THẠC SĨ TRẦN MẠNH HÂN MA BÍ QUYẾT TH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH -E LƯNG GIÁC CA DU - CÁC KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC - CÁC MẸO LOẠI NGHIỆM NHANH, CHÍNH XÁC - CÁCH BẤM MÁY TÍNH TÌM HƯỚNG GIẢI RE HÀ NAM 8-2014 MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG I CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN MA sin2 x   cos2 x   sin x  cos x    cos2 x   sin2 x  1 2   tan x  tan x  1  cos2 x cos2 x 1   cot2 x  cot2 x  1  sin x sin2 x  tan x cot x   cot x  tan x 4  sin x  cos x   sin x cos2 x ;   sin x  cos6 x   sin2 x cos2 x    sin3 x  cos x  (sin x  cos x )(1  sin x cos x )   sin x  cos3 x  (sin x  cos x )(1  sin x cos x )   2 -E TH II DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC     Góc II Góc III CA DU Góc I sin x cos x tan x cotx         Góc IV     III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT  Hai cung đối cos(x )  cos x tan(x )   tan x sin(x )   sin x cot(x )   cot x  Hai cung bù sin(  x )  sin x tan(  x )   tan x  Hai cung phụ  Hai cung  sin(  x )   sin x tan(  x )  tan x  Hai cung  cos(  x )  sin x  cot(  x )  tan x RE  sin(  x )  cos x  tan(  x )  cot x cos(  x )   cos x cot(  x )   cot x cos(  x )   cos x cot(  x )  cot x  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com MATH-EDUCARE www.MATHVN.com  cos(  x )   sin x  cot(  x )   cot x ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) MA  sin(  x )  cos x  tan(  x )   cot x  Với k số ngun ta có: sin(x  k 2)  sin x tan(x  k )  tan x FB: thayHanSP1 cos(x  k 2)  cos x cot(x  k )  cot x IV CƠNG THỨC CỘNG sin(x  y )  sin x cos y  cos x sin y cos(x  y )  cos x cos y  sin x sin y tan x  tan y tan(x  y )   tan x tan y cos(x  y )  cos x cos y  sin x sin y tan x  tan y tan(x  y )   tan x tan y Đặc biệt: TH sin(x  y )  sin x cos y  cos x sin y -E    sin 2x  sin x cos x  2 2 TH1: Cơng thức góc nhân đơi:  cos 2x  cos x  sin x  cos x    sin x  tan x  tan 2x     tan2 x   cos 2x  cos 2x ;cos2 x  Hệ quả: Cơng thức hạ bậc 2: sin x  2 sin 3x  sin x  sin x  TH2: Cơng thức góc nhân ba:  cos 3x  cos x  cos x CA DU V CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG 1 cos(x  y )  cos(x  y )  sin x sin y   cos(x  y )  cos(x  y ) sin x cos y   sin(x  y )  sin(x  y ) cos x sin y  sin(x  y )  sin(x  y ) cos x cos y  RE x y x y cos 2 x y x y cos x  cos y  2 sin cos 2 x y x y sin x  sin y  sin cos 2 x y x y sin x  sin y  cos sin 2 cos x  cos y  cos Chú ý:    sin x  cos x  sin x   sin x  cos x        cos x          sin x     cos x       Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN u  v  k 2 u  v  k 2  cos u  cos v   u  v  k 2  u  v  k   tan u  tan v   u    k    cot u  cot v    MA  sin u  sin v   u    v  k 2   u  v  k  u  k  Đặc biệt:   k cos x   x  k 2 cos x  1  x    k 2 sin x   x  k  TH cos x   x    k 2  sin x  1  x    k 2 sin x   x  -E Chú ý:  Điều kiện có nghiệm phương trình sin x  m cos x  m là: 1  m   Sử dụng thành thạo câu thần " Cos đối - Sin bù - Phụ chéo" để đưa phương trình dạng sau phương trình bản:   sin u  cos v  sin u  sin   v      cos u  sin v  cos u  cos   v    CA DU sin u   sin v  sin u  sin(v )  cos2 x   Đối với phương trình    sin x  cos u   cos v  cos u  cos(  v )   cos x  1 khơng nên giải trực tiếp phải giải  sin x  1  phương trình thành phần, việc kết hợp nghiệm khó khăn Ta nên dựa vào cơng  cos2 x  sin x   thức sin x  cos x  để biến đổi sau:     sin 2x   sin x  cos x    cos x  2 cos2 x       cos 2x   Tương tự phương trình   sin2 x  1  sin x    2 Bài Giải phương trình sau    cos x         cos x       tan   x          Hướng dẫn giải:     3  cos x    cos  cos x       RE     sin 2x       Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1  3 ,v  , nên dựa vào cơng thức nghiệm ta có 4  3  3 x   k 2 x     k 2 4 4  Vậy nghiệm phương trình là: x    k 2 ; x    k 2 , (k  )          sin 2x      sin 2x      sin 2x    sin           Ta xác định phương trình u  x  MA -E TH   