Đang tải... (xem toàn văn)
Hướng dẫn giải đề thi đại học môn toán khối B năm 2013
Hướng dẫn giải đề thi Đại học môn Toán khối B 2013 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2013 MÔN TOÁN HỌC Câu 1. a) Khi m = -1 thì (1) viết thành: 3 26y x x TXD: D = R 22 14 ' 6 6 0 1 0 14 xy y x x xy Giới hạn: lim ;lim xx yy Bảng biến thiên: x -1 1 y' + 0 - 0 + y 4 -4 Hàm số đồng biến trên ( ; 1) và (1; ) Hàm số nghịch biến trên (- 1; 1) Hàm số đạt cực đại tại x = -1 => y = 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 => y = - 4 Vẽ đồ thị: + Điểm uốn: y’’=12x = 0 x = 0 => y = 0 => điểm uốn U(0; 0) + Giao với Ox: Cho y = 0 3 0 2 6 0 3 x xx x + Giao với Oy: Cho x = 0 => y = 0 + Đồ thị hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng b. Hướng dẫn giải đề thi Đại học môn Toán khối B 2013 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - + Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị A, B <=> y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 2 6 6( 1) 6 0x m x m có 2 nghiệm phân biệt. 2 ( 1) 0x m x m có 2 nghiệm phân biệt 1 1 x m xm + Gọi A(1; y 1 ); B(m; y 2 ) 1 2 3 3 6 3 1y m m m 3 3 2 2 3 2 2 2 3 3 6 3y m m m m m m => A(1; 3m - 1); B(m; -m 3 + 3m 2 ) => Phương trình đường thẳng AB: 23 1 (3 1) 1 3 (3 1) x y m m m m m 32 1 (3 1) 1 ( 3 3 1) x y m m m m m 3 1 (3 1) 1 ( 1) x y m mm 2 ( 1) .( 1) (3 1)m x y m 22 ( 1) . ( 1) 3 1y m x m m Để AB ⊥ d: y = x + 2 thì: 22 2 ( 1) .1 1 ( 1) 1 ( / ) 0 m m m t m m Câu 2. Giải phương trình: sin5x + 2cos 2 x=1 sin5x = 1 – 2 cos 2 x sin 5x= -cos2x=sin(2x- 2 ) 5 2 2 2 5 (2 ) 2 2 x x k kZ xxk 2 63 32 14 7 k x kZ xk Câu 3. 22 22 2 3 3 2 1 0 (1) 4 4 2 4 (2) x y xy x y x y x x y x y Phương trình (1) 22 2 3(1 ) 2 1 0x y x y y Hướng dẫn giải đề thi Đại học môn Toán khối B 2013 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - 22 2 3(1 ) (1 ) 0x y x y 2 2 2 9(1 ) 8(1 ) (1 ) x y y y 3(1 ) 1 2 2 1 4 4 2 3(1 ) 1 4 4 1 44 y y y y x y y y xy Trường hợp 1:: x= 1 2 y y=2x+1 . Thế vào (2) 22 4 (2 1) 4 4 1 9 4 3 3 4 1 9 4 4 1 1 9 4 2 3 0 4 1 1 9 4 4 30 4 1 1 9 4 2 49 30 4 1 1 9 4 2 49 30 4 1 1 9 4 2 0 1 0 1 x x x x x x x x x x x xx x xx xx x xx x xx x y x thoa man y Vậy 0 1 x y là nghiệm của hệ Trường hợp 2: y = x + 2 thay vào phương trình (2) 2 3 3 3 1 5 4x x x x 2 3 3 1 1 ( 5 4 2)x x x x 35 (3 1) 3 1 1 5 4 2 xx xx xx 35 [3 1 ]=0 3 1 1 5 4 2 xx xx 0 3 1 2 5 4 3 3 1 0 3 1 1 5 4 2 0 31 5( 1) 3 1 0 3 1 1 3 1 2 5 4 2 5 4 3 01 12 x xx x xx x x x x x x x x xy xy Hướng dẫn giải đề thi Đại học môn Toán khối B 2013 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - 0 35 (3 3) (1 ) (1 ) 0 3 1 1 5 4 2 x x xx Câu 4. Tính tích phân I= 1 2 0 2x x dx Đặt 2 2 xt 2-x 2 =t 2 -2x dx=2t dt x dx=-t dt. Đổi cận 02 11 xt xt I= 12 3 2 1 2 2 2 1 2 () 33 1 t t t dt t dt Câu 5. Trong mp (SAB) gọi H là trung điểm của AB => SH ⊥ AB vì ∆ SAB đều. Mà (SAB) ⊥ (ABCD) => SH là chiều cao chóp. SAB là tam giác đều cạnh a 3 2 a SH S đáy = a 2 => Thể tích khối chóp S.ABCD: V chóp = 3 2 1 1 3 3 . . . 3 3 2 6 đ aa S h a Trong mp(SCD) dựng SI ⊥ CD => CD ⊥ (SHI) Kẻ HE ⊥ SI => HE ⊥ (SCD) Hướng dẫn giải đề thi Đại học môn Toán khối B 2013 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - Ta có: AB // CD => AB // (SCD) => d(A;SCD) = d(H;SCD) = HE Ta có: ∆ SAB = SAD => SC = SD => ∆ SCD cân tại S. => I là trung điểm cả CD. => HI = a. Xét tam giác vuông SHI có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 37 () 2 HE a HE SH HI HE a a Câu 6. Chú ý rằng 8 5 2 27 4 3 4 24 2^16 4 433 6 1 2 4 23 6 1 2 4 )2)(2( 4 3 4 2 2 222 x x P cbacbabacba ba cba bacbcaba cba cba Đẳng thức xảy ra khi 2 cba Câu 7a. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Phương trình đường thẳng AC qua H(-3; 2) nhận (2; 1)v làm vecto pháp tuyến là: 2( 3) ( 2) 0 2 8 0x y x y Tọa độ I là nghiệm của hệ 2 8 0 ( 2;4) 2 6 0 xy I xy Ta có: I là trung điểm của HC => C (-1, 6) Gọi 22 6 ( ; ) 2 4 2 a D a DB DI HI DI HI Hướng dẫn giải đề thi Đại học môn Toán khối B 2013 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - 2 2 2 2 6 2 4 4.5 2 2 2 20 2 2 (2,2) 6 ( 6,6) a a a a aD aD Câu 7b. 8 16 ;. 55 HD Phương trình đường thẳng AH qua 17 1 ( ; ) 55 H Nhận HD làm véc tơ pháp tuyến là: 8 17 16 1 ( ) ( ) 0 5 5 5 5 xy 8 16 24 0 5 5 5 xy 2 3 0xy . Phương trình đường thẳng BC qua D(5,3) nhận HD làm véc tơ chỉ phương là: 16 8 ( 5) ( 3) 0 55 xy 2 7 0xy Giả sử 3 ( ; ) 2 a A a AH Vì (0;1)M là trung điểm của AB 1 ( ; ) 2 a Ba Vì B BC có phương trình: 1 2 7 0 2a 7 0 3 2 a x y a A (-3; 3); B(3; -1) (6; 4)AB Điểm ( ;2 7)C b c . Suy ra ( 3;2 10)AC c c Hướng dẫn giải đề thi Đại học môn Toán khối B 2013 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 7 - Ta có : $AD$ là phân giác suy ra 22 3.8 8.( 3) cos( ; ) cos( ; ) 13.64 64.[( 3) (2 10) ] c AM AD AC AD cc 2 2 2 2 9.[( 3) (2 10) ] 13.( 3) 32 384 864 0 9; 3c c c c c c c Với 3c suy ra (3; 1)C ( Trùng B > Loại) Với 9c suy ra (9;11)C . thõa mãn. Vậy C(9;11) Câu 8a. Phương trình đường thẳng qua A(3;5;0) nhận (2;3; 1)n (là vecto pháp tuyến (P) ) làm vecto chỉ phương có phương trình: 32 5 3 ( ) xt y t t Z zt Gọi I là giao điểm của và (P) Tọa độ I là nghiệm của hệ: 3 2 1 5 3 1 1;2;1 2 2 3 7 0 1 x t t y t x I z t y x y z z Gọi B là điểm đối xứng A qua I với A (3,5,0) , I (1,2,1) 1; 1;2B Vậy 1, 1,2B Câu 8b. Đường thẳng AB qua A(-1; -1; 1) có vectơ chỉ phương 1 2;3;2v . Đường thẳng có vectơ chỉ phương 2 2;1;3v Phương trình mặt phẳng (P) qua AB và song song nhận 12 ; 7;2;4n v v làm vectơ pháp tuyến có phương trình: 7( 1) 2( 1) 4( 1) 0 7x 2 4z 9 0 x y z y Phương trình đường thẳng qua A vuông góc với (P) là: 17 1 2 ; 14 xt y t t z zt Câu 9a. Hộp thứ nhất (4 bi đỏ + 3 bi trắng) chọn 1 bi có: 1 7 C = 7 cách Hướng dẫn giải đề thi Đại học môn Toán khối B 2013 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 8 - Hộp thứ hai (2 bi đỏ + 4 bi trắng) chọn 1 bi có: 1 6 C = 6 cách Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi có: 11 76 . 7.6CC = 42 cách Chọn 2 viên bi cùng màu có hai trường hợp. Trường hợp 1: Chọn 1 bi đỏ ở hộp 1: có 1 4 C cách Chọn 1 bi đỏ ở hộp 2: có 1 2 C cách Suy ra: có 11 42 .CC = 4.2 = 8 cách Trường hợp 2: Chọn 1 bi trắng ở hộp 1: 1 3 C cách Chọn 1 bi trắng ở hộp 2: 1 4 C cách Có 11 34 . 3.4 12CC cách. Có 8+12=20 cách chọn ra 2 bi cùng màu. Vậy xác suất chọn 2 bị cùng màu là 20 10 42 21 Câu 9b. Điều kiện 1 0 1 1 0 1 xx yy Từ phương trình (2) 3 3 22 33 22 2log ( 1) log ( 1) log ( 1) log ( 1) 0 (1) ( 1) ( 1) 1 1 2 (2) xy xy xy x y x y xy (1) => y = - x thay phương trình đầu 2 2 4 1x x x 2 6 1 0xx 3 2 2 (3 2 2)( 1) 3 2 2 ( ) x y loaido y xl (2) => x – y = 2 => y = x – 2 22 3( / ) 2( 2) 4 1 2 3 0 1( ) x t m x x x x x x loai Với x = 3 => y = 1 Vậy x = 3, y = 1 Nguồn: Hocmai.vn . x P cbacbabacba ba cba bacbcaba cba cba Đẳng thức xảy ra khi 2 cba Câu 7a. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Phương trình đường thẳng AC qua H (-3 ; 2). môn Toán khối B 2013 Hocmai. vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 5 8-5 8-1 2 - Trang | 5 - Ta có: AB // CD => AB // (SCD) =>