HỘI TOÁN BẮC NAM MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BUÔN MA THUỘT, 9/2017 0962649310 Thể tích khối đa diện MỞ ĐẦU Trong chủ đề tháng 9/2017 Hội Toán Bắc Nam xin trình bày số vấn đề thể tích khối đa diện Chủ đề chia làm vấn đề: Vấn đề 1: Thể tích vật thể Vấn đề 2: Thể tích khối chóp Vấn đề 3: Thể tích khối lăng trụ Vấn đề 4: Tỉ số thể tích Chuyên đề chủ yếu xoay quanh toán THPT, hi vọng giúp ích phần cho bạn đọc, đặc biệt bạn học sinh 12 Sẽ không tránh khỏi thiếu sót biên tập, mong nhận đóng góp từ quý bạn đọc để chuyên đề ngày hoàn thiện Mọi ý kiến đóng góp, quý bạn đọc vui lòng gửi địa email: phamthithuhien117@gmail.com gửi trực tiếp cho Hội Toán Bắc Nam Buôn Ma Thuột, ngày 15 tháng năm 2017 Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam Mục lục Mở đầu THỂ TÍCH VẬT THỂ 2 0.1 Khái niệm 0.2 Tính chất 0.3 Thể tích khối hộp chữ nhật THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 0.4 Công thức tính thể tích khối chóp 0.5 Phương pháp 0.5.1 Tính chiều cao 0.5.2 Tính diện tích đáy 0.6 Ví dụ 0.7 Bài tập 12 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 16 0.8 Công thức tính thể tích khối lăng trụ 16 0.9 Ví dụ 18 0.10 Bài tập 19 TỈ LỆ THỂ TÍCH 23 0.11 Phương pháp 23 0.12 Ví dụ 24 0.13 Bài tập 25 0962649310 Thể tích khối đa diện VẤN ĐỀ 1:THỂ TÍCH VẬT THỂ 0.1 Khái niệm Thể tích vật thể K phần mà vật thể chiếm chổ không gian Thể tích vật thể K kí hiệu : V 0.2 Tính chất V số lớn thỏa mãn tính chất sau: Hai khối đa diện thể tích Thể tích khối lập phương V=1 Nếu khối đa diện phân chia thành khối đa diện thể tích khối ban đầu tổng thể tích khối phân chia Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện 0.3 Thể tích khối hộp chữ nhật Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A✶ B ✶ C ✶ D✶ với ba kích thước a, b, c ; thể tích tính theo công thức: V ✏ abc Đặc biệt a = b = c khối hộp chữ nhật ABCD.A✶ B ✶ C ✶ D✶ trở thành hình lập phương.Khi đó: V ✏ a3 Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện VẤN ĐỀ 2:THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 0.4 V Công thức tính thể tích khối chóp ✏ 13 Bh (1) B diện tích đáy h chiều cao Đối với khối tứ diện ABCD V ✏ AB.CD.sinα.d (2) α ✏ ♣AB, CDq d khoảng cách ♣AB, CDq Đặc biệt khối tứ diện vuông OABC vuông O VO.ABC ✏ OA.OB.OC (3) Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện 0.5 Phương pháp Để tính thể tích khối chóp ta cần tính chiều cao diện tích đáy 0.5.1 Tính chiều cao Ta xác hóa chân đường cao 1) Hai đường xiên hai hình chiếu nhau, suy hình chóp có cạnh bên nha chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy 2) Hai mặt phẳng vuông góc với Đường thẳng nằm mặt phẳng mà vuông góc với giao tuyến vuông góc với mặt phẳng Suy cách tìm hình chiếu H A mp♣P q • Tìm mặt phẳng ♣Qq chứa A cho ♣Qq ❑♣P q • Xác định giao tuyến d (P) (Q) • Trong ♣Qq dựng AH ❑d H 3) Hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng giao tuyến vuông góc với