hoctoancapba com 200 bai toan toa do trong khong gian co loi giai TRAN SI TUNG

67 234 0
hoctoancapba com 200 bai toan toa do trong khong gian co loi giai   TRAN SI TUNG

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Hc vin hun luyn STA TKG 01: VIT PHNG TRèNH MT PHNG Dng 1: Vit phng trỡnh mt phng bng cỏch xỏc nh vect phỏp tuyn Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(2;4;1), B(1;1;3) v mt phng (P): x 3y + 2z = Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua hai im A, B v vuụng gúc vi mt phng (P) r r r r uuu (Q) i qua A, B v vuụng gúc vi (P) (Q) cú VTPT n = nP , AB = (0; 8; 12) (Q) : 2y + 3z 11= Cõu hi tng t: a) Vi A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), (P ) : x + y + 3z + = S: (Q) : x 2y + z = Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua hai im x = 1+ t A(2;1;3), B(1; 2;1) v song song vi ng thng d : y = 2t z = 2t uur r Ta cú BA = (1;3;2) , d cú VTCP u = (1;2; 2) r uur uur r n r r Gi n l VTPT ca (P) r BA r chn n = BA,u = (10;4; 1) n u Phng trỡnh ca (P): 10x 4y + z 19 = Cõu Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng (d1) v (d2) cú phng trỡnh: Cõu x y + z x y z = = = = , (d2): Lp phng trỡnh mt phng (P) cha (d ) v (d2) (d1); Chng t (d1) // (d2) (P): x + y 5z +10 = Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt cu (S) cú phng trỡnh: x + y2 + z2 2x + 6y 4z = Vit phng trỡnh mt phng (P) song song vi giỏ ca r vộc t v = (1;6;2) , vuụng gúc vi mt phng ( ) : x + 4y + z 11= v tip xỳc vi (S) r (S) cú tõm I(1; 3; 2) v bỏn kớnh R = VTPT ca ( ) l n = (1;4;1) r r r VTPT ca (P) l: nP = [ n, v] = (2; 1;2) PT ca (P) cú dng: 2x y + 2z + m= Cõu m= 21 Vỡ (P) tip xỳc vi (S) nờn d(I ,(P )) = m= Vy: (P): 2x y + 2z + = hoc (P): 2x y + 2z 21= Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(1; 1; 1) v hai ng thng x y+ z x y z (d1) : = = = v (d2) : = Chng minh rng im M , d1, d2 cung nm trờn mt mt phng Vit phng trỡnh mt phng ú r r d1 qua M1(0; 1;0) v cú u1 = (1; 2; 3) , d2 qua M2(0;1;4) v cú u2 = (1;2;5) r uuuuuur r r r r uuuuuur u1;u2 = (4; 8;4) 0, M1M2 = (0;2;4) u1;u2 M1M2 = d1, d2 ng phng r Gi (P) l mt phng cha d1, d2 (P) cú VTPT n = (1;2; 1) v i qua M1 nờn cú phng trỡnh x + 2y z + = Kim tra thy im M (1;1;1) (P ) Cõu Trang PP to khụng gian Dng 2: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n mt cu x y z = = v mt cu 2 2 (S): x + y + z 2x 2y 4z + = Lp phng trỡnh mt phng (P) song song vi d v trc Ox, ng thi tip xỳc vi mt cu (S) r (S) cú tõm I(1; 1; 2), bỏn kớnh R = d cú VTCP u = (2;2;1) r r r (P) // d, Ox (P) cú VTPT n = [ u, i ] = (0;1; 2) PT ca (P) cú dng: y 2z + D = Cõu Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng d: (P) tip xỳc vi (S) d(I ,(P )) = R (P): y 2z + 3+ = hoc = D = D = 3+ 12 + 22 D = (P): y 2z + = + D Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt cu (S): x2 + y2 + z2 + 2x 4y = v mt phng (P): x + z = Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua im M(3;1; 1) vuụng gúc vi mt phng (P) v tip xỳc vi mt cu (S) r (S) cú tõm I(1; 2; 0) v bỏn kớnh R = 3; (P) cú VTPT nP = (1;0;1) Cõu PT (Q) i qua M cú dng: A(x 3) + B(y 1) + C(z + 1) = 0, A2 + B2 + C (Q) tip xỳc vi (S) d(I ,(Q)) = R 4A + B + C = A2 + B2 + C r r (Q) (P ) nQ.nP = A + C = C = A (**) (*) T (*), (**) B 5A = 2A2 + B2 8B2 7A2 + 10AB = A = 2B 7A = 4B Vi A = 2B Chn B = 1, A = 2, C = PT (Q): 2x + y 2z = Vi 7A = 4B Chn B = 7, A = 4, C = PT (Q): 4x 7y 4z = Cõu hi tng t: a) Vi (S) : x2 + y2 + z2 2x + 4y 4z + = , (P ) : 2x + y 6z + = 0, M (1;1;2) S: (Q) : 2x + 2y + z = hoc (Q) :11x 10y + 2z = Trong khụng gian vi h trc Oxyz, cho mt cu (S): x2 + y2 + z2 2x + 4y + 2z = Vit phng trỡnh mt phng (P) cha trc Ox v ct mt cu (S) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh r = (S) cú tõm I(1; 2; 1), bỏn kớnh R = (P) cha Ox (P): ay + bz = Mt khỏc ng trũn thit din cú bỏn kớnh bng cho nờn (P) i qua tõm I Suy ra: 2a b = b = 2a (a 0) (P): y 2z = Cõu Cõu Trong khụng gian vi h trc Oxyz, cho mt cu (S): x2 + y2 + z2 + 2x 2y + 2z 1= x y = v ng thng d : Vit phng trỡnh mt phng (P) cha d v ct mt cu 2x z = (S) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh r = (S) cú tõm I (1;1; 1) , bỏn kớnh R = PT mt phng (P) cú dng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) Chn M (2;0; 2), N(3;1;0) d Trang Hc vin hun luyn STA M (P ) a = b,2c = (a + b), d = 3a b (1) Ta cú: N (P ) 17 a = b ,2 c = ( a + b ), d = a b (2) d(I ,(P )) = R2 r + Vi (1) (P): x + y z = + Vi (2) (P): 7x 17y + 5z = Cõu 10 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng : x y z = = , 1 x1 y z = = v mt cu (S): x2 + y2 + z2 2x + 2y + 4z = Vit phng trỡnh 1 tip din ca mt cu (S), bit tip din ú song song vi hai ng thng v : (P): y + z + 3+ = hoc (P): y + z + 3 = Cõu 11 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt cu (S) cú phng trỡnh x2 + y2 + z2 2x + 4y 6z 11= v mt phng () cú phng trỡnh 2x + 2y z + 17 = Vit phng trỡnh mt phng () song song vi () v ct (S) theo giao tuyn l ng trũn cú chu vi bng p = Do () // () nờn () cú phng trỡnh 2x + 2y z + D = (D 17) (S) cú tõm I(1; 2; 3), bỏn kớnh R = ng trũn cú chu vi nờn cú bỏn kớnh r = Khong cỏch t I ti () l