2x       k 2 x     k    12   (k  )    2x     k 2  x   k            cos x    cos  cos x      cos x              x      k 2 x     k 2   12   (k  )   x     k 2 x     k 2   12           tan   x    tan   x    tan   x   tan     3   CA DU     x   k   x   k  , (k  ) 6 Chú ý: Đối với phương trình tan x  m ( tan x  m ), m số điều kiện  cos x  ( sin x  ) khơng cần thiết Bài Giải phương trình sau    sin x  sin 2x           sin x    cos 2x         tan 3x    tan x               cot 2x    tan   x     6 4     Hướng dẫn giải: RE   x  2x    k 2 x     k 2   4  , (k  )    x    2x   k 2 x   k 2   4     2x    2  x  k 2 x  5  k 2         36  x      PT  cos 2x    cos        11  4 3  2x    x    x  k 2  k 2   12    Do PT có dạng tan u  tan v nên ta cần điều kiện cos u  cos v  Để đơn      giản ta chọn điều kiện: cos x     x    k   x   k  Khi đó:      sin x  sin 2x      Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1       5   k , (k  ) tan 3x    tan x    3x   x   k   x    24   5   k , (k  ) 24  Do biến đổi PT dạng tan u  tan v nên ta cần điều kiện cos u  cos v  Để đơn giản ta chọn điều kiện:      cos   x     x   k   x    k    6 Kết hợp nghiệm đường tròn lượng giác thu nghiệm PT: x  MA     3      2x  PT  cot 2x    tan x    tan x    tan              3 11    2x  k   x   k (k  ) 36 TH x  Kết hợp nghiệm đường tròn lượng giác thu nghiệm PT: x  11   k , (k  ) 36 Bài Giải phương trình sau  cos2 x  2(  1) cos x   -E   cos2 x  sin x   tan2 x  (1  3) tan x       2  sin x    cos x  Hướng dẫn giải: CA DU    cos x  x     k 2   (k  )  PT      x    k 2  cos x     RE sin x  (lo¹i)   PT  2(1  sin2 x )  sin x    sin2 x  sin x     sin x  (t/m)   5 Vậy phương trình có nghiệm: x   k 2 x   k 2 , (k  ) 6  tan x  sin x  (lo¹i)     PT    sin x  sin x     tan x  sin x      5 Vậy phương trình có nghiệm: x   k 2 x   k 2 , (k  ) 6    cos 2x        cos 2x  PT   sin 2x   cos 2x  tan 2x  1  x    k  2 Bài Giải phương trình sau  sin x  cos x  sin 2x   sin Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam x x  cos4   sin x 2 www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498)    4  2(sin x  cos x )  cos   2x    FB: thayHanSP1  sin6 x  cos6 x  cos 4x Hướng dẫn giải: 1   sin2 2x  sin 2x  2  sin 2x  1    2x    k 2  x    k,(k  )  sin2 2x  sin 2x      sin 2x  (lo¹i) sin x   PT   sin2 x   sin x  sin2 x  sin x     x  k  (k  )  sin (lo¹i) x   sin 2x        sin  sin  x x  PT  sin 2x  sin 2x          sin 2x  2 (lo¹i)    2x   k 2  x   k ,(k  )  PT   sin2 x cos2 x   sin2 2x   sin2 2x   sin2 2x   sin 2x   2x  k   x  k ,(k  ) -E TH MA  PT   sin2 x cos2 x  sin 2x  Bài Giải phương trình sau 4  cos x  sin x   CA DU  sin x  cos x  sin x cos x  2(sin6 x  cos6 x )  sin x cos x  sin x  (A06) x  (2  3) cos x  sin2 (  ) 1  cos x  Hướng dẫn giải: 1  PT   sin2 2x  sin 2x   sin2 2x  sin 2x    2 x    k ,(k  )  sin 2x  1   sin 2x  (lo¹i)  RE  x    k     (A-2006) Điều kiện:  sin x   sin x   x    k 2     PT  2(sin6 x  cos6 x )  sin x cos x   1  sin2 2x   sin 2x     sin 2x     x   k  , (k  )  sin 2x  sin 2x      sin 2x   (lo¹i)  5 Kết hợp nghiệm ta thu nghiệm phương trình x   k 2 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 MA   cos x  1   PT  cos4 x   cos2 x   cos4 x  cos2 x      cos2 x   (lo¹i)       cos2 x    cos 2x   2x   k   x   k , (k  )   Điều kiện: cos x   x    k 2   x    PT  (2  3)cos x  sin2 (  )  cos x    cos x  1  cos x    1    TH     cos x  cos   x    cos x  sin x   tan x   x   k ,(k  )   -E Bài Giải phương trình sau  sin 3x  cos 2x  sin x  (D-2013)  sin 5x  cos2 x  (B-2013)  sin x  cos x   sin 2x (A-2014)  cos 3x  cos 2x  cos x   (D-2006) Hướng dẫn giải:  PT  sin 3x  sin x  cos 2x   cos 2x sin x  cos 2x   cos 2x (2 sin x  1)  CA DU  x    k    cos 2x        x    k 2  sin x      7  k 2 x    PT  sin 5x   cos 2x   cos 2x   sin 5x  cos 2x  sin 5x     x     k 2  x x k         (k  )   cos 2x  cos   5x     2  x     k 2 2x     5x  k 2   14    PT  sin x  cos x   sin x cos x  sin x (1  cos x )  2(2 cos x  1)    sin x  (lo¹i)   (sin x  2)(1  cos x )     x    k 2  cos x    PT  cos 3x  cos x  cos 2x    2 sin 2x sin x  sin2 x  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam   sin x  x  k   2 2 cos x     x    k 2   RE  sin x    sin x (sin 2x  sin x )    sin x  sin x   www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC MA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: a sin x  b cos x  c  Cách giải: Chia hai vế phương trình cho  a a2  b2 C1: Đặt a a2  b2 a b a  b2 cos x  b  cos , a  b2 b c a  b2  sin  Khi PT  sin(x  )  TH C2: Đặt sin x  a  b2 a2  b2  sin , a  b2  cos  Khi PT  cos(x   )  c a  b2 c a  b2 x ? x ?  Điều kiện có nghiệm phương trình: a  b  c  Chú ý: Khi phương trình có a  c b  c dùng cơng thức góc nhân đơi sử dụng  cos x  sin x   -E phép nhóm nhân tử chung Bài Giải phương trình sau cos 3x  sin 3x   sin x  cos x   sin x  cos x  sin 5x Hướng dẫn giải: 3, c  thỏa mãn điều kiện CA DU  Nhận xét: Trong PT ta xác định hệ số a  1, b  a  b  c phương trình có nghiệm Để giải PT ta cần chia hai vế cho a  b  12  ( 3)2  RE  x    k      12 sin x   sin x     PT  cos x    2 6 x    k 2  12   x    k 2   1   12  sin x    cos x  sin x    PT    4  x  5  k 2 2  12     3x    k     2  cos 3x  sin 3x   sin   3x    3  PT     2 2   3x    k 2 3   x    k   36 , (k  )   2 x   k  36   1   PT  sin x  cos x  sin 5x  sin x    sin 5x   2 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1   5x  x    k 2 x    k    16      5x  x   k  x  k 2     MA Bài Giải phương trình sau    sin 2x  sin   2x      (  1)sin x  (  1)cos x     2 6  ;     cos 7x  sin 7x   0, x    sin x  cos 3x   sin x  1  sin 2x  cos 2x   sin 2x     2  TH  PT  Hướng dẫn giải: sin 2x  cos 2x   -E   2x      k 2 x  k   6  (k  )  x    k   2x     k 2   6  1 1 1 sin x  cos x   PT  8 1 Nhận xét: Sử dụng máy tính 570ES PLUS ta bấm SHIFT SIN 5  12 1 5 , tức 12 CA DU sin thu Vậy ta có nên đưa phương trình dạng cos hay chưa? Câu trả lời chưa Bởi kết 5 5 1 sin x  sin cos x  12 12 5 khơng phải giá trị cung lượng giác đặc 12 biệt có mặt SGK?Vì ta nên làm sau cho thuyết phục: RE   5     3 1  sin     sin cos  cos sin      12 6 2 2   5  5 5 1 5  sin x  sin cos x    sin x     cos   Nên PT  cos   12  12  12 12  x  5     k 2         5 7 5   12 12  sin x    cos    sin x    sin       12    12   13  12  12  x    k 2  12 12   2  k 2 , (k  ) Vậy phương trình có nghiệm: x    k 2 x  Ta có sin sin 3x  cos 3x  2   x     k    k 2  18  5  2    k 2 x   k   PT  sin 3x  cos 3x     3x        sin 3x         3x     Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) Bài Giải phương trình sau    2 sin x    1     sin x cos x   tan x  cot2x  tan 2x  cot x  cos2 x sin 2x 2(cos x  sin x ) cot x   cos 2x  cos x (2 tan2 x  1)  3 MA  tan x  cot x  FB: thayHanSP1  cot x   cos 2x  sin2 x  sin 2x  tan x Hướng dẫn giải   sin x  cos x  sin x  cos x    PT  2(sin x  cos x )   sin x sin x cos x   (ĐHQGHN1997) Điều kiện: sin 2x   x  k TH Giải kết hợp với điều kiện thu được: x    Điều kiện: cos 2x  0, sin x   tan x  1  sin 2x        k , x   k  hay x   k 4 -E sin 2x sin x sin 2x sin x  cos 2x cos x   cos2 x   cos2 x cos 2x cos x cos 2x sin x cos x    cos x (1  cos x cos 2x sin x )     sin 4x     5  k x  k ĐS: x   k   x  24 24  (ĐHNT1997) Điều kiện: sin x  0, cos x  PT  CA DU RE sin x cos x   3  sin2 x  cos2 x  sin x cos x  cos x sin x sin x cos x sin x  (lo¹i)   sin x  sin x cos x   sin x (sin x  cos x )    sin x  cos x   tan x  x   k   (DB2003) Điều kiện: cos x  sin2 x sin2 x  cos 2x   cos x    cos 2x    cos x cos x cos x    sin2 x   1   cos x  (1  cos x ) 2(1  cos x )2  cos x    cos x       k 2  cos x sin 2x sin x (tan x  cot2x )   Điều kiện:    cot x    ĐS: x    k 2, x   Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com 35 MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) PT  sin x cos 2x  cos x sin 2x  FB: thayHanSP1 2(cos x  sin x ) cos x sin 2x   sin x cos x cos x 1 sin x MA  sin x (2 cos x  2)  Kết hợp với điều kiện thu nghiệm phương trình là: x    (A2003) Điều kiện: cos x  0, sin x  0, tan x  1   k 2,(k  ) TH cos x  sin x cos x (cos2 x  sin2 x )    sin2 x  sin x cos x sin x cos x  sin x  cos x  sin x       (cos x  sin x )   cos x  sin x      sin x   sin x  sin x cos x    tan x      x   k (t/m) 2 tan x  tan x   Bài Giải phương trình sau  sin x  cos3 x  2(sin x  cos5 x ) -E  sin x  cos6 x  2(sin x  cos8 x )  sin x  cos x  2(sin10 x  cos10 x )  cos 2x (ĐHNT HCM2000) Hướng dẫn giải  cos 2x  CA DU   sin x (1  sin2 x )  cos3 x (2 cos2 x  1)  cos 2x (sin x  cos3 x )     tan x   (QGHN99) PT  sin x (1  sin2 x )  cos6 x (2 cos2 x  1)   cos 2x   cos 2x (sin x  cos x )     tan x  1 6  PT  sin x (1  sin2 x )  cos8 x (1  cos2 x )   5  cos 2x cos8 x  sin8 x      cos 2x  Bài Giải phương trình sau   tan x (tan x  sin x )  cos x  (DB2003) RE sin 4x cos x  cos x (2 sin x  1)  sin 2x  2(sin x  cos x ) 0  sin2 x   sin 2x cos x  3  cos x  3 cos 2x  8( cos x  sin x )  3   tan 3x  cot2x  tan x   cos6 x  2 sin x sin 3x  cos4 x    3(cot x  cos x )  5(tan x  sin x )   (DB2003) Điều kiện: cos x  Hướng dẫn giải Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com 36 MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) PT   FB: thayHanSP1 sin x  sin x  sin x cos x     cos x  cos x  cos x   cos2 x  sin2 x (1  cos x )  cos3 x  MA  cos2 x (1  cos x )  sin2 x (1  cos x )   (1  cos x )(3 cos2 x  sin2 x )    k ,(k  ) cos 3x   cos x      x   k ,x  k * Điều kiện:   sin 4x   sin 2x  PT  2(tan 3x  tan x )  (tan 3x  cot 2x )  sin 4x sin 2x cos x    cos 3x cos x cos 3x sin 2x sin 4x  sin 4x sin x  cos 2x cos x  cos 3x  sin 4x sin x  cos 3x  cos x  cos 3x  sin 4x sin x  cos 3x  cos x  sin 2x cos 2x sin x  2 sin 2x sin x  sin 2x sin x (4 cos x  1)   cos 2x   (t/m)    Cách (Bạn Hồng& Thanh Tùng A1) Điều kiện: x   k , x  k PT  tan 3x  cot 2x  tan x  tan 2x  cot 2x  tan 3x  tan x  tan 2x  sin 2x sin x  2(tan 3x  tan x )  tan 3x  tan 2x    0 cos 3x cos x cos 3x cos 2x  sin 2x  (lo¹i) sin 2x cos 2x  sin x cos x    sin 2x 4 cos 2x  1    cos 3x cos x cos 2x  cos 2x    cos 2x   (t/m)  1 Vậy phương trình có nghiệm x   arccos    k   ĐS: x   -E TH CA DU   k 2 PT  cos x (cos x  sin x )  cos x (cos x  sin x )  2(sin x  cos x )   2(sin x  cos x )(cos x  1)(2 cos x  1)  Điều kiện: sin2 x    cos 2x   x  RE Kết hợp với điều kiện thu nghiệm phương trình: x  k 2 , k     PT  sin x cos2 x  sin x cos x  cos3 x  cos2 x  8( cos x  sin x )   cos2 x (sin x  cos x )  cos x (sin x  cos x )  8( cos x  sin x )   (sin x  cos x )(2 cos2 x  cos x  8)   PT  2 cos3 x (4 cos3 x  cos x )  2 sin x sin 3x   Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com 37 MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1  cos2 x 2 cos x cos 3x   sin x (2 sin x sin 3x )   (1  cos 2x )(cos 2x  cos 4x )  (1  cos 2x )(cos 2x  cos 4x )  MA  2(cos 2x  cos 2x cos 4x )   cos 2x cos2 2x    x    k   Điều kiện: sin x  0, cos x  PT  3(cot x  cos x  1)  5(tan x  sin x  1)   cos x  sin x cos x  sin x   sin x  sin x cos x  cos x           sin x cos x    cos 2x  TH -E cos x  sin x cos x  sin x      sin x  cos x 2 t  2t   (víi t  sin x  cos x  cos(x   ))    tan x     1  k 2 , x  arctan  k Đối chiếu với điều kiện thu được: x   arccos Chọn góc để đặt ẩn phụ Bài Giải phương trình sau  3 x   x     sin     10  10       sin 3x    sin 2x sin x        sin  CA DU KĨ THUẬT 3: ĐẶT ẨN PHỤ  3 x        cos x  sin   5x   x   3x    cos     cos      sin  Hướng dẫn giải  Nhận xét: Nhìn vào phương trình ta nghĩ dùng cơng thức biến đổi sin tổng  3 x    3x       có  10   10  đừng vội làm khó lắm, ta xem mối quan hệ hai cung  quan hệ với nào?  3 x 9 3x 3x    3t         sử dụng cơng thức 10 10 10 2  RE Thật ta đặt t  góc nhân ba biến đổi dễ dàng PT  sin t  1 sin 3t  sin t  sin t  sin t  sin t (1  sin2 t )   2  Vậy nghiệm phương trình là: x   sin t   cos t   3 3   k 2, x    k 4, k    5 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com 38 MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) Chú ý: Nếu khơng quen với cách biến đổi trên, ta làm sau: FB: thayHanSP1 3 x 3  3x  x   2t     t 10 10 3 x   x  3  2t PT  cos(3  2t )  sin t   sin2 t  sin t    Đặt t  2   k  Đặt t  x  ĐS: x    4 x  3x 3 5x   Đặt t     3t  ,   5t   4  3    sin 5t  cos t  cos 3t  sin 3t PT  sin(5 t )  cos t  cos 3t    t TH MA  sin 5t  sin 3t  cos 3t  cos t  sin t (cos 4t  sin 2t )  x    3 x    áp dụng cơng thức tổng sang tích cho vế trái Chú ý: Có thể chuyển cos     sin      Bài Giải phương trình sau      cos 3x     tan x  -E    cos3 x      tan x   x x  x 2   3x     cos     sin     sin     sin     12   12      Hướng dẫn giải Chọn biểu thức để đặt ẩn phụ Bài Giải phương trình sau CA DU   2 ĐS: x   k , x    k , x  k    tan t   (1  tan t ) tan t  tan t  Đặt t  x  PT  tan t   tan t 5 5 5  k 5, x    k 5, x    k 5  (ĐHYTB1997) ĐS: x  12  Đặt t  x  Hướng dẫn giải RE   sin x  cos x  sin x  cos x  sin x  cos x  1  cos2 x   cos2 2x  cos 2x  sin2 2x cos2 x  cos x  cos x cos x   tan x  sin 2x  cot2 x  2 sin2 x  (3  2) cos x  sin x  cos x  t   Đặt t  sin x  cos x  ( t  ) Từ phương trình ta có t  7t     t  sin x  cos x ,(t  0) Từ phương trình ta có t  1, t  2 (loại)    Vậy sin x  cos x   sin x    sin    Đặt t  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com 39 MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 1  cos2 x   t  Từ phương trình ta có t  1, t  cos x cos x 2   cos 2x  cos 2x  2(1  cos 2x )(1  cos 2x ) Do ta đặt t  cos 2x , t   Đặt t  cos x  MA  Đặt t  tan x  sin 2x  2t  t2 Ngồi ta khai triển đưa phương trình đẳng cấp bậc theo sin cos (1  cos2 x )  2(1  cos2 x )  (3  2) cos x Do đặt t  cos x , t  cos x Chú ý: Có thể đưa phương trình dạng tích (sin2 x  cos x )(3 cos x  2 sin2 x )  3 TH KĨ THUẬT 4: NHĨM BÌNH PHƯƠNG Biến đổi phương trình dạng A2 + B2 = Bài Giải phương trình sau  cos2 x  tan2 x  cos x  tan x     sin2 2x  sin 2x  cos 2x  2 sin x -E  cos2 2x  cos 2x   sin x Hướng dẫn giải  PT  (4 cos x  cos x  1)  (3 tan2 x  tan x  1)  2 cos x      cos x   tan x      x    k 2  tan x     Nhận xét: Vì xuất sin2 2x sin 2x ta nghĩ đến việc đưa (sin 2x  1)2 ta biến    đổi sau: CA DU  PT  sin2 2x  sin 2x   (1  cos 2x )  2 sin x    x    k 2 2   sin 2x  1  sin x    sin x   x    k 2    Nhận xét: Vì xuất cos 2x cos 2x ta nghĩ đến việc đưa (2 cos 2x  1)2 , phần lại   ta biến đổi sin x PT  cos2 2x  cos 2x   sin2 x  sin x      sin x  x    k 2    sin x  0   2 x    k 2 cos 2x      RE   2 cos 2x  1  sin x  2 Biến đổi phương trình dạng A2 = B2 Bài Giải phương trình sau  sin 2x  tan x  tan2 x   tan x  tan2 x  2 sin x  tan2 x  sin2 2x  cos2 x  cot x  cot x  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam cos 2x  cos 2x www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com 40 MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498)  sin2 2x  cos 2x  cos 3x  cos x  32 cos6 FB: thayHanSP1  cos2 3x  cos2 x  cos2 2x  cos 2x  x  sin 3x  sin x MA Hướng dẫn giải  PT   sin x cos x   tan x  tan2 x  (sin x  cos x )2  (1  tan x )2 2  Nhận xét: Ta nhận thấy tan x sin 2x  sin x ta cộng vào vế lượng sin x PT  tan2 x  tan x sin 2x  sin2 2x  cos2 x  sin2 x  (tan x  sin 2x )2   Nhận xét: Vì nhận thấy xuất tan x tan x nên ta chuyển vế để đưa dạng đẳng thức (2 tan x  1)2 TH   tan2 x  tan x   cot2 x  (2 tan x  1)2  tan x    cot x sin x  Nhận xét: Vì nhìn thấy xuất cot x cot x nên ta chuyển vế để xuất (2 cot x  1)2 PT  cos 2x  sin2 x PT  cot x  cot x     2 cot x  1  0  cos 2x cos2 x  2 cot x  1  tan2 x  cot x    tan x -E  Nhận xét: Do xuất nhiều góc khác nên ta biến đổi cos 3x  cos x  2 sin 2x sin x , sau vế trái có sin2 2x nên ta đưa (sin 2x  sin x )2 PT  sin2 2x  cos 2x  sin 2x sin x  (sin 2x  sin x )2  cos 2x  sin2 x CA DU  (sin 2x  sin x )2  cos2 x  Nhận xét: Do xuất cos2 3x  cos2 x nên ta nghĩ đến đẳng thức (cos 3x  cos x )2 Vì ta cộng thêm hai vế với cos 3x cos x vế phải ta dùng cơng thức biến đổi tích sang tổng cos 3x cos x  cos 4x  cos 2x PT  cos2 3x  cos 3x cos x  cos2 x   cos2 2x  cos 2x  cos 3x cos x  (cos 3x  cos x )2   cos2 2x  cos 4x  (cos 3x  cos x )2  sin2 2x  x x x  32 cos  sin 3x  sin x  32 cos6  sin x  sin 3x  2 cos2   sin x 2       cos x  sin x  sin x      KĨ THUẬT 5: XỬ LÍ PHƯƠNG TRÌNH CĨ ĐIỀU KIỆN Biểu diễn nghiệm điều kiện qua hàm số lượng giác RE Trong phần cần sử dụng tốt kết sau: sin x   cos2 x  1; cos2 x  1  sin x  0; cos x   sin x  1 sin x  1  cos x     cos x  1 sin x   sin 2x        cos x  sin x  1      cos x  1   sin x  1   sin x   cos x   sin 2x    Bài Giải phương trình sau Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com 41 MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498)  1 (THTT09)   cos x sin 2x sin 4x  MA  sin2 2x  cos4 2x   x   cot x  sin x 1  tan x tan   (B06)  2 FB: thayHanSP1 sin x cos x 0   (1  sin x  cos 2x ) sin x      cos x   tan x sin 2x  cos4 2x  cos4 4x      tan   x  tan   x      Hướng dẫn giải TH   cos x  0, sin x  1,      (THTT09) Điều kiện: sin 2x  0,  sin x  0,   sin 4x    sin x    Khi PT  sin x cos 2x  cos 2x   sin x sin2 x  sin x     -E  x    k 2  Giải nghiệm sin x kết hợp điều kiện ta được: sin x    x    k 2    Điều kiện: sin 2x  Khi phương trình cho trở thành cos2 2x  sin 2x  1 4 sin 2x  cos 2x    cos 2x  cos 2x      cos 2x  sin 2x   Đối chiếu với điều kiện ta được: sin 2x   x   k   x  (B2006) Điều kiện: sin x  0, cos x  0, cos   sin 2x   CA DU  x x cos x sin x  4 cos x cos  sin x sin    x 2  sin x cos x cos x cos  x    k 2,  12    sin 2x  (t/m)   (k  ) sin 2x x  5  k   12     sin x  1 cos x      (A2010) Điều kiện:  tan x  1 tan x  1     (1  sin x  cos 2x ) sin x  cos x  cos x  cos x Khi PT  2(cos x  sin x ) PT  cos x  sin x sin x RE   sin x  cos 2x   sin x   sin2 x  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com 42 MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1  x     k 2    x   k 2                      x x x x sin   0, cos   0, sin   0, cos   Điều kiện:                4 4                  sin   2x   0, cos   2x    cos 2x   sin 2x  1          Nhận thấy tan   x  tan   x   , phương trình cho trở thành      sin x  (lo¹i)     sin x   (t/m)  TH MA -E sin4 2x  cos4 2x  cos4 4x   sin 4x  cos4 4x  cos4 4x  cos2 4x    sin 2x   cos2 4x   sin 4x    cos  x   Đối chiếu với điều kiện ta sin 2x   x  k ,(k  ) 2 Biểu diễn đường tròn lượng giác  Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác biểu diễn điểm đường tròn lượng giác: x    k 2 biểu diễn ĐTLG điểm xác định cung  CA DU x    k  biểu diễn ĐTLG điểm đối xứng qua tâm O x   k 2 biểu diễn ĐTLG điểm cách nhau, tạo thành đỉnh tam giác x   k 2 biểu diễn ĐTLG n điểm cách nhau, tạo thành đa giác nội tiếp n đường tròn lượng giác  Ta biểu diễn ĐTLG điểm khơng thỏa mãn điều kiện (đánh dấu  ) điểm nghiệm tìm (đánh dấu  ) Những điểm đánh dấu "  " mà khơng trùng với điểm đánh dấu " " điểm thỏa mãn điều kiện Bài Giải phương trình sau tan x  sin x  sin 2x   1 sin 3x  (D2011) 2(sin x  cos6 x )  sin x cos x  (A06)  sin x (1  sin x ) cos x  (A2009)  (1  sin x )(1  sin x )  Hướng dẫn giải Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam RE  sin 2x  cos x  sin x  www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com 43 MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498)     tan x   x    k     Điều kiện:    cos x    x   k      FB: thayHanSP1 MA Khi phương trình cho trở thành: sin2x  cos x  sin x    cos x(sin x  1)  (sin x  1)    sin x  1 x     k 2    (sin x  1)(2 cos x  1)      cos x  x     k 2    TH Kết hợp với điều kiện đường tròn lượng giác ta nghiệm PT x  -E     x   k 2    Điều kiện: sin x  Khi phương trình trở thành:     x  k 2       2(sin6 x  cos6 x )  sin x cos x   1  sin2 2x   sin 2x     sin2 2x  sin 2x    sin 2x  x    k Kết hợp với điều kiện đường tròn LG ta nghiệm PT là: x  5  k 2 ( k   ) CA DU  Điều kiện: sin 3x   x  k   k 2, (k  )  Khi phương trình trở thành   sin 2x  x  k     sin x  sin 2x  sin 3x   sin 