Đang tải... (xem toàn văn)
bộ đề ôn thi học sinh giỏi toán lớp 7 có giải chi tiết tham khảo
Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp §Ị kh¶o s¸t Câu 1: a, cho A = + 22 + 23 + 24 + … + 220 Hái A cã chia hÕt cho 128 kh«ng? b, TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc 212.13 + 212.65 310.11 + 310.5 + 210.104 39.2 Bµi : a, Cho A = + 32 + 33 + …+ 32009 T×m sè tù nhiªn n biÕt r»ng 2A + = 3n b, T×m sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè chia hÕt cho vµ biÕt r»ng ch÷ sè hµng chơc b»ng trung b×nh céng cđa hai ch÷ sè Bµi : Cho p vµ p + lµ c¸c sè nguyªn tè( p > 3) Chøng minh r»ng p + lµ hỵp sè Bµi : T×m hai sè tù nhiªn biÕt tỉng cđa chóng b»ng 84 , ¦CLN cđa chóng b»ng Bµi 5: Gäi A vµ B lµ hai ®iĨm trªn tia Ox cho OA = cm ; OB = cm Trªn tia BA lÊy ®iĨm C cho BC = cm So s¸nh AB víi AC Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp Híng dÉn chÊm B µi Híng dÉn chÊm §iĨ m 0.5 0.5 a, 2A – A = 221 27 A 128 212.78 b, = 10 + 104 310.16 39.16 0.5 =3+3 =6 a, T×m ®ỵc n = 2010 b, Gäi sè ph¶i t×m lµ abc theo bµi ta cã a + b + c vµ 2b = a + c nªn 3b ⇒ b vËy b ∈ { 0;3;6;9} abc ⇒ c∈ { 0;5} 0.5 0.5 0.5 XÐt sè abo ta ®ỵc sè 630 XÐt sè ab5 ta ®ỵc sè 135 ; 765 P cã d¹ng 3k + 1; 3k + k∈ N D¹ng p = 3k + th× p + lµ hỵp sè tr¸i víi ®Ị bµi ⇒ p = 3k + ⇒ p + = 3k + ⇒ p + lµ hỵp sè Gäi sè ph¶i t×m lµ a vµ b ( a ≤ b) ta cã (a,b) = nªn a = 6a/ b= 6b/ ®ã (a/,b/) = ( a,b,a/,b/∈N) ⇒ a/ + b/ = 14 a 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 / b / a b O C 1 6 A B x Hai ®iĨm A vµ B trªn tia Ox mµ OA< OB (41) 0.5 0.5 ¤n tËp sè h÷u tØ sè thùc PhÇn 1: Lý thut Céng , trõ , nh©n, chia sè h÷u tØ a b , y= ( a,b,m ∈ Z m ≠ ) m m a b a + b x + y = + = m m m a b a − b x − y = − = m m m Víi x= a c x = , y = (y ≠ 0) b d a c a.c x y = = b d b.d a c a d a.d x : y = : = = b d b c b.c 2,Gi¸ tri tut ®èi cđa mét sè h÷u tØ +/ Víi x ∈ Q Ta cã x x ≥ x= -x x < Nhận xét : Với x ∈ Q, ta có: x≥ 0, x= -xvà x≥ x +/ Víi x,y ∈ Q Ta cã x + y ≤ x + y ( DÊu b»ng x¶y cïng dÊu nghÜa lµ x.y ≥ ) x − y ≥ x − y ( // … // ) PhÇn II: Bµi tËp vËn dơng Bµi Thùc hiƯn phÐp tÝnh: Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp ( ( 1 1 −3 −5 −7 − −49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 −3 −5 −7 − −49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 = 1 1 1 1 − (1 + + + + + 49) ( − + − + − + + − ) 9 14 14 19 44 49 12 = 1 −(12.50 +25) 5.9.7.89 ( − ) =− =− 49 89 5.4.7.7.89 28 Bài 2: Thực phép tính: A= A= 212.35 −46.9 ( 22.3) +84.35 212.35 −46.9 ( 3) +8 − − 510.73 −255.49 ( 125.7 ) +59.143 510.73 −255.49 ( 125.7 ) +59.143 10 212.35 −212.34 510.73 −5 = 12 − 12 +2 +59.23.7 212.34 ( −1) 510.7 ( −7 ) = 12 − ( +1) 59.73 ( +23 ) : 10 212.34.2 ( −6 ) = 12 − 59.7 3.9 −10 = − = Bµi a) T×m x biÕt: 2x + = x + b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay ®ỉi Gi¶i a) T×m x biÕt: 2x + = x + Ta cã: x + ≥ => x ≥ - Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp + NÕu x ≥ - th× 2 x + = x + => 2x + = x + => x = - (Tho¶ m·n) + NÕu - ≤ x < => x = - Th× 2x + = x + => - 2x - = x + 2 (Tho¶ m·n) + NÕu - > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cđa x tho¶ m·n b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa A = x − 2006 + 2007 − x Khi x thay ®ỉi + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi ®ã: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + NÕu 2006 ≤ x ≤ 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > VËy A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2006 ≤ x ≤ 2007 C¸ch : Dùa vµo hai sè ®èi cã gi¸ trÞ tut ®èi b»ng - GV: Gäi häc sinh tr×nh bµy Bài 4: Tìm x biết: a x − + = ( −3, ) + 5 b ( x − ) − ( x − 7) =0 - GV: Híng dÉn gi¶i a, x +1 x +11 Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp x− 4 −16 + = ( −3, ) + ⇔ x − + = + 5 5 ⇔ x− 14 + = 5 x −1 =2 ⇔ x − = ⇔ 13 x− =−2 b) x=2+ 1= 3 ⇔ x=−2+ 1= −5 3 x +1 x +11 ( x − 7) − ( x − 7) = ⇔ ( x − 7) ⇔ ( x − 7) 1 − ( x − ) 10 = 10 1 − ( x − ) = x +1 ( x +1) x −7 x +1=0 ÷ ⇔ 1−( x −7)10 =0 ⇔ x −7=010⇒ x =7 ( x −7) =1⇒ x=8 1,11 + 0,19 − 1,3.2 1 −( + ):2 2, 06 + 0,54 Bµi tËp vỊ nhµ : Bµi 1,Cho 23 B = (5 − − 0,5) : 26 A= a, Rót gän A vµ B b, T×m x ∈ Z ®Ĩ A < x < B Bµi 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc M= x − 2002 + x − 2001 Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp Chuyªn ®Ị: Gi¸ trÞ tut ®èi cđa mét sè h÷u tØ CI.Lý thut 1/ §Þnh nghÜa +/ Víi x ∈ Q Ta cã x x ≥ x= -x x < 2, TÝnh chÊt : Với x ∈ Q, ta có: x≥ 0, x= -xvà x≥ x +/ Víi x,y ∈ Q Ta cã x + y ≤ x + y ( DÊu b»ng x¶y cïng dÊu nghÜa lµ x.y ≥ ) x − y ≥ x − y ( // … // ) II.Bµi tËp Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc a, A= 3x2- 2x+1 víi x= Ta cã x= 1 suy x= hc x= − 2 HS tÝnh gi¸ trÞ trêng hỵp +/ Víi x= +/ Víi x= − 11 th× A= th× A= Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp b, B= x − 3x + x + víi x= -2/ c, C= x − y víi x=1/2 vµ y=-3 d, D= x − − − x víi x=4 e, E= 5x2 − x + víi x= (vỊ nhµ ) 3x − T¬ng tù phÇn a gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh lµm vµ ch÷a phÇn b vµ c KQ: B=20/ C= -8 D = -5 Bµi 2: T×m x biÕt x − + 2x + = a, x − =1-2x Do x − ≥ víi mäi x nªn xÐt víi – 2x ≥ ⇔ x ≤ Trêng hỵp 1: x-7 = 1-2x => 3x =8 => x= (lo¹i kh«ng tho¶ m·n ®iỊu kiƯn x ≤ ) Trêng hỵp 2: x – = 2x -1 ⇒ x = - 6( tho¶ m·n ®iỊu kiƯn cđa x) b, x − − x = − x c, x + + x + = 3x GV: yªu cÇu häc sinh lµm gäi lªn b¶ng tr×nh bµy Bµi 3: T×m x vµ y biÕt b, 7,5 − − x = −4,5 a, 2 x − = c, 3x − + y + = GV: Tỉ chøc cho häc sinh lµm bµi Häc sinh lªn b¶ng tr×nh bµy Bµi T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc a, A= 3, + 4,3 − x Ta cã 4,3 − x ≥ víi mäi x ⇒ 4,3 − x + 3, ≥ 3, Hay A ≥ 3, Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp 4,3 − x = DÊu b»ng x¶y vµ chØ 4,3 − x = x = 4,3 VËy gi¸ tri nhá nhÊt cđa A= 3,7 x= 4,3 T¬ng tù gi¸o viªn cho häc sinh lµm phÇn b, c b, B= 3x + 8, − 24, c, C= x − + y + 7,5 + 17,5 Bµi tËp vỊ nhµ Bµi 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc sau a, D = 5,5 − x − 1,5 b, E = − 10, − x − 14 c, F = − x − − y + 12 ` Chuyªn ®Ị:Gi¸ trÞ tut ®èi cđa mét sè h÷u tØ.