h = Do ú 2.1+ 2(2) 3+ D R2 r = 52 32 = D = = 5+ D = 12 D = 17 (loaùi) 22 + 22 + (1)2 Vy () cú phng trỡnh 2x + 2y z = Cõu hi tng t: a) (S): x2 + y2 + z2 + 2x + 4y 6z 11= , (a ):2x + y 2z + 19 = 0, p = S: (b ) : 2x + y 2z + 1= Trang PP to khụng gian Dng 3: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n khong cỏch Cõu 12 Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) qua O, vuụng gúc vi mt phng (Q): x + y + z = v cỏch im M(1; 2; 1) mt khong bng PT mt phng (P) qua O nờn cú dng: Ax + By + Cz = (vi A2 + B2 + C ) Vỡ (P) (Q) nờn: 1.A + 1.B + 1.C = C = A B (1) A + 2B C = ( A + 2B C )2 = 2(A2 + B2 + C 2) d(M ,(P )) = 2 A + B +C B = (3) T (1) v (2) ta c: 8AB + 5B2 = 8A + 5B = (4) T (3): B = C = A Chn A = 1, C = (P): x z = T (4): 8A + 5B = Chn A = 5, B = C = (P): 5x 8y + 3z = (2) x y z = = v 1 im M(0; 2; 0) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im M, song song vi ng thng , ng thi khong cỏch d gia ng thng v mt phng (P) bng Phng trỡnh mp (P) i qua M(0; 2; 0) cú dng: ax + by + cz + 2b = ( a2 + b2 + c2 0) r i qua im A(1; 3; 0) v cú mt VTCP u = (1;1;4) Cõu 13 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho ng thng : a + b + 4c = P (P ) a = 4c a + 5b Ta cú: = a = 2c d(A;(P )) = d 2 a +b +c Vi a = 4c Chn a = 4,c = b = 8Phng trỡnh (P): 4x 8y + z 16 = Vi a = 2c Chn a = 2,c = b = Phng trỡnh (P): 2x + 2y z + = Cõu hi tng t: x y z ; M (0;3; 2), d = a) Vi : = = 1 S: (P ) : 2x + 2y z = hoc (P ) : 4x 8y + z + 26 = x = t ( d ) : Cõu 14 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng y = 1+ 2t v im z = A(1;2;3) Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng (d) cho khong cỏch t im A n mt phng (P) bng r r (d) i qua im M(0; 1;1) v cú VTCT u = (1;2;0) Gi n = (a; b;c) vi a2 + b2 + c2 l VTPT ca (P) PT mt phng (P): a(x 0) + b(y + 1) + c(z 1) = ax + by + cz + b c = (1) rr Do (P) cha (d) nờn: u.n = a + 2b = a = 2b (2) a + 3b + 2c 5b + 2c d ( A,(P )) = = = 5b + 2c = 5b2 + c2 a2 + b2 + c2 5b2 + c2 4b2 4bc + c2 = ( 2b c) = c = 2b (3) T (2) v (3), chn b = a = 2,c = PT mt phng (P): 2x y 2z + 1= Cõu 15 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im M (1;1;0), N(0;0; 2), I (1;1;1) Vit Trang Hc vin hun luyn STA phng trỡnh mt phng (P) qua A v B, ng thi khong cỏch t I n (P) bng PT mt phng (P) cú dng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) M (P ) a = b,2c = a b, d = a b (1) Ta cú: N (P ) d(I ,(P )) = 5a = 7b,2c = a b, d = a b (2) + Vi (1) PT mt phng (P): x y + z + = + Vi (2) PT mt phng (P): 7x + 5y + z + = Cõu 16 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho t din ABCD vi A(1; 1;2) , B(1;3;0) , C(3;4;1) , D(1;2;1) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B cho khong cỏch t C n (P) bng khong cỏch t D n (P) PT mt phng (P) cú dng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) a b + 2c + d = A (P ) a + 3b + d = Ta cú: B (P ) 3a + 4b + c + d a + 2b + c + d d(C,(P )) = d(D,(P )) = a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 b = 2a,c = 4a, d = 7a c = 2a, b = a, d = 4a + Vi b = 2a,c = 4a, d = 7a (P): x + 2y + 4z = + Vi c = 2a, b = a, d = 4a (P): x + y + 2z = Cõu hi tng t: a) Vi A(1;2;1), B(2;1;3),C(2; 1;1), D(0;3;1) S: (P ) : 4x + 2y + 7z 15 = hoc (P ) : 2x + 3z = Cõu 17 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho cỏc im A(1;2;3) , B(0; 1;2) , C(1;1;1) Vit phng trỡnh mt phng (P ) i qua A v gc ta O cho khong cỏch t B n (P ) bng khong cỏch t C n (P ) Vỡ O (P) nờn (P ) : ax + by + cz = 0, vi a2 + b2 + c2 Do A (P) a + 2b + 3c = (1) v d(B,(P )) = d(C,(P )) b + 2c = a + b + c (2) T (1) v (2) b = hoc c = Vi b = 0thỡ a = 3c (P ) :3x z = Vi c = thỡ a = 2b (P ) : 2x y = Cõu hi tng t: a) Vi A(1;2;0), B(0;4;0),C(0;0;3) S: 6x + 3y + 4z = hoc 6x 3y + 4z = Cõu 18 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho ba im A(1;1; 1) , B(1;1;2) , C(1;2; 2) v mt phng (P): x 2y + 2z + 1= Vit phng trỡnh mt phng ( ) i qua A, vuụng gúc vi mt phng (P), ct ng thng BC ti I cho IB = 2IC PT ( ) cú dng: ax + by + cz + d = , vi a2 + b2 + c2 Do A(1;1; 1) ( ) nờn: a + b c + d = (1); ( ) (P ) nờn a 2b + 2c = (2) IB = 2IC d(B,( )) = 2d(C;( )) 3a 3b + 6c d = (3) a + 5b 2c + 3d = Trang a + b + 2c + d a2 + b2 + c2 =2 a + 2b 2c + d a2 + b2 + c2 PP to khụng gian T (1), (2), (3) ta cú trng hp sau : a + b c + d = b = a; c = a; d = a TH1 : a 2b + 2c = 2 3a 3b + 6c d = Chn a = b = 1;c = 2; d = ( ) : 2x y 2z = a + b c + d = 3 b = a; c = a; d = a TH2 : a 2b + 2c = 2 a + 5b 2c + 3d = Chn a = b = 3; c = 2; d = ( ) : 2x + 3y + 2z = Vy: ( ) : 2x y 2z = hoc ( ) : 2x + 3y + 2z = Cõu 19 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng d1, d2 ln lt cú phng x y z x y z = = = = , d2 : Vit phng trỡnh mt phng cỏch u hai ng thng d1, d2 r r Ta cú d1 i qua A(2;2;3) , cú ud1 = (2;1;3) , d2 i qua B(1;2;1) v cú ud2 = (2; 1;4) r r r Do (P) cỏch u d1, d2 nờn (P) song song vi d1, d2 nP = ud1,ud2 = (7; 2; 4) PT mt phng (P) cú dng: 7x 2y 4z + d = Do (P) cỏch u d1, d2 suy d(A,(P )) = d(B,(P )) trỡnh d1 : 7.2 2.2 4.3+ d 7.1 2.2 4.1+ d d = d d = = 69 69 Phng trỡnh mt phng (P): 14x 4y 8z + = Cõu 20 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng d1, d2 ln lt cú phng x = 1+ t x y z+ d : = = trỡnh y = t , d2 : Vit phng trỡnh mt phng (P) song song 2 z = vi d1 v d2 , cho khong cỏch t d1 n (P) gp hai ln khong cỏch t d2 n (P) r Ta cú : d1 i qua A(1;2;1) v cú VTCP u1 = (1; 1;0) r d2 i qua B(2;1; 1) v cú VTCP l u2 = (1; 2;2) r r r r Gi n l VTPT ca (P), vỡ (P) song song vi d1 v d2 nờn n = u1,u2 = (2; 2; 1) Phng trỡnht (P): 2x + 2y + z + m= 7+ m 5+ m ; d(d2,(P ))= d(B,(P )) = d(d1,(P )) = d(A;(P )) = 3 + m= 2(5+ m) 17 d(d1,(P )) = 2d(d2,(P )) + m = 5+ m m= 3; m= + m= 2(5+ m) 17 17 + Vi m= (P ) : 2x + 2y + z = + Vi m= (P ) : 2x + 2y + z = 3 Cõu 21 Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua hai im A(0; 1;2) , B(1;0;3) v tip xỳc vi mt cu (S): (x 1)2 + (y 2)2 + (z + 1)2 = (S) cú tõm I (1;2; 1) , bỏn kớnh R = Trang Hc vin hun luyn STA PT mt phng (P) cú dng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) A (P ) a = b,c = a b, d = 2a + 3b Ta cú: B (P ) d(I ,(P )) = R 3a = 8b,c = a b, d = 2a + 3b + Vi (1) Phng trỡnh ca (P): x y 1= + Vi (2) Phng trỡnh ca (P): 8x 3y 5z + = (1) (2) Cõu 22 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(2; 1;1) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im A v cỏch gc ta O mt khong ln nht Ta cú d(O,(P )) OA Do ú d(O,(P ))max = OA xy OA (P ) nờn mt phng (P) uuu r cn tỡm l mt phng i qua A v vuụng gúc vi OA Ta cú OA = (2; 1;1) Vy phng trỡnh mt phng (P): 2x y + z = Cõu 23 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(10; 2; 1) v ng thng d cú x y z = = Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, song song vi d v khong cỏch t d ti (P) l ln nht Gi H l hỡnh chiu ca A trờn d d(d, (P)) = d(H, (P)) Gi s im I l hỡnh chiu ca H lờn (P), ta cú AH HI HI ln nht A I Vy (P) cn tỡm l mt phng i qua A v uuur nhn AH lm VTPT (P): 7x + y 5z 77 = phng trỡnh: Cõu 24 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng (d) cú phng trỡnh tham s { x = 2+ t; y = 2t; z = 2+ 2t Gi l ng thng qua im A(4;0;1) song song vi (d) v I(2;0;2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (d) Vit phng trỡnh ca mt phng cha v cú khong cỏch n (d) l ln nht Gi (P) l mt phng cha , thỡ (P ) P (d) hoc (P ) (d) Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn (P) Ta luụn cú IH IA v IH AH d(d,(P )) = d(I ,(P )) = IH Mt khỏc H (P ) Trong (P), IH IA ; ú maxIH = IA H A Lỳc ny (P) v trớ (P0) IA ti A r uu r r n = IA = 6;0; v Vect phỏp tuyn ca (P0) l ( ) , cựng phng vi = ( 2;0; 1) Phng trỡnh ca mt phng (P0) l: 2(x 4) 1.(z + 1) = 2x z = x y z = = v im 2 A(2;5;3) Vit phng trỡnh mt phng (P) cha d cho khong cỏch t A n (P) l ln nht Cõu 25 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d : PT mt phng (P) cú dng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) r r (P) cú VTPT n = (a; b;c) , d i qua im M(1;0;2) v cú VTCP u = (2;1;2) M (P ) a + 2c + d = 2c = (2a + b) Vỡ (P) d nờn r r Xột trng hp: = 2a + b + 2c = d = a + b nu TH1: Nu b = thỡ (P): x z + 1= Khi ú: d(A,(P )) = TH2: Nu b Chn b = ta c (P): 2ax + 2y (2a + 1)z + 2a + = Trang PP to khụng gian Khi ú: d(A,(P )) = 8a2 + 4a + = 2a + ữ + 2 1 Vy max d( A,(P )) = 2a + = a = Khi ú: (P): x 4y + z = Cõu hi tng t: x y+ z = = , A(5;1;6) a) d : S: (P ) : 2x + y z + 1= x y+ z = = , A(1;4;2) b) d : S: (P ) : 5x + 13y 4z + 21= 1 Cõu 26 Trong khụng gian to Oxyz, cho hai im M(0; 1;2) v N(1;1;3) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua M, N cho khong cỏch t im K(0;0;2) n mt phng (P) l ln nht PT (P) cú dng: Ax + B(y + 1) + C(z 2) = Ax + By + Cz + B 2C = ( A2 + B2 + C 0) N(1;1;3) (P ) A + B + 3C + B 2C = A = 2B + C (P ) :(2B + C )x + By + Cz + B 2C = 0; d(K ,(P )) = Nu B = thỡ d(K, (P)) = (loi) Nu B thỡ d(K ,(P )) = B = B 2 4B + 2C + 4BC 2 C + 1ữ + B Du = xy B = C Chn C = Khi ú PT (P): x + y z + = 4B2 + 2C + 4BC Dng 4: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n gúc Cõu 27 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng () cha ng thng (): x1 y z = = v to vi mt phng (P) : 2x 2y z + 1= mt gúc 600 Tỡm ta giao 1 Trang Hc vin hun luyn STA im M ca mt phng () vi trc Oz r r () qua im A(1;0;0) v cú VTCP u = (1; 1; 2) (P) cú VTPT n = (2; 2; 1) uuuur u u u r ur r Giao im M (0;0; m) cho AM = (1;0; m) () cú VTPT n = AM ,u = (m; m 2;1) () v (P): 2x 2y z + 1= to thnh gúc 600 nờn : 1 r r cos( n, n ) = = 2m2 4m+ 1= m= hay m= + 2 2m2 4m+ Kt lun : M(0;0;2 2) hay M(0;0;2 + 2) Cõu 28 Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua giao tuyn d ca hai mt phng (a ) : 2x y 1= , ( ) : 2x z = v to vi mt phng (Q) : x 2y + 2z 1= mt gúc m cos = 2 Ly A(0;1;0), B(1;3;2) d (P) qua A PT (P) cú dng: Ax + By + Cz B = (P) qua B nờn: A + 3B + 2C B = A = (2B + 2C ) (P ) : (2B + 2C )x + By + Cz B = cos = 2B 2C 2B + 2C (2B + 2C )2 + B2 + C = 2 13B2 + 8BC 5C = 13 + Vi B = C = (P ) : 4x + y + z 1= + Vi B = , C = (P ) : 23x + 5y + 13z = 13 Chn C = B = 1; B = Cõu 29 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(1;2; 3), B(2; 1; 6) v mt phng (P ) : x + 2y + z = Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha AB v to vi mt phng (P) mt gúc tho cos = PT mt phng (Q) cú dng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) a + 2b 3c + d = A (Q) 2a b 6c + d = B (Q) a = 4b,c = 3b, d = 15b Ta cú: a + 2b + c a = b,c = 0, d = b cos = = a2 + b2 + c2 1+ + Phng trỡnh mp(Q): 4x y + 3z + 15 = hoc (Q): x y = Cõu hi tng t: a) A(0;0;1), B(1;1;0) , (P ) (Oxy),cos = S: (Q): 2x y + z 1= hoc (Q): x 2y z + 1= x + y + z = Vit 2x + y + z = phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng d v to vi mt phng (Oxy) mt gúc = 600 Cõu 30 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d : S: (P ) : 2x + y + z = hoc (P ) : 2x y z + = Trang PP to khụng gian Cõu 31 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai mt phng (P ) : 5x 2y + 5z 1= v (Q) : x 4y 8z + 12 = Lp phng trỡnh mt phng (R) i qua im M trung vi gc ta O, vuụng gúc vi mt phng (P) v to vi mt phng (Q) mt gúc a = 450 Gi s PT mt phng (R): ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) Ta cú: (R) (P ) 5a 2b + 5c = (1); ã R),(Q)) = cos450 cos(( a 4b 8c = (2) a2 + b2 + c2 a = c 2 T (1) v (2) 7a + 6ac c = c = 7a Vi a = c : chn a = 1, b = 0,c = PT mt phng (R) : x z = Vi c = 7a : chn a = 1, b = 20,c = PT mt phng (R) : x + 20y + 7z = Cõu hi tng t: a) Vi (P ) : x y 2z = 0,(Q) (Oyz), M (2; 3;1),a = 450 S: (R) : x + y + 1= hoc (R) : 5x 3y + 4z 23 = Cõu 32 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng cú phng trỡnh: x y + z x y z = = = Vit phng trỡnh mt phng (P) cha v v : = 1 to vi mt gúc a = 300 : ỏp s: (P): 5x + 11y + 2z + = hoc (P): 2x y z = Cõu hi tng t: x y z x y z+ a) Vi : = , a = 300 = , : = = 1 1 S: (P): x 2y 2z + = hoc (P): x + 2y + z = x y z+ x y z+ = = = b) : , : = , a = 300 1 1 S: (P): (18+ 114)x + 21y + (15+ 114)z (3 114) = hoc (P): (18 114)x + 21y + (15 114)z (3+ 114) = Cõu 33 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im M(1;2;3) v to vi cỏc trc Ox, Oy cỏc gúc tng ng l 450, 300 r r r Gi n = (a; b;c) l VTPT ca (P) Cỏc VTCP ca trc Ox, Oy l i = (1;0;0), j = (0;1;0) sin(Ox,(P )) = a = b Ta cú: c = b sin(Oy,(P )) = PT mt phng (P): 2(x 1) + (y 2) (z 3) = hoc 2(x 1) + (y 2) (z 3) = Cõu 34 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (Q): x + 2y z + = v ng x + y + z = = Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng d v to 1 vi mt phng (Q) mt gúc nh nht thng d : Trang 10 Hc vin hun luyn STA Tam giỏc ABM u, nhn MH lm ng cao nờn: MA = MB = AB = 2MH = x y z = 1= Do ú, to ca A, B l nghim ca h: (x 2)2 + (y 1)2 + (z 2)2 = 2 2 Gii h ny ta tỡm c: A + ; ;3+ ; ;3 ữ, B ữ 3 3 Cõu hi tng t: x = t 5+ 76 10 + 76 76 76 M(1 ;0; ) d : a) Vi , y = 2t S: A ; ;1ữ, B ; ;1ữ 15 15 15 15 z = 76 10 76 1+ 76 + 76 hoc A ; ;1ữ, B ; ;1ữ 15 15 15 15 x = t Cõu 160 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im A(0; 1; 3) v ng thng d: y = + 2t z = Tỡm trờn d hai im B, C cho tam giỏc ABC u r d cú VTCP ud = (1;2;0) Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn d uuuu r Gi s H ( t; + 2t;3) AH = ( t;1+ 2t;0) uuur r M AH d nờn AH ud 1( t) + 2( 1+ 2t) = t = H ; ;3ữ 5 2AH 15 AH = M ABC u nờn BC = hay BH = = 5 15 Gi s B(1 s;2 + 2s;3) thỡ sữ + + 2sữ = 15 25 25s2 + 10s = s = 8+ + Vy: B ; ;3ữv C ; ;3ữ 5 + 8+ hoc B ; ;3ữ v C ; ;3ữ 5 Cõu 161 Trong khụng gian vi h to Oxyz, tỡm trờn Ox im A cỏch u ng thng (d) : x y z + = = v mt phng (P) : 2x y 2z = 2 Gi A(a; 0; 0) Ox d(A; (P )) = 2a 22 + 12 + 22 = 2a ; d(A; d) = 8a 24a + 36 3 8a2 24a + 36 4a2 24a + 36 = 3 4(a 3)2 = a = Vy cú mt im A(3; 0; 0) d(A; (P)) = d(A; d) 2a = Trang 53 PP to khụng gian Cõu 162 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P): x 2y + 2z 1= v hai x + y z+ x y z+ ; : Xỏc nh ta im M = = = = 1 2 thuc ng thng cho khong cỏch t M n ng thng v khong cỏch t M n mt phng (P) bng r M (1 + t; t; + 6t) 1; qua A (1; 3; 1) cú vộct ch phng a = (2; 1; 2) uuur r uuur AM = (t 2; t 3; 6t 8) AM; a = (14 8t; 14t 20; t) ng thng : Ta cú : d (M, 2) = d (M, (P)) 261t2 792t + 612 = 11t 20 35t2 88t + 53 = t = hay t = 53 Vy M (0; 1; 3) hay M 35 Cõu hi tng t: a) Vi (P): 2x + y + 2z 1= , : 18 53 ; ; ữ 35 35 35 x y z x y z = = = = , : 1 1 S: M(2;4;1) , M(1;1;4) Cõu 163 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng : x y z+ = = v 1 x + y z = = ng vuụng gúc chung ca v ct ti A, ct ti B Tỡnh din tớch OAB r r cú VTCP u1 = (2; 1;1) , cú VTCP u2 = (1;7; 1) : Gi s A(1+ 2t1; t1; + t1) , B(1+ t2;1+ 7t2;3 t2) uuu rr r uuu r AB.u t = A(1;0; 2) =0 uuu r r1 Ta cú: uuu SOAB = OA,OB = t = B ( ;1 ;3) 2 AB.u2 = Cõu 164 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x 2y + 2z = v cỏc ng thng d1 : x1 = y 3 = z ; d2 : x = y = z+ 5 Tỡm cỏc im M d1, N d2 cho MN // (P) v cỏch (P) mt khong bng x = 1+ 2t PTTS ca d1 l: y = 3t M d1 nờn ta ca M ( 1+ 2t;3 3t;2t) z = 2t 1+ 2t 2(3 3t) + 4t 12t t = = = Theo : d(M;(P )) = t = 12 + (2)2 + 22 + Vi t = ta c M1 ( 3;0;2) ; + Vi t = ta c M2 ( 1;3;0) ng vi M1, im N1 d2 cn tỡm phi l giao ca d vi mp qua M1 v // (P), gi mp ny (1) l (Q1) PT (Q1) l: (x 3) 2y + 2(z 2) = x 2y + 2z = x = 5+ 6t PTTS ca d2 l: y = 4t (2) z = 5t Thay (2) vo (1), ta c: t = im N1 cn tỡm l N1(1;4;0) ng vi M2, tng t tỡm c N2(5;0;5) Trang 54 Hc vin hun luyn STA Cõu 165 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): 2x y + 2z = v cỏc x1 y z x y z+ = = = = ng