TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Vậy kế hoạch chuyên đề nhƣ ? STT Dạng Số tập rèn luyện Thời gian rèn luyện Tìm giá trị biểu thức Chứng minh đẳng thức lượng giác Giải phương trình lượng giác Ghi Bản thân TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn     Hàm số y = sinx Có tập xác định D = R Có tập giá trị [-1;1] Là hàm số lẻ tuần hoàn với chu kì 2π Đồ thị     Hàm số y= cosx Có tập xác định D = R Có tập giá trị [-1;1] Là hàm số chẵn tuần hoàn với chu kì 2π Đồ thị Hàm số y = tanx Hàm số y = cot x  Có tập xác định D1=R∖{π2+kπ|k∈Z}  Có tập xác định : D2=R∖{kπ|k∈Z}  Có tập giá trị R  Có tập giá trị R  Là hàm số lẻ; tuần hoàn với chu kỳ π  Là hàm số lẻ; tuần hoàn với chu kỳ π  Bảng giá trị góc lượng giác đặc biệt Góc HS LG Sinx     45 o 60 o 0o 30 o 2 Tanx || Cotx 1 3 180 o 120o 2 270 o -1 360 o -1 2 90 o  2 Cosx 2 3 1 || 0 || 3 3 || 0 || TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn  Một số câu vè để nhớ công thức lƣợng giác Bắt đƣợc tang Sin nằm cos Côtang cãi lại Cos nằm sin! tan x = 1+ cot x = 1+ Cách ghi nhớ công thức Cung : Bù , phụ , = ( cosx = ( sinx , đối ,… Cos đối : Hai góc đối cos nhau, lại ngược dấu Hai góc bù Sin bù ( tổng 180 Hai góc phụ ( tổng 90 ) Hai góc nhau ) sin nhau, lại ngược dấu Phụ chéo sin cos, tan cot tan ( cot ) lại hàm sin cos ngược dấu Tan ( cot) TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Cách thức ghi nhớ công thức Tổng  Tổng góc : hàm sin ( a cos ( a sin (a + b) = sina.cosb + cosa sinb Sin sincos cossin Cos coscos sinsin rõ ràng sin (a - b) = sina.cosb - cosa sinb Sin giữ dấu chàng Cos đổi dấu xin nàng nhớ cho cos (a + b) = cosa.cosb - sina sinb cos (a -b) = cosa.cosb + sina Sinb Cos cộng cos hai cos cos Cos trừ cos trừ hai sin sin Sin cộng sin hai sin cos Sin trừ sin hai cos sin cos a + cosb = 2cos cos cos a – cosb = -2sin sin sina + sinb = 2sin cos sina - sinb = 2cos sin   Tổng hàm : Góc a & b Cách thức ghi nhớ công thức Tích  Tích góc : góc nhân góc nhân Sin 2x = sinx.cosx Cos 2x = - =1-2 =2 –1 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Nhân ba góc sin ba bốn, cos bốn ba sin3x = sin x – dấu trừ đặt hai ta, lập phương chỗ bốn, – cosx cos3x = ok   Tích hàm : Sina.cosb ; sina.sinb : cosa.cosb Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ cosa.cosb = [cos 𝑎 Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng sina.sinb = [cos 𝑎 𝑏 cos 𝑎 𝑏 ] Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ sina.cosb = [sin 𝑎 𝑏 sin 𝑎 𝑏 ] Công thức góc chia đôi ( tính theo t = tan sinx = Sin, cos mẫu giống chả khác Ai mẫu cộng bình tê (1+t^2) Sin tử có hai tê (2t), cos tử có trừ bình tê (1-t^2) cosx = Các công thức chia làm công thức  CUNG :  TỔNG : GÓC HÀM  TÍCH: 𝟐𝐭 𝟏 𝐭𝟐 𝟏 𝐭𝟐 𝟏 𝐭𝟐 𝑏 cos 𝑎 𝑏 ] TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn KÊU GỌI HÀNH ĐỘNG      Các bạn học sinh bắt tay vào ghi nhớ công thức ! Cos đối ,……………………………………………………… …… Câu thơ tính tổng góc : ………………………… …………………………………………… Câu thơ tính tổng hàm : …………………………………………… Câu thơ tính tích hàm: …………………………………………… Câu thơ tính tích góc : ……………………………………………  Góc :…………………………………………… DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƢỢNG GIÁC TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn I Tính giá trị hàm lƣợng giác  Phƣơng pháp: biến đổi công thức lượng giác dựa vào công thức lượng giác ban đầu xét khoảng xác định cần tính Ví dụ 1: a) Cho góc  thỏa mãn: b) Cho góc ( c) cho góc ( tan      sin   Tính A   tan   ) mà sin √ ) mà sin Tính B = sin( cos Tính sin Sơ đồ đƣờng Bƣớc : Biến đổi biểu thức cần tính dạng tích tổng Bài giải a) Ta có : sin   => cos nên cos Do  cos = => tan √  tan = Bƣớc : Đối chiếu giả thiết xác định công thức chưa biết < (góc phần tư thứ 2) = = thay vào biểu thức A ta : A = = II I III IV =  sin    Tìm cos Dựa vào công thức biểu thị mối quan hệ sin cos : sin cos Bƣớc : So sánh điều kiện Giá trị thuộc góc phần tư thứ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn b) Ta có :  sin √ = sin cos + cos sin = √ sin + cos √ cos = Bƣớc : Biến đổi biểu thức cần tính dạng tích tổng  sin (a + b) = sina.cosb + cosa sinb Bƣớc : Đối chiếu giả thiết xác định công thức chưa biết √  sin  Do  cos =  sin √ < (góc phần tư thứ 2) nên cos thay vào biểu thức B ta : √ = sin cos + cos sin = √ sin + √  Tìm cos Dựa vào công thức biểu thị mối quan hệ sin cos : sin cos Bƣớc : So sánh điều kiện Giá trị thuộc góc phần tư thứ cos = √ √ + √ √ = √ √ II I III IV c) Bƣớc : Biến đổi biểu thức cần tính dạng tích tổng  Sin 2x = sinx.cosx Bƣớc : Đối chiếu giả thiết xác định công thức chưa biết  sin cos  Tìm sin cos Dựa vào công thức biểu thị mối quan hệ sin cos, tổng tích sin sin cos cos Bƣớc : So sánh điều kiện Giá trị thuộc góc phần tư thứ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức ab (a, b  0) Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 ab 2a b) Cho cos   Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 1 a2 c) Cho sin   cos   Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 a) Cho sin   Sơ đồ đƣờng Bài giải Bƣớc : Biến đổi biểu thức cần tính dạng tích tổng a)  Tìm sin 2 Ta có : cos =| √ = = sin cos =  Tìm cos 2  Ta có : Cos = - sin √ = 1–2  Sin 2x = sinx.cosx | |  Cos 2x = - | ( a,b > 0) = ( a,b > 0)  Tìm tan 2 = Ta có : tan = = √ | | √ | |  tan 2x = Bƣớc : Đối chiếu giả thiết xác định công thức chưa biết ab  sin   (a, b  0) ab  Tìm cos Dựa vào công thức biểu thị mối quan