(tiÕp theo) I Lý thut 1/ §Þnh nghÜa +/ Víi x ∈ Q Ta cã x x ≥ x= -x x < 2, TÝnh chÊt Với x ∈ Q, ta có: x≥ 0, x= -xvà x≥ x +/ Víi x,y ∈ Q Ta cã x + y ≤ x + y ( DÊu b»ng x¶y cïng dÊu nghÜa lµ x.y ≥ ) x − y ≥ x − y ( // … // ) II Bµi tËp : Bµi 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè a tho¶ m·n mét c¸c ®iỊu kiƯn sau: a) a = |a|; b) a < |a|; c) a > |a|; ≤ d) |a| = - a; e) a |a| Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp Bµi 2: Bỉ sung thªm c¸c ®iỊu kiƯn ®Ĩ c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ ®óng: a) |a| = |b| ⇒ a = b; b) a > b ⇒ |a| > |b| Bµi 3: Cho |x| = |y| vµ x < 0, y > Trong c¸c kh¼ng ®Þnh sau, kh¼ng ®Þnh nµo sai a) x2y > 0; b) x + y = 0; c) xy < 0; 1 x d) x − y = 0; d) y + = Bµi 4: T×m gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau: a) B = 2|x| - 3|y| víi x = 1/2; y = -3 b) C = 2|x – 2| - 3|1 – x| víi x = 4; Bµi 5: Rót gän c¸c biĨu thøc sau: a) |a| + a; b) |a| - a; c) |a|.a; d) |a|:a; e) 3(x – 1) – 2|x + 3|; g) 2|x – 3| - |4x - 1| Bµi 6: T×m x c¸c ®¼ng thøc sau: a) |2x – 3| = 5; b) |2x – 1| = |2x + 3|; c) |x – 1| + 3x = 1; d) |5x – 3| - x = Bµi 7: T×m c¸c sè a vµ b tho¶ m·n mét c¸c ®iỊu kiƯn sau: a) a + b = |a| + |b|; b) a + b = |b| - |a| Bµi 8: Cã bao nhiªu cỈp sè nguyªn (x; y) tho¶ m·n mét c¸c ®iỊu kiƯn sau: a) |x| + |y| = 20; b) |x| + |y| < 20 Bµi 9: §iỊn vµo chç trèng (…) c¸c dÊu ≥, ≤, = ®Ĩ c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®óng víi mäi a vµ b H·y ph¸t biĨu mçi kh¼ng ®Þnh ®ã thµnh mét tÝnh chÊt vµ chØ râ nµo x¶y dÊu ®¼ng thøc ? a) |a + b|…|a| + |b|; b) |a – b|…|a| - |b| víi |a| ≥ |b|; c) |ab|…|a|.|b|; d) a |a| b |b| Bµi 10: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: a) A = 2|3x – 2| - 1; b) B = 5|1 – 4x| - 1; c) C = x2 + 3|y – 2| - 1; d) D = x + |x| Bµi 11: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa c¸c biĨu thøc: b) B = | x − | +3 ; Bµi 12: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc C = (x + 2)/|x| víi x lµ sè nguyªn a) A = - |2x – 1|; Bµi 13: Cho |a – c| < 3, |b – c| < Chøng minh r»ng: |a – b| < 10 Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp a (1,5®) - BiÕn ®ỉi S = 30 3 3n−1 ⋅ n + ( + + + + ) 2 2 - §a vỊ d¹ng 3S – S = 2S 2n + n − - BiÕn ®ỉi ta ®ỵc S = (n ∈ Z + ) b (0,5®) - NghiƯm l¹i c¸c gi¸ trÞ 1, -1, 5, -5 vµo ®a thøc - Gi¸ trÞ nµo lµm cho ®a thøc b»ng th× gi¸ trÞ ®ã lµ nghiƯm C©u B (2®) x−2 A nguyªn ⇔ nguyªn ⇔ x – ∈ (8) x−2 a (1,5®) A=5+ LËp b¶ng x -2 -8 x -6 -4 -2 -2 -1 1 4 V× x ∈ Z ⇒ x = {-6; -2; 0; 1; 3; 4; 6; 10} th× A ∈ Z b (0,5®) 76 + 75 – 74 = 74 (72 + – 1) = 74 55 55 31 10 Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp §Ị thi häc sinh giái hun M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 120 (kh«ng kĨ giao ®Ị) §Ị 1.2 A/ PhÇn ®Ị chung C©u (1,5®iĨm) 4 4 a,(1®) TÝnh tỉng: M = - 1.5 − 5.9 − 9.13 − − ( n + 4) n b,(0,5®) T×m x biÕt: -4x(x – 5) – 2x(8 – 2x) = -3 C©u (1,5®iĨm) a,(1®) T×m x, y, z biÕt: x3 y z3 = = vµ x2 + y2 + z2 = 14 64 216 b.(0,5®) Cho x1 + x2 + x3 + …+ x50 + x51 = vµ x1 + x2 = x3 + x4 = x5 + x6 = … = x49 + x50 = tÝnh x50 C©u (2®iĨm) 1,(1®) Trªn mỈt ph¼ng to¹ ®é, cho ®iĨm M(-3;2) vµ N(3;-2) H·y gi¶i thÝch v× gèc to¹ ®é O vµ hai ®iĨm M, N lµ ®iĨm th¼ng hµng? x2 2 2.(1®) Cho ®a thøc: Q(x) = x − x + x − − x + x 2 a./ T×m bËc cđa ®a thøc Q(x) 1 2 1 b./ TÝnh Q − c./ Chøng minh r»ng Q(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi sè nguyªn x C©u (3®iĨm) a.(1®) Ba tỉ c«ng nh©n A, B, C ph¶i s¶n xt cïng mét sè s¶n phÈm nh Thêi gian tỉ hoµn thµnh kÕ ho¹ch theo thø tù lµ 14 ngµy, 15 ngµy vµ 21 ngµy Tỉ A nhiỊu h¬n tỉ C lµ 10 ngêi Hái mçi tỉ cã bao nhiªu c«ng nh©n? (N¨ng st lao ®éng cđa c¸c c«ng nh©n lµ nh nhau) 32 Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp b.(2®) Cho h×nh vu«ng ABCD Trªn nưa mỈt ph¼ng chøa ®iĨm B bê lµ ®êng th¼ng AD vÏ tia AM (M ∈ CD) cho gãc MAD = 200 Còng trªn nưa mỈt ph¼ng nµy vÏ tia AN (N ∈ BC) cho gãc NAD = 65 Tõ B kỴ BH ⊥ AN (H ∈ AN) vµ trªn tia ®èi cđa tia HB lÊy ®iĨm P cho HB = HP chøng minh: a./ Ba ®iĨm N, P, M th¼ng hµng b./ TÝnh c¸c gãc cđa ∆ AMN B/ PhÇn ®Ị riªng C©u A (2®iĨm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a.(1®) Chøng minh r»ng: 222333 + 333222 chia hÕt cho 13 b.(1®) T×m sè d cđa phÐp chia 109345 cho C©u B (2®iĨm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a.(1®) T×m sè nguyªn d¬ng n biÕt 45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65 ⋅ = 2n 35 + 35 + 25 + 25 b.(1®) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n th×: 3n+3 + 2n+3 – 3n+2 + 2n+2 chia hÕt cho ®¸p ¸n 1.2 I PhÇn ®Ị chung C©u (1,5®) a (1®)- §a dÊu “ – “ ngoµi dÊu ngc - T¸ch mét ph©n sè thµnh hiƯu ph©n sè råi rót gän ®ỵc A = b (0,5®) BiÕn ®ỉi råi rót gän ta ®ỵc x = - −1 n C©u (1,5®) a c e a (1®)- BiÕn ®ỉi c¸c mÉu díi d¹ng lËp ph¬ng ®a vỊ d¹ng b = d = f - ¸p dơng tÝnh chÊt d·y TSBN råi t×m x, y, z b (0,5®) KÕt qu¶ x50 = 26 C©u (2®) a (1®) Gäi ®êng th¼ng (d) ®i qua O vµ M(-3;2) lµ ®å thÞ hµm sè d¹ng y = ax (a ≠ 0) tõ ®ã tÝnh a ®Ĩ x¸c ®Þnh hµm sè ⇒ OM lµ ®å thÞ hµm sè - KiĨm tra ®iĨm N(3;-2) cã thc ®å thÞ hµm sè kh«ng? → kÕt ln: O, M, N th¼ng hµng b (1®) x3 − x ⇒ bËc Q(x) lµ - Thu gän Q(x) = 33 (0,25®) Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp −1 1 1 − (− ) − (− ) - Q(- ) = = = −3 (0,25®) 2 2 16 x ( x − 1) - Q(x) = lµ mét sè ch½n ⇒ Q(x) ∈ Z (0,5®) C©u 4(3®) a (1®) Gäi sè ngêi tỉ A, tỉ B, tỉ C lÇn lỵt lµ x, y,z tØ lƯ nghÞch víi 14, 15, 21 ⇒ x, y, z TLT víi 1 ; ; Tõ ®ã tÝnh ®ỵc x = 30; y = 28; z = 20 14 15 21 b (2®) * BNA = PNA (c.c.c) ⇒ gãc NPA = 900 (1) - ∆ DAM = ∆ PAM (c.g.c) ⇒ gãc APM = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ gãc NPM = 1800 ⇒ KÕt ln * Gãc NAM = 450 ; gãc ANP = 650; gãc AMN = 700 II phÇn ®Ị riªng C©u A (2®) a (1®) 222333 + 333222 = 111333.2333 + 111222.3222 = 111222[(111.23)111 + (32)111] = 111222 (888111 + 9111) V× 888111 + 9111 = (888 + 9)(888110 – 888109.9 + … - 888.9109 + 9110) = 13.69 (888110 – 888109.9 + …- 888109 + 9110) 13 ⇒ KL b (1®) Ta cã 109345 = (109345 – 4345) + (4345 – 1) + v× 109345 – 4345 7 4345 – 7 ⇒ 109345 chia hÕt cho d C©u B (2®) §¸p ¸n a (1®) VT: - §a tỉng c¸c l thõa b»ng díi d¹ng tÝch vµ biÕn ®ỉi ®ỵc 212 ⇒ n = 12 b (1®) - Nhãm sè h¹ng thø nhÊt víi sè h¹ng thø råi ®Ỉt TSC Sè h¹ng thø víi sè hµng thø råi ®Ỉt TS C - §a vỊ mét tỉng cã c¸c sè h¹ng cho vµ mµ UCLN(2;3) = ⇒ tỉng 6 34 Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 120 (kh«ng kĨ giao ®Ị) §Ị 1.3 A/ PhÇn ®Ị chung C©u (2,5®iĨm): a (1,75®) TÝnh tỉng: M = 1 761 × − ×4 − + 417 762 139 762 417.762 139 b (0,75®) TÝnh gi¸ trÞ cđa ®a thøc sau t¹i x = -1 x2 + x4 + x6 + x8 + … + x100 C©u (1®iĨm): 3x − y x a (0,5®) Cho tØ lƯ thøc x + y = tÝnh gi¸ trÞ cđa y b (0,5®) Cho tØ lƯ thøc C©u (2,5®iĨm): a a c 2a + 3b 2c + 3d = = chøng minh r»ng b d 2a − 3b 2c − 3d (1,5®) Cho hµm sè y = - x vµ hµm sè y = x -4 * VÏ ®å thÞ hµm sè y = - x * Chøng tá M(3;-1) lµ giao cđa hai ®å thÞ hµm sè trªn 35 Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp * TÝnh ®é dµi OM (O lµ gèc to¹ ®é) b (1®) Mét «t« t¶i vµ mét «t« cïng khëi hµnh tõ A B, vËn tèc «t« lµ 40km/h, vËn tèc «t« t¶i lµ 30km/h Khi «t« t¶i ®Õn B th× «t« ®· ®Õn B tríc 45 TÝnh ®é dµi qu·ng ®êng AB C©u (2®iĨm): Cho ∆ ABC cã gãc A = 900, vÏ ph©n gi¸c BD vµ CE (D ∈ AC ; E ∈ AB) chóng c¾t t¹i O a (0,5®) TÝnh sè ®o gãc BOC b (1®) Trªn BC lÊy ®iĨm M vµ N cho BM = BA; CN = CA chøng minh EN// DM c (0,5®) Gäi I lµ giao cđa BD vµ AN chøng minh ∆ AIM c©n B/ PhÇn ®Ị riªng C©u A (2®iĨm): Dµnh cho häc sinh chuyªn b (1®) Chøng minh r»ng ®a thøc sau kh«ng cã nghiƯm: P(x) = 2x2 + 2x + c (1®) Chøng minh r»ng: 2454.5424.210 chia hÕt cho 7263 C©u B (2®iĨm): Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a (1®) T×m nghiƯm cđa ®a thøc 5x2 + 10x b (1®) T×m x biÕt: 5(x-2)(x+3) = ®¸p ¸n 1.3 I PhÇn ®Ị chung C©u (2,5®) a (2®) c= - BiÕn ®ỉi M díi d¹ng mét tỉng råi ®Ỉt a = 1 ;b= ; 762 417 139 - Rót gän råi thay gi¸ trÞ a, b, c vµo ta tÝnh ®ỵc M = 762 b (0,5®) (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 + … + (-1)100 = + +1 + … + = 50 C©u (1®) a (0,5®) ¸p dơng tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc x a c = ⇒ ad = bc ⇒ = y b d a c a b 2a 3b 2a + 3b 2a − 3b 2a + 3b 2c + 3d = ⇒ = b (0,5®) Tõ = ⇒ = ⇒ = = b d c d 2c 3d 2c + 3d 2c − 3d 2a − 3b 2c − 3d C©u (2,5®) a (1,5®) 36 Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp * VÏ ®å thÞ hµm sè y = - x * Tõ hµm sè trªn ta ®ỵc ph¬ng tr×nh hoµnh ®é - x = x -4 - Thay ®iĨm M(3; -1) vµo ph¬ng tr×nh hoµnh ®é ta ®ỵc - = – = -1 ⇒ M(3; -1) lµ giao cđa ®å thÞ hµm sè trªn * Trªn mỈt ph¼ng to¹ ®é ta thÊy ∆OMP vu«ng t¹i P ⇒ OM = OP + PM = 12 + 32 ⇒ OM = + = 10 (®v®d) b (1®) - §ỉi 45 = 45 h= h 60 - Gäi vËn tèc cđa «t« t¶i vµ «t« lµ v1 vµ v2 (km/h) t¬ng øng víi thêi gian lµ t1 vµ t2 (h) Ta cã v1.t1 = v2.t2 v t - V× vËn tèc vµ thêi gian lµ hai ®¹i lỵng TLN ⇒ v = t ; t2 – t1 = = (h) T1 = ⋅ = ( h ) 4 - TÝnh ®ỵc t2 = ⇒ S = v2 t2 = 30 = 90km C©u (2®) a (0,5®) Cã gãc B + gãc C = 900 ⇒ gãc OBC + gãc BCO = 90 = 45 (BD, CE lµ ph©n gi¸c) ⇒ gãc BOC = 180 – 450 = 1350 b (1®) ∆ ABD = ∆ MBD (c.g.c) gãc A = gãc M = 900 ⇒ DM ⊥ BC (1) ∆ ECN = ∆ ECA (c.g.c) gãc A = gãc N = 900 ⇒ EN ⊥ BC (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ EN // DM B N I E A c (0,5®) 37 M O D C Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp ∆ IBA = ∆ IBM (c.g.c) ⇒ IA = IM thay ∆ IAM c©n t¹i I II PhÇn ®Ị riªng C©u A (2®) a (1®) P(x) = (x+1)2 + x2 + 1 ≥ víi ∀ x 4 vËy P(x) kh«ng cã nghiƯm b (1®) 2454 5424 210 = (23.3)54 (2.33)24 210 = 2196 3126 7263 = (23 32)63 = 2189 3126 Tõ ®ã suy 2454 5424 210 7263 C©u B (2®) a (1®) Cho 5x2 + 10x = 5 x = x = ⇒ 5x(x + 10) = ⇔ ⇔ x + 10 = x = −10 NghiƯm cđa ®a thøc lµ x = hc x = -10 b (1®) 5(x-2)(x+3) = = 50 x − = x = ⇒ (x-2)(x+3) = ⇔ ⇒ x + = x = −3 VËy x = hc x = -3 §Ị thi häc sinh giái hun M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 120 (kh«ng kĨ giao ®Ị) §Ị 1.4 A/ PhÇn ®Ị chung C©u (1,5®iĨm): a (0,75®) TÝnh tỉng M = 3 ⋅ 27 + ⋅ ( −5 ) 23 47 47 23 b (0,75®) Cho c¸c sè a1, a2, a3 …an mçi sè nhËn gi¸ trÞ lµ hc -1 BiÕt r»ng a1a2 + a2a3 + … + ana1 = Hái n cã thĨ b»ng 2002 ®ỵc hay kh«ng? C©u (2 ®iĨm) a (1®) T×m x biÕt 1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y = = 18 24 6x 38 Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp b (1®) T×m x, y, z biÕt 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32 C©u (1,5®iĨm) Cho h×nh vÏ, ®êng th¼ng OA lµ ®å thÞ hµm sè y = f(x) = ax (a ≠ 0) a TÝnh tØ sè yo − xo − y B y0 b Gi¶ sư x0 = tÝnh diƯn tÝch ∆OBC o A C X0 x C©u (3®iĨm) a (1®) Mét «t« t¶i vµ mét «t« cïng khëi hµnh tõ A B, vËn tèc «t« lµ 40km/h, vËn tèc «t« t¶i lµ 30km/h Khi «t« t¶i ®Õn B th× «t« ®· ®Õn B tríc 45 TÝnh ®é dµi qu·ng ®êng AB b (2®) Cho ∆ ABC, gäi M vµ N theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa AC vµ AB Trªn tia ®èi cđa tia MB lÊy ®iĨm D cho MD = MB, trªn tia ®èi cđa tia NC lÊy ®iĨm E cho NE = NC Chøng minh r»ng: • Ba ®iĨm E, A, D th¼ng hµng • A lµ trung ®iĨm cđa ED B/ PhÇn ®Ị riªng C©u A (2®iĨm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a (1®) So s¸nh vµ + b (1®) Cho hai ®a thøc P(x) = x2 + 2mx + m2 vµ Q(x) = x2 + (2m+1)x + m2 T×m m biÕt P(1) = Q(-1) C©u B (2®iĨm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a (1®) So s¸nh 2300 vµ 3200 b (1®) TÝnh tỉng A = + + 22 + … + 22010 ®¸p ¸n ®Ị 1.4 I PhÇn ®Ị chung C©u (1,5®) a (0,75®) - BiÕn ®ỉi M díi d¹ng mét tỉng - §Ỉt =a 23 ; =b 47 - Rót gän råi thay gi¸ trÞ cđa a, b vµo ®ỵc A = 119 b (0,75®) XÐt gi¸ trÞ cđa mçi tÝch a1a2, a2a3, …ana1 ⇒ sè tÝch cã gi¸ trÞ b»ng b»ng sè tÝch cã gi¸ trÞ b»ng -1 vµ b»ng n v× 2002 2 ⇒ n = 2002 C©u (2®) 39 Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp + y (1) + y ( ) + y (3) = = 18 24 6x a (1®) T×m x biÕt - ¸p dơng tÝnh chÊt d·y TSBN cho tØ sè (1) vµ (3) ®ỵc tØ sè (4) - XÐt mèi quan hƯ gi÷a tØ sè (4) vµ (2) ⇒ 6x = 24 = 48 ⇒ x = a c e - §a vỊ d¹ng b = d = f - ¸p dơng tÝnh chÊt d·y TSBN ⇒ tÝnh x, y, z C©u (1,5®) a (0,75®) - Trªn mỈt ph¼ng to¹ ®é ta thÊy ®iĨm B(x0;y0) ∈ ®å thÞ hµm sè y = f(x) = ax b (1®) y0 =a x0 y ⇒ a= = Mµ A(2;1) x0 y y0 − = = x0 x − ⇒ y0 = ax0 ⇒ b (0,75®) - ∆ OBC vu«ng t¹i C 1 ⇒ S ∆OBC = OC.BC = OC y0 2 Víi x0 = ⇒ S ∆OBC = ⋅ ⋅ = 6,25 (®vdt) 2 C©u (3®) a (1®) - §ỉi 45 = 45 h= h 60 - Gäi vËn tèc cđa «t« t¶i vµ «t« lµ v1 vµ v2 (km/h) t¬ng øng víi thêi gian lµ t1 vµ t2 (h) Ta cã v1.t1 = v2.t2 v t - V× vËn tèc vµ thêi gian lµ hai ®¹i lỵng TLN ⇒ v = t ; t2 – t1 = - TÝnh ®ỵc t2 = = (h) t1 = ⇒ S = v2 t2 = 30 = 90km b (2®) - ∆ MAD = ∆ MCB (c.g.c) ⇒ gãc D = gãc B ⇒ AD // BC (1) - ∆ NAE = ∆ NBC (c.g.c) ⇒ gãc E = gãc C ⇒ AE // BC (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ E, A, D th¼ng hµng - Tõ chøng minh trªn ⇒ A lµ trung ®iĨm cđa ED 40 ⋅ = ( h) 4 E A N B D M C Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp II PhÇn ®Ị riªng C©u A (2®) a (1®) So s¸nh vµ + ⇒ + < 5+ = + + ta cã < ⇒ < ( + 1) ⇒ < + b (1®) - Thay gi¸ trÞ cđa x vµo ®a thøc - Cho ®a thøc b»ng ta tÝnh ®ỵc m = C©u B (2®) a (1®) Ta cã 300 = (2 )100 200 = (32 )100 ⇒ 3200 > 2300 b (1®) - Nh©n hai vÕ cđa tỉng víi A víi - LÊy 2A – A rót gän ®ỵc A = 2010 − ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể giao đề) §Ị 1.5 A/ PhÇn ®Ị chung 41 Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp C©u (1,5 ®iĨm): 1 − − 11 (1®) TÝnh tỉng: A = 4 + − − 11 3 − − 25 125 625 4 − 0,16 − − 125 625 0,6 − a (0,5®) T×m c¸c sè a1, a2, a3, … a9 biÕt a −9 a1 − a2 − a3 − = = = = 9 C©u (2 ®iĨm) a (1®) T×m x, y biÕt vµ a1 + a2 + a3 + … + a9 = 90 + 3y + 5y + y = = 12 5x 4x 2 b (1®) ChØ c¸c cỈp (x;y) tho¶ m·n x + x + y − = C©u (1,5®iĨm) a.(1®)Cho hµm sè y = f(x) = x + víi x ≥ -1 -x – víi x < -1 * ViÕt biĨu thøc x¸c ®Þnh f * T×m x f(x) = b (0,5®) Cho hµm sè y = x * VÏ ®å thÞ hµm sè * T×m trªn ®å thÞ ®iĨm M cã tung ®é lµ (-2), x¸c ®Þnh hoµnh ®é M (gi¶i b»ng tÝnh to¸n) C©u (3®iĨm) a (1®) Mét «t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B mét thêi gian dù ®Þnh víi vËn tèc 40km/h Sau ®i ®ỵc 1/2 qu·ng ®êng AB th× «t« t¨ng vËn tèc lªn 50km/h trªn qu·ng ®êng cßn l¹i Do ®ã «t« ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 18 TÝnh qu·ng ®êng AB b (2®) Cho ∆ ABC vu«ng c©n ë A, M lµ trung ®iĨm cđa BC, ®iĨm E n»m gi÷a M vµ C KỴ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H