thng d1 : , d2 : Tỡm cỏc im A d1, B d2 2 cho AB // (P) v AB cỏch (P) mt khong bng Gi s: A(2t1 + 1,t1 + 3, 2t1) d1 , B(3t2 + 5,4t2,2t2 5) d2 uuu r AB = (3t2 2t1 + 4,4t2 t1 3,2t2 + 2t1 5) uuu rr AB.nP = 2(3t2 2t1 + 4) 4t2 + t1 + 3+ 2(2t2 + 2t1 5) = 6t2 + t1 + 1= AB P (P ) d( AB,(P )) = d(A,(P )) = Vi t1 = t2 = Vi t1 = t2 = 4t1 + t1 4t1 = t1 + t1 = =1 t1 = 11 A(9; 2;10), B 7; ; ữ 3 17 A(3;4; 2), B 4; ; ữ 3 Cõu 166 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ba im A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1) Tỡm ta im D thuc ng thng AB cho di on thng CD nh nht x = t uuu r Ta cú AB = (1; 4; 3) Phng trỡnh ng thng AB: y = 4t z = 3t uuur Gi D(1 a;5 4a;4 3a) AB DC = (a;4a 3;3a 3) uuu r uuur di on CD ngn nht D l hỡnh chiu vuụng gúc ca C trờn cnh AB AB DC a 16a + 12 9a + = a = 46 41 21 Vy: D ; ; ữ 26 26 26 26 Cõu 167 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng d1 : x + y z = = v 1 x y z = = Tỡm cỏc im M thuc d1, N thuc d2 cho ng thng MN song song 1 vi mt phng (P): x y + z + 2012 = v di on MN bng uuuu rr MN P (P ) MN.nP = Ly M d1, N d2 Ta cú M (0;0;0), N ; ; ữ 7 MN = MN = d2 : x y+ z = = v cỏc 1 im A(1;0;0), B(0;1;1),C(0;0;2) Tỡm im M thuc d cho gúc gia hai mt phng (MAB) v (CAB) bng a = 300 S: M(0; 2;1) Cõu 168 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng d : Cõu 169 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng cú phng trỡnh: Trang 55 PP to khụng gian x = 1+ t x y z (1) : y = t v (2) : = = Xỏc nh im A trờn v im B trờn z = cho on AB cú di nh nht uuu r Gi s A(t+1; t 1; 2) 1, B( t'+3; 2t' +1; t') AB = (t' t + 2;2t'+ t + 2; t' 2) Vỡ on AB cú di nh nht AB l on vuụng gúc chung ca (1) v (2) uuu r r uuu rr u AB u AB r r1 uuu r.u r1 = 2t + 3t' = t = t ' = A( 1; 1; 2), B(3; 1; 0) uu AB u2 AB.u2 = 3t + 6t' = Cõu 170 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1; 1; 2), B(3; 4; 2) v ng x = + 4t d : thng y = 6t Tỡm im I trờn ng thng d cho IA + IB t giỏ tr nh nht z = 8t uuu r AB = (2; 3; 4) AB // d Gi A1 l im i xng ca A qua d Ta cú: IA + IB = IA1 + IB A1B Do ú IA + IB t giỏ tr nh nht bng A1B Khi ú A1, I, B thng hng I l giao im ca A1B v d Vỡ AB // d nờn I l trung im ca A1B 36 33 15 Gi H l hỡnh chiu ca A lờn d Tỡm c H ; ; ữ A i xng vi A qua H nờn A 29 29 29 43 95 28 65 21 43 ; ; ; ữ I l trung im ca AB suy I ; ữ 29 29 29 29 58 29 Cõu hi tng t: x y z+ = = a) Vi A(1; 1;2), B(3; 4; 2) , d : S: x y z = = b) Vi A(1;2;1), B(7;2;3) , d : S: 2 64 45 I ; ; ữ 29 29 29 I (2;0;4) Cõu 171 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) v ng x + y z = = Tỡm to im M trờn cho MAB cú din tớch nh nht 2 x = 1+ 2t PTTS ca : y = t Gi M (1+ 2t;1 t;2t) z = 2t r uuur uuu Din tớch MAB l S = AM , AB = 18t2 36t + 216 = 18(t 1)2 + 198 198 Vy Min S = 198 t = hay M(1; 0; 2) Cõu hi tng t: x y+ z 3 = = a) Vi A(0;1;0), B(2;2;2) , : S: M(3;0; 1) , minS = 2 x y z+ 34 = b) Vi A(2; 1;1), B(0;1; 2), : = S: M (5;8; 11),minS = 1 2 x y z = = c) Vi A(0;1; 2), B(2; 1;1), : S: M (2;5; 5),minS = 22 1 x + y z 1= d) Vi A(2; 1;1), B(1; 1;0), : S: M ; ; 2x y 1= thng : Trang 56 Hc vin hun luyn STA e) Vi A(1;4;2), B(1;2;4), : x y z = = 1 12 38 S: M ; ; ữ 7 Cõu 172 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ba im A(5;8; 11) , B(3;5; 4) , C(2;1; 6) x y z = = v ng thng d : Xỏc nh to im M thuc ng thng d 1 uuur uuur uuur cho MA MB MC t giỏ tr nh nht uuur uuur uuur Gi s M (2t + 1;2t + 2;t + 1) d MA MB MC = (2t 1; 2t 4; t) uuur uuur uuur MA MB MC = 10 53 53 (2t + 1)2 + (2t + 4)2 + t2 = t + ữ + 9 11 10 Du "=" xy t = M ; ; 9 Cõu 173 Trong khụng gian vi h trc to Oxyz, cho (P ) : x + 2y z + = im A( 2; 3; 4) x+ = y + 1= z Gi l ng thng nm trờn (P) i qua giao im ca (d) v (P) ng thi vuụng gúc vi d Tỡm trờn im M cho khong cỏch AM ngn nht x = 2t PTTS ca d: y = t Gi I l giao im ca (d) v (P) I (1;0;4) z = t + r r r r (d) cú VTCP l a = (2;1;1) , (P) cú VTPT l n = (1;2; 1) [ a, n] = (3;3;3) v ng thng (d) : x = u r r Gi u l vect ch phng ca u = (1;1;1) : y = u z = + u uuur Vỡ M M (1 u; u;4 + u) , AM = (1 u;u 3;u) uuur r AM ngn nht AM AM u = 1(1 u) + 1(u 3) + 1.u = u = 16 Vy M ; ; ữ 3 Cõu 174 Trong khụng gian Oxyz, cho hai im A(1; 1; 2), B(2; 2; 1) v mt phng (P) cú phng trỡnh x + 3y z + = Vit phng trỡnh mt phng (Q) l mt phng trung trc ca on AB Gi l giao tuyn ca (P) v (Q) Tỡm im M thuc cho di on thng OM l nh nht r 3 uuu Gi I l trung im ca AB I ; ; ữ; AB = (1; 1; 1) 2 PT (Q): x + y + z + = l giao tuyn ca (P) v (Q) PTTS ca : x = + 2t; y = t; z = t 4 15 25 Gi s M + 2t; t; t ữ ; OM = 6t2 t + 4 Trang 57 PP to khụng gian OM nh nht t = 5 M ; ; 8 Cõu 175 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng (d 1): x y z+ , (d2): = = 1 x y+ z = = Mt ng thng () i qua im A(1; 2; 3), ct ng thng (d 1) ti im B v ct ng thng (d2) ti im C Chng minh rng im B l trung im ca on thng AC uuu r uuur Ly B (d1), C (d2) T : AB = kAC k = B l trung im ca on thng AC Ta cú th tớnh c B(2; 1; 1), C(3; 4; 1) Cõu 176 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im E(2;1;5), F (4; 3; 9) Gi l giao tuyn ca hai mt phng (P ): 2x + y z + = v (Q) : x y + 2z = Tỡm im I thuc cho: IE IF ln nht x = 1+ t x = + t