hệ sin cos, tổng tích sin cos ( a,b > 0) Bƣớc : So sánh điều kiện Các ý b) & c) học sinh tự làm tƣơng tự Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức a) A = sin 75 + tan15 b) B = sin – 2cos c) C = sin20 Sơ đồ đƣờng Bài giải a) A = sin 75 + tan15 = sin (45 +30 + tan (45 - 30 = sin 45 cos30 + cos45 sin30 + = √ √ + √ √ + Bƣớc : Biến đổi biểu thức cần tính dạng tích tổng  Đưa giá trị góc đặc biệt Bƣớc : Đối chiếu giả thiết xác định công thức chưa biết  sin (a + b) = sina.cosb + cosa √ TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn = √ √ √ Sinb  tan (a – b ) = √ b) B = sin – 2cos √ Ta có : sin √ => sin = => cos = √ √ cos √ √ √ √ Vậy B = √ √ - √ Bƣớc : Biến đổi biểu thức cần tính dạng tích tổng  Đưa giá trị góc đặc biệt + góc chia đôi => tăng đôi góc  giảm bậc  Xét hàm với bậc nhân đôi  Sử dụng công thức hạ bậc Bƣớc : Đối chiếu giả thiết xác định công thức chưa biết √ Bƣớc : Biến đổi biểu thức cần tính dạng tích tổng  Đưa giá trị góc đặc biệt + Hàm dạng tích đưa tổng góc  Sina Sinb c) Bƣớc : Đối chiếu giả thiết xác định công thức chưa biết  BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Tính giá trị biểu thức a) Cho góc  thỏa mãn: b) cho góc (      sin = Tính A= ) mà sin cos Tính sin Bài 2: Tình giá trị biểu thức a) A = cos b) B = cos cos + cos + cos 10 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn  t 1 t  sin x  cos x ; t   sin x cos x    b/   2 t 1  t    m  t     t  3t  m(*)t    2;          t 1     Xét hàm số :   t  3t 2t t 1  t   f (t )   t   f '(t )  1   1   0t   2;  2 2   t  1  t 1 t 1 t  1     Do để phương trình có nghiệm : f   m  f  2    m   m   2;  s inx   Ví dụ  cot x  cosx    t anx-sinx   Điều kiện :   x  k * cosx     Khi :     s inx-cosx    2sin x   1  s inx cosx   cosx  cos x sin x   cosx+sinx    cosx    sinx+cosx-sinxcosx    cosx-sinx    1  sinx    1    cosx  sinxcosx   cosx       cosx+s inx-sinxcosx   s inx+cosx-sinxcosx    cosx-sinx     2 0 s inxcosx cosx       cosx+sinx-sinxcosx    cosx-sinx      cosx+sinx-sinxcosx=0    cosx sinx   3  cosx-sinx   Trường hợp : cosx-sinx=0  tanx=1  x=   k k  Z  Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 t  s inx+cosx  t   Đặt :  Cho nên phương trình : t 1 s inxcosx=  t t  1     l  t 1     t  2t      sin  x     4  t   25 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn   x     k 2   1   sin  x     sin    k  Z  4   x  3    k 2   BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải phương trình sau: Bài 2: Giải phương trình sau: a b c d √ e f ( ( ) √ √ ) ( ) ( ( ) ) Bài 3: Cho phương trình sau: Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn * 26 + ( ) TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn III Phƣơng trình đƣa