mặt phẳng 4) Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện 0.5.2 Tính diện tích đáy a.Nếu tam giác ABC vuông A ta có hệ thức lượng tam giác vuông ABC sau: ✏ AB   AC BH.BC ✏ AB CH.BC ✏ AC BH.HC ✏ AH AH.BC ✏ AB.AC AM ✏ BC AC sinB ✏ BC 1 ✏   AH AB AC BC b.Hệ thức lượng tam giác thường Định lí hàm số cos: a2 ✏ b2   c2 ✁ 2bc.cosA a b c Định lí hàm số sin: ✏ ✏ ✏ 2R sinA sinB sinC Công thức tính trung tuyến AB   AC ✏ 2AM   2 BC 2 c.Một số công thức tính diện tích Diện tích tam giác S ✏ a.ha S ✏ b.c.sinA Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện ✏ p.r abc S✏ 4R ❛ S ✏ p♣p ✁ aq♣p ✁ bq♣p ✁ cq ♣l   bqh với l độ dài đáy lớn, b độ dài d.Diện tích hình thang S= S đáy bé, h độ dài đường cao hình thang e.Diện tích hình bình hành ✏ AD.DC.sinD S ✏ AQ.BC S ✏ AC.BD.sinα S Đặc biệt hình vuông F GHI có IJ ❑F K Hình bình hành P SON P ✏ Shbh 0.6 Ví dụ Ví dụ (bài 38 sbt trang 10) Chứng minh công thức (2) V ✏ 16 AB.CD.sinα.d Chứng minh ③ ✏ 120 Ví dụ Cho chóp S.ABC Tam giác ABC cân B, AC=a, ABC SA=SB=SC, (SA,(ABC))=60o Tính VS.ABC Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam o 0962649310 Thể tích khối đa diện Dựng hình bình hành ABCE ñ AE // mp(BCD) Ta có VABCD ✏ SBCD d♣A; ♣BCDqq ✏ 13 SBCD d♣E; ♣BCDqq=VE.BCD (1) VEBCD ✏ VB.ECD ✏ SECD d♣B; ♣ECDqq ✏ CD.AB.sin♣CD, AB q.d♣AB, CDq (2) Từ (1) (2) ñ V ✏ AB.CD.sinα.d Giải Gọi H hình chiếu S (ABC) Vì SA=SB=SC nên HA=HB=HC Gọi M trung điểm AC ñ H € BM HA hình chiếu SA (ABC) ñ(SA,(ABC))=(SA,HA)=60o ñ S③ HA ✏ 60o S ABC ✏ BA.BC.sin120o Phạm Thị Thu Hiền Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện 10 Bài 39 sbt tr 10: cho khối chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA=2a Gọi B’, D’ hình chiếu A SB SD Mặt phẳng ♣AB ✶ D✶ q cắt SC C ✶ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ 11 Bài 40 sbt tr 10: Tính thể tích khối tứ diện ABCD có cặp cạnh đối nhau: AB ✏ CD ✏ a, AC ✏ BD ✏ b, AD ✏ BC ✏ c 12 Bài 42 sbt tr 11: Cho đường tròn đường kính AB nằm mp(P) điểm M di động đường tròn đường thẳng vuông góc với mp(P) tai A, lấy điểm S Mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với SB K cắt SM H Tìm vị trí M để thể tích khối chóp S.AHK lớn Chứng minh cung AM nhỏ cung BM 13 Đề thi đai học khối A năm 2013: Cho hình chóp S.ABC có đáy ③ tam giác vuông cân A, ABC ✏ 30o , SBC tam giác cạnh a mặt bênSBCvuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chópS.ABCvà khoảng cách từ điểmCđếnmp♣SAB q Hướng dẫn Phạm Thị Thu Hiền 14 Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện a3 VS.ABC ✏ 16 3VS.ABC d(C,(SAB))= SSAB 14 Đề thi dh khối B 2013: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm măt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mp♣SCDq Hướng dẫn ❄ a3 VS.ABCD ✏ d(A,(SCD))=HI 15 Đề thi đh A 2012 : Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA=2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Phạm Thị Thu Hiền 15 Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện VẤN ĐỀ 3:THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 0.8 Công thức tính thể tích khối lăng trụ Khối lăng trụ tam giác Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Xét mp(AB’C’) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối chóp: A.A’B’C’ A.BCC’B’.Do đó: ✏ VA.A B C   VA.BCC B Trong đó: VA.A B C ✏ SA B C AA✶ VA.BCC B ✏ VA.CC B   VA.BCB VA.CC B ✏ VA B C C ✏ VC.A B C ✏ SA B C CC ✶ VA.BCB ✏ SABC BB ✶ VABC.A B C ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ Từ suy : VABC.A B C ✶ ✶ ✶ ✏ 31 SA B C AA✶ ✏ SA B C AA✶♣doSABC ✏ SA B C ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ BB’ = CC’) Hay V ✏ Sd chiều cao Phạm Thị Thu Hiền 16 Facebook: Hội toán Bắc Nam ✶ ✶ ✶ AA’ = 0962649310 Thể tích khối đa diện Thể tích khối lăng trụ V ✏ Bh B diện tích đáy h chiều cao Một số hình lăng trụ đặc biệt: a) Hình lăng trụ đứng: Lăng trụ có cạnh bên vuông với đáy b) Hình lăng trụ : Lăng trụ đứng đáy đa giác c) Hình hộp : Lăng trụ đáy hình bình hành d) Hình hộp đứng: Lăng trụ đứng đáy hình bình hành 4.Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng tứ diện vuông: (Áp dụng để tính đường cao) OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc H hình chiếu O xuống (ABC), Phạm Thị Thu Hiền 17 Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện Suy ra, H trực tâm tam giác ABC 1 Khi đó, đặt h = d(O,(ABC)) ta có ✏ h OA2 0.9 1   OB   OC Ví dụ Ví dụ 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vuông A ③ ✏ 60 , (BC,(AA’C’C)) = 30 Tính AC’ thể tích khối o ,AC=a, ACB o lăng trụ Hướng dẫn : +Chứng minh B’C ❑ (AA’C’C).Suy A④ CB =(BC,(AA’C’C)) ✶ ✶ =30o +Tính AC’ dựa vào +V ✏ AA SABC ✶ A’B’C vuông A ❄ Đáp số: A’C = 3a, V= a3 Ví dụ 2:Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, điểm A’ cách A,B,C ; (A’A,(ABC))=60o a.Tính thể tích khối lăng trụ cho b.Chứng minh BCC’B’ hình chữ nhật c.Tính diện tích xung quanh lăng trụ Hướng dẫn: Phạm Thị Thu Hiền 18 Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện +Gọi H hình chiếu A’ xuống (ABC) A’A = A’B = A’C suy H trọng tâm ABC +Gọi M trung điểm BC ñ H € AM ④ ✏ ♣A A, ♣ABC qq ✏ 60 ✶ +Theo cách dựng: A✶ AH +V = A’H.S o ABC +Theo tính chất hình lăng trụ.Ta có BCC’B’ hình bình hành, chứng minh BCC’B’ có góc vuông ñ hình vuông ✏ SBCC B❄   SACA C   SABB❄ A a3 a2 ♣2   13q ❄ Đáp số: V = , Sxq ✏ +Sxq ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ 0.10 Bài tập (THPTQG-2017):Cho lăng trụ đứng ABC.A✶ B ✶ C ✶ có BB ✶ ABC tam giác vuông cân B AC ✏ a, đáy ❄ ✏ a Tính thể tích V khối lăng trụ cho (THPTQG-2017):Cho khối lăng trụ đứng ABC.A✶ B ✶ C ✶ có đáy ABC tam giác cân với AB ✏ BC ✏ ✧ a, ABC ✏ 1200 , mặt phẳng ♣AB ✶C ✶q tạo với đáy góc 600 Tính thể tích V khối lăng trụ cho (ĐMH-2017): Tính thể tích V khối lập phương ABCD.A✶ B ✶ C ✶ D✶ biết AC ✶ ❄ ✏ a (ĐMH-2017):Cho lăng trụ tam giác ABC.A✶ B ✶ C ✶ có độ dài cạnh đáy a chiều cao h Tính thể tích V khối Phạm Thị Thu Hiền 