TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ NĂM HỌC 2015 – 2016 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN Nội dung Câu 1a 3 Hàm số y  x  x  (1,0 2 điểm)  TXĐ: D = R  Sự biến thiên: 1,0 0,25 x  - Chiều biến thiên: y '  3x  3x , y '    x  Hàm số đồng biến khoảng (;0) vµ (1;+) , nghịch biến khoảng (0;1) - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x  0; yC §  , đạt cực tiểu x  1, yCT  - Giới hạn: lim y  ; lim y   x  0,25 x  - Bảng biến thiên: x  y’ y  +   – 0 + 0,25  Đồ thị: y 0,25 O 1b (1 đ) x + Đường thẳng 6x– y – 4=0 có hệ số góc +Gọi M0( x0; y0) điểm mà tiếp tuyến song song đường thẳng 6x - y- 4=0  f '( x0 )  0,25 0,25  3x02  x0   x0  1   x0  +Với x0 =2 y0 = 5/2M0( 2; 5/2) x0 = -1y0 = -2  M0( -1 ; -2 ) + Kiểm tra lại M0( 2,5/2) tiếp tuyến M0 có pt y= 6(x – 2)+5/2 ( nhận) M0(-1;-2)tiếp tuyến M0 có pt y  6( x  1)  =6x+4(nhận) Câu 2(1,0 điểm) 2a(0,5 TXĐ: D=R điểm) y   (ex ) (x  x  1)  ex (x  x  1)  ex (x  x  1)  ex (2x  1) x 0,25 0,25 0,25  e (x  3x ) 2b(0, điểm) y '(ln )  2( ln2  ln 2) Điều kiện x  Bất phương trình tương đương (4x  3)2 log3 2 2x   16x  42x  18   0,25 0,25 3  x3 3  Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình S=  ;3 4  0,25 Câu 3(1)   u  2x   du  2.dx Đặt       v   cos x dv  sin xdx      I  (2x  1)cos x   (2 cos x )dx  = (2  1)   sin x = 2  0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 4(1,0 đ) Mặt cầu (S) có tâm I(2;–3;–3), bán kính R  22  (3)2  (3)2  17  cách từ tâm I đến mp(P):  2(3)  2(3)  d  d(I ,(P ))  1R 2  (2)   Vì d(I ,(P ))  R nên (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) 0,25 Khoảng Gọi d đường thẳng qua tâm I mặt cầu vuông góc mp(P) d có vtcp   x  t     u  (1; 2;2) nên có PTTS d : y  3  2t (*) Thay (*) vào pt mặt phẳng (P)   z  3  2t    ta (2  t )  2(3  2t )  2(3  2t )    9t    t    11  Vậy, đường tròn (C) có tâm H  ;  ;   3 3 Bán kính r  R2  d    Câu a(0,5 điểm) A  Câu 5b(0, 5đ) 3sin   2cos  3tan    3 5sin   4cos  cos  tan    0,25 0,25 0,25  3tan   70  tan     tan   139 -Có 10 đường kính đường tròn nối đỉnh đa giác - Một hình chữ nhật có đỉnh đỉnh đa giác tạo đường kính nói  4845 -Số cách chọn đỉnh đa giác là: C 20 0,25 0,25 0,25  45 -Số cách chọn đỉnh đa giác tạo thành hình chữ nhật C10 -Xác suất cần tìm : P= 45  4845 323 0,25 Câu 6(1,0 đ) S M A C H B + Kẻ SH vuông góc AC (H  AC)  SH  (ABC) a  SC  BC  a 3, SH  , a2 SABC  a3  VS ABC  SABC SH  Gọi M trung điểm SB  góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC) 0,25 0,25 0,25 Ta có: SA = AB = a, SC  BC  a  AM  SB CM  SB  cos   cos  AMC a a  SB  2 2 AS  AB  SB 10a a 10 AM trung tuyến SAB nên: AM    AM  16 2 a 42   AM  CM  AC   105 Tương tự: CM   cos AMC 2.AM.CM 35 105 Vậy: cos   35    1800  BHD   450 Ta có BAD  BHD  Gọi n(a; b) (a  b2  0) VTPT đường thẳng HB + SAC = BAC  SH  BH  Câu 7(1,0 đ) Do đường thẳng HB tạo với đường thẳng HD góc 450 nên a  3b  a  2b  2a  3ab  2b2    cos 450  2 a  b 10 b  2a 0,25 0,25 Nếu a=-2b Chọn a=2,b=-1 Phương trình đường thẳng HB: 2x-y+2=0 B(b;2b+2), D(3d-1;d)   b  Do G trọng tâm tam giác ADC nên BG=2GD  GB  2GD    B(1;4), d  D(2;1) 0,25 Phương trình đường thẳng AB: 3x+y-7=0; phương trình đường thẳng AD:x+2y-4=0 Suy A(2;1)(loại) Nếu b=2a Phương trình HB: x+2y+1=0   b  B(-2b-1;b), D(3d-1;d)  GB  2GD    B(-5;2), D(5;2) 0,25 d  Phương trình AB: 3x+y+13=0; Phương trình AD:2x-y-8=0 Suy A(-1;-10)   Do ABCD hình bình hành suy AD  BC suy C(1;14) 0,25     Thử lại: cos ABD =cos ( AB; AD) =  BAD  45 (LOẠI) Câu 8(1,0 đ) 3 Từ phương trình (1) ta có x3  3x  ( y  1)3  3( y  1) Điều kiện x  Xét hàm số 0,25 f (t )  t  3t f '(t )  3t  f '(t )  với t suy hàm số f(t) đồng biến R f ( x)  f ( y  1)  x  y  0,25 Thế x=y+1 vào phương trình (2) ta được: ( x  1)( 2x   7x  6)  3( x  1) (3) Ta có x=1 không nghiệm phương trình.Từ 3( x  1) ( 2x   7x  6)  x 1 3( x  1) Xét hàm số g ( x)  ( 2x   7x  6)  x 1   TXĐ: D    ;   \ 1   g '( x)    2 2x  3 (7x  6) ( x  1) 3 g '( x)  0x   ; x  , g '( ) không xác định 2 Hàm số đồng biến khoảng ( ;1) (1; ) Ta có g(-1)=0; g(3)=0 Từ phương trình g(x)=0 có hai nghiệm x=-1 x=3 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (-1;-2) (3;2) 0,25 0,25 Câu t2 t2 Đặt y+z=t (t>0); y  z  ; yz  2 5( x  y  z )  9( xy  yz  xz) 2 0,25  5x  5( y  z )  9x( y  z )  28 yz  5x  5t  9xt  7t  (5x  t )(x  2t )   x  2t 2x P    t 27t t 27t Xét hàm số f (t )   với t>0 t 27t f '(t )    t 9t  f '(t )  t   t  0,25 0,25 1 Lập bảng biến thiên từ suy GTLN P 16 đạt x  ; y  z  12 0,25 ... sin x = 2  0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 4(1,0 đ) Mặt cầu (S) có tâm I(2;–3;–3), bán kính R  22  (3)2  (3)2  17  cách từ tâm I đến mp(P):  2(3)  2(3)  d  d(I ,(P ))  1R 2  (2)  ... Một hình chữ nhật có đỉnh đỉnh đa giác tạo đường kính nói  4845 -Số cách chọn đỉnh đa giác là: C 20 0,25 0,25 0,25  45 -Số cách chọn đỉnh đa giác tạo thành hình chữ nhật C10 -Xác suất cần tìm...  2(3  2t )    9t    t    11  Vậy, đường tròn (C) có tâm H  ;  ;   3 3 Bán kính r  R2  d    Câu a(0,5 điểm) A  Câu 5b(0, 5đ) 3sin   2cos  3tan    3 5sin 