dạng tích:  Đây dạng phổ biến đề thi kiểm tra đặc biệt kì thi THPT Quốc gia năm 2016 tỉ lệ tương đối cao Bài tập đòi hỏi bạn học sinh cần vận dụng tốt sơ đồ đƣờng nhớ cách biến đổi công thức lƣợng giác đạt tối đa số điểm Ví dụ 1: Giải phương trình: 2sin x(1  cos x)  sin x   2cos x Bài giải 2sin x(1  cos x)  sin x   2cos x  2sin x.2cos x  2sin x cos x   2cos x   2cos x  1 2sin x cos x  1  27 Sơ đồ đƣờng Bƣớc 1: Dạng => Đa thức Bƣớc 2: Bậc : PT bậc ( Góc bậc tương đương ) Bƣớc : Biến đổi công thức  Công thức chiều Sin2x = sinx cosx  Kĩ thuật tách & nhóm +) Đánh số vị trí số hạng  Trong trình nhóm TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn  cos x     ∈ [  sin x  Hợp nghiệm : họ nghiệm độc lập Vậy nghiệm phương trình là: [ ∈ Ví dụ 2.Giải phương trình: cos x  3sin x  5sin x  3cos x  Bài giải cos x  3sin x  5sin x  3cos x  cos2x + 6sinx.cosx + 5sinx – 3cosx - = (1) (2) (3) (4) (5) (6)  Ƣu tiên tính tƣơng đối bậc  Ví dụ : (1) bậc , (2) bậc ( 3) bậc ; (4) bậc nên ưu tiên nhóm (1) với (2) (3) với (4) ( 1) với (3) (2) với (4)  Ƣu tiên tính đối xứng hệ số  Ví dụ: hệ số (1) , (2) (3) ,(4) nên ưu tiên nhóm (1) – (2) (3) – (4)  Tỉ số : bậc  hệ số ( đẳng thức) Sơ đồ đƣờng Bƣớc 1: Dạng => Đa thức Bƣớc 2: Bậc : PT bậc Bƣớc : Biến đổi công thức  Công thức chiều Sin2x = sinx cosx  + 6sinx.cosx + 5sinx – 3cosx – =  Công thức đa chiều Cos 2x = =1-2  (6sin x cos x  3cos x )  (2sin x  5sin x  2)  =2 –1  3cos x (2sin x  1)  (2sin x  1)(sin x  2)   Kĩ thuật tách & nhóm +) Đánh số vị trí số hạng  (2sin x  1)(3cos x  sin x  2)  Ưu tiên nhóm (3) trước (1) sin * CT đa chiều :  cos sin + Nhóm : (3) – (4) xuất  nhân tử sinx & 6cosx + sin n n n i cc n [ Khi (1)(2)(5)(6)=> PT bậc cos sin n n cn i sin cos ẩn cos Nhưng PT bậc lại không cho nhân tử chung +Nhóm: (3) – (5) xuất nhân tử 3cosx & 2sinx -1 Khi (1)(2)(5)(6)=> PT bậc ẩn sin thành công ! Ví dụ Giải phương trình  sinx+cosx   sin 3x  cos3x=2   sin x  Bài giải  sinx+cosx   sin 3x  cos3x=2   sin x    cosx+sinx    cosx+sinx    cos3 x  sin3 x   2   sin x    cosx+sinx  8  1  s inxcosx    2   2sin x.os    cosx+sinx    sin x     sin x  28 Sơ đồ đƣờng Bƣớc 1: Dạng => Đa thức Bƣớc 2: Bậc : PT bậc ( Góc bậc tương đương ) Bƣớc : Biến đổi công thức  Công thức chiều Sin2x = sinx cosx sin3x = sin x – TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn    sin x   cosx+sinx     cos3x =  Kĩ thuật tách & nhóm +) PT đối xứng    cosx+sinx=  sin  x    4    k 2 Vậy nghiệm phương trình x = x – cosx Ví dụ Giải phương trình n ( k∈ n sin cos cos x  Điều kiện :  * cos x  sin x sin x Phương trình trở thành :     sin 3x.cos x cos x cos x sin x cos x  sin x.cos x    sin 3x.cos x cos x cos x sin 3x   sin 3x.cos x  cos x