PTTS ca : y = 5t PTTS ca EF: y = 1+ t z = 3t z = 5+ 2t 1+ t = + t t = Xột h: 5t = 1+ t EF ct ti A(1;0;3) t = 3t = 5+ 2t Trong mp( ,EF) mi im I ta cú IE IF EF (hiu cnh tam giỏc nh hn cnh th 3) Du "=" xy I, E, F thng hng, t ú suy I trựng A Vy im I(1;0;3) Cõu 177 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d : A(0;0;3) , B(0;3;3) Tỡm im M d cho: a) MA + MB nh nht Xột hm s f (t) = (t 1)2 + + (t 2)2 + f (t) = f (t) = uuur uuur c) MA 3MB nh nht b) MA2 + 2MB2 nh nht x = t a) PTTS ca d: y = t Gi M (t;t;t) d Ta cú: P = z = t t1 (t 1)2 + = t (t 2)2 + ( (t 1)2 + + (t 2)2 + t1 (t 1)2 + t1 (t 1)2 + x y z = = v hai im 1 = + ) t (t 2)2 + (t 2) [ (t 2)] + (*) u ữ g(u) = u2 + u = >0 Ta cú ữ u2 + 2 u2 + u + (u + 2) nờn hm s g ng bin trờn Ă Do ú t (*), ta cú g(t 1) = g[ (t 2)] t 1= t + t = Xột hm s g(u) = u Trang 58 Hc vin hun luyn STA Da vo BBT ca hm s f ta suy f (t) = f ữ = Vy min(MA + MB) = 3 t c ti t = 3 3 , tc l M ; ; ữ 2 b) Tng t cõu 1), ta tớnh c Q = MA2 + 2MB2 = 9t2 30t + 45 = (3t 5)2 + 20 5 5 minQ = 20 t = , tc M ; ; ữ 2 uuur uuur c) Theo cõu 1) , ta cú MA = (t; t;3 t) , MB = (t;3 t;3 t) uuur uuur uuur uuur Suy MA 2MB = (t; t 6;t 3) MA 2MB = 3t2 18t + 45 = 3(t 3)2 + 18 uuur uuur Vy MA 2MB = t = 3, tc M(3;3;3) Dng 3: Xỏc nh im thuc mt cu Cõu 178 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt cu (S): x2 + y2 + z2 + 4x 6y + m= v ng thng (d) l giao tuyn ca mt phng (P): 2x 2y z + 1= , (Q): x + 2y 2z = v Tỡm m (S) ct (d) ti im M, N cho di MN = Trang 59 PP to khụng gian (S) tõm I(2;3;0), bỏn kớnh R= 13 m = IM (m< 13) Gi H l trung im ca MN MH= IH = d(I; d) = m r uur r u; AI (d) qua A(0;1;-1), VTCP u = (2;1;2) d(I; d) = = r u Vy : m =3 m = 12 Cõu 179 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x + y z + = v mt cu (S): x2 + y2 + z2 6x 8y 2z + 23 = Tỡm trờn (S) im M cho khong cỏch t M n mt phng (P) l ln nht Khi ú hóy vit phng trỡnh mt cu (T) cú tõm M v ct (P) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh bng Mt cu (S) cú tõm I (3;4;1) , bỏn kớnh R = x = 3+ t Gi d l ng thng qua I vuụng gúc vi (P) PTTS ca d: y = + t z = t Khi ú M l giao im ca d vi (S) Ta im M l nghim ca h: x = 3+ t t = t = y = + t x = x = M1(4;5;0), M2(2;3;2) z = t 2 y = y = x + y + z 6x 8y 2z + 23 = z = z = Ta thy d(M1,(P )) = > d(M2,(P )) = Vy M(4;5;0) l im cn tỡm Mt cu (T) cú R ' = MH + HE = (4 3)2 + 42 = (T ) :(x 4)2 + (y 5)2 + z2 = 64 Cõu 180 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt cu (S) v mt phng (P) cú phng trỡnh l (S) : x2 + y2 + z2 4x + 2y 6z + = 0, (P ) : 2x + 2y z + 16 = im M di ng trờn (S) v im N di ng trờn (P) Tớnh di ngn nht ca on thng MN Xỏc nh v trớ ca M, N tng ng Mt cu (S) tõm I(2;1;3) v cú bỏn kớnh R = ( ) Khong cỏch t I n mt phng (P): d = d I ,( P ) = 2.2 + 2.(1) 3+ 16 = d > R Do ú (P) v (S) khụng cú im chung Do vy, MN = d R = = Trong trng hp ny, M v trớ M0 v N v trớ N0 D thy N0 l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn mt phng (P) v M0 l giao im ca on thng IN0 vi mt cu (S) Gi l ng thng i qua I v vuụng gúc vi (P), thỡ N0 l giao im ca v (P) x = + 2t r ng thng cú VTCP l nP = ( 2;2; 1) v qua I nờn cú phng trỡnh l y = 1+ 2t z = t Ta ca N0 ng vi t nghim ỳng phng trỡnh: 2(2 + 2t) + 2(1+ 2t) (3 t) + 16 = 9t + 15 = t = uuuu r uuur 13 14 Suy N0 ; ; ữ Ta cú IM0 = IN0 Suy M0(0;3;4) 3 Cõu hi tng t: a) (S) : x2 + y2 + z2 4x 4y + 2z = 0; (P ) : 2x + y 2z + = Trang 60 15 = Hc vin hun luyn STA ; ; ữ 3 S: M(2 2;2 2; 1+ 2) , N Cõu 181 Trong khụng gian ta Oxyz , cho im A(0;1;1), B(1;0; 3),C(1; 2; 3) v mt cu (S) cú phng trỡnh: x2 + y2 + z2 2x + 2z = Tỡm ta im D trờn mt cu (S) cho t din ABCD cú th tớch ln nht (S) cú tõm I(1; 0; 1), bỏn kớnh R = PT mp(ABC): 2x 2y + z + 1= Ta cú VABCD = d(D;(ABC )).SABC nờn VABCD ln nht d(D;( ABC )) ln nht Gi D1D2 l ng kớnh ca (S) vuụng gúc vi mp(ABC) Ta thy vi D l im bt k thuc (S) thỡ d(D;( ABC )) max{ d(D1;( ABC )); d(D2;( ABC ))} Du = xy D trựng vi D1 hoc D2 r D1D2 i qua I(1;0;1), v cú VTCP l nABC = (2; 2;1) D1D2 : { x = 1+ 2t; y = 2t; z = 1+ t x = 1+ 2t t= y = t Ta D1 v D2 tha: t = z = 1+ t (x 1)2 + y2 + (z + 1)2 = D1 ; ; ữ; D2 ; ; ữ 3 3 Ta thy: d(D1;( ABC )) > d(D2;(ABC )) Vy im D ; ; ữ l im cn tỡm 3 Dng 4: Xỏc nh im khụng gian Cõu 182 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (): 3x + 2y z + = v hai im A(4;0;0) , B(0;4;0) Gi I l trung im ca on thng AB Xỏc nh ta im K cho KI vuụng gúc vi mt phng (), ng thi K cỏch u gc ta O v () x y z I(2;2;0) PT ng thng KI: = = Trang 61 PP to khụng gian Gi H l hỡnh chiu ca I trờn (): H(1;0;1) Gi s K(xo;yo;zo) x0 y0 z0 = = 1 3 Ta cú: KH = KO K ; ; ữ 4 (x + 1)2 + y + (z 1)2 = x + y + z 0 0 0 Cõu 183 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im A(2;4;1), B(1;4;1), C(2;4;3), D(2;2;1) Tỡm ta im M MA2 + MB2 + MC + MD2 t giỏ tr nh nht 14 Gi G l trng tõm ca ABCD ta cú: G ; ;0ữ 3 2 2 Ta cú: MA + MB + MC + MD = 4MG2 + GA2 + GB2 + GC + GD2 14 GA2 + GB2 + GC + GD2 Du bng xy M G ; ;0ữ 3 Cõu 184 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x + y + z + = v im A(0; 1; 2) Tỡm to im A i xng vi A qua mt phng (P) r (P) cú VTPT n = (1;1;1) Gi s A (x; y; z) x y + z+ Gi