Đang tải... (xem toàn văn)
giải các loại hpt đối xứng, đẳng cấp dùng thi học sinh giỏi và luyện thi đại học.giải các loại hpt đối xứng, đẳng cấp dùng thi học sinh giỏi và luyện thi đại họcgiải các loại hpt đối xứng, đẳng cấp dùng thi học sinh giỏi và luyện thi đại họcgiải các loại hpt đối xứng, đẳng cấp dùng thi học sinh giỏi và luyện thi đại họcgiải các loại hpt đối xứng, đẳng cấp dùng thi học sinh giỏi và luyện thi đại họcgiải các loại hpt đối xứng, đẳng cấp dùng thi học sinh giỏi và luyện thi đại học
Bài số HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU II VÀ HỆ ĐẲNG CẤP I HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU A PHƯƠNG PHÁP Hệ đối xứng loại có đặc trưng thay x y, y x phương trình trở thành phương trình ngược lại f1 ( x; y ) = f1 ( x; y ) − f ( x; y ) = ⇔ Hpt : f ( x; y ) = f ( x; y ) = x = y & f ( x; y ) = ( x − y ) F ( x; y ) = ⇔ ⇔ f ( x; y ) = F ( x; y ) = & f ( x; y ) = Trong F(x;y) biểu thức đối xứng x,y *Chú ý: i) Có thể ta phải đặt ẩn phụ hpt có dạng đối xứng, ta cần lưu ý đến điều kiện ẩn phụ ii) Nếu ẩn x,y có điều kiện thay giữ ngun phương trình (2) ta nên cộng hai phương trình lại với để đưa hệ hai dạng đối xứng loại B MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA : Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 2 x + y − = 2 y + x − = Hướng dẫn giải: Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ Đặt: X = x − 1;Y = y − 1( X , Y ≥ 0) , ta có hệ: 2( X + 1) + Y = X + Y = 1(1) ⇔ 2(Y + 1) + X = 2Y + X = 1(2) Lấy (1) trừ(2) vế theo vế: 2( X − Y ) − ( X − Y ) = ⇔ ( X − Y )(2 X + 2Y − 1) = X = Y ⇔ X + 2Y − = i) Với X=Y, thay vào (2) ta có: X + X − = ⇔ X = (vì X ≥ 0) ⇔ x = y = ii) Với X + 2Y − = ⇔ Y = (1 − X ) , thay vào (1) ta có: Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU VÀ HỆ ĐẲNG CẤP 1+ 1− ⇒Y = (l ) X = 4 4X − 2X −1 = ⇔ 1− (l ) X = 5 5 Vậy hệ có nghiệm ; ÷ 4 4 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: y = x − x + x(1) x = y − y + y (2) Hướng dẫn giải: Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: y − x = x3 − y − 3( x − y ) + 2( x − y ) ⇔ ( x − y )( x + xy + y − x − y + 2) = ⇔ ( x − y ) x + y + ( x + y − 2) = ⇔ x = y (vì x + y + ( x + y − 2)2 > 0) Thay x=y vào (1) ta được: x − x + x = ⇔ x( x − x + 2) = x = x = ⇔ ⇔ x − 4x + = x = ± Vậy hệ có nghiệm: (0;0);(2 + 2;2 + 2);(2 − 2;2 − 2) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: x − y = x + y (1) 2 y − x = y + x (2) Hướng dẫn giải: Trừ vế cua phương trình (1) cho (2) ta có: x2 – y2 – 2y2 + 2x2 = 2x – y+ y– x ⇔ 3( x − y ) = x − y ⇔ ( x − y )(3 x + y − 1) = x− y =0 ⇔ 3 x − y − = x= y ⇔ y = − 3x Thay vào phương trình (1) ta có: TH1: x = y ⇔ x2 – 2x2 = 3x ⇔ x ( x+3) = Trang Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU VÀ HỆ ĐẲNG CẤP x=0⇒ y =0 ⇔ x = −3 ⇒ y = −3 − 3x TH2: y = − 3x − 3x ⇔ x − ÷ = 2x + 2 ⇔ x − 2(1 − x + x ) = 18 x + − x ⇔ x − 3x + = ⇔ x ∈ ∅ Vậy x = y = x = y = -3 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: x2 − 2x + = y x − y + = 4x Hướng dẫn giải: x2 − 2x + = y x − y + = 4x ( x − y ) − 2( x − y ) = −4( x − y ) ⇔ x2 − 2x + = y ( x − y )( x + y + 2) = ⇔ x − 2x + = y x− y =0 x − 2x + − y = ⇔ x + y + = x − x + − y = x− y =0 x=y ⇔ x − 2x + − 4x = x − 2x + − y = x= y TH1: ⇔ x − x + = (a+b+c=0) TH2: x=y x = y =1 ⇔ ⇔ x = y = x = hay x=5 x+ y+2=0 ⇔ x − 2x + − y = y = −2 − x y = −2 − x x ∈∅ ⇔ ⇔ ⇔ y = −2 − x x + x + 13 = ( x + 1) + 12 = Hệ phương trình vơ nghiệm x =1 hay Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: y =1 x = y = Trang Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU VÀ HỆ ĐẲNG CẤP x = my − (1) Ví dụ 5: Giải biện luận theo m hệ phương trinh sau: y = mx − (2) Giải: Lấy (1) – (2) ta được: ⇒ ( x − y )( x + y ) = m( x + y ) y=x ⇒ ( x − y )( x + y + m) = ⇒ y = −x − m TH1: y = x (1) ⇒ x − mx + = (∆ =m − 4) Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ m ≥ (1) – (2) Khi hệ có nghiệm x = y = m + m2 − m − m2 − = α x = y = = β (*) 2 TH2: y = -x – m (1) ⇒ x + mx + m + = ∆ = m − 4( m + 1) = −3m − < Phương trình vơ nghiệm Vậy m ≥ : (α ; α ) , (β ;β ) • m < : vơ nghiệm • x + xy − y = mx (1) y + xy − x = my (2) Ví dụ 6: Giải biện luận theo m hệ: GIẢI Trừ vế hai phương trình ta : x= y (x – y)(x + y – m +1) =0 ⇔ x + y − m +1 = Thay x = y vào (1) ta nghiệm m +1 ⇔ y = m − − x Thay x + y –m + 1=0 , thay vào (1): ∆ = ( m − 1)( m − 5) x − (m − 1) x + m − = có x = y = hay x = y = Biện luận theo m biệt số ∆ để suy nghiệm x y BÀI TẬP TỰ LUYỆN x = 3x + y Bài 1/ Giải hệ phương trình sau: a) y = y + 2x ĐS: (0; 0) , (5;5) , (2;-1) , ( −1; 2) x3 = x + y a ) Bài 2/ Giải hệ phương trình sau: y = 2y + x ĐS: (0;0) , (1;-1) , (-1;1) , ( 3; 3) ; (- 3; − 3) Trang Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU VÀ HỆ ĐẲNG CẤP x + y + = (1) Bài 3/ Giải hệ phương trình sau: a) x + y + = (2) 2 ĐS: (− ; − ) x = y − Bài 4/ Giải hệ phương trình: a) y = x − x = x + y b) y = y + x Bài 5/ Giải hệ phương trình: x + y = x a) 2 y + = x y x3 = x + y b) y = y + x y2 + y = x2 Bài 6/ Giải hpt sau: a) ( ĐS: x = y = ) 3 x = x + y2 x +1 = y b) ( ĐS y +1 = 2x −1 + −1 + −1 − −1 − ; ; ( 1;1) , ÷, ÷) 2 ÷ 2 ÷ 2 x − y = x + y (1) Bài : Giải hệ (x = y = x = y = -3) y − x = y + x (2) x =1 x2 − 2x + = y x = hay Bài Giải hệ phương trình sau: ĐS: y = x − y + = 4x y =1 2 x + y − = 5 5 Bài 9: Giải hệ phương trình: ĐS: ; ÷ 4 4 2 y + x − = y = x − x + x (1) Bài 10: Giải hệ phương trình: x = y − y + y (2) Hệ có ba nghiệm ( 0; ) ; (2+ 2; + 2) ; (2 − 2; − 2) : Bài 11: Giải hệ phương trình: x + y = x 1/ y + x = y x = 13 x + y 3/ y = 13 y + x x = x + y 5/ y = y + x x = y 2/ y = x 2 x = y − y + 4/ 2 y = x − x + x = 3x + y 6/ y = 3y + 2x