Đang tải... (xem toàn văn)
Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)Về hệ phương trình phi tuyến và ứng dụng (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ ANH VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ ANH VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2017 i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức bổ trợ hệ phương trình 1.1 Hệ phương trình tuyến tính (xem [3]) 1.2 Hệ phương trình phi tuyến Những phương pháp thường dùng để giải hệ phương trình phi tuyến 17 2.1 Phương pháp 17 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 25 2.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số(xem [2]) 30 2.4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 36 2.5 Phối hợp nhiều phương pháp giải hệ phương trình 45 Một số ứng dụng hệ phương trình phi tuyến 3.1 54 Ứng dụng hệ phương trình đa thức giải toán cực trị chứng minh bất đẳng thức 54 3.2 Một vài ứng dụng thực tế khoa học đời sống 56 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 Mở đầu Giải hệ phương trình phần quan trọng chương trình toán THPT chuyên ngành Đại số, Giải tích Khi đề cập đến việc giải hệ phương trình, học sinh trung học sở dễ dàng tìm phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính giải hệ phương pháp cộng đại số, phương pháp học sinh lớp 9, hay sử dụng định thức lớp 10 Tuy nhiên, hệ phương trình phi tuyến, gần có tài liệu nghiên cứu sâu lĩnh vực Trong kì thi học sinh giỏi cấp, kì thi Olympic nước quốc tế, hệ phương trình phi tuyến thường loại khó có định dạng phương pháp giải cụ thể Vì học sinh gặp nhiều khó khăn việc giải toán hệ phương trình phi tuyến chương trình toán phổ thông kì thi học sinh giỏi cấp Đề tài luận văn nghiên cứu số hệ phương trình phi tuyến thường gặp chương trình toán phổ thông phương pháp giải hệ phương trình ứng dụng chúng dùng ôn luyện học sinh giỏi lớp ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 đặc biệt dành cho học sinh ôn thi chuyên toán Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn trình bày gồm ba chương: Chương Một số kiến thức bổ trợ hệ phương trình Chương trình bày kiến thức bổ trợ, khái niệm, định nghĩa hệ phương trình, tập nghiệm hệ phương trình nói chung hệ phương trình phi tuyến nói riêng Chương Những phương pháp thường dùng để giải hệ phương trình phi tuyến Chương 2, trình bày dạng toán thường gặp hệ phương trình phi tuyến cách giải chúng tìm hiểu qua tài liệu [1], [2], [3], [4], [5] Chương Một số ứng dụng hệ phương trình phi tuyến Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên với hướng dẫn PGS.TS Nông Quốc Chinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm hướng dẫn thầy, tới thầy cô Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học Đồng thời tác giả xin cảm ơn anh chị khóa bảo, hướng dẫn cho tác giả học tập hoàn thành kế hoạch học tập Thái Nguyên, ngày 25 tháng năm 2017 Học viên Nguyễn Thị Anh Chương Một số kiến thức bổ trợ hệ phương trình Chương xin trình bày kiến thức bổ trợ, khái niệm, định nghĩa hệ phương trình, tập nghiệm hệ phương trình nói chung hệ phương trình phi tuyến nói riêng 1.1 Hệ phương trình tuyến tính (xem [3]) 1.