19 Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện trụ ngoại tiếp lăng trụ cho (ĐMH-2017): Tính thể tích V khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a (18.tr28 SBTHHNC12) Tính thể tích khối lăng trụ n-giác có tất cạnh a π ĐS: V ✏ na3 cot n Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông AB=BC=a.Cạnh ❄ bên AA’=a 2.Gọi M trung điểm BC.Tính theo a thể tích khối trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách AM B’C Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB=a, AC=2a, AA1 ✏ 2a ❄ ③✏ 5.ABC 120o , M trung điểm CC1 Chứng minh: MB ❑ M A1 , tính khoảng cách từ A tới mp♣A1 BM q ④ ✏ A④ A✶ B ✶ ✏ Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ cạnh a , AA✶ D✶ ④ ✏ a♣ o B AD ➔ α ➔ 90oq Tính VABCD.A✶B ✶C ✶D✶ 10 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình chữ nhật AB=a, AD=a ❄ 3.Hình chiếu vuông góc A’ lên mp(ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc mp(ADD’A’) (ABCD) 60o a Tính VABCD.A B C D ✶ ✶ ✶ ✶ b.Khoảng cách từ B’ đến mp(A’BD) theo a 11 (4.tr31 SGKHHNC12) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có diện tích S AA’ = h.Một mặt phẳng (P) cắt cạnh AA’, BB’, Phạm Thị Thu Hiền 20 Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện CC’ A1 , B1 vC1 Biết AA1 ✏ a, BB1 ✏ b, CC1 ✏ c a Tính thể tích hai phần khối lăng trụ phân chia mặt phẳng (P) b.Với điều kiện a, b, c thể tích hai phần nhau? 12 (23.tr9 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có khoảng cách hai đường thẳng AB A’D độ dài đường chéo mặt bên a.Hạ AK ❑ A’D (K € A’D).Chứng minh AK=2 b.Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ 13 (24.tr9 SBTHHNC12) Đáy khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ tam giác Mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy góc 30o tam giác A’BC có diện tích 8.Tính thể tích khối lăng trụ 14 (25.tr9 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có ④ ✏ 45 Các đường chéo AC’ DB’ đáy hình bình hành B AD o tạo với đáy góc 45o 60o Hãy tính thể tích khối lăng trụ biết chiều cao 15 (27.tr9 SBTHHNC12) Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = ❄ 3, AD = ❄ 7.Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 45o 60o Hãy tính thể tích khối hộp biết cạnh bên 16 (28.tr9 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ mà Phạm Thị Thu Hiền 21 Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện mặt bên ABB’A’ có diện tích 4.Khoảng cách cạnh CC’ mặt (ABB’A’) 7.Hãy tính thể tích khối lăng trụ 17 (29.tr9 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C có đáy ABC tam giác vuông cân với cạnh huyền AB ❄ 2.Cho biết mặt ❄ ④ phẳng (AA’B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA’ = 3, góc B ✶ AB nhọn, góc mặt phẳng (A’AC) mặt phẳng (ABC) 60o Hãy tính thể tích khối lăng trụ 18 (29.tr9 SBTHHNC12) Lấy mặt phẳng vuông góc với cạnh bên khối lăng trụ.Hình chiếu mặt đáy khối lăng trụ mặt phẳng gọi thiết diện thẳng khối lăng trụ Chứng