hoctoancapba com 200 bai toan toa do trong khong gian co loi giai TRAN SI TUNG

67 28 0
  • Loading ...
Loading...
1/67 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 10/09/2017, 03:40

Hc vin hun luyn STA TKG 01: VIT PHNG TRèNH MT PHNG Dng 1: Vit phng trỡnh mt phng bng cỏch xỏc nh vect phỏp tuyn Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(2;4;1), B(1;1;3) v mt phng (P): x 3y + 2z = Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua hai im A, B v vuụng gúc vi mt phng (P) r r r r uuu (Q) i qua A, B v vuụng gúc vi (P) (Q) cú VTPT n = nP , AB = (0; 8; 12) (Q) : 2y + 3z 11= Cõu hi tng t: a) Vi A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), (P ) : x + y + 3z + = S: (Q) : x 2y + z = Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua hai im x = 1+ t A(2;1;3), B(1; 2;1) v song song vi ng thng d : y = 2t z = 2t uur r Ta cú BA = (1;3;2) , d cú VTCP u = (1;2; 2) r uur uur r n r r Gi n l VTPT ca (P) r BA r chn n = BA,u = (10;4; 1) n u Phng trỡnh ca (P): 10x 4y + z 19 = Cõu Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng (d1) v (d2) cú phng trỡnh: Cõu x y + z x y z = = = = , (d2): Lp phng trỡnh mt phng (P) cha (d ) v (d2) (d1); Chng t (d1) // (d2) (P): x + y 5z +10 = Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt cu (S) cú phng trỡnh: x + y2 + z2 2x + 6y 4z = Vit phng trỡnh mt phng (P) song song vi giỏ ca r vộc t v = (1;6;2) , vuụng gúc vi mt phng ( ) : x + 4y + z 11= v tip xỳc vi (S) r (S) cú tõm I(1; 3; 2) v bỏn kớnh R = VTPT ca ( ) l n = (1;4;1) r r r VTPT ca (P) l: nP = [ n, v] = (2; 1;2) PT ca (P) cú dng: 2x y + 2z + m= Cõu m= 21 Vỡ (P) tip xỳc vi (S) nờn d(I ,(P )) = m= Vy: (P): 2x y + 2z + = hoc (P): 2x y + 2z 21= Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(1; 1; 1) v hai ng thng x y+ z x y z (d1) : = = = v (d2) : = Chng minh rng im M , d1, d2 cung nm trờn mt mt phng Vit phng trỡnh mt phng ú r r d1 qua M1(0; 1;0) v cú u1 = (1; 2; 3) , d2 qua M2(0;1;4) v cú u2 = (1;2;5) r uuuuuur r r r r uuuuuur u1;u2 = (4; 8;4) 0, M1M2 = (0;2;4) u1;u2 M1M2 = d1, d2 ng phng r Gi (P) l mt phng cha d1, d2 (P) cú VTPT n = (1;2; 1) v i qua M1 nờn cú phng trỡnh x + 2y z + = Kim tra thy im M (1;1;1) (P ) Cõu Trang PP to khụng gian Dng 2: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n mt cu x y z = = v mt cu 2 2 (S): x + y + z 2x 2y 4z + = Lp phng trỡnh mt phng (P) song song vi d v trc Ox, ng thi tip xỳc vi mt cu (S) r (S) cú tõm I(1; 1; 2), bỏn kớnh R = d cú VTCP u = (2;2;1) r r r (P) // d, Ox (P) cú VTPT n = [ u, i ] = (0;1; 2) PT ca (P) cú dng: y 2z + D = Cõu Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng d: (P) tip xỳc vi (S) d(I ,(P )) = R (P): y 2z + 3+ = hoc = D = D = 3+ 12 + 22 D = (P): y 2z + = + D Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt cu (S): x2 + y2 + z2 + 2x 4y = v mt phng (P): x + z = Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua im M(3;1; 1) vuụng gúc vi mt phng (P) v tip xỳc vi mt cu (S) r (S) cú tõm I(1; 2; 0) v bỏn kớnh R = 3; (P) cú VTPT nP = (1;0;1) Cõu PT (Q) i qua M cú dng: A(x 3) + B(y 1) + C(z + 1) = 0, A2 + B2 + C (Q) tip xỳc vi (S) d(I ,(Q)) = R 4A + B + C = A2 + B2 + C r r (Q) (P ) nQ.nP = A + C = C = A (**) (*) T (*), (**) B 5A = 2A2 + B2 8B2 7A2 + 10AB = A = 2B 7A = 4B Vi A = 2B Chn B = 1, A = 2, C = PT (Q): 2x + y 2z = Vi 7A = 4B Chn B = 7, A = 4, C = PT (Q): 4x 7y 4z = Cõu hi tng t: a) Vi (S) : x2 + y2 + z2 2x + 4y 4z + = , (P ) : 2x + y 6z + = 0, M (1;1;2) S: (Q) : 2x + 2y + z = hoc (Q) :11x 10y + 2z = Trong khụng gian vi h trc Oxyz, cho mt cu (S): x2 + y2 + z2 2x + 4y + 2z = Vit phng trỡnh mt phng (P) cha trc Ox v ct mt cu (S) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh r = (S) cú tõm I(1; 2; 1), bỏn kớnh R = (P) cha Ox (P): ay + bz = Mt khỏc ng trũn thit din cú bỏn kớnh bng cho nờn (P) i qua tõm I Suy ra: 2a b = b = 2a (a 0) (P): y 2z = Cõu Cõu Trong khụng gian vi h trc Oxyz, cho mt cu (S): x2 + y2 + z2 + 2x 2y + 2z 1= x y = v ng thng d : Vit phng trỡnh mt phng (P) cha d v ct mt cu 2x z = (S) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh r = (S) cú tõm I (1;1; 1) , bỏn kớnh R = PT mt phng (P) cú dng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) Chn M (2;0; 2), N(3;1;0) d Trang Hc vin hun luyn STA M (P ) a = b,2c = (a + b), d = 3a b (1) Ta cú: N (P ) 17 a = b ,2 c = ( a + b ), d = a b (2) d(I ,(P )) = R2 r + Vi (1) (P): x + y z = + Vi (2) (P): 7x 17y + 5z = Cõu 10 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng : x y z = = , 1 x1 y z = = v mt cu (S): x2 + y2 + z2 2x + 2y + 4z = Vit phng trỡnh 1 tip din ca mt cu (S), bit tip din ú song song vi hai ng thng v : (P): y + z + 3+ = hoc (P): y + z + 3 = Cõu 11 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt cu (S) cú phng trỡnh x2 + y2 + z2 2x + 4y 6z 11= v mt phng () cú phng trỡnh 2x + 2y z + 17 = Vit phng trỡnh mt phng () song song vi () v ct (S) theo giao tuyn l ng trũn cú chu vi bng p = Do () // () nờn () cú phng trỡnh 2x + 2y z + D = (D 17) (S) cú tõm I(1; 2; 3), bỏn kớnh R = ng trũn cú chu vi nờn cú bỏn kớnh r = Khong cỏch t I ti () l h = Do ú 2.1+ 2(2) 3+ D R2 r = 52 32 = D = = 5+ D = 12 D = 17 (loaùi) 22 + 22 + (1)2 Vy () cú phng trỡnh 2x + 2y z = Cõu hi tng t: a) (S): x2 + y2 + z2 + 2x + 4y 6z 11= , (a ):2x + y 2z + 19 = 0, p = S: (b ) : 2x + y 2z + 1= Trang PP to khụng gian Dng 3: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n khong cỏch Cõu 12 Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) qua O, vuụng gúc vi mt phng (Q): x + y + z = v cỏch im M(1; 2; 1) mt khong bng PT mt phng (P) qua O nờn cú dng: Ax + By + Cz = (vi A2 + B2 + C ) Vỡ (P) (Q) nờn: 1.A + 1.B + 1.C = C = A B (1) A + 2B C = ( A + 2B C )2 = 2(A2 + B2 + C 2) d(M ,(P )) = 2 A + B +C B = (3) T (1) v (2) ta c: 8AB + 5B2 = 8A + 5B = (4) T (3): B = C = A Chn A = 1, C = (P): x z = T (4): 8A + 5B = Chn A = 5, B = C = (P): 5x 8y + 3z = (2) x y z = = v 1 im M(0; 2; 0) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im M, song song vi ng thng , ng thi khong cỏch d gia ng thng v mt phng (P) bng Phng trỡnh mp (P) i qua M(0; 2; 0) cú dng: ax + by + cz + 2b = ( a2 + b2 + c2 0) r i qua im A(1; 3; 0) v cú mt VTCP u = (1;1;4) Cõu 13 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho ng thng : a + b + 4c = P (P ) a = 4c a + 5b Ta cú: = a = 2c d(A;(P )) = d 2 a +b +c Vi a = 4c Chn a = 4,c = b = 8Phng trỡnh (P): 4x 8y + z 16 = Vi a = 2c Chn a = 2,c = b = Phng trỡnh (P): 2x + 2y z + = Cõu hi tng t: x y z ; M (0;3; 2), d = a) Vi : = = 1 S: (P ) : 2x + 2y z = hoc (P ) : 4x 8y + z + 26 = x = t ( d ) : Cõu 14 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng y = 1+ 2t v im z = A(1;2;3) Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng (d) cho khong cỏch t im A n mt phng (P) bng r r (d) i qua im M(0; 1;1) v cú VTCT u = (1;2;0) Gi n = (a; b;c) vi a2 + b2 + c2 l VTPT ca (P) PT mt phng (P): a(x 0) + b(y + 1) + c(z 1) = ax + by + cz + b c = (1) rr Do (P) cha (d) nờn: u.n = a + 2b = a = 2b (2) a + 3b + 2c 5b + 2c d ( A,(P )) = = = 5b + 2c = 5b2 + c2 a2 + b2 + c2 5b2 + c2 4b2 4bc + c2 = ( 2b c) = c = 2b (3) T (2) v (3), chn b = a = 2,c = PT mt phng (P): 2x y 2z + 1= Cõu 15 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im M (1;1;0), N(0;0; 2), I (1;1;1) Vit Trang Hc vin hun luyn STA phng trỡnh mt phng (P) qua A v B, ng thi khong cỏch t I n (P) bng PT mt phng (P) cú dng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) M (P ) a = b,2c = a b, d = a b (1) Ta cú: N (P ) d(I ,(P )) = 5a = 7b,2c = a b, d = a b (2) + Vi (1) PT mt phng (P): x y + z + = + Vi (2) PT mt phng (P): 7x + 5y + z + = Cõu 16 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho t din ABCD vi A(1; 1;2) , B(1;3;0) , C(3;4;1) , D(1;2;1) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B cho khong cỏch t C n (P) bng khong cỏch t D n (P) PT mt phng (P) cú dng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) a b + 2c + d = A (P ) a + 3b + d = Ta cú: B (P ) 3a + 4b + c + d a + 2b + c + d d(C,(P )) = d(D,(P )) = a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 b = 2a,c = 4a, d = 7a c = 2a, b = a, d = 4a + Vi b = 2a,c = 4a, d = 7a (P): x + 2y + 4z = + Vi c = 2a, b = a, d = 4a (P): x + y + 2z = Cõu hi tng t: a) Vi A(1;2;1), B(2;1;3),C(2; 1;1), D(0;3;1) S: (P ) : 4x + 2y + 7z 15 = hoc (P ) : 2x + 3z = Cõu 17 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho cỏc im A(1;2;3) , B(0; 1;2) , C(1;1;1) Vit phng trỡnh mt phng (P ) i qua A v gc ta O cho khong cỏch t B n (P ) bng khong cỏch t C n (P ) Vỡ O (P) nờn (P ) : ax + by + cz = 0, vi a2 + b2 + c2 Do A (P) a + 2b + 3c = (1) v d(B,(P )) = d(C,(P )) b + 2c = a + b + c (2) T (1) v (2) b = hoc c = Vi b = 0thỡ a = 3c (P ) :3x z = Vi c = thỡ a = 2b (P ) : 2x y = Cõu hi tng t: a) Vi A(1;2;0), B(0;4;0),C(0;0;3) S: 6x + 3y + 4z = hoc 6x 3y + 4z = Cõu 18 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho ba im A(1;1; 1) , B(1;1;2) , C(1;2; 2) v mt phng (P): x 2y + 2z + 1= Vit phng trỡnh mt phng ( ) i qua A, vuụng gúc vi mt phng (P), ct ng thng BC ti I cho IB = 2IC PT ( ) cú dng: ax + by + cz + d = , vi a2 + b2 + c2 Do A(1;1; 1) ( ) nờn: a + b c + d = (1); ( ) (P ) nờn a 2b + 2c = (2) IB = 2IC d(B,( )) = 2d(C;( )) 3a 3b + 6c d = (3) a + 5b 2c + 3d = Trang a + b + 2c + d a2 + b2 + c2 =2 a + 2b 2c + d a2 + b2 + c2 PP to khụng gian T (1), (2), (3) ta cú trng hp sau : a + b c + d = b = a; c = a; d = a TH1 : a 2b + 2c = 2 3a 3b + 6c d = Chn a = b = 1;c = 2; d = ( ) : 2x y 2z = a + b c + d = 3 b = a; c = a; d = a TH2 : a 2b + 2c = 2 a + 5b 2c + 3d = Chn a = b = 3; c = 2; d = ( ) : 2x + 3y + 2z = Vy: ( ) : 2x y 2z = hoc ( ) : 2x + 3y + 2z = Cõu 19 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng d1, d2 ln lt cú phng x y z x y z = = = = , d2 : Vit phng trỡnh mt phng cỏch u hai ng thng d1, d2 r r Ta cú d1 i qua A(2;2;3) , cú ud1 = (2;1;3) , d2 i qua B(1;2;1) v cú ud2 = (2; 1;4) r r r Do (P) cỏch u d1, d2 nờn (P) song song vi d1, d2 nP = ud1,ud2 = (7; 2; 4) PT mt phng (P) cú dng: 7x 2y 4z + d = Do (P) cỏch u d1, d2 suy d(A,(P )) = d(B,(P )) trỡnh d1 : 7.2 2.2 4.3+ d 7.1 2.2 4.1+ d d = d d = = 69 69 Phng trỡnh mt phng (P): 14x 4y 8z + = Cõu 20 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng d1, d2 ln lt cú phng x = 1+ t x y z+ d : = = trỡnh y = t , d2 : Vit phng trỡnh mt phng (P) song song 2 z = vi d1 v d2 , cho khong cỏch t d1 n (P) gp hai ln khong cỏch t d2 n (P) r Ta cú : d1 i qua A(1;2;1) v cú VTCP u1 = (1; 1;0) r d2 i qua B(2;1; 1) v cú VTCP l u2 = (1; 2;2) r r r r Gi n l VTPT ca (P), vỡ (P) song song vi d1 v d2 nờn n = u1,u2 = (2; 2; 1) Phng trỡnht (P): 2x + 2y + z + m= 7+ m 5+ m ; d(d2,(P ))= d(B,(P )) = d(d1,(P )) = d(A;(P )) = 3 + m= 2(5+ m) 17 d(d1,(P )) = 2d(d2,(P )) + m = 5+ m m= 3; m= + m= 2(5+ m) 17 17 + Vi m= (P ) : 2x + 2y + z = + Vi m= (P ) : 2x + 2y + z = 3 Cõu 21 Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua hai im A(0; 1;2) , B(1;0;3) v tip xỳc vi mt cu (S): (x 1)2 + (y 2)2 + (z + 1)2 = (S) cú tõm I (1;2; 1) , bỏn kớnh R = Trang Hc vin hun luyn STA PT mt phng (P) cú dng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) A (P ) a = b,c = a b, d = 2a + 3b Ta cú: B (P ) d(I ,(P )) = R 3a = 8b,c = a b, d = 2a + 3b + Vi (1) Phng trỡnh ca (P): x y 1= + Vi (2) Phng trỡnh ca (P): 8x 3y 5z + = (1) (2) Cõu 22 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(2; 1;1) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im A v cỏch gc ta O mt khong ln nht Ta cú d(O,(P )) OA Do ú d(O,(P ))max = OA xy OA (P ) nờn mt phng (P) uuu r cn tỡm l mt phng i qua A v vuụng gúc vi OA Ta cú OA = (2; 1;1) Vy phng trỡnh mt phng (P): 2x y + z = Cõu 23 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(10; 2; 1) v ng thng d cú x y z = = Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, song song vi d v khong cỏch t d ti (P) l ln nht Gi H l hỡnh chiu ca A trờn d d(d, (P)) = d(H, (P)) Gi s im I l hỡnh chiu ca H lờn (P), ta cú AH HI HI ln nht A I Vy (P) cn tỡm l mt phng i qua A v uuur nhn AH lm VTPT (P): 7x + y 5z 77 = phng trỡnh: Cõu 24 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng (d) cú phng trỡnh tham s { x = 2+ t; y = 2t; z = 2+ 2t Gi l ng thng qua im A(4;0;1) song song vi (d) v I(2;0;2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (d) Vit phng trỡnh ca mt phng cha v cú khong cỏch n (d) l ln nht Gi (P) l mt phng cha , thỡ (P ) P (d) hoc (P ) (d) Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn (P) Ta luụn cú IH IA v IH AH d(d,(P )) = d(I ,(P )) = IH Mt khỏc H (P ) Trong (P), IH IA ; ú maxIH = IA H A Lỳc ny (P) v trớ (P0) IA ti A r uu r r n = IA = 6;0; v Vect phỏp tuyn ca (P0) l ( ) , cựng phng vi = ( 2;0; 1) Phng trỡnh ca mt phng (P0) l: 2(x 4) 1.(z + 1) = 2x z = x y z = = v im 2 A(2;5;3) Vit phng trỡnh mt phng (P) cha d cho khong cỏch t A n (P) l ln nht Cõu 25 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d : PT mt phng (P) cú dng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) r r (P) cú VTPT n = (a; b;c) , d i qua im M(1;0;2) v cú VTCP u = (2;1;2) M (P ) a + 2c + d = 2c = (2a + b) Vỡ (P) d nờn r r Xột trng hp: = 2a + b + 2c = d = a + b nu TH1: Nu b = thỡ (P): x z + 1= Khi ú: d(A,(P )) = TH2: Nu b Chn b = ta c (P): 2ax + 2y (2a + 1)z + 2a + = Trang PP to khụng gian Khi ú: d(A,(P )) = 8a2 + 4a + = 2a + ữ + 2 1 Vy max d( A,(P )) = 2a + = a = Khi ú: (P): x 4y + z = Cõu hi tng t: x y+ z = = , A(5;1;6) a) d : S: (P ) : 2x + y z + 1= x y+ z = = , A(1;4;2) b) d : S: (P ) : 5x + 13y 4z + 21= 1 Cõu 26 Trong khụng gian to Oxyz, cho hai im M(0; 1;2) v N(1;1;3) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua M, N cho khong cỏch t im K(0;0;2) n mt phng (P) l ln nht PT (P) cú dng: Ax + B(y + 1) + C(z 2) = Ax + By + Cz + B 2C = ( A2 + B2 + C 0) N(1;1;3) (P ) A + B + 3C + B 2C = A = 2B + C (P ) :(2B + C )x + By + Cz + B 2C = 0; d(K ,(P )) = Nu B = thỡ d(K, (P)) = (loi) Nu B thỡ d(K ,(P )) = B = B 2 4B + 2C + 4BC 2 C + 1ữ + B Du = xy B = C Chn C = Khi ú PT (P): x + y z + = 4B2 + 2C + 4BC Dng 4: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n gúc Cõu 27 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng () cha ng thng (): x1 y z = = v to vi mt phng (P) : 2x 2y z + 1= mt gúc 600 Tỡm ta giao 1 Trang Hc vin hun luyn STA im M ca mt phng () vi trc Oz r r () qua im A(1;0;0) v cú VTCP u = (1; 1; 2) (P) cú VTPT n = (2; 2; 1) uuuur u u u r ur r Giao im M (0;0; m) cho AM = (1;0; m) () cú VTPT n = AM ,u = (m; m 2;1) () v (P): 2x 2y z + 1= to thnh gúc 600 nờn : 1 r r cos( n, n ) = = 2m2 4m+ 1= m= hay m= + 2 2m2 4m+ Kt lun : M(0;0;2 2) hay M(0;0;2 + 2) Cõu 28 Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua giao tuyn d ca hai mt phng (a ) : 2x y 