HÀM SỐ LIÊN TỤC http://e-learning.hcmut.edu.vn/ Định nghĩa Cho hàm f(x) xác định xo, f liên tục xo lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 (đồ thị hàm số y = f(x) không bị ngắt xo.) Ngược lại, f gọi gián đoạn xo f liên tục phải xo nếu: f liên tục trái xo nếu: lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0+ lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0− f liên tục xo ⇔ f liên tục phải trái xo Ví dụ  sin x , x ≠ 0,  / f (x) =  x 1, x =  sin x  x , x ≠ 0, / f (x) =  1, x =  sin x lim f ( x ) = lim =1 x →0 x →0 x ⇒ f liên tục xo = sin x lim f ( x ) = lim = ±1 x →0± x →0± ± x ⇒ f liên tục phải không liên tục trái x = 1 , x < 1, x  / f ( x ) = 0 , x = 1, 2 x − , x <   =1 = lim+ f ( x ) = lim+ x →1 x x →1 lim f ( x ) = x →1 lim− (2 x − 1) = x →1 lim− f ( x ) x →1 ≠ f (1) ⇒f không liên tục x = Nhận xét: đặt lại f(1) = 1, f liên tục Phân loại điểm gián đoạn Loại 1: Tồn hữu hạn: + f ( x0 ) = lim f ( x ), x → x0+ − f ( x0 ) * f ( x0+ ) = f ( x0− ) ≠ f ( x0 ) : = lim f ( x ) x → x0− Điểm gián đoạn khử * f ( x0+ ) ≠ f ( x0− ) : Điểm gián đoạn không khử h = f ( x0+ ) − f ( x0− ) : Bước nhảy f x0 Loại 2: trường hợp gián đoạn khác y=f(x) y=g(x) f gđoạn x = -2 (loại khử được) g liên tục x = -2 g gđoạn x= (loại không khử được) Tính chất hàm liên tục Tổng, hiệu, tích , thương (mẫu số khác x0) hàm liên tục liên tục Nếu f(u) liên tục u0, u(x) liên tục x0 u(x0) = u0 f(u(x)) liên tục x0 Các hàm sơ cấp liên tục miền xác định Ví dụ Phân loại điểm gián đoạn điểm ra, x −1 e x −1 / f (x) = x −1 / f (x) = x 1  arctan  ÷ x x = 0, x = x=0 Hàm số liên tục [a, b] Hàm số f liên tục [a, b] ⇔ f liên tục x nằm (a, b), f liên tục phải a, liên tục trái b * f liên tục [a, b] f bị chận [a, b] * f liên tục [a, b] f đạt gtln gtnn [a, b] f liên tục [a, b], gọi m M gtnn gtln f [a, b], ta có ∀k ∈ [m, M ], ∃x0 ∈ [a, b] : f ( x0 ) = k Hệ quả: f liên tục [a, b] f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm (a,b) VD: Xét phương trình x.2x – = (0, 1) ... khử được) g liên tục x = -2 g gđoạn x= (loại không khử được) Tính chất hàm liên tục Tổng, hiệu, tích , thương (mẫu số khác x0) hàm liên tục liên tục Nếu f(u) liên tục u0, u(x) liên tục x0 u(x0)... [a, b] Hàm số f liên tục [a, b] ⇔ f liên tục x nằm (a, b), f liên tục phải a, liên tục trái b * f liên tục [a, b] f bị chận [a, b] * f liên tục [a, b] f đạt gtln gtnn [a, b] f liên tục [a, b],... f(u(x)) liên tục x0 Các hàm sơ cấp liên tục miền xác định Ví dụ Phân loại điểm gián đoạn điểm ra, x −1 e x −1 / f (x) = x −1 / f (x) = x 1  arctan  ÷ x x = 0, x = x=0 Hàm số liên tục [a, b] Hàm