minh thể tích khối lăng trụ tích diện tích thiết diện thẳng với độ dài cạnh bên 19 (41.tr10 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C có đáy a, chiều cao h.Tính thể tích khối chóp A.BC’A’ 20 (52.tr12 SBTHHNC12) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C mà đáy tam giác vuông B có AB=a, BC = b, AA’ = c (c2 ➙ a2   b2).Một mặt phẳng (P) qua A vuông góc với CA’ a.Xác định thiết diện hình lăng trụ cắt mp(P) b.Tính diện tích thiết diện nói Phạm Thị Thu Hiền 22 Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện VẤN ĐỀ 4:TỈ LỆ THỂ TÍCH 0.11 Phương pháp ✏ BABB ✶ SB BC SABC ✶ SAB C SABC ✶ ✶ AC ✏ AB AB AC ✏ ASAA ✶ VA ABC VS.ABC ✶ VS.A B C VSABC ✶ Phạm Thị Thu Hiền 23 ✶ ✶ ✶ ✶ SB SC ✏ SA SA SB SC ✶ ✶ ✶ (4) Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện Chứng minh (4) VS.A B C Ta có ✏ VVA SB C VS.ABC A.SBC A✶ H ✶ SSB C SA✶ SB ✶ SC ✶ ✏ SA SB SC đpcm AH SSBC ✶ ✶ 0.12 ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ Ví dụ Ví dụ Cho chóp S.ABC , SA vuông với mp(ABC), SA=2a Tam giác ③ ✏ 30 H,K hình chiếu A ABC vuông C, AB=2a, CAB o SC SB Tính VHABC VS.AHK Giải ❄ Ta có AC=AB.cos30o ✏ a ❄ ñ VSABC ✏ 31 12 AB.AC.sin30o SA ✏ a 3 HC.SC VHABC HC AC ✏ ✏ ✏ ✏ 2 VSABC SC SC ❄ SC a3 VHABC ✏ VS.ABC ✏ (đvtt) 7 SH SK ✏ 47 12 ✏ 27 VSAHK ✏ SC SB ñ VS.AHK ✏ 27 VS.ABC Phạm Thị Thu Hiền 24 Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện Ví dụ Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ M, N trung điểm cạnh VM N C CBA AA’ cạnh BB’ Tính VM N C A B ✶ ✶ ✶ ✶ Giải ✏ V1 ; VM N C A B ✏ V2 Khi VM N C A B ✏ V2 ✏ VC A B N M ✏ VC M N B   h VC M A B ✏ 2VC M A B ✏ 2VM.C A B ✏ B ✏ V 3 V1 ñ V2 ✏ V ñ V ✏ Gọi VM N C CBA ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ Ví dụ Bài 24sgk tr29 Khối chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng ♣P q qua AM , song song với BD chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần 0.13 Bài tập Bài 16 sgk trang 28: Hãy chia khối tứ diện thành hai khối tứ diện cho tỉ số thể tích hai khối tứ diện số k>0 cho trước Bài 23sgk tr29 Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A✶ , B ✶ , C ✶ khác với S Gọi V V ✶ thể tích khối chóp S.ABC S.A✶ B ✶ C ✶ Chứng Phạm Thị Thu Hiền 25 Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện Giải Gọi O tâm ABCD (SCA) SO❳AM=G ñ G trọng tâm tam giác SAC (SBD) SG Vậy ✏ SO Vì mp(P) song song với BD nên cắt mp(SBD) theo giao tuyến qua G D’B’ ④④ BD (với B’ € SB D’ € SD) SB ✶ SD✶ SG Suy ✏ ✏ SO ✏ 23 SB SD Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, Khối chóp S.AB’MD’ khối đa diện ABCDB’MD’ Ta có : SA SB ✶ SD✶ 2 VS.AB D ✏ ✏ ✏ VSABD SA SB SD 3 VS.AB D ñV ✏9 SABCD SM SB ✶ SD✶ VS.M B D ✏ ✏ 12 23 23 ✏ 29 VSCBD SC SB SD ñ VVS.M B D ✏ 91 SABCD Từ suy ñ VVS.AB M D ✏ VS.ABVD   VS.M B D ✏ 29   91 ✏ 13 SABCD S.ABCD VSAB M D Vậy ✏2 VABCDB M D ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ minh rằng: SA SB SC V ✏ V✶ SA✶ SB ✶ SC ✶ Bài 25 sgk trang 29: Chứng minh có phếp vị tự tỉ số k VA B C D biến tứ diện ABCD thành A’B’C’D’ ✏ ⑤ k ⑤3 VABCD ✶ ✶ ✶ ✶ Bài sgk trang 30: Cho tứ diện ABCD tích V Gọi B’ D’ lượt trung điểm AB AD Mặt phẳng (CB’D’) chia Phạm Thị Thu Hiền 26 Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện khối tứ diện thành hai phần Tính thể tích phần Bài sgk trang 31: Cho khối tứ diện ABCD, E F trung điểm hai cạnh AB CD Hai mặt phẳng (ABF) (CDE) chia khối tứ diện ABCD thành khối tứ diện a Kể tên khối tứ diện b Chứng tỏ khối tứ diện tích c Chứng tỏ ABCD khối tứ diện khối tứ diện nói Bài sgk trang 31: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có diện tích đáy S AA’=h Một mp(P) cắt cạnh AA’, BB’, CC’ A1 , B1 , C1 Biết AA1 a, BB1 ✏ b, CC1 ✏ c ✏ a Tính thể tích hai phần khối lăng trụ phân chia mặt phẳng (P) b Với điều kiện a, b, c thể tích hai phần Bài sgk trang 31Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng (B’C’M) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Bài sgk trang 31: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA a, đáy tam giác vuông cân có AB=BC=a Gọi B’ trung điểm SB, C’ chân đường cao hạ từ A tam giác SAC a Tính thể tích khối chóp S.ABC b Chứng minh SC vuông góc với mp(AB’C’) c Tính thể tích khối chóp S.AB’C’ Bài 43 sbt tr 11: Khối chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi Phạm Thị Thu Hiền 27 Facebook: Hội toán Bắc Nam 0962649310 Thể tích khối đa diện B’, D’ trung điểm SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tìm tỉ số thể tích hai khối chóp S.AB’C’D’ S.ABCD 10 Bài 44sbt tr 11: Khối chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N, P lầ lượt trung điểm AB, AD, SC Chứng minh mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần tích 11 Bài 45 sbt tr 11:Cho khối chóp tứ giác S.ABCD Một mp(α) qua A, B trung điểm M cạnh SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng 12 Bài 47 sbt tr 11: Cho điểm M cạnh SA, điểm N cạnh SB SN SM ✏ , ✏ Mặt khối chóp tam giác S.ABC cho MA NB phẳng (α) qua MN song song với SC chia khối chóp thành hai phần Tìm tỉ số thể tích hai phần 13 Bài 50 sbt tr 11:Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm tứ diện cách mặt tứ diện khoảng r Gọi hA , hB , hC , hD khoảng cách từ điểm A, B, C, D đến mặt đối diện Chứng minh 1 1 ✏       r hA hB hC hD Phạm Thị Thu Hiền 28 Facebook: Hội toán Bắc Nam ...0962649310 Thể tích khối đa diện MỞ ĐẦU Trong chủ đề tháng 9/2017 Hội Toán Bắc Nam xin trình bày số vấn đề thể tích khối đa diện Chủ đề chia làm vấn đề: Vấn đề 1: Thể tích vật thể Vấn đề 2: Thể tích khối. .. lớn thỏa mãn tính chất sau: Hai khối đa diện thể tích Thể tích khối lập phương V=1 Nếu khối đa diện phân chia thành khối đa diện thể tích khối ban đầu tổng thể tích khối phân chia Phạm Thị Thu Hiền... 25 0962649310 Thể tích khối đa diện VẤN ĐỀ 1:THỂ TÍCH VẬT THỂ 0.1 Khái niệm Thể tích vật thể K phần mà vật thể chiếm chổ không gian Thể tích vật thể K kí hiệu : V 0.2 Tính chất