-nghiệm (T ) của(P) tồn µ∗ ∈ R+ cho (zε , µ∗ ) cặp KKT xác đến ε Cho yε tựa ε-nghiệm (DM ) Nếu f ε-nửa lồi C |f (yε ) − f (zε )| ≤ 33 √ ε yε − zε Kết luận Đề tài đạt điểm sau đây: Làm tốt điều kiện để nhận nghiệm xấp xỉ tối ưu toán (P) cách cải tiến số kết công bố báo số [13] để nhận nghiệm xấp xỉ cho lớp toán không lồi có vô hạn ràng buộc Dựa hàm Lagrange cải tiến để thiết lập mô hình toán đối ngẫu dạng hỗn hợp Từ thiết lập định lý đối ngẫu xấp xỉ tìm lại kết giới thiệu báo [13] Đồng thời thu định lý đối ngẫu xấp xỉ dạng Mond-Weir Đề nghị dạng đánh giá giá trị xấp xỉ tối ưu gía trị toán gốc giá trị toán đối ngẫu lớp toán nêu 34 Tài liệu tham khảo [1] F.H Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis WilleyInterscience, New York, (1983) [2] J Dutta, Necessary optimality conditions and saddle points for approximate optimization in Banach spaces, TOP, 13 (2005), 127143 [3] N Dinh and T.Q Son, Approximate optimality condition and duality for convex infinite programming problems, J Science and Technology Development, 10 (2007), 29-38 [4] A Hamel, An ε-Lagrange Multiplier Rule for a Mathematical Programming Problem on Banach Spaces, Optimization, 49 (2001), 137-149 [5] D.S Kim and T.Q Son, ε-Optimality Conditions for Nonconvex Semi-infinite Programs involving Support Functions, Fixed Point Theory and Applications, 2011:175327, (2011) doi: 10.1155/2011/175327 [6] D S Kim and T.Q Son, Characterizations of solution sets of a class of nonconvex semi-infinite programming problem, Journal of Nonlinear Analysis and Convex Analysis,12 (2011), 429-440 35 [7] S.S Kutateladze, Convex ε programming, Soviet Math Doklady, 20 (1979) 391-393 [8] P.-J Laurent,Approximation et Optimization, Hermann, Paris, (1972) [9] P Loridan, Necessary conditions for ε-optimality, Math Program Study, 19 (1982), 140-152 [10] J.C Liu, ε-Duality Theorem of Nondifferentiable Nonconvex Multiobjective Programming, J Optim Theory Appl., 69 (1991), 153167 [11] R Mifflin, Semismooth and semiconvex functions in constrained optimization, SIAM J Control Optim., 15 (1977), 959-972 [12] C Scovel, D Hush, and I Steinwart, Approximate Duality, J Optim Theory Appl., 135 (2007), 429-443 [13] T.Q Son, J.J Strodiot, V.H Nguyen, ε-Optimality and εLagrangian duality for a nonconvex programming problem with an infinite number of constraints, J Optim Theory Appl., 141 (2009), 389-409 [14] T.Q Son and D.S Kim, ε-Mixed Type Duality for Nonconvex Multiobjective Programs with an Infinite Number of Constraints, J Global Optim., (2012), Doi 10.1007s10898-012-9994-0 [15] J.J Strodiot, V.H Nguyen, and N Heukemes, ε-Optimal Solutions in Nondifferentiable Convex Programming and Some Related Questions, Math Programming, 25 (1983), 307-328 36 [16] K Yokoyama, ε-Optimality Criteria for Convex Programming Problems Via Exact Penalty Functions, Math Programming , 56 (1992), 233-243 [17] I Ekeland, On the Variational Principle, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 47, pp 324-353, 1974 [18] T.V Thach and T.Q Son, Almost ε-quasisolutions of a nonconvex programming problem with an infinite number of constraints, Journal of Science & Technology Development (VNU), (2012), 57-68 [19] T.Q Son, D.S Kim and N.N Tam, Weak stability and strong duality of a class of nonconvex programs via augmented Lagrangian, Journal of Global Optimization, Volume 53, Number (2012), 165-184 [20] Dinh N., Goberna M.A., and Lopez M.A (2006), From linear to convex systems: Consistency, Farkas lemma and applications, Journal of Convex Analysis, 13, 113-133 [21] Dinh N., Goberna M.A., Lopez M.A., and Son T.Q (2007), New Farkas-type constraint qualifications in convex infinite programming, ESAIM: Control, Optimisation & Calculus of Variations, 13, 580-597 37 ... kết nghiệm tối ưu xấp xỉ lớp toán tối ưu không lồi có vô hạn ràng buộc Cần phải nhắc lại rằng, lớp toán này, số vấn đề nghiên cứu điều kiện tối ưu, điều kiện tối ưu xấp xỉ, đặc trưng tập nghiệm, vv,... hầu tựa ε -nghiệm lại có tính địa phương phù hợp với toán không lồi Gần đây, báo [13], số kết điều kiện tối ưu xấp xỉ định lý đối ngẫu xấp xỉ toán tối ưu dạng không 14 lồi có vô hạn ràng buộc thiết... cho toán không lồi có vô hạn ràng buộc nói chẳng hạn như: nới lỏng điều kiện cài đặt cho toán, tìm hiểu mối liên quan giá trị tối ưu xấp xỉ toán tối ưu đối ngẫu, vai trò hàm Lagrange xấp xỉ,