I l trung im ca AA I ; ; ữ 2 x y z uuur x = r AA , ncuứ = = n g phửụng A i xng vi A qua (P) y = I (P) z = x + y + 1+ z+ + = 2 Vy: A (4; 3; 2) Cõu 185 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) v mt phng ( ) : x + 2y + = Tỡm to ca im M bit rng M cỏch u cỏc im A, B, C v mt phng ( ) Gi s M (x0; y0; z0) (x 1)2 + y2 + z2 = x2 + (y 1)2 + z2 (1) 0 0 20 MA = MB 2 2 x0 + (y0 1) + z0 = x0 + (y0 3) + (z0 2) (2) Ta cú: MB = MC MA = d(M ,(a )) 2 (x0 + 2y0 + 2) ( x ) + y + z = (3) 0 x0 = 1, y0 = 1, z0 = 23 23 14 23 23 14 M(1; 1; 2) hoc M ; ; x0 = , y = , z0 = 3 3 Cõu 186 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC, bit A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) Tỡm to nh S bit th tớch chúp S.ABC bng 36 Phng trỡnh ( ABC ) : x + y + z = ABC cú trng tõm G(1;1;1) v AB= BC= CA= SABC = Do hỡnh chúp S.ABC u nờn ng thng SG qua G v vuụng gúc vi (ABC) Trang 62 Hc vin hun luyn STA x = 1+ t Phng trỡnh SG : y = 1+ t Gi s S(1+ t;1+ t;1+ t) z = 1+ t Ta cú : VS.ABC=36= SG SABC t = 8, t = Vy: S(9;9;9) hoc S(7; 7; 7) Dng 5: Xỏc nh im a giỏc Cõu 187 Trong khụng gian vi h trc to Oxyz, cho ba im A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tỡm to trc tõm ca tam giỏc ABC Lp phng trỡnh mp(ABC); (P) qua A v (P) BC; (Q) qua B v (Q) AC 36 18 12 Gii h gm ba phng trỡnh ba mt phng trờn ta c trc tõm H ; ; ữ 49 49 49 Cõu hi tng t: a) Vi A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2) S: Cõu 188 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(1;3;5) , B(4;3;2) , C(0;2;1) Tỡm ta tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Ta cú: AB = BC = CA = ABC u Do ú tõm I ca ng trũn ngoi tip 8 ABC cng l trng tõm ca nú Kt lun: I ; ; ữ 3 Cõu 189 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(1; 0; 1), B(1; 2; 1), C(1; 2; 3) Tỡm ta tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC uuu r uuur Ta cú: AB = (2; 2; 2), AC = (0; 2;2) Suy phng trỡnh mt phng trung trc ca AB, x + y z 1= 0, y + z = AC l: uuu r uuur r VTPT ca mp(ABC) l n = AB, AC = (8; 4;4) Suy (ABC): 2x y + z + 1= x + y z 1= x = Gii h: y + z = y = Suy tõm ng trũn l I (0; 2;1) 2x y + z + 1= z = Bỏn kớnh l R = IA = (1 0)2 + (0 2)2 + (1 1)2 = Cõu 190 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho ba im A(2;3;1) , B(1;2;0) , C(1;1; 2) Tỡm ta trc tõm H v tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC H (x; y; z) l trc tõm ca ABC BH AC,CH AB, H (ABC ) uuur uuur BH AC = r uuur uuu 29 29 CH AB = x = ; y = ; z = H ; ; ữ uuu r uuur uuur 15 15 15 15 AB, AC AH = I (x; y; z) l tõm ng trũn ngoi tip ABC AI = BI = CI , I ( ABC ) Trang 63 PP to khụng gian AI = BI 14 61 14 61 CIuu2u = BI x = ; y = ; z = I ; ; ữ r uuur uur 15 30 15 30 AB, AC AI = Cõu 191 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A(1;0;1), B(1;2; 1),C(1;2;3) v I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Lp phng trỡnh mt cu (S) cú tõm I v tip xỳc vi mt phng (Oxz) Phng trỡnh ( ABC ) : 2x y + z + 1= Gi I (x; y; z) I ( ABC ) 2x y + z + 1= (2) IA = IB = IC x + y z 1= 0, y + z = (1) ; T (1) (2) I (0; 2;1) Bỏn kớnh mt cu l R = d(I ,(Oxz)) = (S): x2 + (y 2)2 + (z 1)2 = Cõu 192 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho tam giỏc ABC cú A(3;1;0) , B nm trờn mt phng (Oxy) v C nm trờn trc Oz Tỡm to cỏc im B, C cho im H(2;1;1) l trc tõm ca tam giỏc ABC Gi s B(x; y;0) (Oxy),C(0;0; z) Oz uuur uuu r uuur uuu r AH BC = AH BC r r uuur uuu uuur uuu H l trc tõm ca ABC CH AB CH AB uuu uuu r uuur uuur r uuur= 0uuur AB, AC, AH ủo ng phaỳ ng AB, AH AC = 177 17 + 177 3+ 177 x+ z = ;y = ;z = x = 4 2x + y = + 177 17 177 177 3x 3y + yz z = ;y = ;z = x = 4 B 177 ; 17 + 177 ;0ữ,C 0;0; 3+ 177 ữ 3+ 177 17 177 177 hoc B ; ;0ữ,C 0;0; ữ Cõu 193 Trong khụng gian Oxyz, cho im A(3; 2; 3) v hai ng thng cú phng trỡnh x y z x y z = = = = v d2 : Chng minh ng thng d1, d2 v 1 2 im A cung nm mt mt phng Xỏc nh to cỏc nh B v C ca tam giỏc ABC bit d1 cha ng cao BH v d2 cha ng trung tuyn CM ca tam giỏc ABC r r d1 qua M1(2; 3; 3), cú VTCP a = (1;1; 2) ; d2 qua M2(1; 4; 3) cú VTCP b = (1; 2;1) urr r r r uuuuuur Ta cú a,b , a, b M1M2 = d1, d2 ct d1 : Phng trỡnh mt phng cha d1, d2 : x + y + z = A mp(d1, d2) t+ t+ ; ;3 t ữ Gi s B(2 + t;3+ t;3 2t) d1 trung im ca AB l M M d2 t = M (2;2;4) B(1;2;5) uuur r Gi s C(1+ t;4 2t;3+ t) d2 AC a t = C(1;4;2) Cõu 194 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cho tam giỏc ABC cú A(3;2;3), ng cao CH, ng phõn giỏc BM ca gúc B ln lt cú phng trỡnh l Trang 64 Hc vin hun luyn STA x y z x y z = = = = , d2 : Tớnh di cỏc cnh ca tam giỏc ca 1 2 tam giỏc ABC Gi (P) l mt phng i qua A v vuụng gúc vi d1 (P): x + y 2z + 1= B l giao d1 : im ca d2 vi (P) B(1;4;3) Gi (Q) l mt phng i qua A v vuụng gúc vi d2 (Q): x 2y + z = Gi K l giao im ca d2 vi (Q) K (2;2;4) Gi E l im i xng ca A qua K E(1;2;5) x = Phng trỡnh ng thng BE l y = t C l giao im ca BE v CH C(1;2;5) z = 3+ t Ta cú AB = AC = BC = 2 Tam giỏc ABC u Cõu 195 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh thang cõn ABCD vi A( 3; 1; 2) , B ( 1;5;1) , C ( 2;3;3) , ú AB l ỏy ln, CD l ỏy nh Tỡm to im D Do ABCD l hỡnh thang cõn nờn AD = BC = Gi