1= , ( ) : 2x z = v to vi mt phng (Q) : x 2y + 2z 1= mt gúc m cos = 2 Ly A(0;1;0), B(1;3;2) d (P) qua A PT (P) cú dng: Ax + By + Cz B = (P) qua B nờn: A + 3B + 2C B = A = (2B + 2C ) (P ) : (2B + 2C )x + By + Cz B = cos = 2B 2C 2B + 2C (2B + 2C )2 + B2 + C = 2 13B2 + 8BC 5C = 13 + Vi B = C = (P ) : 4x + y + z 1= + Vi B = , C = (P ) : 23x + 5y + 13z = 13 Chn C = B = 1; B = Cõu 29 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(1;2; 3), B(2; 1; 6) v mt phng (P ) : x + 2y + z = Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha AB v to vi mt phng (P) mt gúc tho cos = PT mt phng (Q) cú dng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) a + 2b 3c + d = A (Q) 2a b 6c + d = B (Q) a = 4b,c = 3b, d = 15b Ta cú: a + 2b + c a = b,c = 0, d = b cos = = a2 + b2 + c2 1+ + Phng trỡnh mp(Q): 4x y + 3z + 15 = hoc (Q): x y = Cõu hi tng t: a) A(0;0;1), B(1;1;0) , (P ) (Oxy),cos = S: (Q): 2x y + z 1= hoc (Q): x 2y z + 1= x + y + z = Vit 2x + y + z = phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng d v to vi mt phng (Oxy) mt gúc = 600 Cõu 30 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d : S: (P ) : 2x + y + z = hoc (P ) : 2x y z + = Trang PP to khụng gian Cõu 31 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai mt phng (P ) : 5x 2y + 5z 1= v (Q) : x 4y 8z + 12 = Lp phng trỡnh mt phng (R) i qua im M trung vi gc ta O, vuụng gúc vi mt phng (P) v to vi mt phng (Q) mt gúc a = 450 Gi s PT mt phng (R): ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) Ta cú: (R) (P ) 5a 2b + 5c = (1); ã R),(Q)) = cos450 cos(( a 4b 8c = (2) a2 + b2 + c2 a = c 2 T (1) v (2) 7a + 6ac c = c = 7a Vi a = c : chn a = 1, b = 0,c = PT mt phng (R) : x z = Vi c = 7a : chn a = 1, b = 20,c = PT mt phng (R) : x + 20y + 7z = Cõu hi tng t: a) Vi (P ) : x y 2z = 0,(Q) (Oyz), M (2; 3;1),a = 450 S: (R) : x + y + 1= hoc (R) : 5x 3y + 4z 23 = Cõu 32 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng cú phng trỡnh: x y + z x y z = = = Vit phng trỡnh mt phng (P) cha v v : = 1 to vi mt gúc a = 300 : ỏp s: (P): 5x + 11y + 2z + = hoc (P): 2x y z = Cõu hi tng t: x y z x y z+ a) Vi : = , a = 300 = , : = = 1 1 S: (P): x 2y 2z + = hoc (P): x + 2y + z = x y z+ x y z+ = = = b) : , : = , a = 300 1 1 S: (P): (18+ 114)x + 21y + (15+ 114)z (3 114) = hoc (P): (18 114)x + 21y + (15 114)z (3+ 114) = Cõu 33 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im M(1;2;3) v to vi cỏc trc Ox, Oy cỏc gúc tng ng l 450, 300 r r r Gi n = (a; b;c) l VTPT ca (P) Cỏc VTCP ca trc Ox, Oy l i = (1;0;0), j = (0;1;0) sin(Ox,(P )) = a = b Ta cú: c = b sin(Oy,(P )) = PT mt phng (P): 2(x 1) + (y 2) (z 3) = hoc 2(x 1) + (y 2) (z 3) = Cõu 34 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (Q): x + 2y z + = v ng x + y + z = = Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng d v to 1 vi mt phng (Q) mt gúc nh nht thng d : Trang 10 Hc vin hun luyn STA Tam giỏc ABM u, nhn MH lm ng cao