cos x sin 3x    cos x.cos 2 x   sin 3x       cos x cos x  1  cos x.cos x  k  Với sin 3x   x   k  Z  họ nghiệm , thỏa mãn điều kiện (*) cosx 1+cos4x   1+cosx.cos 2 x    0 cos5x+cos3x   cosx+ 0 cos 3x  -1    cos x  cos x  cos 3x   cos x  -1 cos x  -1  4 cos x  3cos x  11  cosx=-1  cos5x=-1   cos5x=-1  cosx=-1    ( Do thay (3) vào (1) thỏa mãn )  x    l 2  m2      2l  m2   : l , m  Z   5 x    5  29 Bƣớc 1: Dạng : Hữu tỉ => Đa thức  Quy đồng : không phân tích nhân tử chứa mẫu tử  Công thức chiều sin (a + b) = sina.cosb + cosa sinb Bƣớc 2: Bậc : PT bậc ( góc  bậc)  Giảm bậc tăng góc Bƣớc : Biến đổi công thức cos cos  Kĩ thuật tách & nhóm +) Đánh giá Bất đẳng thức Lượng giác -1 cosx TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn 10l   5l   x    l 2  l  Z  Vậy phương trình có thêm nghiệm : x    l 2  l  Z   2m   10l  m  Ví dụ Giải phương trình: tan 3x.tan x Bài giải cos2x  * Phương trình trở thành : cos3x  Điều kiện :   3tan 2x  4tan3x  tan 3x.tan x -4  - 3 – 4sin3x.cos3x.cos2x sin2x = – 2sin6x.cos2x sin2x = (2) (3) – 2(3sin2x - cos2x sin2x = – 6cos2x + )=0 3 (1)  3.sin2x  sin2x (3 { =0 – cos Giải (* ) ta : sin2x =  x = k Giải ( ** ) ta : 3 – 6cos2x + - - 6cos2x +  1+ 2cos6x -  1+ (4 ( k∈ =0 - + 2cos2x = – 3cos2x ) - + 2cos2x =  cos2x = x= cos + k2 ( k ∈ =0 Sơ đồ đƣờng Bƣớc 1: Dạng : Hữu tỉ => Đa thức  Quy đồng : không phân tích nhân tử chứa mẫu tử Bƣớc 2: Bậc : PT bậc ( góc  bậc)  Giảm bậc tăng góc Bƣớc : Biến đổi công thức  Công thức chiều Sin6x = 2sin3x.cos3x  Kĩ thuật tách & nhóm  Ƣu tiên tính tƣơng đối bậc, góc  (1) & (3) có góc 2x 3x nên phân tích (2) góc 6x theo góc 2x 3x  Thử chọn ta góc 2x thỏa mãn  Giải PT (**) Theo nguyên tắc giảm bậc tăng góc biến đổi theo góc 2x Đối chiếu với điều kiện ta thấy nghiệm k  k  x  cos3x  cos      Vi phạm điều kiện , nên bị loại Vậy phương trình có nghiệm: x= cos + k2 ( k ∈ Ví dụ 6: Giải phương trình 1   cos x sin x sin x Sơ đồ đƣờng Bƣớc 1: Dạng : Hữu tỉ => Đa thức Bài giải Điều kiện: 30 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn  sin x    cos x  sin x   sin x          s inx  s in2x   s inx   s inx  sin x  cos2x  1  2sin x      sin x     Khi phương trình  1   cos x 2sin x.cos x 2sin x.cos x.cos2x  sin x  1   s inx 2sin x  s inx-1   sin x   sin x    Đối chiếu với điều kiện ta   x   k 2  sin x     x  5  k 2  Bƣớc 2: Bậc : PT bậc ( góc  bậc) Bƣớc : Biến đổi công thức  Công thức đa chiều Cos 2x = =2 –1  4s inx.cos2 x  2cos2 x    Quy đồng : không phân tích nhân tử chứa mẫu tử  Công thức chiều Sin2x = 2sinx.cosx = - 2𝑠𝑖𝑛 𝑥  Mất hệ số tự k  Z     x   k 2 Vậy phương trình có nghiệm   x  5  k 2  k  Z  Ví dụ 7: Giải phương trình 3sinx  2cos x  1  t anx   cos x Sơ đồ đƣờng Bài giải Điều