l ng thng qua C v song song vi AB, (S) l mt cu tõm A bỏn kớnh R = im D cn tỡm l giao im ca v (S) x = 2t uuu r AB = 2;6;3 ng thng cú vect ch phng ( ) nờn cú phng trỡnh: y = 3+ 6t z = 3+ 3t Phng trỡnh mt cu (S) :(x 3)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = To im D tho H PT: x = 2t t = y = 3+ 6t 49 t + 82 t + 33 = 33 z = 3+ 3t t = 2 49 ( x 3) + ( y + 1) + ( z + 2) = Vi t = 1, thỡ D(4; 3; 0) : khụng tho vỡ AB = CD = 164 51 48 33 ; ; ữ (nhn) Vi t = D 49 49 49 49 Cõu 196 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh thoi ABCD vi A(1;2;1) , B(2;3;2) Tỡm ta cỏc nh C, D v vit phng trỡnh mt phng cha hỡnh thoi ú bit rng tõm I x + y z = = ca hỡnh thoi thuc ng thng d : v im D cú honh õm 1 uu r uur Gi I (1 t; t;2 + t) d Ta cú IA = (t;2 + t; t), IB = (3+ t;3+ t; t) uu r uur Do ABCD l hỡnh thoi nờn IA.IB = 3t2 + 9t + = t = 1, t = Vỡ C i xng vi A qua I v D i xng vi B qua I nờn: + Vi t = I (0;1;1) C(1;0;1), D(2; 1;0) + Vi t = I (1;2;0) C(3;2; 1), D(0;1; 2) Do D cú honh õm nờn ta chn c nghim C(1;0;1), D(2; 1;0) r + Gi (P) l mt phng cha hỡnh thoi ABCD, gi s (P) cú VTPT n Trang 65 PP to khụng gian r r uu r uur n IA = (1;1;0) r uu Ta cú r uur cú th chn n = IA, IB = (1;1; 4) n IB = (2;2;1) Suy phng trỡnh mt phng (P ) : x + y 4z + = Cõu 197 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng, A(1;0;0) , C(1;2;0) , D(1;0;0) , S(0;0; 3) Gi M, N ln lt l trung im ca on SB v CD Chng minh rng hai ng thng AM v BN vuụng gúc vi v xỏc nh ta tõm ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ONB uuu r uuur AB = DC B(1; 2; 0) M l trung im SB, N l trung im CD M ;1; ữ, N(1; 1; 0) AM BN Vỡ ONB nm mp(Oxy) nờn tõm I ca ng 2 ữ trũn ngoi tip ONB thuc mp(Oxy) IO = IN Gi I (x; y;0) Ta cú: I ; ;0ữ IO = IB 6 Cõu 198 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh vuụng MNPQ cú M(5;3; 1) , P(2;3; 4) Tỡm to nh (R) : x + y z = Q bit rng nh N nm mt phng uuur Gi I l tõm hỡnh vuụng I ;3; ữ Gi N(a; b;c) (R) MP = (3;0; 3) 2 uur IN = a ; b 3; c + ữ; MP = IN = 2 a + b c = u Nur (R ) uuur IN MP a ữ c + ữ =0 a = 2, b = 3,c = Ta cú: 2 a = 3, b = 1,c = IN = a ữ + (b 3) + c + ữ = 2 2 Nu N(2;3 1) thỡ Q(5;3; 4) Nu N(3;1; 2) thỡ Q(4;5; 3) Cõu 199 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh vuụng ABCD, bit B(3;0;8) , D(5; 4;0) v nh A thuc mt phng (Oxy) Tỡm ta im C Ta cú trung im BD l I(1;2; 4), BD = 12 v im A thuc mp(Oxy) nờn A(a; b; 0) AB2 = AD2 2 2 (a 3) + b + = (a + 5) + (b + 4) ABCD l hỡnh vuụng 2 2 (a + 1) + (b + 2) + = 36 AI = BD ữ 17 a = b = 2a 17 14 a = ;0ữ hoc A(1; 2; 0) hoc A ; 2 b = 5 (a + 1) + (6 2a) = 20 b = 14 17 14 27 ;0ữ C ; ;8ữ Vi A(1; 2; 0) C(3;6; 8) Vi A ; 5 5 Cõu 200 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh vuụng ABCD, bit A(1;2;0),C(2;3; 4) Trang 66 Hc vin hun luyn STA v nh B nm trờn mt phng (Q): x + 2y + z = Tỡm to ca nh D, bit to ca B l nhng s nguyờn AC = AB = Gi B(x; y; z) x + 2y + z = (1) B (Q) 2 2 2 Ta cú: AB = CB (x 1) + (y 2) + z = (x 2) + (y 3) + (x + 4) (2) AB = (x 1)2 + (y 2)2 + z2 = (3) x = ; y = ; z = B(1;1;2) Vy D(4;4; 6) Trang 67 ... (Oxy) mt gúc = 600 Cõu 30 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d : S: (P ) : 2x + y + z = hoc (P ) : 2x y z + = Trang PP to khụng gian Cõu 31 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho... t = x y z+ M(3;6; 3) PT ng thng d : = = Cõu 56 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng : Trang 17 PP to khụng gian Cõu 57 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1; 5; 0), B(3; 3;... (P): ax + by + z a + 2b = sin = 5a2 + 5b2 2ab TH1: Nu b = thỡ a = 00 Trang 11 PP to khụng gian TH2: Nu b thỡ Xột hm s f (x) = sin = a 2 a a t x = b v f (x) = sin a ữ + b b Da vo BBT,

Ngày đăng: 10/09/2017, 02:40

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

    • Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến

    • Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

    • Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

    • Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc

    • Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác

    • Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng

  • TĐKG 02: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

    • Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương

    • Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác

    • Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác

  • TĐKG 03: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

    • Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính

    • Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định các hệ số của phương trình

    • Cách khác: Ta có thể xác định toạ độ tâm I của mặt cầu thoả điều kiện: IA = IB = IC = ID

    • Dạng 3: Các bài toán liên quan đến mặt cầu

  • TĐKG 04: TÌM ĐIỂM THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

    • Dạng 1: Xác định điểm thuộc mặt phẳng

    • Dạng 2: Xác định điểm thuộc đường thẳng

    • Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu

    • Dạng 4: Xác định điểm trong không gian

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan