Đang tải... (xem toàn văn)
Đồng hành cùng sự phát triển của xã hội và thực hiện theo mục tiêu mà Bộ GD đề ra, ở nhà trường cũng đã nhanh chóng từng bước đổi mới phương pháp dạy và học hướng tới đào tạo thế hệ học sinh thành những con nRèngười lao động tích cực, chủ động, sáng tạo bắt nhịp với xu thế phát triển của toàn cầu hóa. Mục tiêu đó chủ yếu được thực hiện thông qua hoạt động giáo dục và giảng dạy ở nhà trường phổ thông.Trong giảng dạy thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học sinh là hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng kỹ xảo đồng thời rèn luyện trí tuệ. Vì vậy nó được quan tâm nhiều trong dạy học. Chủ đề khoảng cách trong không gian được trình bày cụ thể và chú trọng, tuy nhiên bài tập về vấn đề này đã gây ra không ít khó khăn, vướng mắc cho những người học toán. Trong sách giáo khoa, sách bài tập, và các tài liệu tham khảo, loại bài tập về chủ đề khoảng cách này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét các phương pháp tính khoảng cách trong không gian.Đối với các giáo viên , thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khănTrước các lí do trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học các bài toán tính khoảng cách trong không gian ” nhắm cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính khoảng cách trong không gian, một hệ thống bài tập đã được phân loại một cách tương đối tốt, qua đó giúp học sinh khong phải e sợ phần này và quan trọng, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán.
MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Đồng hành phát triển xã hội thực theo mục tiêu mà Bộ GD đề ra, nhà trường nhanh chóng bước đổi phương pháp dạy học hướng tới đào tạo hệ học sinh thành người lao động tích cực, chủ động, sáng tạo bắt nhịp với xu phát triển toàn cầu hóa Mục tiêu chủ yếu thực thông qua hoạt động giáo dục giảng dạy nhà trường phổ thông Trong giảng dạy hoạt động chủ đạo thường xuyên học sinh hoạt động giải tập, thông qua hình thành kỹ kỹ xảo đồng thời rèn luyện trí tuệ Vì quan tâm nhiều dạy học Chủ đề khoảng cách không gian trình bày cụ thể trọng, nhiên tập vấn đề gây không khó khăn, vướng mắc cho người học toán Trong sách giáo khoa, sách tập, tài liệu tham khảo, loại tập chủ đề khoảng cách nhiều song dừng việc cung cấp tập cách giải, chưa có tài liệu phân loại cách rõ nét phương pháp tính khoảng cách không gian Đối với giáo viên , lượng thời gian ỏi việc tiếp cận phần mềm vẽ hình không gian hạn chế nên việc biên soạn chuyên đề có tính hệ thống phần gặp nhiều khó khăn Trước lí trên, định chọn đề tài: “Rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học toán tính khoảng cách không gian ” nhắm cung cấp cho học sinh nhìn tổng quát có hệ thống toán tính khoảng cách không gian, hệ thống tập phân loại cách tương đối tốt, qua giúp học sinh khong phải e sợ phần quan trọng, đứng trước toán học sinh bật cách giải, định hướng trước làm qua có cách giải tối ưu cho toán Mục đích nghiên cứu Xây dựng, xếp tập khoảng cách có tính hệ thống, thông qua để góp phần phát huy tính tích cực, tư sáng tạo cho học sinh THPT việc dạy học toán tính khoảng cách không gian Đối tượng nghiên cứu Quá trình cách tổ chức dạy học toán tính khoảng cách không gian trường THPT Giả thuyết khoa học Nhiệm vụ nghiên cứu + Tìm hiểu, nghiên cứu số yếu tố tư sáng tạo qua đề xuất số biện pháp rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh dạy học toán tính khoảng cách không gian +Tìm hiểu khái niệm, cấu trúc tư tích cực, tư sáng tạo +Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi tính thực tiễn sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lí luận + Phương pháp điều tra, khảo sát Dàn ý nội dung công trình CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CƠ SỞ LÍ LUẬN (sai cách đánh mục: 1.1 Cơ sở lí luận/ 1.2 Cở thực tiễn/…) 1.1 Tư gì? Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao vật chất tổ chức cách đặc biệt não, trình phản ánh tích cực giới khách quan khả năng, phán đoán, lý luận … Tư xuất trình hoạt động sản xuất người bảo đảm phản ánh thực cách gián tiếp, phát mối liên hệ hợp quy luật thực tại” 1.2 Tư sáng tạo Tư sáng tạo dạng tư độc lập, tạo ý tưởng độc đáo có hiệu giải vấn đề cao Ý tưởng thề chỗ phát vấn đề mới, tìm hướng mới, tạo kết Tính độc đáo ý tưởng thể giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc Theo GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói “Người có óc sáng tạo người có kinh nghiệm phát vấn đề giải vấn đề đặt ra” Tùy theo mức độ tư duy, người ta chia thành ba loại hình: Tư tích cực, tư độc lập, tư sáng tạo, mức độ tư trước tiền đề tạo nên mức độ tư sau Có thể biểu thị mối quan hệ ba loại hình tư sau: Ba vòng tròn đồng tâm tư V.A Krutexcki Tư sáng tạo tạo tạo Tư độc lập Tư tích cực Như hiểu tư sáng tạo kết hợp cao tư độc lập tư tích cực, tạo độc đáo có hiệu giải vấn đề cao 1.3 Các thành phần tư sáng tạo Nhiều nhà nghiên cứu tâm lý học, giáo dục học đưa cấu trúc khác tư sáng tạo Tuy nhiên theo tác giả Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân tư sáng tạo có thành phần sau 1.3.1 Tính mềm dẻo Tính mềm dẻo tư lực dễ dàng từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác , từ thao tác tư sáng thao tác tư khác, vận dụng hoạt động phân tích, suy diễn , tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ gặp trở ngại Tính mềm dẻo tư lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan điểm sang góc độ quan điểm khác, định nghĩa vật tượng , gạt bỏ sơ đồ tư có sẵn xây dựng phương pháp tư , tạo vật quan hệ , chuyển đổi quan hệ nhận chất vật điều chỉnh phán đoán Suy nghĩ không rập khuôn , không áp dụng cách máy móc kiến thức kỹ có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, có yếu tố thay đổi , có khả thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm kinh nhiệm, phương pháp , cách suy nghĩ có từ trước Đó nhận vấn đề điều kiện quen thuộc, nhìn thây chức đối tượng quen biết Như vậy, tính mềm dẻo đặc điểm tư sáng tạo, để rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh ta cho em giải tập mà thông qua rèn luyện tính mềm dẻo tư 1.3.2 Tính nhuần nhuyễn Đó lực tạo cách nhanh chóng tổ hợp yếu tố riêng lẻ tình hoàn cảnh, đưa giả thuyết ý tưởng Là khả tìm nhiều giải pháp nhiều góc độ tình khác Tính nhuần nhuyễn đặc trưng khả tạo số lượng định ý tưởng Số ý tưởng nhiều có nhiều khả xuất ý tưởng độc đáo Trong trường hợp nói số lượng làm nảy sinh chất lượng 1.3.3 Tính độc đáo Tính độc đáo tư đắc trưng khả - Khả tìm tượng kết hợp Khả nhìn mối liên hệ sựu kiện mà bên - liên tưởng liên hệ với Khả tìm giải pháp lạ lụy biết giải pháp khác Các yếu tố không tách rời mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với , hỗ trợ bổ sung cho Khả dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác ( tính mềm dẻo ) tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp nhiều góc độ tình khác 1.3.4 Tính hoàn thiện Là khả lập kế hoạch, phối hợp ý nghĩ hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra chứng minh ý tưởng 1.3.5 Tính nhạy cảm vấn đề Là lực nhanh chóng phát vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu, từ đưa đề xuất hướng giải quyết, tạo Ngoài tư sáng tạo có yếu tố quan trọng khác như: Tính xác, lực định giá trị, lực định nghĩa lại, khả phán đoán Các yếu tố nói không tách rời mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho Khả dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp nhiều góc độ tình khác (tính nhuần nhuyễn) nhờ đề xuất nhiều phương án khác mà tìm phương án lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố lại có mối quan hệ khăng khít với yếu tố khác như: Tính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất yếu tố đặc trưng nói góp phần tạo nên tư sáng tạo, đỉnh cao hoạt động trí tuệ người Hoạt động giải toán hoạt động đặc biệt kích thích học sinh tìm tòi, khám phá, giải toán khó thông qua việc huy động tri thức có với mong muốn tiếp thu tri thức mới, qua giúp HS rèn luyện tư sáng tạo toán học, dạng tập có tác dụng định thành phần tư sáng tạo Để thực tốt biện pháp trên, giáo viên cần thường xuyên trau dồi kiến thức toán học phổ thông, sở kiến thức toán học đại có liên quan đầu tư phương pháp dạy học tốt 1.4 Một số hạn chế, khó khăn mà học sinh giáo viên thường gặp giải toán khoảng cách không gian 1.4.1 Thực trạng chung Hình học không gian môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú, môn học đòi hỏi học sinh có tính trừu tượng, trí tưởng tượng không gian, đòi hỏi tính sáng tạo cao Phương pháp dạy học chưa phù hợp với nội dung lực học sinh Giáo viên hạn chế việc nâng cao hiệu sử dụng phương tiện, chất lượng công cụ, thiết bị đồ dùng dạy học môn… Từ nguyên nhân dẫn đến học sinh chưa hứng thú học tập môn hình học không gian, kết học tập học sinh hạn chế 1.4.2 Thực trạng đối với giáo viên Qua thời gian ngồi ghế nhà trường năm cấp 3, trao đổi với bạn bè thầy cô dạy học môn hình học không gian với nội dung để vận dụng giải toán, cho thấy trình dạy học môn, phần lớn giáo viên dừng lại mức trang bị lý thuyết giao nhiệm vụ cho học sinh với vài tập cụ thể mà chưa khai thác toán nhiều dạng khác Do khả giáo viên có phần hạn chế môn dẫn tới chưa thu hút học sinh say mê học tập, chất lượng dạy học môn có hạn chế định: Giáo viên cố gắng đưa hệ thống câu hỏi gợi mở để dẫn dắt học sinh tìm hiểu vấn đề nêu ra, học sinh tập trung đọc sách giáo khoa, quan sát hình vẽ, tích cực suy nghĩ, phát giải vấn đề theo yêu cầu câu hỏi Tuy kết học sinh thuộc bài, hiểu chưa sâu sắc kiến thức, kĩ vận dụng vào thực tế chưa cao, đặc biệt sau thời gian không thường xuyên ôn tập tiếp tục học thêm nội dung học sinh không nắm vững kiến thức học trước 1.4.3 Thực trạng đối với học sinh Trong trình dạy học môn Toán, môn Hình học trình học tập học sinh nhiều em học tập chưa tốt Đặc điểm môn học môn yêu cầu em có trí tưởng tượng phong phú Cách trình bày chặt chẽ, suy luận logic hình học làm cho học sinh khó đạt điểm cao tập hình không gian Ở trường em học sinh học sách Hình học bản, tập tương đối đơn giản so với sách nâng cao làm tập đề thi khảo sát chất lượng tập có yêu