kiện : cosx   sin x   Bƣớc 1: Dạng => Hữu tỉ => Đa thức  Quy đồng : không phân tích nhân tử chứa mẫu tử Khi Bƣớc 2: Bậc : PT bậc ( Góc bậc tương đương ) Bƣớc : Biến đổi công thức  Kĩ thuật tách & nhóm +) Đánh số vị trí số hạng  Ƣu tiên tính tƣơng đối bậc 31 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn  Ƣu tiên tính đối xứng hệ số 3s inx  cos x  1  t anx   cos x  cos x  3s inx  cos x    cos x  s inx    cos x  3s inx  cos x   cos x  3s inx  cos x   cos x  3s inx  cos x  1   3s inx  cos x  1  cos x     3s inx  cos x  1 cos x  1    3s inx  cos x   1  2 1  cos x  x  k 2 , thoả mãn điều kiện, ta k Z Giải (2): Phương trình bậc sinx cosx Tiếp theo giả sử cosx   sin x   , thay vào (2) ta 3   (vô lí) Tức nghiệm (2) thoả mãn điều kiện Giải (2) ta x    arccos (với cos   k 2 13 k Z , ) ; sin   13 13  x  k 2 Vậy phương trình có nghiệm   x    arccos  k 2  13 k Z Ví dụ 8: Giải phương trình sin x cos x  cos2x+sinx=cos2 x sin x  cosx Bài giải 32 Sơ đồ đƣờng Bƣớc 1: Dạng => Đa thức Bƣớc 2: Bậc : PT bậc ( Góc bậc tương đương ) Bƣớc : Biến đổi công thức  Công thức chiều Sin2x = sinx cosx  Công thức đa chiều Cos 2x = =1-2 =2 –1  Kĩ thuật tách & nhóm +) Đánh số vị trí số hạng  Ƣu tiên tính tƣơng đối bậc  Ƣu tiên tính đối xứng hệ số TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn  sin2x+ cos x  sinx sin x  c ot x Ví dụ 9: Giải phương trình Sơ đồ đƣờng Bài giải Điều kiện sin x   cos x   Khi phương trình cho trở thành sin x 1  sin x  cos2 x   2 sin x.cos x   2sin x.cos x  2cos x   2 cos x cos x   t / m   cos x s inx  cos x     s inx  cos x     * Giả sử sin x   cos x   , *    (vô lí)   cos x  x   k  Do phương trình tương đương với    cos  x       x    k 2   4     x   k Vậy phương trình có nghiệm   x    k 2  Đôi điều tản mạn với Lƣợng giác k  Z  Với số tập việc giải phương trình dường đơn giản việc kết hợp nghiệm lại gặp nhiều vấn đề Các bạn tham khảo ví dụ sau Giải phương trình Lời giải: Điều kiện Phương trình (*)     x  m  cos5x   10   c os2 x     x   n  tan x  1  2 tan 5x.tan x   m, n  Z     tan x  cot x  x   k tan x 14 33 k  Z  ( *) TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn +) Đối chiếu điều kiện (1) Giả sử  14 k    m   k  m 10  2m t 1 t  Z : t   m  2t  Lại t , m  Z nên s  Z : s  Từ k  7s  Suy x   14  2m Do k , m  Z nên Kết hợp nghiệm Đại số t 1  t  2s  k  với k  7s  thoả mãn +) Đối chiếu điều kiện (2) Giả sử  14 k    n   4k  14n   3 Ta thấy vế trái (3) chẵn, vế phải (3) lẻ nên không tồn k , n  Z thoả mãn (3) Từ suy điều kiên (2) thoả mãn Vậy phương trình cho có nghiệm x   14 k  với k  7s  ( k ∈ Z)  Một ví dụ kết hợp nghiệm đƣờng tròn ! Giải phương trình s in2x +2cos x  s inx  0 tanx + (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2011, khối