vµ K thc ®êng th¼ng AE) Chøng minh r»ng:* BH = AK * ∆ MBH = ∆ MAK * ∆ MHK lµ tam gi¸c vu«ng c©n B/ PhÇn ®Ị riªng C©u A (2®iĨm) Dµnh cho häc sinh chuyªn a (1®) T×m c¸c sè x, y, z tho¶ m·n ®¼ng thøc ( x − ) + ( y + 2) + x + y + z = b (1®) T×m x, y, z biÕt: x + y = x : y = 3(x – y) C©u B (2®iĨm) Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn a (1®) T×m x biÕt: 2x + 2x+1 + 2x+2 + 2x+3 = 120 42 Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp b (1®) Rót gän biĨu thøc sau mét c¸ch hỵp lÝ: A = 1− 1 + − 49 49 (7 7) 2 64 − + − 343 §¸p ¸n 1.5 I phÇn ®Ị chung C©u (1,5®: mçi ý ®óng 0,75®) a A = b ¸p dơng tÝnh chÊt cđa d·y TSBN ta tÝnh ®ỵc a1 = a2 = … = a9 = 10 C©u (2®iĨm: mçi ý ®óng 1®) a - ¸p dơng tÝnh chÊt d·y TSBN cho tØ sè (1) vµ (3) ®ỵc tØ sè (4) - Tõ tØ sè (4) vµ tØ sè (2) 12 + 4x = 2.5x x = 15 2 - V× x + x ≥ vµ y − ≥ ⇒ x2 + 2x = vµ y2 – = tõ ®ã t×m c¸c cỈp (x;y) - Tõ ®ã tÝnh ®ỵc y = b C©u (1,5®) a (1®) - BiĨu thøc x¸c ®Þnh f(x) = x + - Khi f(x) = ⇒ x + = tõ ®ã t×m x b (0,5®) - VÏ ®å thÞ hµm sè y = x x O (0;0) y A (5;2) - BiĨu diƠn O(0;0); A(5;2) trªn mỈt ph¼ng to¹ ®é ⇒ OA lµ ®å thÞ hµm sè y = x 2 - M ∈ ®å thÞ y = x ⇒ -2 = x ⇒ x = -5 5 C©u (3®iĨm) a (1®) 18 = 18 = ( h) 60 10 - Gäi vËn tèc vµ thêi gian dù ®Þnh ®i nưa qu·ng ®êng tríc lµ v1; t1, vËn tèc vµ thêi gian ®· ®i nưa qu·ng ®êng sau lµ v2; t2 43 Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp - Cïng mét qu·ng ®êng vËn tèc vµ thêi gian lµ ®¹i lỵng TLN ®ã: v v v −v 100 2 V1t1 = v2t2 ⇔ t = t = t − t = 2 ⇒ t1 = B (giê) ⇒ thêi gian dù ®Þnh ®i c¶ qu·ng ®êng AB lµ giê - Qu·ng ®êng AB dµi 40 = 120 (km) b (2®) - HAB = KCA (CH – GN) A ⇒ BH = AK - ∆ MHB = ∆ MKA (c.g.c) ⇒ ∆ MHK c©n v× MH = MK (1) Cã ∆ MHA = ∆ MKC (c.c.c) ⇒ gãc AMH = gãc CMK tõ ®ã ⇒ gãc HMK = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ ∆ MHK vu«ng c©n t¹i M II PhÇn ®Ị riªng C©u A (2®) a (1®) – V× (x − 2) ≥ víi ∀ x M K E H C ( y + 2) ≥ víi ∀ y x+ y+z ≥ víi ∀ x, y, z ( x − 2) = §¼ng thøc x¶y ⇔ ( y + 2) = x+ y+x =0 x = ⇔ y = − z = b (1®)Tõ x + y = 3(x-y) = x : y ⇒ 2y(2y – x) = mµ y ≠ nªn 2y – x = ⇒ x = 2y Tõ ®ã ⇒ x = ; y = 3 C©u B (2®) a (1®) - §Ỉt 2x lµm TSC rót gän - BiÕn ®ỉi 120 díi d¹ng l thõa c¬ sè råi t×m x b (1®) BiÕn ®ỉi tư vµo mÉu råi rót gän ®ỵc A = 44 Gi¸o ¸n : Båi dìng häc sinh giái líp 45 ... +11 ( x − 7) − ( x − 7) = ⇔ ( x − 7) ⇔ ( x − 7) 1 − ( x − ) 10 = 10 1 − ( x − ) = x +1 ( x +1) x 7 x +1=0 ÷ ⇔ 1−( x 7) 10 =0 ⇔ x 7= 010⇒ x =7 ( x 7) =1⇒ x=8... Bµi 15: Cã 130 häc sinh thc ba líp 7A, 7B, 7C cđa mét trêng cïng tham gia trång c©y Mçi häc sinh cđa 7A, 7B, 7C theo thø tù trång ®ỵc c©y, c©y, c©y Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh tham gia trång... +25) 5.9 .7. 89 ( − ) =− =− 49 89 5.4 .7. 7.89 28 Bài 2: Thực phép tính: A= A= 212.35 −46.9 ( 22.3) +84.35 212.35 −46.9 ( 3) +8 − − 510 .73 −255.49 ( 125 .7 ) +59.143 510 .73 −255.49 ( 125 .7 ) +59.143