cầu cao nên gây phần lúng túng cho học sinh Nhiều em cách trình bày giải, sử dụng kiến thức hình học học chưa thục, lộn xộn giải Cá biệt có vài em vẽ hình xấu, không đáp ứng yêu cầu giải hình học.Vậy nguyên nhân cản trở trình học tập học sinh? Khi giải toán hình học không gian giáo viên học sinh thường gặp số khó khăn với nguyên nhân : + Học sinh cần phải có trí tưởng tượng không gian tốt gặp toán hình không gian + Do đặc thù môn hình không gian có tính trừu tượng cao nên việc tiếp thu, sử dụng kiến thức hình không gian vấn đề khó học sinh + Học sinh quen với hình học phẳng nên học khái niệm hình không gian hay nhầm lẫn, khó nhìn thấy kết hình học phẳng sử dụng hình không gian, chưa biết vận dụng tính chất hình học phẳng cho hình không gian + Một số toán không gian mối liên hệ giả thiết kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng việc định hướng cách + Bên cạnh có nguyên nhân em chưa xác định đắn động học tập, chưa có phương pháp học tập cho môn, phân môn hay chuyên đề mà giáo viên cung cấp cho học sinh Cũng thầy cô chưa trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tôt làm giảm nhận thức học sinh 1.5 Phương pháp chung để giải toán tính khoảng cách không gian Ta biết dạy toán dạy hoạt động toán học, giải toán hoạt động chủ yếu Giải toán giúp học sinh nắm vững tri thức, hình thành kỹ kỹ xảo, phát triển tư tích cực, độc lập sáng tạo Nghiên cứu hoạt động phát triển trí tuệ người, người ta rút nhận xét: Có hai phạm trù khác ý nghĩ: Phạm trù thứ bao gồm sản sinh cách tích cực hành vi, tư duy, suy ngẫm Phạm trù thứ hai gồm tự phát lóe lên ý thức chúng ta” Vì việc giải toán nói chung, dạy tập tìm khoảng cách nói riêng phải cung cấp hệ thống tri thức, kỹ giải tập từ kích thích hoạt động tích cực học sinh Đồng thời thông qua hoạt động hướng dẫn làm lóe lên ý tưởng giải toán, sở để học sinh có phát kiến mới, nói cách khác tư sáng tạo học sinh có điều kiện phát triển lên cao Theo “sáng tạo toán học” PÔLIA(1975) phương pháp chung để giải tập toán gồm bước sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề Bước 2: Tìm cách giải Bước 3: Trình bày lời giải theo trình tự bước thích hợp Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Ta xét ví dụ cụ thể sau: Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm nằm tam giác tới cạnh tam giác số Ta giải toán theo bước cụ thể A K H M B I I' C Hình Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề Để hiểu nội dung đề ta phát biểu toán cách cụ thể: “Cho tam giác ABC, gọi M điểm nằm tam giác Hình chiếu vuông góc M lên cạnh AB, BC, CA H, I, K Chứng minh MH + MI + MK không đổi M di chuyển tam giác ABC” Bước 2: Tìm cách giải Việc giải toán dễ ta xác định số MH + MI + MK Muốn vậy, ta đặc biệt hóa cách lấy M trùng điểm A, I tới vị trí I’ Khi đó: MH + MI + MK = + AI’ + = AI’ Như số cần tìm độ dài đường cao h tam giác ABC Ta đưa toán chứng minh : MH + MI + MK = h Để chứng minh tổng MH + MI + MK = h ta nghĩ tới đặt đoạn thẳng liên tiếp đường thẳng để tạo thành đoạn thẳng có độ dài h, điều khó thực M di chuyển tam giác ABC Hướng khác biểu thị h qua đại lượng không 10 a2 2SVAOC ' a ⇒ AH = = = OC ' a 3 a 2 a 3 OC ' = OC + CC '2 = ÷ +a = 2 SVAOC ' = 1 a2 S ACC ' A ' = a.a = 4 d ( ( AB ' D '),(C ' BD) ) = Vậy a Cách 2: Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : B(a;0;0) ; D (0; a;0) Tính ; ; O ≡ A(0;0;0) B' (a;0; a) ; C (a; a;0) ; ; A' (0;0; a ) C ' ( a; a; a ) D' (0; a; a ) d ( ( AB' D' ), (C ' BD) ) Ta có : ( AB' D' ) : x + y − z = (C ' BD) : x + y − z − a = 44 ⇒ ( AB' D' ) ⇒ // (C ' BD) Hình 37 d ( ( AB ' D '),(C ' BD) ) = d ( A,(C ' BD) ) = a Như giải toán tính khoảng cách không gian phương pháp tọa độ thực theo nước sau: Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình xét Bước 2: Chuyển toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ Bước 3: Giải toán phương pháp toạ độ, chuyển sang ngôn ngữ hình học Ví dụ 14 (Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 ) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); BC = 5cm AC = AD = 4cm ; AB = 3cm ; Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) Giải Cách 1: Vì BC = 5cm AC = 4cm ; AB = 3cm ; nên tam giác ABC vuông A Do tứ diện ABCD vuông A Vậy gọi H hình chiếu vuông góc A mp(BCD) d ( A,( BCD) ) = AH Hình 38 45 AH = AB + AC Vậy Cách 2: AD 34 17 d ( A,( BCD ) ) = ∆ABC + có : = 32 + + 42 42 = 17 34 ⇒ AH = 72 17 AB + AC = BC = 25 nên vuông A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc B (3;0;0) C (0;4;0) D (0;0;4) ; Viết phương Oxyz sau: O ≡ A(0;0;0) ; trình tổng quát mặt phẳng (BCD): x y z + + = ⇔ x + y + z − 12 = 4 Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng d ( A, ( BCD) ) = − 12 16 + + = 12 34 = 17 34 Ví dụ 15 (Trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Giải Cách 1: 46 Ta có: MP / / AD MP = AD nên tứ giác ; NC / / AD NC = AD MNCP hình bình hành Hình 39 ⇒ MN / / ( SAC ) Do hình chóp S.ABCD BO ⊥ SO ⇒ ⇒ BO ⊥ ( SAC ) BO ⊥ AC 1 a ⇒ d ( MN ; AC ) = d ( N ; ( SAC ) ) = d ( B; ( SAC ) ) = BO = BD = 2 4 Cách 2: Gọi O tâm hình vuông ABCD Chọn vuông góc S ( 0;0; h ) A hệ trục toạ độ Đêcac Oxyz sau: O(0;0;0) ; ; a ; 0; ÷ − ÷ a 0; ;0 ;B ; C a ;0;0 ÷ ÷ D a 0;− ;0 Toạ độ trung điểm P SA P M ⇒ SO ⊥ (ABCD) a a h ;− ; ÷ − 2÷ N a h ; 0; ÷ − 2÷ a a ;− ;0÷ ÷ ; E a a ;− ;h÷ − ÷ 2 Hình 40 47 uuuu r uuur r ah uuuu a h MN , AC = 0; − ;0 AM = 0; − ; ÷ ÷ ÷ 2÷ Ta có Vì , uuuu r uuur uuuu r MN , AC AM = a h ≠ nên MN AC chéo uuuu r uuur uuuu r [ MN , AC ] AM d ( MN , AC ) = = uuuu r uuur [ MN , AC ] a 2h a = 2 a h Cách 3: → Đặt : → → → → → OA = a, OB = b, OS = c → → Ta có : → → S E → → a c = 0, b c = 0, a b = P M c A D a b O B C N Hình 41 uuuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r MN = MA + AC + CN = SD + AC + CB 2 = → r uuur uuur uuur uuu r 3r 1r uuu SO + OD + AC + CO + OB = − a − c 2 2 ( ) ( ) → AC = −2 a Gọi PQ đoạn vuông góc chung MN AC , ta có: 48 uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuu r uuur PQ = PM + MA + AQ = xMN + SD + y AO r 1r r r r r r r = x − a − c ÷+ −c − b − ya = − y + x ÷a − ( x + 1) c − b 2 ( ) r2 r2 3 uuur uuuu r y + x a + x + a = x = −1 ( ) ÷ PQ ×MN = ⇒ ⇒ uuur uuur r 2 y + x a = y = PQ ×AC = ÷ uuur 1r a2 a ⇒ PQ = − b ⇒ PQ = OB = ⇔ PQ = Ví dụ 16 ( Trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 ) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a a AA ' = a , cạnh bên Gọi M trung điểm BC Tính theo khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C Giải Cách 1: Gọi E trung điểm BB’ Khi (AME)//B’C nên d ( AM , B ' C ) = d ( B ' C ,( AME )) = d (C ,( AME )) = d ( B,( AME )) Gọi h khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi vuông góc nên: h = BA + BM + BE = a + a + a = a2 49 h= Do a 7 d ( AM , B ' C ) = Vậy a 7 Cách 2: Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc ( 0; a;0 ) ;C ( a;0;0 ) ; B’ uuuu r a AM = ; −a;0 ÷ 2 uuuu r AB ' = 0; − a; a ( Vì ) , ( 0;0; a ) ;M sau: B (0; 0; 0) a ; 0; ÷ 2 uuuur B ' C = a;0; −a ( ; Oxyz ) ; uuuu r uuuur a2 AM , B ' C = a 2; ;a ÷ uuuu r uuuur uuuu r a3 AM , B ' C AB ' = nên AM B’C chéo Hình 42 a3 uuuur uuuur uuuu r a AM , B ' C AB ' = = d ( AM , B ' C ) = uuuu r uuuur 2a + a + a AM , B ' C Ví dụ 17 (Đề thi đại học khối D năm 2007) Cho hình chóp ·ABC = BAD · = 900 , BA = BC = a S ABCD , AD = 2a có đáy Cạnh bên SA hình thang vuông góc với đáy 50 ;A SA = a H Gọi khoảng cách từ H A hình chiếu vuông góc đến mặt phẳng ( SCD ) SB Tính Giải Cách 1: Đặt uuu r r uuur r uuu r r AB = a; AD = b; AS = c S r r r r r r a ×c = 0; b ×c = 0; a ×b = Ta có: N uur r r uuu r r r r uuu r r r SB = a − c; SC = a + b − c; SD = b − c E H K A D Q P Gọi H N B C chân đường vuông góc hạ từ M lên mặt phẳng (SCD) ⇒ d ( H ;( SCD)) = HN Dễ dàng tính SH = SB Hình 43 Khi : uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uur HN = HS + SN = − SB + xSC + ySD 2r x = x − ÷a + + 3 2 r r y ÷b + − x − y ÷c 3 Ta có: 51 r2 x r2 r2 uuur uuu r x − ÷a + + y ÷b − − x − y ÷c = x = HN ×SC = 3 2 3 ⇒ ⇒ r uuur uuu HN ×SD = x + y br − − x − y cr = y = −1 ÷ ÷ 3 uuur r r r r r r a ⇒ HN = a + b + c ⇒ HN = a + b + c = ÷ 12 6 Cách 2: Gọi d1 , d ta có: khoảng cách từ điểm H B đến mp(SCD), d1 SH 2 3V 2V = = ⇔ d1 = d = × BSCD = BSCD d SB 3 S∆SCD S∆SCD VBSCD Trong Ta có: 1 1 a3 = SA ×S∆BCD = SA ×S ∆BID = SA × AB ×ID = 3 3 CD ⊥ AC ⇒ CD ⊥ SC CD ⊥ SA 1 a ⇒ S ∆SCD = SC ×CD = SA2 + AB + BC × CE + ED = a 2 ⇒ d1 = 2 Cách 3: Sử dụng tính chất tứ diện vuông Phân tích Trong toán này, việc tìm chân đường vuông góc hạ từ H xuống mặt phẳng (SCD) khó khăn Vì vậy, ta tìm giao điểm K AH (SCD) quy việc tính khoảng cách từ H đến (SCD) việc tính khoảng cách từ A đến (SCD) Gọi M giao điểm AB CD, K giao điểm AH với SM Ta có BH = BS Suy H trọng tâm tam giác SAM 52 d ( H , ( SCD ) ) Từ ta có: Do d ( A, ( SCD ) ) tứ = diện KH = KA ASDM vuông A nên: 1 1 = 2+ 2+ = ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = a d ( A, ( SCD ) ) AS AD AM a d ( H , ( SCD ) ) = Vậy a Ví dụ 18 Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh Gọi M trung điểm BC, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A′MD ) Giải Cách 1: Gọi Gọi K hình chiếu H A′K ⇒ AH ⊥ A′K Có hình A chiếu MD ⇒ AK ⊥ MD A (1) (2) AA′ ⊥ ( ABCD ) ⇒ AA′ ⊥ MD Từ (1) (3) (3) ⇒ MD ⊥ ( AA′K ) ⇒ MD ⊥ AH (4) Hì nh 44 Từ (2) (4) ⇒ AH ⊥ ( A′MD ) ⇒ d ( A, ( A′MD ) ) = AH 53 Xét Xét ∆AMB ∆CMD ⇒ AM = AB + BM = + vuông B C ⇒ DM = + vuông Chu vi tam giác AMD Áp dụng công thức Hê-rông S∆AMD = p ( p − AM ) ( p − MD ) ( p − AD ) = S∆AMD +1 ta có diện tích tam giác A′AK có AMD +1 +1 +1 + − − ÷ ÷ ÷ − 1÷ ÷= 2 2 ÷ 2 2S = AK MD ⇒ AK = ∆AMD = MD Mặt khác ta có: Xét tam giác vuông = 2 p = +1 ⇒ p = = 2= 5 2 1 = + = + = ⇒ AH = = 2 AH AA′ AK 4 54 Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A′MD ) d ( A, ( A′MD ) ) = AH = Hình 45 Cách 2: Chọn hệ tọa độ hình vẽ, có A ( 0; 0; ) , B ( 1; 0; ) , D ( 0; 1; ) , A′ ( 0; 0; 1) , M ( 1; 1; ) Kéo dài DM cắt AB E , Do MB // AD Phương MB = MC ⇒ BA = BE ⇒ E ( 2;0;0 ) trình mặt phẳng ( A′DE ) theo đoạn chắn là: x y z + + = ⇔ x + y + 2z − = 1 Ta có: M ∈ ED ⇒ M ∈ ( A′ED ) ⇒ ( A′MD ) ≡ ( A′ED ) ⇒ d ( A, ( A′MD ) ) = d ( A, ( A′ED ) ) = Vậy khoảng cách từ điểm A −2 1+ + = tới mặt phẳng ( A′MD ) Nhận xét: Theo suy nghĩ thông thường học sinh dùng phương pháp tổng hợp để giải toán cách giải nên gặp phải khó khăn dựng chứng minh AH ⊥ ( A′MD ) công thức Hê- rông để tính diện tích tam giác , đặc biệt sử dụng AMD Vì với tập này, giáo viên cần khéo léo dẫn dắt đặt câu hỏi gợi ý giúp học 55 sinh biết sử dụng phương pháp tọa độ hóa, đưa toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo công thức Đó cách giải thể tính độc đáo tư sáng tạo Hơn nữa, tính độc đáo lời giải theo cách thể phát hiện: tìm tọa độ điểm E ∈ Ox, nhận mặt phẳng để lập phương trình mặt phẳng ( A′MD ) ( A′MD ) chứa điểm E ∈ Ox theo đoạn chắn Đến toán trở nên vô đơn giản Các ví dụ thể tính độc đáo tư sáng tạo việc phát nhiều cách giải cho toán, biết nhìn toán nhiều góc độ khác từ lựa chon phương pháp phù hợp nhất, nhanh bắt gặp toán tương tự Đồng thời qua góp phần rèn luyện tính nhuần nhuyễn tính mềm dẻo tư sáng tạo KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Việc phát triển tư sáng tạo cho em học sinh khả thi cần thiết phải tiến hành nhà trường phổ thông, điều nhận thức thành nhiệm vụ đặt cho ngành giáo dục nước nhà Dạy học môn Toán nói chung chủ đề toán khoảng cách không gian nói riêng có ĐK thuận lợi để thực nhiệm vụ Qua trình nghiên cứu đề tài nhóm thu kết sau: - giúp học sinh có nhìn tổng quát có hệ thống toán tính khoảng cách, từ có kĩ giải thành thạo toán thuộc 56 chủ đề ứng dụng chúng vào toán tính thể tích số toán thực tế khác - giải cách tương đối, triệt để để toán khoảng cách đối tượng điểm, đường thẳng mặt phẳng - Thông qua việc vẽ hình, tính toán, tìm đường tối ưu để tính khoảng cách, tạo cho em khả làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thân phương pháp Bộ giáo dục đào tạo Điều quan trọng tạo cho em niềm tin, khắc phục tâm lí sợ toán hình học không gian Kiến nghị Mỗi toán thường có nhiều cách giải, việc học sinh phát cách giải khác cần khuyến khích Song cách giải cần phân tích rõ ưu điểm hạn chế từ chọn cách giải tối ưu Đặc biệt cần ý tới cách giải toán bản, có phương pháp áp dụng phương pháp cho nhiều toán khác Với tinh thần theo hướng em học sịnh tìm nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác Chẳng hạn, toán tính góc đối tượng hình học hay chứng minh đẳng thức hình học, toán ứng dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian Qua việc thực tiểu luận, nhóm thu nhận nhiều kiến thức bổ ích lý luận qua tài liệu sách, báo, tạp chí công trình nghiên cứu khoa học lĩnh vực liên quan đến đề tài 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa Hình học 11, NXB Giáo dục, năm 2008 [2] Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2008 [3] Sách tập Hình học 11, NXB Giáo dục, năm 2008 [4] Sách tập Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2008 [5] Sách giáo khoa Hình học 12, NXB Giáo dục, năm 2008 [6] Sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2008 [7] Sách tập Hình học 12, NXB Giáo dục, năm 2008 [8] Sách tập Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2008 [9] Nguyễn Vĩnh Cận, Toán nâng cao Hình học, NXB Đại học Sư phạm [10] Đặng Phúc Thanh, Nguyễn Trọng Tấn (2007) , Rèn luyện giải toán Hình học 11, NXB Giáo dục [11] Lưu Thị Kiêm Tuyến, Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013 – 2014, Tổ Toán – THPT Mĩ Hảo 58