D) y Lời giải: Điều kiện   x    m   t anx       cos x   x   n   m, n  Z  Khi phương trình cho trở thành s in2x +2 cos x  s inx    cos x  s inx  1   s inx  1    s inx  1  x    k 2   s inx  1 cos x  1     cos x    x    k 2   34 O x TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Kết hợp với điều kiện đường tròn lượng giác (như hình bên) ta nghiệm phương trình Việc vận dụng thành thạo sơ đồ đường thành thạo giúp bạn giải đa số tập việc lại dài dòng chưa thực phải cách làm ngắn gọn nên em rèn luyện số phản xạ để giải nhanh  (Ví dụ 5) Giải phƣơng trình: tan 3x.tan x Ngoài cách giải theo sơ đồ đƣờng trình bày sáng tạo:   n  3tan(-x) = tan3x …  Để sáng tạo bạn xoạy quanh yếu tố sau đây: +) Hàm lƣợng giác => Liên tưởng công thức +) Hệ số => Ghép cặp ( Nhân tử chung ) +) Bậc , góc 35 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Bảng số nhân tử chung thường gặp ( phản xạ kinh nghiệm) Nhân tử chung STT Biểu thức chứa nhân tử chung Sinx Tanx; sin2x ; tan2x ; 1- cos2x; sin3x ; … Cosx Cotx ; sin2x; cot2x ; 1+ cos2x; cos3x ; … Sinx tanx ; cotx ; 1- ; ; ; ; ; 1- ; sin( x ;… ; ; Cosx sin2x ; 1- cos3x: … Sinx … sin2x ; 1- ;… ; ;… ; ; - ;3-4 ; 2cos2x -1 ; cotx ; 2sin2x -1 ; tanx 2cosx ; 2cosx ; sin3x:  THAM KHẢO Một số cách giải phương trình đặc biệt dựa vào đánh giá tập giá trị sử dụng đẳng thức số tập hay, em đọc thêm để rèn luyện thêm tư ! Phƣơng pháp đánh giá vế Ví dụ 1: Giải phương trình sau a cos3x+ 2-cos 3x  1  sin 2 x  b  cosx  cosx+1  Sơ đồ đƣờng Bài giải a cos3x+ 2-cos2 3x  1  sin 2 x  Ta có :  VT  1.cos3x+1 2-cos2 3x   1  1  cos 3x   cos 3x    VT  VP= 1  sin 2 x    Cho nên phương trình có nghiệm hai vế xáy dấu đẳng thức : 36 Bƣớc 1: Dạng Vô tỉ => Đa thức  Bình phương Bƣớc 2: Bậc : PT bậc ( Góc  bậc ) 1.Tăng bậc giảm góc Nhận dạng BĐT Bunhiacopxki (phản xạ tư ) Bƣớc : Đánh giá BĐT TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn   cos 3x   cos3x=  cos 3x   cos3x   cos 3x   sin x  sin x  sin x    Lưu ý : bạn có giải bình thường theo cách tăng bậc giảm góc k  x  cos6x=1 6 x  k 2     sin2x=0 2 x  l  x  l  Nếu phương trình có nghiệm tồn k,l thuộc Z cho hai nghiệm k l :   k  l  chọn : l=2n 2 Khi phương trình có nghiệm : x= n  n  Z  b  cosx  cosx+1  Ta có VT     cosx  cosx+1  1  1  cosx+cosx+1   VT  2 1    cosx  cosx+1 Chỉ xáy :  cosx cosx+1  cosx=1  x=k2 (k  Z ) Bƣớc 1: Dạng Vô tỉ => Đa thức  Bình phương2 lần Bƣớc 2: Bậc : PT bậc  Nhận dạng BĐT Bunhiacopxki (mất cosx) Bƣớc : Đánh giá BĐT Các bạn rèn luyện tư BĐT với tập sau ! Giải phƣơng trình : a 4cos x  2cos 2x  cos4x=1 b sin x  cosx=   sin 3x  Phƣơng pháp sử dụng đẳng thức Ví dụ 1: Giải phương trình sau a cos2 x  4cos x  x sin x  x2   