2x (2 cos x  1)     cos x   x   2  k 2     Kết hợp với điều kiện đường tròn lượng giác, ta có nghiệm PT là: x   k   Điều kiện: sin x  sin x   (*) Với điều kiện phương trình cho tương đương: (1  sin x ) cos x  3(1  sin x )(1  sin x ) RE      cos x  sin x  sin 2x  cos 2x  cos x    cos 2x       x    2  k 2 x    k 18 Kết hợp điều kiện (*) ta nghiệm: x    2 k (k  ) 18 3 Thử trực tiếp (dùng mệnh đề phủ định) Chúng ta cần lưu ý kết tính chu kì hàm số lượng giác sau đây: Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com 44 MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) sin(x  k 2)  sin x , x   tan(x  k )  tan x , x  FB: thayHanSP1 cos(x  k 2)  cos x , x     k cot(x  k )  cot x , x  k  MA Bài Giải phương trình sau  sin 2x  cos 2x  sin x sin 2x  cot2 x  cos 3x tan 5x  sin 7x   sin x  cos x  3(1  tan x )   tan 5x tan 2x  Hướng dẫn giải  Điều kiện: sin x   cos x  1 Khi phương trình cho trở thành cos x TH sin2 x (1  sin 2x  cos 2x )  2 sin2 x cos x   sin x cos x  cos2 x   2 cos x  cos x  (t/m)  x    k   cos x (sin x  cos x  2)     sin cos (*) x x    Dùng mệnh đề phủ định: Giả sử sin x   cos x  1 , (*)    (vơ lí) Tức -E    nghiệm (*) thỏa mãn Giải (*) ta được: cos x     x   k 2      k , x   k 2  Điều kiện: cos x   sin x  1 Khi phương trình cho trở thành  cos x (3 sin x  cos x )  3(sin x  cos x )   cos x (3 sin x  cos x )  cos x  sin x  cos x   cos x  (t/m)  x  k 2   (3 sin x  cos x  1)(cos x  1)     sin x  cos x  (*) Xét (*): Giả sử cos x   sin x  1 , (*)  3   (vơ lí) Tức nghiệm Vậy phương trình có nghiệm: x  CA DU (*) thỏa mãn Giải (*) ta được: x    arccos cos   13 ; sin   13 ) Vậy phương trình có nghiệm: x  k 2, x    arccos  13 13  k 2 (với  k  Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam RE    m , (m  ) Khi phương trình trở thành 10  x  k   (k  ) sin 5x cos 3x  sin 7x cos 5x  sin 8x  sin 12x     x  k  20 10     k 1 + Giả sử k   m  5k   2m (*) Suy m  2k  10 k 1 Mặt khác, k, m   nên tồn s   cho: s   k  2s  (tức k số lẻ)  Điều kiện: cos 5x   x  www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com 45 MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1  nghiệm PT k  2s  Chọn k  2s thu nghiệm x  s (s  )     k   m  2k  4m   k  2m  (**) + Giả sử 20 10 10 Ta nhận thấy k  2m   ,   nên khơng tồn k, m   thỏa mãn (**)   Do x  nghiệm PT với k   k 20 10   k (k, s  ) Vậy phương trình có nghiệm: x  s x  20 10   x    m  (1) cos 5x   10    Điều kiện:  ( m, n   )     x   cos  x   n  (2)         tan 5x  cot 2x  tan 5x  tan   2x   x  PT  tan 5x  k  tan 2x 14  Suy x  k -E TH MA + Đối chiếu điều kiện (1): + Đối chiếu điều kiện (2): Giả sử CA DU      2m (*) k  m  k  m  14 10 5  2m t 1 Do k, m   nên tồn t   cho: t   m  2t  t 1  t  2s  Mặt khác, t, m   nên tồn s   cho: s     k thỏa mãn điều kiện (*) với k  7s  Thay vào (*) ta được: k  7s  Do x  14 Giả sử      k   n  4k  14n  (**) 14 Ta nhận thấy vế trái (**) số chẵn, vế phải (**) số lẻ nên khơng tồn k , n   thỏa mãn điều    k ln thỏa mãn điều kiện (**) 14   Vậy phương trình có nghiệm: x   k với k  7s  14 kiện (**) Do x  RE Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com 46 MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) FB: thayHanSP1 LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI 2002 - 2014 MA Bài (ĐH A2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) phương trình :  cos 3x  sin 3x    cos 2x  sin x    sin 2x  ĐS : x   5 ;x  3 ĐS : x  k k ;x  (k   ) Bài (ĐH B2002) Giải phương trình : sin2 3x  cos2 4x  sin2 5x  cos2 6x Bài (ĐH D2002)Tìm x thuộc đoạn  0;14 nghiệm đũng phương trình :  TH  cos 3x  cos 2x  cos x   ĐS : x   3 5 7 ;x  ;x  ;x  2 2 ĐS : x    k (k   ) Bài (ĐH A2003) Giải phương trình : cot x   cos 2x  sin2 x  sin 2x  tan x -E Bài (ĐH B2003) Giải phương trình : cot x  tan x  sin 2x  sin 2x ĐS : x     k (k   ) Bài (ĐH D2003) Giải phương trình: ĐS : x    k 2; x   CA DU x   x sin2    tan2 x  cot2      k Bài (ĐH A2004) Cho tam giác ABC khơng tù, thỏa mãn điều kiện cos 2A  2 cos B  2 cosC  ĐS : A  900 ; B  C  450 Tính ba góc tam giác ABC Bài (ĐH B2004) Giải phương trình: sin x   3(1  sin x ) tan2 x ĐS : x   5  k 2; x   k 2 6 Bài (ĐH D2004) Giải phương trình: (2 cos x  1)(2 sin x  cos x )  sin 2x  sin x ĐS : x      k 2; x    k  Bài 10 (ĐH A2005) Giải phương trình: cos2 3x cos 2x  cos2 x  ĐS : x   sin x  cos x  sin 2x  cos 2x  RE Bài 11 (ĐH B2005) Giải phương trình: k (k   ) ĐS : x   Bài 12 (ĐH D2005) Giải phương trình: 2   k 2; x    k       cos4 x  sin4 x  cos x   sin 3x     ĐS : x   k  ( k   )     Bài 13 (ĐH A2006) Giải phương trình: 2(cos6 x  sin x )  sin x cos x  sin x 0 Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam ĐS : x  5  k 2 ( k   ) www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com 47 MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) Bài 14 (ĐH B2006) Giải phương trình:  x cot x  sin x 1  tan x tan     ĐS : x  FB: thayHanSP1  5  k ; x   k 12 12 Bài 15 (ĐH D2006) Giải phương trình: MA ĐS : x  k ; x   cos 3x  cos 2x  cos x   2  k 2 Bài 16 (ĐH A2007) Giải phương trình: 1  sin x  cos x  1  cos x  sin x   sin 2x 2 ĐS: x  k 2; x     k 2; x    k  Bài 17 (ĐH B2007) Giải phương trình TH sin2 2x  sin 7x   sin x ĐS : x   k  k 2 5 k 2  ;x   ;x   18 18 Bài 18 (ĐH D2007) Giải phương trình :  x  sin  cos x   cos x   2  ĐS : x     k 2; x    k 2 Bài 19 (ĐH A2008) Giải hệ phương trình:  7   sin   x     3  sin x     ĐS: x   -E  sin x   5  k ; x    k ; x   k 8 Bài 20 (ĐH B2008) Giải phương trình: Bài 21 (ĐH D2008) Giải phương trình: 2sinx 1  cos2x   sin2x   2cosx Bài 22 (ĐH A2009) Giải phương trình: 1  sin x  cos x  1  sin x 1  sin x  Bài 23 (ĐH B2009) Giải phương trình:  sin x  cos x sin 2x  cos 3x  cos 4x  sin3 x Bài 24 (ĐH D2009) Giải phương trình:  k   ;x    k CA DU sin3 x  cos3 x  sin x cos2 x  sin2 x cos x ĐS: x  cos 5x  sin 3x cos 2x  sin x   ĐS: x   2   k 2; x   k  ĐS: x    k 2 (k   )  18 ĐS: x     k 2  k 2; x   42 ĐS: x   k  k  ;x    18  (1  sin x  cos 2x )s in(x  )  cos x  tan x ĐS: x   Bài 26 (ĐH B2010) Giải phương trình: (sin 2x  cos 2x )cos x  cos 2x  sin x  ĐS : x  RE Bài 25 (ĐH A2010) Giải phương trình :  7  k 2; x   k 2 6  k (k   )  Bài 27 (ĐH D2010) Giải phương trình: Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com 48 MATH-EDUCARE www.MATHVN.com ThS Trần Mạnh Hân (0974514498) sin 2x  cos 2x  sin x  cos x   FB: thayHanSP1 ĐS: x   5  k 2; x   k 2 6 ĐS: x     k ; x   k 2 ĐS : x    k 2  k 2; x   3 ĐS: x    k 2 ( k   ) ĐS: x   2  k ; x  k 2; x   k 2 ĐS: x  2 k 2 (k   )  k 2; x  3 Bài 28 (ĐH A2011) Giải phương trình: MA  sin 2x  cos 2x  sin x sin 2x  cot2 x Bài 29 (ĐH B2011) Giải phương trình: sin 2x cos x  sin x cos x  cos 2x  sin x  cos x Bài 30 (ĐH D2011) Giải phương trình : sin 2x  cos x  s in x  0 TH  tan x Bài 31 (ĐH A2012) Giải phương trình : sin 2x  cos 2x  cos x  Bài 32 (ĐH B2012) Giải phương trình: 2(cos x  sin x ) cos x  cos x  sin x  -E Bài 33 (ĐH D2012) Giải phương trình: sin 3x  cos 3x  sin x  cos x  cos 2x ĐS: x    k ;x  7 12  k 2; x    12  k 2 Bài 34 (ĐH A2013) Giải phương trình: ĐS: x      k ; x    k 2 CA DU    tan x  2 sin x     Bài 35 (ĐH B2013) Giải phương trình: sin 5x  cos2 x  ĐS: x    k 2  k 2  ;x    14 Bài 36 (ĐH D2013) Giải phương trình sin 3x  cos 2x  sin x  ĐS: x   k  7  ; x    k 2; x   k 2 6 Bài 37 (ĐH A2014) Giải phương trình sin x  cos x   sin 2x ĐS : x     k 2 ( k   ) Bài 38 (ĐH B2014) Giải phương trình 2(sin x  cos x )   sin 2x ĐS : x   RE 3  k 2 ( k   ) -Hết - Trường THPT Nguyễn Hữu Tiến - Duy Tiên - Hà Nam www.DeThiThuDaiHoc.com www.matheducare.com 49 ... trình có a  c b  c dùng công thức góc nhân đôi sử dụng  cos x  sin x   -E phép nhóm nhân tử chung Bài Giải phương trình sau cos 3x  sin 3x   sin x  cos x   sin x  cos x  sin 5x Hướng... trường hợp ta để ý x  6x  2x  5x  3x  4x Tại lại cần phải ghép vậy? Lý cần xuất thừa số chung để nhóm ngoài, đưa toán dạng tích PT  (sin 6x  sin x )  (sin 5x  sin 2x )  (sin 4x  sin