I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Để đáp ứng yêu cầu nghiệp công nghiệp hoá, đại hoá đất nước việc dạy học không việc truyền thụ tri thức khoa học, mà phải trang bị cho học sinh khả tìm tòi, khám phá tri thức Cái cốt lõi hoạt động học học sinh vừa ý thức đối tượng cần lĩnh hội, vừa biết cách chiếm lĩnh lĩnh hội Mặt tích cực học sinh định chất lượng học tập Nhà sư phạm Đức – Diestsrwer nhấn mạnh: “ Người thầy giáo tồi người thầy giáo mang chân lý đến sẵn , người thầy giáo giỏi người thầy biết dạy học sinh tìm chân lý” Luật Giáo dục nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam (năm 2005) quy định: “…Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động , sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” Tính tự giác, tích cực người học từ lâu trở thành nguyên tắc giáo dục Nguyên tắc không chưa thực cách nghiêm túc nhà trường Việc giảng dạy môn toán nhà trường phải lấy phương châm biết “biến lạ thành quen” tập dượt cho học sinh biết “biến quen thành lạ “ Để “biến lạ thành quen” trình giải toán.Từ thúc đẩy vận động đổi PPDH Toán tổ chức cho học sinh học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực sáng tạo Với lý chọn nghiên cứu là: “ Một số kinh nghiệm giảng dạy học sinh phát huy tính tích cực thông qua phương pháp giải sáng tác tập toán THPT từ góc nhìn toán gốc” 2.Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trên sở lý luận tính tích cực hoạt động học tập thực tiễn giảng dạy lớp, thông qua rút kinh nghiệm lớp dạy với tinh thần tích cực hoá hoạt động học tập học sinh dạy học môn Toán trường THPT Bản thân rút kinh nghiệm việc thực biện pháp sư phạm nhằm tích cực hoá hoạt động học tập học sinh Vậy nên đề tài làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán trường THPT II NỘI DUNG NHỮNG KINH NGHIỆM NHẰM TÍCH CỰC HÓA HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH TRONG GIẢI VÀ SÁNG TÁC BÀI TẬP TOÁN 2.1 Những định hướng 2.1.1 Định hướng Hệ thống biện pháp phải thể rõ ý tưởng tích cực hoá hoạt động học sinh Quá trình dạy học nhằm tích cực hoá hoạt động học tập học sinh, dựa nguyên tắc phát huy tính tích cực , tự giác, sáng tạo học sinh Thực chất trình tổ chức, hướng dẫn học sinh tìm hiểu, phát giải vấn đề sở tự giác tạo khả điều kiện chủ động học tập Tác giả Nguyễn Bá Kim rõ bốn yêu cầu: - Xác lập vị trí chủ thể người học, đảm bảo tính tự giác tích cực, sáng tạo hoạt động học tập - Dạy học phải dựa nghiên cứu tác động quan niệm kiến thức sẵn có người học, nhằm khai thác mặt thuận lợi, hạn chế mặt khó khăn, nghiên cứu chướng ngại sai lầm có kiến thức trình học tập học sinh - Dạy học không nhằm mục đích dạy nhứng tri thức,kiến thức , kỹ môn mà quan trọng dạy việc học, cách học cho học sinh - Quá trình dạy học bao gồm việc dạy học cách tự học thông qua việc để học sinh tự hoạt động nhằm đáp ứng nhu cầu thân xã hội Nói cách khác, tích cực hoá hoạt động học tập học sinh trình làm cho người học trở thành chủ thể tích cực hoạt động học tập họ 2.1.2 Định hướng Hệ thống biện pháp mang tính khả thi, phù hợp với điều kiện thực tiễn nhà trường