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định nghĩa 1.1 Cho K trường Hệ m phương trình tuyến tính n ẩn x1 , x2 , , xn hệ số trường K hệ có dạng a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b1 = b2 ··· am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm hay viết gọn hơn: n (aik xk ) = bi , i = 1, , m k=1 Trong aik , bi phần tử thuộc trường K, aik gọi hệ số ẩn xk , bi hệ số tự do, i = 1, , m; k = 1, , n Hệ phương trình (1.1) gọi hệ phương trình tuyến tính tổng quát Đăc biệt b1 = = bm = hệ (1.1) có dạng n (aik xk ) = 0, i = 1, , m k=1 gọi hệ phương trình tuyến tính 1.1.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 1.1.2.1 Quy tắc Cramer Định nghĩa 1.2 Một hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn ma trận A hệ có định thức |A| = gọi hệ Cramer Định lý 1.1 Định lý Cramer (Cramer’s rule – công thức xác định công thức nghiệm hệ Cramer) Hệ Cramer a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 ··· = bn an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = b1 Là hệ xác định Nghiệm hệ xác định công thức xj = ∆j (6) ∆ Trong ∆ = |A| a11 · · · b1 · · · a1n ∆j = · · · an1 · · · bn · · · ann Công thức (6) gọi công thức Cramer Chú ý: Định thức ∆j định thức ma trận nhận từ ma trận A hệ (1.2) cách thay phần tử cột thứ j (Hệ số ẩn xj ) phần tử b1 , · · · , bn (Các hệ số tự do) Định lý 1.2 Hệ n phương trình tuyến tính n ẩn số n aik xk = 0, i = 1, , n k=1 có nghiệm tầm thường Θ = (0, · · · , 0) định thức |A| = Ví dụ 1.1 (Xem [4]) Giải hệ phương trình: x1 + 2x2 + 3x3 + · · · + nxn = x2 + 2x3 + 3x4 + · · · + nx1 = ··· xn + 2x1 + 3x2 + · · · + nxn−1 = n (Đề thi OLYMPIC Toán Sinh viên năm 1999) Bài giải Cộng tất phương trình hệ, suy x1 + x2 + · · · + xn = Tiếp theo, lấy phương trình thứ k trừ cho phương trình thứ k − 1(1 < k < n); trừ phương trình thứ n cho phương trình thứ Suy (x1 + x2 + · · · + xn ) − nxn = k − (k + 1) x1 + x2 + · · · + xn − nxn = n − xk = (x1 + x2 + · · · + xn ) + = ⇔ n x = − n − = − n n n n Vậy hệ phương trình có nghiệm n n xk = n Với k = 1, 2, · · · , n − xn = − n n Ví dụ 1.2 (xem [4]) Cho hệ phương trình ax1 + bx2 + bx3 + · · · + bx2001 + bx2002 = bx1 + ax2 + bx3 + · · · + bx2001 + bx2002 = ········· bx1 + bx2 + bx3 + · · · + bx2001 + ax2002 = 2002 Tìm điều kiện a b để hệ cho có nghiệm (Đề thi OLYMPIC toán Sinh viên 2002) Bài giải Kí hiệu D định thức hệ phương trình Ta có a b b ··· b b b a b ··· b b D = ··· b b ··· a b b b ··· b a 2002×2002 Cộng tất cột với cột đầu tiên, ta có b b ··· b b a b ··· b b (a + 2001b) · · · b ··· a b b ··· b a 2002×2002 (Nhân hàng đầu với −1 cộng vào hàng lại) = (a + 2001b).