Bài giải b 4sin x  t anx+3tan x  4sin x   a  2cos x  x sin x  x2    cosx-1   x  sinx   2 cosx-1=0 cosx=1  x  k 2    2  x-sinx=0  x=sinx cos x  sin x  x   x  k 2  x0 x    Bƣớc 2: Bậc : PT bậc Đối xứng x sinx  Nhận dạng đẳng thức thứ (phản xạ tư ) Bƣớc : Nhóm đẳng thức Sơ đồ đƣờng mở rộng Bƣớc 1: Dạng :  Hữu tỉ ( phân tích tanx)  Đa thức ( giữ nguyên) b)4sin x  tan x  tan x  4sin x     2sin x  1  Sơ đồ đƣờng Bƣớc 1: Dạng : Đa thức (Hàm LG + đa thức) tan x   37 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Bƣớc 2: Bậc :  Bậc :đối xứng tanx sinx  Bậc 3: phân tích tanx Cách 1: Nhận dạng đẳng thức với tanx sinx (phản xạ tư ) Cách 2: Phân tích xử lí điều kiện bình thường   x   k 2    s inx=   2sin x   5       x   k 2    t anx+1=0  t anx=     x    k  Bằng cách biểu diễn nghiệm đường tròn đơn vị ta thấy 5 có nghiệm chung : x   k 2 thỏa mãn Bƣớc : Nhóm đẳng thức Bài tập đề suất : Giải phương trình sau a 4cos2 x  3tan x  3cosx+2 t anx+4=0 b 3cot x  4cos2 x  cot x  4cos x    BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Tìm nghiệm khoảng ( 0; ) phương trình sau ( ) Câu 2: Giải phương trình : ( ( ( sin √ ) (sin cos co 11 )  ) sin cos cos cos sin sin 10 co n  cos6 x  sin x  sin x.cos x  2sin x 0 12 38 cos cos sin sin x  sin x  1 sin 3x ) TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng số nhà 403 đường Nguyễn Khang, Cầu giấy, Hà NộiHotline: 0986 035 246 Email: trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn Kết thi đại học Góc hài hƣớc Sau kì thi đại học vừa qua, phóng viên có vấn thí sinh tham dự kì thi Phóng viên: - Bạn đánh giá kì thi năm nay? Thí sinh: - Năm ngoái em không may mắn cho lắm, em thiếu có nửa điểm (12/24 điểm) Phóng viên (hơi choáng): - Vậy năm bạn tiếp tục? Thí sinh: - Vâng! Nói chung đề năm dễ, riêng đề toán cần học thuộc đầy đủ công thức làm hết Cá nhân em làm sai câu câu lại em không làm Phóng viên: - !!!!! _ Sưu tầm _ Để bám sát với chương trình thi THPT quốc gia nên ví dụ trình bày cách ngăn xúc tích Với bạn đam mê yêu thích chuyên đề mong muốn trao đổi giải thêm vấn đề Lượng giác bạn vào nhóm https://www.facebook.com/groups/564286070405967/ gọi tới số điện thoại 0986.035.246 để trao đổi trực tiếp với tác giả nhé! Bảng tổng kết phần học Số câu làm Số câu chưa làm Điểm số 39 Ghi thân ... với chu kỳ π  Là hàm số lẻ; tuần hoàn với chu kỳ π  Bảng giá trị góc lượng giác đặc biệt Góc HS LG Sinx     45 o 60 o 0o 30 o 2 Tanx || Cotx 1 3 180 o 120o 2 270 o -1 360 o -1 2 90 o  2... trungtamdaotaotuhocwts@gmail.com Website: wts.edu.vn /nguyenvanson.vn III Phƣơng trình đƣa dạng tích:  Đây dạng phổ biến đề thi kiểm tra đặc biệt kì thi THPT Quốc gia năm 2016 tỉ lệ tương đối cao Bài tập đòi hỏi bạn học