THPT Tính khả thi yếu tố quan trọng nhằm đáp ứng với điều kiện thực tiễn yêu cầu dạy học 2.1.3 Định hướng Hệ thống biện pháp phải phù hợp với đặc điểm nhận thức học sinh tức phải đảm bảo tính vừa sứccủa học sinh “Sức” học sinh, tức trình độ lực học sinh, cáci bất biến mà thay đổi trình học tập Việc dạy cho học sinh mặt phải đảm bảo tính vừa sức để chiếm lĩnh tri thức, kỹ năng, kỹ xảo mặt khác lại đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu để phát triển lực học sinh Vì vậy, tính vừa sức thời điểm khác có nghĩa không ngừng nâng cao yêu cầu học tập 2.1.4 Định hướng Trong trình thực biện pháp cần đảm bảo thống vai trò chủ đạo thầy với tính tự giác trò Trong trình dạy học,thầy trò hoạt động, hoạt động có chức khác Hoạt động thầy thiết kế, điều khiển Hoạt động trò học tập tự giác tích cực Vì vậy, đảm bảo thống hoạt động điều khiển thầy hoạt động học tập trò thống vai trò chủ đạo thầy tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo học tập trò 2.2 Những kinh nghiệm sư phạm nhằm tích cực hóa hoạt động học tập học sinh dạy học giải tập toán THPT 2.2.1 Giới thiệu toán với tư cách tình gợi vấn đề Theo nhà tâm lý học, người bắt đầu tư tích cực nảy sinh nhu cầu tư duy, tcs đứng trước khó khăn nhận thức cần phải khắc phục, tình có vấn đề , Rubíntein nói:" Tư sáng tạo bắt đầu tình gợi vấn đề." Giới thiệu toán với tư cách tình gợi vấn đề với mục đích làm cho vấn đề trở nên hấp dẫn, tạo khả kích thích hoạt động tích cực học sinh Ví dụ Sau học xong công thức cộng, yêu cầu học sinh tính giá trị hàm số lượng giác cung không đặc biệt, chẳng hạn tính cos150 Tình trở thành có vấn đề học sinh nhận thấy 150 số đo cung đặc biệt chưa biết thuật giải để giải trực tiếp toán Học sinh tích cực suy nghĩ, huy động tri thức, kỹ tìm lưòi giải cách: Biểu thị 150 qua hai cung có số đo đặc biệt ( 150 = 600 - 450 = 450 - 300) , từ áp dụng công thức cộng cos150 = cos(600 - 450) = cos600 cos450 + sin600 sin450 + = ( 2 =2 =4 + 2) Để củng cố kiến thức cho học sinh giải toán sau Tinh: P = sin 120 sin 480 Không dùng bảng số máy tính, tính giái trị biểu thức − sin 70 0 A = sin 10 Ví dụ2 Dựa vào kết sau: sin x cos x = sin x 1 sin x cos x cos x = sin x cos 2x = sin 4x 1 sin x cos x cos x cos x = sin x cos 4x = sin 8x Hãy nêu toán tổng quát tính π 3π 5π A = cos cos cos 7 Tình gợi vấn đề không xảy từ đầu giáo viên yêu cầu học sinh tính giá trị biểu thức A, bới không tạo điều kiện để học sinh vượt qua sau tích cực suy nghĩ Dự đoán nhờ nhận xét trực quan, học sinh dễ dàng nêu toán tổng quát Chứng minh rằng: sin x cos x cos 2x cos n x = sin n +1 x n +1 n Như vậy, ta biết công thức tính: cosx.cos2x.cos4x cos2 x để tính giá trị biểu thức A ta làm nào? Có thể yêu cầu học sinh quan sát biểu thức A, tìm cách biến đổi để đưa toán tổng quát Ta có: cos 3π 4π 5π 2π = − cos ; cos = − cos 7 7 π π 2π 4π sin cos cos cos π 2π 4π 7 7 = cos cos cos = π 7 sin Suy ra: A 8π π π sin sin( π + ) sin =8 =1 =1 π π π 8 sin sin sin 7 = Hiển nhiên, tập vấn đề học sinh chưa có quy tắc có tính chất thuật toán để giải phương trình Bài tập tương tự 1) cos x = cos ( 3x ) sin x − 2) sin x − cos x = tg x 3) 2tgx + cotg 2x = sin2 x + sin2x Ví dụ Sau học " Công thức lượng giác" yêu cầu học sinh giải tập sau: Chứng minh: π π − x ) sin( + x ) = sin 3x sinx sin( 2, Chứng minh rằng: Trong ABC ta có: 3A 3B 3C sin sin 2 Cos3A + cos3B + cos3C = - 4sin Tìm giá trị lớn biểu thức: sin A + sin B + sin C 2 M= cos A + cos B + cos C Trong ABC ba góc tam giác 2.2.2 Sử dụng dạy học phân hoá điều kiện tiến hành đồng loạt Dạy học phân hoá xuất phát từ biện chứng thống phân hoá từ yêu cầu đảm bảo thực tốt mục đích dạy học với tất học sinh, đồng thời khuyến khích phát triển tối đa khả cá nhân.Là kết hợp giáo dục diện “đại trà” với giáo dục “mũi nhọn,” “phổ cập” với “nâng cao” giảng dạy Ví dụ Bài tập phân hoá nhằm củng cố công thức biến đổi tổng thành tích 1) Biến đổi tổng thành tích biểu thức sau: A = cos x +cos x B = sin 2a − sin 4b C = sin x sin x + sin 3x D = cos a + sin b E = cos a +cos b + cos(a + b) + 2) Chứng minh tam giác ABC ta có: cos A + cos B + cos C = cos 3) Tính: A =cos A B C cos cos 2 π 5π 7π + cos + cos 9 B = cos π 3π 5π 17 π + cos + cos + + cos 19 19 19 19 Ví dụ Bài tập phân hóa nhằm củng cố " Phương trình lượng giác bản" 1) Giải phương trình sau: a) b) sin x = cos 3x = − 2 c) sin x + = 2) Giải phương trình sau: a) sin( 2x − 15 ) = 2 với -1200< x < 900 b) sin 3x = cos 2x tgx − sin x = c) d) sin (5x + 2π x ) = cos ( + π) e) cos 3x.tg5x =sin x 1 + = f) cos x sin x sin 4x 3) Giải biện luận: a) (m - 1) sin x + - m = b) sin cos x = c) (m - 4) tg 2x - m=0 2.2.3 Xây dựng hệ thống toán gốc sở kiến thức kỹ để giải toán Theo quan điểm cá nhân, toán dù khó đến đâu bắt nguồn từ toán đơn giản, có quen thuộc Vì vậy, hệ thống toán gốc giúp cho học sinh tìm chìa khoá để giải vấn đề trình giải toán Vậy toán gốc toán nào? Bài toán gốc toán thoả mãn ba điều kiện sau: - Kết toán sử dụng nhiều việc tìm lời giải toán khác - Phương pháp giải toán sử dụng việc tìm lời giải cho toán khác - Nếu thay đổi giả thiết, kết luận toán 2.2.3.1 Xây dựng toán gốc nhờ khai thác đẳng thức: sin2a + cos2a = với a cos 4a + Bài toán 1: Chứng minh đẳng thức: sin4a + cos4a = Bài toán 2: Chứng minh đẳng thức: sin6a + cos6a = cos 4a + Bài toán 3: Chứng minh đẳng thức: 35 cos 8a + cos 4a + 16 64 sin8a + cos8a= 64 Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào sin α + cos α − A= sin α +cos α − a) 6 b) B = (2 sin α − sin α − sin α ) + (2 cos α − cos α − cos α ) 6 8 Ví dụ 2: Giải phương trình: sin x + cos x = 2(sin x + cos x ) (*) Gặp toán này, vận dụng kết toán toán phương trình đưa dạng quen thuộc biết cách giải Ví dụ 3: a) Chứng minh đẳng thức: sin 10 x + cos10 x = 63 15 + cos 4x + cos 8x 128 32 128 29 b) Giải phương trình: sin10x + cos10x = 16 cos42x sin x + cos x =m π π tg ( x − ) tg ( x + ) 4 Ví dụ 4: Cho phương trỉnh: a) Giải phương trình với m = − (**) b) Với giá trị m phương trình(**) có nghiệm Ví dụ 5: Cho phương trình sin6 x + cos6 x= m sin2 x a) Giải phương trình m = b) Với giá trị m phương trình có nghiệm 17 cos2 2x Ví dụ 6: Giải phương trình : sin8x+ cos8x = 16 Ví dụ 7: Với giá trị m phương trình có nghiệm sin6x + cos6x = m (sin4x + cos4x) 2.2.3.2 Hệ thống toán gốc để giải toán hệ thức lượng giác tam giác Bài toán 1: Chứng minh tam giác ABC ta có: A B C cos cos cos 2 a) sinA + sinB + sinC = A B C sin sin sin 2 b) cosA + cosB + cosC = + c) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC ( ∆ ABC không vuông) Bài toán 2: Chứng minh tam giác ABC ta có: a) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC b) cos2A + cos2B + cos2C = -1- 4cosA.cossB.cosC c) sin2A + sin2B + sin2C = + 2cosAcosBcosC d) cos2A + cos2B + cos2C = 1- 2cossAcosBcosC Bài toán 3: Chứng minh tam giác ABC ta có: A B C C A B C + cotg + cotg = cotg = cotg cotg cotg 2 2 2 a) cotg A B B C C A tg + tg tg + tg tg = 2 2 b) tg 2 Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh tam giác ABC có cos A + cosB + cosC > Ví dụ 2: Chứng minh tam giác ABC ta có: a) tgA + tgB + tgC ≥ 3 b) tg2A + tg2B + tg2 C ≥ Xây dựng toán tổng quát Ví dụ 3: Chứng minh tam giác ABC ta có: A B C tg tg tg ≤ 3 Ví dụ4: Chứng minh tam giác ABC vuông khi: cos2A + cos2B + cos2C + = Ví dụ 5: Tam giác ABC có đặc điểm nếu: a) sinA sinB sinC = (sinA + sinB + sinC) (*) b) sin6A + sin6B + sin6C = c) sin10A + sin10B + sin10C = d) sin2A + sin2B + sin2C = đ) sin2A + sin2B + sin2C > e) sin2A + sin2B + sin2C < f) cos2A + cos2B + cos2C = 10 2.2.3.3 Xây dựng số phương trình giải cách đưa hệ phương trình Ví dụ Xét hệ phương trình đối xứng loại hai  x = − y ⇒ x = − − 3x2   y = − 3x ( ) ( ) Ta có toán sau Bài toán Giải phương trình Giải: Đặt y = – 3x2 ta có hệ x + − 3x2 =2  x = − y   y = − x − 21 + 21 x = −1; x = ; x = ;x = 6 Từ phương trình cho có nghiệm − 3x ) Chú ý: Từ lời giải toán khai triển ( 2 ta đưa phương trình phương trình bậc biến đổi thành ( x + 1) ( x − ) ( x − 3x − ) = Vậy xây dựng toán, ta cố ý làm cho phương trình nghiệm hữu tỷ phương pháp khai triển đưa phương trình bậc cao, sau đưa phương trình tích gặp khó khăn Ví dụ Xét phương trình bậc hai có hai nghiệm số vô tỷ 5x − x − = ⇔ x = 5x2 − 2 y = x −  5x2 −1  ⇒ x =   ÷ −1 2 x = y −    Do ta xét hệ phương trình  Ta có toán sau Bài toán Giải phương trình ( ) x − 5 x − = −8  y = x −  Giải: Đặt 2y = 5x2 - Khi ta có hệ phương trình 2 x = y − phương 11 ± −1 ± ; trình có nghiệm Ví dụ Xét phương trình bậc ba x3 − 3x = − ⇔ x3 − x = − ⇔ x = x − Do ta xét hệ 6 y = x −  6 x = y − Bài toán Giải phương trình Từ ta có toán sau ( 162 x + 27 = x − ) 3 Giải Bằng cách đặt y = x − ta có hệ giải ta có nghiệm x = cos 5π 17π 7π ; x = cos ; x = cos 18 18 18 Ví dụ Ta xây dựng phương trình vô tỷ có nghiệm theo ý muốn Xét x = Khi x − = ⇒ ( x − ) = = x − Từ dó ta có hệ ( y − ) = x −  ( x − ) = y − Ta mong muốn có phương trình chứa ( ax + b ) chứa 3 cx + d , phương trình giải cách đưa hệ “gần” đối xứng loại hai (nghiã trừ theo hai vế hai phương trình hệ ta có thừa số x - y ) Vậy ta xét hệ ( y − ) = x −  ( x − ) = − x + y − Khi có phép đặt y − = x − sau thay vào phương trình ( x − 5) = −x + y − 3 Ta x − 60 x + 159 x − 125 = − x + x − + − Ta có toán sau: 3 Bài toán 4: Giải phương trình x − = x − 60 x + 151x − 128 Giải 12 