(a − b)2001 Vậy hệ cho có nghiệm ⇔ a = b a = −2001b 1.1.2.2 Thuật toán Gaoxơ (Gauss) Trong đại số tuyến tính, thuật toán Gauss thuật toán sử dụng để tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính, tìm hạng (hay rank) ma trận, để tính ma trận nghịch đảo ma trận vuông khả nghịch thuật toán Gauss đặt theo tên nhà toán học Đức Carl Friedrich Gauss • Nội dung thuật toán Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính : Thực liên tiếp phép biến đổi tương đương để từ hệ phương trình (1.1) ban đầu nhân hệ tương đương có số phương trình hơn, có dạng bâc thang sau: a11 xi1 + a12 xi2 + · · · + a1r xir + · · · + a1n xin = b1 a xi2 + · · · + a xir + · · · + a xin = b 22 2n 2n ········· arr xir + · · · + arn xin = br Trong xij (j = 1, · · · , n) hoán vị ẩn xi , (i = 1, · · · , n); aik = với k = 1, · · · , r • Các trường hợp sau xảy ra: Trường hợp : Nếu trình biến đổi gặp phương trình vô nghiệm dạng 0x1 + · · · + 0xn = b, b = 0, ta dừng lại kết luận hệ vô nghiệm Trường hợp : Nếu r = r, phương trình cuối hệ có dạng amn xin = bn Hệ (1.6) hệ Cramer, hệ có nghiệm Có thể tìm nghiệm cách giải phương trình hệ (1.6) từ lên thay dần giá trị ẩn tìm từ phương trình vào phương trình Trường hợp : Nếu r < n hệ phương trình cho có vô số nghiệm Để giải hệ 1.6 ta xem ẩn xir+1 , · · · , xin tham số (lấy giá trị tùy ý) chuyển số hàng chứa ẩn sang vế phải; dùng phương pháp trường hợp ẩn xi1 , · · · , xir xem xir+1 , · · · , xin tham số Trong thực tế để biến đổi hệ phương trình tuyến tính 1.1 ban đầu dạng bậc thang, người ta thường thực phép biến đổi tương đương ma trận bổ sung A Các phép biến đổi gọi phép biến đổi sơ cấp Ví dụ 1.3 (xem [3]) Giải hệ phương trình a x1 + x2 + x3 + · · · + xn−1 + xn = 2004 x2 + x3 + · · · + xn−1 + xn = a + x1 20052 − ········· a + x1 + · · · + xn−1 xn = n 2005 − (Đề thi OLYMPIC toán Sinh viên 2002) Bài giải Cộng thêm biểu thức x1 + x2 + · · · + xi−1 vào hai vế phương trình thứ i hệ cho, với i = 2, 3, · · · , n, ta có a + x1 + x2 + · · · + xi−1 x1 + x2 + · · · + xn = + x1 + x2 + · · · + xi−1 2005i − a a 2005i − 2005 ⇒ = ( ) 2004 2005i − 2004 Vậy với i = 2, 3, · · · , n xi = (x1 + x2 + · · · + xi ) − (x1 + x2 + · · · + xi−1 ) a 2005i+1 − 2005 a 2005i − 2005 = − 2005i+1 2004 2005i 2004 a = 2005i 47 Bài toán 2.37 (xem [5]) Giải hệ phương trình x + y + z + t = 22 xyzt = 648 1 + = x y 12 1 z + t = 18 Bài giải Điều khiện x, y, z, t = Ta có x + y = xy; z + t = zt 12 18 7 ⇒ (x + y)(z + t) = xy zt = 648 = 105 12 18 12 18 Và (x + y) + (z + t) = 22 Suy (x + y), (z + t) hai nghiệm phương trình X − 22X + 105 = ⇔ X1 = 15, X2 = Xét hai trường hợp: ∗Trường hợp x+y =7 x+y =7 z + t = 15 xy = 12 ⇔ + = z + t = 15 x y 12 1 + = zt = 54 z t 18 ∗Trường hợp x + y = 15 z + t = 7 1 + = x y 12 1 + = z t 18 ⇔ x + y = 15 180 xy = Suy (x; y) = (3; 4), (4; 3) (z; t) = (6; 9), (9; 6) ( Vô nghiệm) z+t=7 zt = 126 Vậy hệ cho có bốn nghiệm (x; y; z; t) = (3; 4; 6; 9), (3; 4; 9; 6), (4; 3; 6; 9), (4; 3; 9; 6) Bài toán 2.38 (xem [5]) a, Cho x, y, z số thực thỏa mãn x + y + z = 1 + + = x y z 48 Chứng minh có số x, y, z = b, Áp dụng câu a, giải hệ phương trình x+y+z =3 1 1 + + = x y z y + 2z = Bài giải a, Từ giả thiết, suy 1 1 + + = x y z x+y+y 1 1 ) ⇔ (x + y)[z(x + y + z) + xy] = ⇔ ( + )( − x y z x+y+z ⇔ (x + y)(y + z)(x + x) = ⇔ x + y = ⇒ z = y + z = ⇒ x = x + z = ⇒ y = b, Từ hai phương trình đầu suy x = y = z = 3, vào hệ phương trình, ta có ∗Trường hợp x=3 y+z =0 1 + =0 y z ⇔ x=3 y + 2z = ⇒ (x; y; z) = (3; 1; −1), (3; ∗Trường hợp y=3 x + z = 1 + =0 x z ⇔ y = −z 2y − y − = ⇔ x=3 y = −z y = y = −1 ; ) 2 y=3 x = −z 1 + =0 x z 2z = −2 ( Vô lí) + 2z = Suy hệ vô nghiệm ∗Trường hợp z=3 x+y =0 1 + =0 x y y + 2z = ⇔ z=3 x = −y y + 2.32 = ⇒ (x; y; z) = (17; −17; 3) ⇔ z=3 x = −y y = −17 49 Vậy hệ cho có nghiệm −1 (x; y; z) = (3; 1; −1), (3; ; ), (17; −17; 3) 2 Bài toán 2.39 (Xem [5]) Giải hệ phương trình ux3 + vy = 14 (1) ux2 + vy = (2) ux + vy = (3) u+v =1 (4) (Thi HSG TP HCM Ngày 17/ 12/ 1994 Vòng 2) Bài giải Từ (4) suy v = − u, vào (1) xu3 + (1 − u)y = 14 ⇒ u(x3 − y ) = 14 − y ⇒ u(x − y)(x2 + xy + y ) = 14 − y (5) Tương tự Nếu v = − u vào (2), ta có u(x − y)(x + y) = − y (6) Thế v = − u vào (3), ta có u(x − y) = − y(7) Từ (5) (7) suy (2 − y)(x2 + xy + y ) = 14 − y Từ (6) (7) suy (2 − y)(x + y) = − y Khai triển phương trình cuối cùng, ta có 2(x + y)2 − xy(x + y) − 2xy − 14 = 2(x + y) − xy − = Đặtx + y = a, xy = b ⇒ 2a2 − ab − 2b − 14 = 2a − b = ⇔ a = b = ⇔ x + y = xy = ⇒ (x; y) = (3; 1), (1; 3) Thế x y ta tìm nghiệm hệ 1 1 (x; y; u; v) = (3; 1; ; ), (1; 3; ; ) 2 2 Bài toán 2.40 (xem [5]) Giải hệ phương trình x4 + x2 y + y = 482 x2 + xy + y = 37 50 Bài giải Đặt S = x + y; P = xy Ta có hệ phương trình S − 4P S + 3P = 481 (1) Từ (2) suy S = P + 37 S − P = 37 (2) vào (1) Suy (P + 37)2 − 4P (P + 37) + 3P = 481 ⇔ P + 74P + 1369 − (4P + ⇔ 148P ) + 3P = 481 ⇔ −74P = −888 ⇔ P = 12 ⇔ S = ±7 Xét hai trường hợp x + y ∗ Trường hợp xy =7 = 12 Nên x, y nghiệm phương trình X − 7X + 12 = ⇔ X1 = X 2 = x + y ∗ Trường hợp xy = −7 = 12 Nên x, y nghiệm phương trình X + 7X + 12 = ⇔ X1 = −3 X2 = −4 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; 4), (4; 3), (−3; −4), (−4, −3) Bài toán 2.41 (xem [5]) Giải hệ phương trình x − y − yz − z = (1) x − y − y2 − z2 = x + y − y − z = (2) (3) (Thi HSG Quận I 1995 - 1996 Vòng 1) Bài giải Lấy (2) − (1), ta : yz − y + z − z = ⇔ (z − 1)(y − z) = Do hệ cho tương đương với : (z − 1)(y − z) x − y − y2 − z2 x + y − y − z =0 =0 ⇔ =0 z−1 x − y − y2 − z2 x + y − y − z =0 = (4) =0 y−z =0 x + y − y − z =0 x − y − y2 − z2 = (5) 51 Giải hệ (4): z−1 =0 x − y − y2 − z2 x + y − y − z z ⇔ ⇔ y − y − 2y =0 ⇔ x − y − y2 − = =1 ⇔ =0 y = 0; y = −1; y3 = 2 x = y − y + =y x − y − 2y x − y z =0 ⇔ =0 y = 0; y = −1; y = =y y − 2y − y x ⇔ (x; y; z) = (0; 0; 0), ((1 + =0 = y3 =y = y3 = y3 − y + 1 x1 = 1; x2 = 1; x3 = z y(y − 2y − 1) = ⇔ x ⇔ =1 y(y − y − 2) = x =y −y+1 z=1 x z=1 z =1 x + y − y − = z =0 Giải hệ (5): ⇔ z z=y y1 = 0; y2 = − √ 2; + √ x = y √ √ √ √ √ √ 2) ; + 2; + 2), ((1 − 2)3 ; − 2; − 2) Vậy hệ phương trình có sáu nghiệm (x; y; z) = (1; 0; 1), (1; −1; 1), (7; 2; 1), (0; 0; 0), √ √ √ √ √ √ ((1 + 2)3 ; + 2; + 2), ((1 − 2)3 ; − 2; − 2) Bài toán 2.42 (xem [5]) Giải hệ phương trình x+y+z =6 x2 + y + z = 18 (1) (2) √x + √y + √z = (3) (Thi HSG Toàn Quốc 1996 - 1997 Bảng A) Bài giải Từ (1) ⇒ 36 = (x + y + z)2 ⇔ 36 = x2 + y + z + 2(xy + xz + yz) ⇔ 36 = 18 + 2(xy + xz + yz) ⇔ xy + xz + yz = √ √ √ √ √ √ Từ (3) ⇒ 16 = ( x + y + z)2 ⇔ x + y + z + 2( xy + xz + yz) = 16 52 ⇔ √ xy + √ √ √ √ √ xz + yz = ⇔ ( xy + xz + yz)2 = 25 ⇔ xy + yz + xz + 2( xy z + xyz + x2 yz) = 25 √ √ √ √ ⇔ xyz( x + y + z) = ⇔ xyz = x + y + z = Vậy hệ phương trình cho tương đương với: (1) xy + yz + xz = (4) xyz = (5) (Dễ thấy x, y, z > 0) x (4) ⇔ xy + yz + xz + x2 = + x2 Từ (5) ⇒ yz = ⇔ x(x + y + z) + yz = + x2 ⇔ 6x + = + x2 x ⇔ x − 6x2 + 9x − = ⇔ (x − 1)2 (x − 4) = ⇔ x = x = Thế vào, ta suy hệ có nghiệm (x; y; z) = (1; 1; 4), (1; 4; 1), (4; 1; 1) Bài toán 2.43 (xem [5]) Giải hệ phương trình x2 + y + xy = 37 (1) x2 + z + xz = 28 (2) y + z + yz = 19 (3) (Thi HSG Toàn Quốc 1994 - 1995) Bài giải Lấy phương trình (1) − (2), ta : y − z + xy − xz = ⇔ (y − z)(x + y + z) = Lấy phương trình (2) − (3), ta : x2 − y + xz − yz = ⇔ (x − y)(x + y + z) = Suy : (y − z)(x + y + z) = (x − y)(x + y + z) Mà x + y + z = ⇒ y − z = x − y x + z = 2y ⇔ x + y + z = 3y Do : (x − y)(x + y + z) = ⇔ (x − y)3y = ⇔ (x − y)y = ⇔ x = y + y Thay vào phương trình (1), ta có: 53 1 (y + )2 + y + (y + )y = 37 ⇔ 3y − 28y + = y y 2 ⇔ y = y = √ √ − ; y4 = ⇔ y1 = 3; y2 = −3; y3 = 3 - Với y1 = ⇒ x1 = 4, z1 = - Với y2 = −3 √ ⇒ x2 = −4,√z2 = −2 √ 10 −8 - Với y3 = ⇒ x3 = , z3 = 3√ √ √ − −10 - Với y4 = ⇒ x4 = , z3 = 3 Vậy hệ phương trình cho có bốn √ nghiệm √ √ √ √ √ 10 3 −8 −10 − (x; y; z) = (4; 2; 3), (−4; −3; −2), ( ; , ), ( ; ; ) 3 3 3 54 Chương Một số ứng dụng hệ phương trình phi tuyến 3.1 Ứng dụng hệ phương trình đa thức giải toán cực trị chứng minh bất đẳng thức Bài toán 3.1 (xem [5]) Cho phương trình x3 − 2002x2 + 2001bx − 2000a = Tìm giá trị lớn a cho ∃b để phương trình có ba nghiệm [−2002; 2002] Bài giải Giả sử x1 , x2 , x3 ba nghiệm phương trình Khi theo định lí Viete cho phương trình bậc ba, ta có: x + x2 + x3 = 2002 x x + x x + x x3 = 2001b 2 x1 x2 x3 = 2000a Xảy trường hợp sau : + Nếu x2 < x3 < 0, x1 + x2 + x3 < x3 ≤ 2002 (Mâu thuẫn (3.1)) + Nếu x1 < ≤ x2 ≤ x3 , theo bất đẳng thức Caushy, ta có √ 20023 √ 2002 = x1 + x2 + x3 ≥ 3 x1 x2 x3 = 3 2000a ⇒ a ≤ 54000 2002 20023 Dấu ” = ” xảy x1 = x2 = x3 = b = 6003 Khi phương trình cho trở thành 55 20022 20022 2002 x− ) =0 = ⇔ (x − 3 2002 Phương trình có ba nghiệm x1 = x2 = x3 = ∈ [−2002; 2002] 3 2002 giá trị lớn cần tìm Vậy amax = 54000 x3 − 2002x2 + Bài toán 3.2 (xem [6]) Cho biểu thức M = x2 + y + 2z + t2 Hãy tìm giá trị nhỏ M giá trị nguyên không âm tương ứng x, y, z, t biết chúng thỏa mãn đồng thời: x2 − y + t2 = 21 (1) x2 + 3y + 4z = 101 (2) (Thi HSG Quốc Gia 1985 - 1986 Bảng A) Bài giải Cộng (1) (2), ta có: 2x2 + 2y + 4z + t2 = 122 ⇔ 2(x2 + y + 2z + t2 ) − t2 = 122 ⇒ 2M = 122 + t2 ≥ 122 ⇒ M ≥ 61 ⇒ M = 61 Khi t = ⇒ x2 − y = 21 (1) x2 + 3y + 4z = 101 (2) Vì x, y nguyên, không âm nên x − y = (x − y)(x + y) = 21 ⇔ x + y = 21 ⇔ (x; y) = (11; 0), (5; 2) x − y = x + y = ∗ Trường hợp 1: Thay x = 11, y = vào (2), ta có 112 + + 4z = 101 ⇒ 4z = −20( Vô lí) ∗ Trường hợp 2: Thay x = 5, y = vào (2), ta có 52 + 3.22 + 4z = 101 ⇒ 4z = 64 ⇒ z = ±4 Vậy giá trị nhỏ M 61, (x, y, z, t) = (5; 2; 4; 0), (5; 2; −4; 0) Bài toán 3.3 (xem [6]) Cho x2 + y + z ≤ 27 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P = x + y + z + xy + yz + xz Bài giải Ta có (x + y + z)2 = x2 + y + z + 2(xy + yz + xz) ≤ 3(x2 + y + z ) ≤ 81 56 ⇒x+y+z ≤9 Mà xy + yz + xz ≤ x2 + y + z ≤ 27 ⇒ x + y + z + xy + yz + xz ≤ 36 Vậy M ax(P ) = 36 x = y = z = Đặt A = x + y + z; B = x2 + y + z A2 − B (A + 1)2 B + B+1 ⇒P =A+ = − ≥− 2 2 B+1 Vì B ≤ 27 ⇒ − ≥ −14 ⇒ P ≥ −14 x + y + z = −1 M in(P ) = 14 Khi x2 + y + z = 27 √ √ Hay x = − 13, y = 13, z = −1 √ √ Bài toán 3.4 (xem [6]) Chứng minh ≤ y ≤ x ≤ x y − y x ≤ Dấu đẳng thức xảy nào? Bài giải √ Ta có ≤ x ≤ ⇒ x ≥ x2 √ √ 1 √ √ Giả sử x y − y x ≤ ⇔ x y ≤ + y x(1) 4 Theo Bất đẳng thức Caushy ta vó : √ 1 √ y x + ≥ yx2 + ≥ yx2 = x y 4 √ √ ⇒x y−y x≤ 0≤y≤x≤1 x = √ Dấu đẳng thức xảy ⇔ x=x y = yx2 = 4 3.2 Một vài ứng dụng thực tế khoa học đời sống Tình 3.1 Bà Lam có hai tài khoản ngân hàng gửi tiết kiệm, ngân hàng A bà gửi 150 triệu đồng, ngân hàng B bà gửi 250 triệu đồng Bạn bà Lam hỏi mức lãi suất ngân hàng, bà Lam không nhớ xác, biết ngân hàng B có lãi suất cao ngân hàng A 0, 5% năm, sau hai năm số tiền hai tài khoản bà 459, 783 triệu Hỏi lãi suất ngân hàng bao nhiêu? Bài giải Gọi mức lãi suất ngân hàng tính năm xA % xB %,(xA , xB > 0) 57 Vì tài khoản ban đầu ngân hàng A 150 triệu, nên sau hai năm, tổng số tiền gốc lãi ngân hàng A 150.