Trang Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU VÀ HỆ ĐẲNG CẤP x − y = 2x + y 7/ 2 y − 2x = y + x x + y = xy 9/ y + x = xy 2 x + y = y 11/ y + x = 2x x = y + y 13/ 2 y = x + x 2 x − y = 7x 8/ 2 y − 2x = y x + y = 20 10/ y + x = 20 x + y = x 12/ y + x = 32 y x = 3x + y + m 13/ với m y = y + x + m = m = 10 2 x y + = y 14/ 2 xy + = x x2 + = y 16/ y + = 3x 2 x − 3x = y − 18/ 2 2 y − y = x − y x = + x 20/ y2 = + x y x = x + y y = y + x 22/ 2 x + x y = 24 2 xy + y = 24 24/ x − x y = −3 26/ y − y x = −3 2 x = y + x − 20 x 28/ 2 y = x + y − 20 y 2 x y = 2x + y 15/ 2 xy + x = y x − y = x 17/ y − 3x = x y x = x + 3y 19/ y = y + 3x x3 = 3x + y 21/ y = 3y + 2x 7 x + y − 23/ x + y − =0 x2 =0 y2 56 6 x + y − x = 25/ x + y − 562 = y y = x − x + x 27/ x = y − y + y Bài 12: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: 2 x = y + x − mx 2 y = x + y − my Trang Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU VÀ HỆ ĐẲNG CẤP a 7 x + y − x = Bài 13: Cho phương trình sau: 7 y + x − a = y2 Chứng minh hệ có nghiệm với a Bài14 : Giải biện luận theo m hệ phương trình: x + xy − y = mx y + xy − x = my Bài 15: Trong hệ sau xác đònh a để hệ có y = x3 − x + ax nghiệm nhất: x = y − y + ay II HỆ ĐẲNG CẤP A PHƯƠNG PHÁP a1 x + b1 xy + c1 y = d1 Hệ đẳng cấp bậc có dạng: 2 a2 x + b2 xy + c2 y = d Xét xem x =0 (hay y=0) nghiệm hpt khơng? Với x ≠ 0(hay y ≠ 0) Đặt y=tx(hay x=ty), ta có: x (a1 + b1t + c1t = d1 2 x (a2 + b2t + c2t = d Chia hai vế pt ta pt bậc hai theo ẩn t, từ tính x suy y Chú ý: Đối với hệ pt đẳng cấp bậc ba ta thực tương tự A.MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1:Giải hệ phương trình x − xy + y = 2 2 x − 3xy + y = Hướng dẫn giải: _Ta thấy x=0 khơng thoả hệ _Với x ≠ , đặt y=tx, thay vào hệ ta x (t − t + 1) = 1(1) 2 x (2t − 3t + 4) = 3(2) Lấy (1) chia (2) ta 3(t − t + 1) = 2t − 3t + ⇒ t = ±1 Với t=1, ta có x = , suy hệ có nghiệm: (1;1);( −1; −1) Trang Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU VÀ HỆ ĐẲNG CẤP −1 −1 ; ; Với t=-1 ta có x = , suy hệ có nghiệm ÷; ÷ 3 3 x + xy + y = 11 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: 2 x + xy + y = 17 Hướng dẫn giải: Ta thấy x=0, y=0 khơng thoả hệ phương trình, nói cách khác hệ phương rình khơng có nghiêm x =0 Đặt x = ky thay vào hệ ta được: y (3k + 2k + 1) = 11 (1) 2 y (k + 2k + 3) = 17 (2) ⇒ 3k + 2k +1 11 = ( k + 2k + ≥ 0) k + 2k + 17 ⇔ 51k + 34k + 17 = 11k + 22k + 33 ⇔40k +12k −16 = k = − ⇔ k=1 Thay vào (1) ta được: k= − ⇒y = 25 y = ⇒ x=− ⇔ y = − ⇒ x= k= 4 ⇒ y2 = y = ⇒ x =1 ⇔ y = −2 ⇒ x = −1 ; ;− ĐS: − ÷; ÷; ( 1; ) ; ( −1; −2 ) 3 3 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: 3x + xy − y = 38 2 x − xy − y = 15 Hướng dẫn giải: Ta thấy x=0, y=0 khơng thoả hệ phương trình, nói cách khác hệ phương trình khơng có nghiêm x =0 Đặt x = ky thay vào hệ ta được: Trang Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU VÀ HỆ ĐẲNG CẤP 3 x + 5tx − 4t x = 38 2 2 x − 9tx − 3t x = 15 2 x (3 + 5t − 4t ) = 38 (1) ⇔ 2 x (5 − 9t − 3t ) = 15 (1) t = + 5t − 4t 38 ⇒ = ⇔ 54t + 417t − 145 = ⇔ − 9t − 3t 15 t = − 145 18 x = ⇒ y =1 Với t= (2) ⇔ x2 = ⇔ x = −3 ⇒ y = −1 Với t = − x = 145 15.108 (2) ⇔ x2 = − : Phương trình vơ nghiệm 18 12655 x = −3 Vậy y = hay y = −1 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau: x + y − xy = x + xy + x − 27 = Hướng dẫn giải: Ta thấy x=0, y=0 khơng thoả hệ phương trình, nói cách khác hệ phương trình khơng có nghiêm x =0 Đặt x = ky thay vào hệ ta được: x + 6t y − 5tx = 2 x + 2tx + x = 27 t= 2 x + x + x = 27 ⇔ x= x + x + x = 27 x (1 + 6t − 5t ) = 6t − 5t + = ⇔ ⇔ 2 x + 2tx + x = 27 x + 2tx + x = 27 x = −3 ⇒ y = − t= ⇔ 9 x + x − 27 = x= ⇒ y= 10 ⇔ t= 1± ÷÷ 14 x + 18 x − 81 = ⇔ x = − 14 ± 15 ⇒ y = −3 ÷ ÷ 14 ± 15 −1 ± ± 15 9 −1 ± ĐS: −3; − ÷; 14 ÷÷; −3 14 ÷÷÷÷; −9 14 ÷÷; −3 14 ÷÷÷÷; ; 10 ÷ Ví dụ 5: Với giá trị m hệ: 3x + xy + y = 11 2 x + xy + y = 17 + m có nghiệm GIẢI Vì x = 0, y = khơng nghiệm hệ nên đặt: y = kx, hệ trở thành: Trang Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU VÀ HỆ ĐẲNG CẤP x ( + 2k + k ) = 11 2 x ( + 2k + 3k ) = 17 + m ( 1) ( 2) Chia (1) cho (2) ta được: ( 17 + m ) ( + 2k + k ) = 11( + 2k + 3k ) ⇔ ( m − 16 ) k + ( m + ) k + 3m + 40 = ( ) Ta có: + 2k + k > 0, ∀k ⇒ ( 1) ln có nghiệm x Xét : m − 16 = ⇔ m = 16 ( 3) ⇒ 44k + 88 = ⇔ k = −2 Vậy m = 16 ( nhận) Xét m ≠ 16 : m ≠ 16 ∆ ' ≥ (3) có nghiệm k ⇔ m ≠ 16 m ≠ 16 ⇔ ⇔ 2 −m + 10m + 338 ≥ ( m + ) − ( m − 16 ) ( 3m + 40 ) ≥ ⇔ − 11 ≤ m ≤ + 11 ⇒ hệ có nghiệm BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1/ Giải hệ phương trình sau: x − xy + y = −1 ; a) 2 x − xy + y = 13 ĐS: 2 x − xy + y = −1 ; b) 2 x + xy + y = a ) (1;2) ; ( 2;1) ; ( −1; −2 ) ; ( −2; −1) y − xy = c) 2 x − xy + y = 17 17 b) ( 1;1) ; ( −1; −1) ; ; ;− ÷; − ÷ 161 161 161 161 c) ( 1; ) ; ( −1; −4 ) Bài 2/ Giải hệ phương trình: 3 x + xy − y = 38 a) ; x − xy − y = 15 x − xy + y = 13 2 x + xy − y = −6 a ) ( 3;1) ; ( −3; −1) ĐS: x − xy + y = b) ; x − xy + y = 5 2 b) ( 3; ) ; ( −3; −2 ) ; ; ÷ ÷; − ; − 2 25 ; ;− c) ( −2;1) ; ( 2; −1) ; ÷; − 139 139 139 Trang 10 c) 2 ÷ ÷ 25 ÷ 139 ... hệ phương trình: y = x − x + x(1) x = y − y + y (2) Hướng dẫn giải: Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: y − x = x3 − y − 3( x − y ) + 2( x − y ) ⇔ ( x − y )( x + xy + y − x − y + 2) =... x = y = Trang Bài 2: HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU VÀ HỆ ĐẲNG CẤP x = my − (1) Ví dụ 5: Giải biện luận theo m hệ phương trinh sau: y = mx − (2) Giải: Lấy (1) – (2) ta được: ⇒ ( x − y )( x + y ) =... ;β ) • m < : vơ nghiệm • x + xy − y = mx (1) y + xy − x = my (2) Ví dụ 6: Giải biện luận theo m hệ: GIẢI Trừ vế hai phương trình ta : x= y (x – y)(x + y – m +1) =0 ⇔ x + y − m +1 =