Cách 1: Tập xác định R Phương trình viết lại x − = ( x − 5) + x − 3 (1) Bằng cách đặt y − = x − Kết hợp với (1) ta có hệ phương trình ( y − ) = x − 2(2)  ( x − ) = − x + y − 2(3) Trừ vế hai phương trình ta 2 ( x − y ) ( x − ) + ( x − ) ( y − ) + ( y − )  = ( y − x )    ⇔  ©x − y = ( ) ª ª ª( x − ) + ( x − ) ( y − ) + ( y − ) + = 0(5) ª« Với x = y thay vào (2) ta có phương trình có nghiệm x = Phương trình (5) vô nghiệm Do phương trình dã cho có nghiệm x =3 Do phương trình dã cho có nghiệm x = nên ta nghĩ đến phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số sau: Cách Tập xác định R Đặt y = x − ta có hệ 8 x − 60 x + 152 x − 128 = y   x = y + Cộng vế hai phương trình ta phương trình ( x − 5) + ( x − 5) = y + y (*) Xét hàm số f(t) = t2 + t Vì f ‘(t) > R nên hàm f đồng biến R Do f(2x - 5) = f(y) ⇔ x − = y Bởi ( ) x − = x − ⇔ ( x − ) = x − ⇔ ( x − ) x − 36 x + 41 = Nên x = nghiệm phương trình cho 2.2.3.4 Xây dựng số bất đẳng thức từ bất đẳng thức A Bài toán gốc thứ 13 1 + ≥ " Với a, b số dương a b a + b Dấu xảy a = b" Từ bất đẳng thức cách hướng dẫn học sinh với cách nhìn với số dương a,b,c ta có bất đẳng thức sau đây: a) 1 1   + + ≥ 2 + + ÷ a b c  a+b b+c c+a b) 1 1 1   + + ≥ 2 + + ÷ a+b b+c c+a  2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c  (*) (**) 1 1 1   + + ≥ 4 + + ÷ Từ (*) (**) ta suy a b c  2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c  Ta có toán: Bài toán 1.(Đề thi khối A năm 2004) 1 + + =1 Cho a,b,c số dương a b c Chứng minh 1 1 + + ≤ 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Bài toán (Đề thi khối A năm 2005) 1 + + =4 Cho a,b,c số dương a b c Chứng minh 1 + + ≤1 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Bài toán Chứng minh a,b,c số dương 1 1  1  ( + + )≥ + + ÷ a b c  2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c  Bài toán Cho x,y,z lả số dương Chứng minh x y z + + ≤ 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Bài toán Cho a,b,c số dương Chứng minh 1 1 1 + + ≤ + + a + 3b b + 3c c + 3a 4a 4b 4c Bài toán Cho a,b,c số dương Chứng minh 14 ( a + b) ( a + c) + ( b + c) ( b + a) + 11 1 ≤  + + ÷ ( c + a) ( c + b)  a b c  Bài toán Cho a,b,c số dương Chứng minh ab bc ac a +b+c + + ≤ a+b b+c c+a ≤ a + b Thật ,ta có 11 1 ab ab  1  ≤  + ÷⇒  + ÷= ( a + b) 4 a b  a+b  a b  bc ac ≤ ( b + c) ; ≤ ( c + a) c+a Tương tự ta có b + c Cộng lại ta có điều phải chứng minh Chú ý: Nếu từ toán ta cho a + b + c = k > có toán tìm giá trị lớn biểu thức: F= ab bc ca + + a+b b+c c+a (*) Từ biểu thức (*) ta thay a = x ; b = 2y ; c = 4z x, y , z số dương thoả mãn x + 2y + 4z = 12 Khi xy yz zx + + ≤3 x + y y + 2z 4x + z Và từ cách làm hướng dẫn cho học sinh ta có thêm nhiều bất đẳng thức toán cực trị học sinh từ có thói quen tìm việc giải toán với toán gốc Bài toán Cho ba số dương x, y ,z Tìm giá trị nhỏ F= x+ y+z+ 1 + + x + y + 2z y + z + 2x z + x + y Bài toán Cho a, b ,c ba cạnh tam giác ABC p nửa chu vi tam giác Chứng minh 1 1 1 + + ≥ 2 + + ÷ p − a p −b p −c a b c Bài toán 10 Cho a,b số dương a + b ≤ Chứng minh a+b+ 1 + ≥5 a b Bài toán 11 Cho a,b,c số dương thỏa mãn ab + bc + ac = 3abc Chứng 15 minh rằng: ab bc ac + 3 + ≤ 2 2 a +b +a c+b c b +c +b a+c a c +a +c b+a b 3 1 + + =3 Giải Từ ab + bc +ac = 3abc ta có a b c a>0, b> nên ta có 1 a + b3 ≥ ab ( a + b ) ; a + b ≥ 2ab; + ≥ a b a +b Vì  ab ab ab  1  ÷ ≤ ≤ + a + b3 + a c + b2 c ab ( a + b ) + c ( a + b )  ab ( a + b ) c ( a + b ) ÷   1 1  1 1 ≤  + ÷ ≤  + ÷+  a + b 2c  16  a b  8c Tương tự ta có bc 1 1 ≤  + ÷+ 2 b + c + b a + c a 16  b c  8a 3 ac 1 1 ≤  + ÷+ 2 c + a + c b + a b 16  c a  8b 3 Cộng vế với vế ta có: VT ≤ 1 1 1 2 11 1  + + + + + + + + ÷=  + + ÷= 16  a b c b c a c a b   a b c  B Bài toán gốc thứ " Với a, b, c số dương ( a + b + c )  1 1 + + ÷≥ a b c " Dấu = xảy a = b = c 1 + + ≥ Hay ta có bất đẳng thức tương đương a b c a + b + c Từ toán với cách hướng dẫn học sinh đưa toán sau Bài toán 1.Cho a,b,c số dương a b c + + ≥ b+c a+c a+b ( Bất đẳng thức Nesbit) Bài toán Cho a,b,c số dương 2 + + ≥ a+b b+c c+a a+b+c 16 Bài toán Cho a,b,c số dương a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a +b Bài toán Chứng minh tam giác ABC ta có h a + hb + hc ≥ 9r , ha, hb, hc đường cao r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài toán Cho tam giác ABC có góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác Gọi chân đường cao tam giác kẻ từ A,B,C đến cạnh A1, B1, C1 Chứng minh AH BH CH + + ≥6 A1 H B1 H C1H Dấu “ = ” xảy nào? Bài toán Cho a, b, c số dương a + b + c ≤ Chứng minh a+b+c+ 1 + + ≥ 10 a b c a b c + + =1 Bài toán Cho a, b, c số dương bc ac ab a+b+c+ Bài toán Chứng minh 1 + + ≥ 10 a b c ab + bc + ca = 1 1 a + b + c + + + ≥ 10 a b c Bài toán (Mở rộng 1) Cho n số dương x1, x2 , x3 , ….,xn Chứng minh 1 1  + + ÷ ≥ n xn   x1 x2 ( x1 + x2 + x3 + + xn )  Bài toán 10 (Mở rộng 2) Cho n số dương x1, x2 , x3 , ….,xn thoả mãn x1 + x2 + + xn ≤ Chứng minh x1 + x2 + + xn + 1 + + + ≥ n + x1 x2 xn C Bài toán gốc thứ Cho a,b,c > a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức a b c + + ≥ 2 1+ b 1+ c 1+ a Chứng minh bất đẳng thức cách biến đổi sau: 17 a ab2 = a − + b2 Ta có + b ≥a− ab b =a− 2b Hoàn toàn tương tự ta có a b c + + ≥ a + b + c − ( ab + bc + ca ) ≥ 2 1+ b 1+ c 1+ a 2 Bằng cách tương tự học sinh đưa rư toán sau Bài toán cho a,b,c,d số dương a + b + c + d = Chứng minh bất đẳng thức a b c d + + + ≥2 2 1+ b + c 1+ d + a2 Bài toán cho a,b,c,d số dương a + b + c + d = Chứng minh bất đẳng thức a b c d + + + ≥2 2 + b c + c d + d a + a 2b b ( a + ac ) a ab c ab c b a 2c = a − ≥ a − = a − ≥a− 2 1+ b c 2b c HD Ta có + b c Tương tự với số hạng lại ta có đpcm Bài toán Cho a,b,c,d số dương Chứng minh bất đẳng thức a3 b3 c3 d3 a+b+c+d + + + ≥ 2 2 2 2 a +b b +c c +d d +a a3 ab ab b = a − ≥ a − =a− 2 2 b +a 2ab HD Ta có a + b Bài toán Cho a,b,c dương a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức a2 b2 c2 + + ≥1 a + 2b b + 2c c + 2a Bài toán Cho a,b,c dương a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức a2 b2 c2 + + ≥1 a + 2b3 b + 2c c + 2a a2 2ab3 2ab3 + 2a = a − ≥ a − = a − b a2 ≥ a − b 3 a + 2b 3 3b a HD Ta có a + 2b Bài toán Cho a,b,c dương a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức 18 a +1 b +1 c +1 + + ≥3 b2 + c2 + a2 + Bài toán Cho a,b,c,d dương a + b + c +d = Chứng minh bất đẳng thức a +1 b +1 c +1 d +1 + + + ≥4 + b2 + c + d + a Bài toán Cho a,b,c,d dương a + b + c +d = Chứng minh bất đẳng thức 1 1 + + + ≥2 2 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d Bài toán Cho a,b,c dương a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức a2 b2 c2 + + ≥ 2 a+b b+c c+a 19 III.THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Tổ chức thực nghiệm Tổp chức thực nghiệm trường THPT Nguyễn Hoàng , huyện Hà Trung * Lớp thực nghiệm: 11C1 * Lớp đối chứng : 11C2 Trình độ hai lớp tương đương nhau, lớp C1 có 48 học sinh, lớp C2 có 46 học sinh Thời gian tiến hành thực nghiệm từ tháng 10 năm 2010 đến tháng năm 2011 Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Thầy giáo Nguyễn Thiên Lãng Giáo viên dạy lớp đối chứng: Thầy giáo Vũ Ngọc Minh 3.2 Kết thực nghiệm 3.2.1 Đối với lớp thực nghiệm Hoạt động họpc tập học sinh nhìn chung diễn sôi nổi, không gây cảm giác áp đặt, khó chịu Việc sử dụng biện pháp kích thích hứng thú học sinh giải toán học toán Các em cảm thấy tự tin mong muốn tìm tòi khám phá Học sinh bắt đầu có ý thức hiểu toán sách giáo khoa ẩn chứa nhiều vấn đề cần khai thác Một số học sinh giỏi có khả tự học, tự nghiên cứu vấn đề giáo viên đề nghiên cứu thêm sách tham khảo để hệ thống hoá đào sâu kiến thức Tuy nhiên, số dạng toán khó không gây hứng thú cho học sinh vượt khả em 3.2.2 Đối với lớp đối chứng Hoạt động học tập lớp đối chứng chủ yếu học sinh giải tập sách giáo khoa, giáo viên chủ yếu sửa chữa sai sót Yêu cầu củng cố kiến thức , kỹ đảm bảo, Tuy nhiên số học sinh cảm thấy tập để khai thác thêm Các em học sinh yếu trung bình học đối phó 20 3.2.3 Kết kiểm tra Điểm Lớp TN (C1) ĐC (C2) 10 Số 0 6 10 11 48 6 46 Kết quả: Lớp thực nghiệm có 41/49 ( chiếm 85,4% ) đạt trung bình trở lên, có 30/48 ( Chiếm 62,5%) đạt giỏi Lớp đối chứng có 30/46 ( chiếm 65,2%) đạt trung bình trở lên, có 18/46 ( chiếm 39.1%) đạt giỏi KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu dẫn đến kết chủ yếu sau: Nêu định hướng xây dựng kinh nghiệm sư phạm nhằm tích cực hoá hoạt động học sinh thông qua việc giải tập toán sáng tạo tập từ góc nhìn toán gốc Bước đầu khảo nghiệm tính khả thi hiệu kinh nghiệm đề xuất thực nghiệm Kinh nghiệm dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán trường THPT Hà trung, tháng năm 2011 Người viết Nguyễn Thiên Lãng 21 ... luận tính tích cực hoạt động học tập thực tiễn giảng dạy lớp, thông qua rút kinh nghiệm lớp dạy với tinh thần tích cực hoá hoạt động học tập học sinh dạy học môn Toán trường THPT Bản thân rút kinh. .. dựng kinh nghiệm sư phạm nhằm tích cực hoá hoạt động học sinh thông qua việc giải tập toán sáng tạo tập từ góc nhìn toán gốc Bước đầu khảo nghiệm tính khả thi hiệu kinh nghiệm đề xuất thực nghiệm. .. động học tập trò thống vai trò chủ đạo thầy tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo học tập trò 2.2 Những kinh nghiệm sư phạm nhằm tích cực hóa hoạt động học tập học sinh dạy học giải tập toán