(1 + xA %)2 Vì tài khoản ban đầu ngân hàng B 250 triệu, nên sau hai năm, tổng số tiền gốc lãi ngân hàng A 250.(1 + xB %)2 Theo ra, ta có hệ phương trình x − x = 0, B A 150.(1 + x %)2 + 250.(1 + x %)2 = 459, 783 A B x = 0, + x B A ⇔ 150.(1 + x %)2 + 250.[1 + (x + 0, 5)%]2 = 459, 783 (1) A A (1) ⇔ 400.(xA %)2 + 802, 5.xA % − 57, 27675 = ⇔ xA = 6, xA = −2, 075 (loại) Với xA = 6, 9% xB = 7, 4% Như lãi suất năm ngân hàng A 6, 9%, ngân hàng B 7, 4% Tình 3.2 Giám đốc công ty X vừa khánh thành nhà có diện tích 4800m2 , phải xây 275 mét tường rào bao quanh Bây ông muốn trồng xanh hoa cho nhà thêm đẹp Dọc theo nhà ông định trồng tùng, phía trước sau nhà ông định trồng vạn tuế, cho trồng đảm bảo kỹ thuật Biết cổng vào dài mét khu vườn có dạng hình chữ nhật Hãy tính xem cần phải mua loại? Bài giải Tình đặt phải tính xác số cần mua loại để tiết kiệm chi phí thu mua vận chuyển Để làm điều đó, cần phải biết chiều dài chiều rộng khu vườn Gọi chiều dài chiều rộng khu vườn x, y (m).x, y > Vì diện tích mảnh vườn 4800m2 nên x.y = 4800 Vì tổng chiều dài tường rào 275m cổng dài 5m nên chu vi là: (x + y).2 = 280 ⇔ x + y = 140 Ta có hệ phương trình : 58 x + y = 140 x.y = 4800 Đây hệ phương trình phi tuyến đối xứng loại có nghiệm (x; y) = (60; 80) Coi khoảng cách kĩ thuật cách 2m Với chiều dài 80m số tùng trồng hai bên theo chiều dọc tường rào 80 = 80 (cây) Mặt sau khu vườn rộng 60m trồng 30 vạn tuế Mặt trước trừ m cổng, 55 m, trồng nhiều 28 vạn tuế Tổng số vạn tuế 58, trừ góc trồng tùng, cần mua 54 vạn tuế Vậy số cần mua : 80 tùng 54 vạn tuế Tình 3.3 Nói chuyển động hành tinh thiên hà, hành tinh có quỹ đạo chuyển động riêng nó, quay xung quanh mặt trời quanh hành tinh khác Quỹ đạo chuyển động Trái đất chổi Halley’s Comet hai hình elip không giao Ta biết phương trình elip phương trình phi tuyến, hệ phương trình phi tuyến tạo phương trình chuyển động trái đất chổi Halley’s Comet hệ vô nghiệm Tình 3.4 Một bác nông dân dự tính đào ao nuôi thả cá hình chữ nhật, với số vốn xây dựng bờ kè không đổi Hãy tính toán phương án xây dựng độ dài cạnh cho diện tích sử dụng lớn Bài giải Tình đặt với số vốn xây dựng bờ kè (coi chiều sâu ao không đổi), cần xác định chiều dài chiều rộng ao để diện tích sử dụng lớn Giả sử với số vốn dự tính, xây a(m) dài kè bao Như a chu vi ao cá a không đổi Gọi x, y độ dài cạnh hình chữ nhật, ta cần giải toán: Cho hệ phương trình: x + y = a (1) x.y = m (2) Tìm mối liên hệ x y để m đạt giá trị lớn nhất? Từ phương trình (2) suy a a y = − x, suy xy = x( − x) 2 59 a xy = −x2 + x a a2 a2 xy = −(x − ) + ≤ 16 16 a a Dấu ” = ” xảy x = ⇒ x = y = 4 Vậy để có diện tích sử dụng lớn nên xây ao cá hình vuông Tình 3.5 Một bác nông dân cần xây dựng hố ga hình hộp chữ nhật không nắp, tích 3200cm3 , tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy Hãy xác định diện tích đáy hố ga cho xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất? Bài giải Gọi x, y chiều rộng chiều dài đáy hố ga.(x, y > 0) h Gọi h chiều cao đáy hố ga (h > 0) Ta có = x, suy h = 2x Suy ra: - Thể tích hố ga xyh = 3200 ⇔ 2x2 y = 3200 ⇔ x2 y = 1600 - Diện tích tích toàn phần hố ga (không nắp) 2(x + y)h + xy = 4x2 + 5xy = m Ta có hệ phương trình: x2 y = 1600 (1) 4x2 + 5xy = m (2) Yêu cầu toán tìm x, y cho m nhỏ nhất? 1600 Từ phương trình (1) suy y = , ta có x 8000 1600 m = 4x2 + 5x = 4x2 + x x 8000 Khảo sát hàm số f(x) = 4x2 + , x > suy diện tích toàn phần hố ga nhỏ x 1200cm3 , x = 10cm y = 6cm Suy diện tích đáy hố ga 10.16 = 160(cm2 ) 60 Kết luận Luận văn Về hệ phương trình phi tuyến ứng dụng trình bày vấn đề sau: Luận văn trình bày chi tiết số kiến thức hệ phương trình nói chung hệ phương trình phi tuyến nói riêng Trình bày dạng toán cụ thể hệ phương trình phi tuyến Trình bày số phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến thường gặp Trình bày đề toán thi học sinh giỏi, tuyển sinh trường chuyên toán thi đại học, cao đẳng liên quan đến hệ phương trình phi tuyến Nêu vài ứng dụng hệ phương trình phi tuyến khoa học đời sống 61 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Thị Vân Anh (2009), Hướng dẫn giải dạng tập từ đề thi Quốc Gia môn Toán Bộ giáo dục đào tạo, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Hoàng Thị Dịu (2014), Luận văn thạc sĩ Một số phương pháp giải hệ phương trình hệ bất phương trình đại số, Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội [3] Trần Trọng Huệ (2015), Đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB ĐHQG Hà Nội [4] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn (2006), Các đề thi Olympic Sinh viên toàn quốc, NXB Giáo dục [5] Lê Hoành Phò (2015), Phương pháp giải ba chuyên đề toán khó, NXB ĐHQG Hà Nội [6] Nguyễn Văn Vĩnh, Nguyễn Đức Đồng số đồng nghiệp (2011), 23 Chuyên đề giải 1001 Bài toán sơ cấp, NXB Giáo dục Việt Nam ————————————————————————————————– ... Một phương trình đại số tuyến tính gọi phương trình phi tuyến Định nghĩa 1.4 (xem [6]) Hệ phương trình phi tuyến hệ gồm nhiều phương trình, nhiều ẩn, có phương trình phi tuyến 1.2.2 Một vài dạng... trợ hệ phương trình Chương xin trình bày kiến thức bổ trợ, khái niệm, định nghĩa hệ phương trình, tập nghiệm hệ phương trình nói chung hệ phương trình phi tuyến nói riêng 1.1 Hệ phương trình tuyến. .. Một vài dạng hệ phương trình phi tuyến 1.2.2.1 Hệ phương trình đại số 1.2.2.1.1 Hệ phương trình đối xứng loại I (xem [2]) Định nghĩa 1.5 Hệ phương trình đối xứng loại I hệ phương trình có dạng