nờn: MA = MB = AB = 2MH = x y z = 1= Do ú, to ca A, B l nghim ca h: (x 2)2 + (y 1)2 + (z 2)2 = 2 2 Gii h ny ta tỡm c: A + ; ;3+ ; ;3 ữ, B ữ 3 3 Cõu hi tng t: x = t 5+ 76 10 + 76 76 76 M(1 ;0; ) d : a) Vi , y = 2t S: A ; ;1ữ, B ; ;1ữ 15 15 15 15 z = 76 10 76 1+ 76 + 76 hoc A ; ;1ữ, B ; ;1ữ 15 15 15 15 x = t Cõu 160 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im A(0; 1; 3) v ng thng d: y = + 2t z = Tỡm trờn d hai im B, C cho tam giỏc ABC u r d cú VTCP ud = (1;2;0) Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn d uuuu r Gi s H ( t; + 2t;3) AH = ( t;1+ 2t;0) uuur r M AH d nờn AH ud 1( t) + 2( 1+ 2t) = t = H ; ;3ữ 5 2AH 15 AH = M ABC u nờn BC = hay BH = = 5 15 Gi s B(1 s;2 + 2s;3) thỡ sữ + + 2sữ = 15 25 25s2 + 10s = s = 8+ + Vy: B ; ;3ữv C ; ;3ữ 5 + 8+ hoc B ; ;3ữ v C ; ;3ữ 5 Cõu 161 Trong khụng gian vi h to Oxyz, tỡm trờn Ox im A cỏch u ng thng (d) : x y z + = = v mt phng (P) : 2x y 2z = 2 Gi A(a; 0; 0) Ox d(A; (P )) = 2a 22 + 12 + 22 = 2a ; d(A; d) = 8a 24a + 36 3 8a2 24a + 36 4a2 24a + 36 = 3 4(a 3)2 = a = Vy cú mt im A(3; 0; 0) d(A; (P)) = d(A; d) 2a = Trang 53 PP to khụng gian Cõu 162 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P): x 2y + 2z 1= v hai x + y z+ x y z+ ; : Xỏc nh ta im M = = = = 1 2 thuc ng thng cho khong cỏch t M n ng thng v khong cỏch t M n mt phng (P) bng r M (1 + t; t; + 6t) 1; qua A (1; 3; 1) cú vộct ch phng a = (2; 1; 2) uuur r uuur AM = (t 2; t 3; 6t 8) AM; a = (14 8t; 14t 20; t) ng thng : Ta cú : d (M, 2) = d (M, (P)) 261t2 792t + 612 = 11t 20 35t2 88t + 53 = t = hay t = 53 Vy M (0; 1; 3) hay M 35 Cõu hi tng t: a) Vi (P): 2x + y + 2z 1= , : 18 53 ; ; ữ 35 35 35 x y z x y z = = = = , : 1 1 S: M(2;4;1) , M(1;1;4) Cõu 163 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng : x y z+ = = v 1 x + y z = = ng vuụng gúc chung ca v ct ti A, ct ti B Tỡnh din tớch OAB r r cú VTCP u1 = (2; 1;1) , cú VTCP u2 = (1;7; 1) : Gi s A(1+ 2t1; t1; + t1) , B(1+ t2;1+ 7t2;3 t2) uuu rr r uuu r AB.u t = A(1;0; 2) =0 uuu r r1 Ta cú: uuu SOAB = OA,OB = t = B ( ;1 ;3) 2 AB.u2 = Cõu 164 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x 2y + 2z = v cỏc ng thng d1 : x1 = y 3 = z ; d2 : x = y = z+ 5 Tỡm cỏc im M d1, N d2 cho MN // (P) v cỏch (P) mt khong bng x = 1+ 2t PTTS ca d1 l: y = 3t M d1 nờn ta ca M ( 1+ 2t;3 3t;2t) z = 2t 1+ 2t 2(3 3t) + 4t 12t t = = = Theo : d(M;(P )) = t = 12 + (2)2 + 22 + Vi t = ta c M1 ( 3;0;2) ; + Vi t = ta c M2 ( 1;3;0) ng vi M1, im N1 d2 cn tỡm phi l giao ca d vi mp qua M1 v // (P), gi mp ny (1) l (Q1) PT (Q1) l: (x 3) 2y + 2(z 2) = x 2y + 2z = x = 5+ 6t PTTS ca d2 l: y = 4t (2) z = 5t Thay (2) vo (1), ta c: t = im N1 cn tỡm l N1(1;4;0) ng vi M2, tng t tỡm c N2(5;0;5) Trang 54 Hc vin hun luyn STA Cõu 165 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): 2x y + 2z = v cỏc x1 y z x y z+ = = = = ng thng d1 : , d2 : Tỡm cỏc im A d1, B d2 2 cho AB // (P) v AB cỏch (P) mt khong bng Gi s: A(2t1 + 1,t1 + 3, 2t1) d1 , B(3t2 + 5,4t2,2t2 5) d2 uuu r AB = (3t2 2t1 + 4,4t2 t1 3,2t2 + 2t1 5) uuu rr AB.nP = 2(3t2 2t1 + 4) 4t2 + t1 + 3+ 2(2t2 + 2t1 5) = 6t2 + t1 + 1= AB P (P ) d( AB,(P )) = d(A,(P )) = Vi t1 = t2 = Vi t1 = t2 = 4t1 + t1 4t1 = t1 + t1 = =1 t1 = 11 A(9; 2;10), B 7; ; ữ 3 17 A(3;4; 2), B 4; ; ữ 3 Cõu 166 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ba im A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1) Tỡm ta im D thuc ng thng AB cho di on thng CD nh nht x = t uuu r Ta cú AB = (1; 4; 3) Phng trỡnh ng thng AB: y = 4t z = 3t uuur Gi D(1 a;5 4a;4 3a) AB DC = (a;4a 3;3a 3) uuu r uuur di on CD ngn nht D l hỡnh chiu vuụng gúc ca C trờn cnh AB AB DC a 16a + 12 9a + = a = 46 41 21 Vy: D ; ; ữ 26 26 26 26 Cõu 167 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng d1 : x + y z = = v 1 x y z = = Tỡm cỏc im M thuc d1, N thuc d2 cho ng thng MN song song 1 vi mt phng (P): x y + z + 2012 = v di on MN bng uuuu rr MN P (P ) MN.nP = Ly M d1, N d2 Ta cú M (0;0;0), N ; ; ữ 7 MN = MN = d2 : x y+ z = = v cỏc 1 im A(1;0;0), B(0;1;1),C(0;0;2) Tỡm im M thuc d cho gúc gia hai mt phng (MAB) v (CAB) bng a = 300 S: M(0; 2;1) Cõu 168 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng d : Cõu 169 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng cú phng trỡnh: Trang 55 PP to khụng gian x = 1+ t x y z (1) : y = t v (2) : = = Xỏc nh im A trờn v im B trờn z = cho on AB cú di nh nht uuu r Gi s A(t+1; t 1; 2) 1, B( t'+3; 2t' +1; t') AB = (t' t + 2;2t'+ t + 2; t' 2) Vỡ on AB cú di nh nht AB l on vuụng gúc chung ca (1) v (2) uuu r r uuu rr u AB u AB r r1 uuu r.u r1 = 2t + 3t' = t = t ' = A( 1; 1; 2), B(3; 1; 0) uu AB u2 AB.u2 = 3t + 6t' = Cõu 170 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1; 1; 2), B(3; 4; 2) v ng x = + 4t d : thng y = 6t Tỡm im I trờn ng thng d cho IA + IB t giỏ tr nh nht z = 8t uuu r AB = (2; 3; 4) AB // d Gi A1 l im i xng ca A qua d Ta cú: IA + IB = IA1 + IB A1B Do ú IA + IB t giỏ tr nh nht bng A1B Khi ú A1, I, B thng hng I l giao im ca A1B v d Vỡ AB // d nờn I l trung im ca A1B 36 33 15 Gi H l hỡnh chiu ca A lờn d Tỡm c H ; ; ữ A i xng vi A qua H nờn A 29 29 29 43 95 28 65 21 43 ; ; ; ữ I l trung im ca AB suy I ; ữ 29 29 29 29 58 29 Cõu hi tng t: x y z+ = = a) Vi A(1; 1;2), B(3; 4; 2) , d : S: x y z = = b) Vi A(1;2;1), B(7;2;3) , d : S: 2 64 45 I ; ; ữ 29 29 29 I (2;0;4) Cõu 171 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) v ng x + y z = = Tỡm to im M trờn cho MAB cú din tớch nh nht 2 x = 1+ 2t PTTS ca : y = t Gi M (1+ 2t;1 t;2t) z = 2t r uuur uuu Din tớch MAB l S = AM , AB = 18t2 36t + 216 = 18(t 1)2 + 198 198 Vy Min S = 198 t = hay M(1; 0; 2) Cõu hi tng t: x y+ z 3 = = a) Vi A(0;1;0), B(2;2;2) , : S: M(3;0; 1) , minS = 2 x y z+ 34 = b) Vi A(2; 1;1), B(0;1; 2), : = S: M (5;8; 11),minS = 1 2 x y z = = c) Vi A(0;1; 2), B(2; 1;1), : S: M (2;5; 5),minS = 22 1 x + y z 1= d) Vi A(2; 1;1), B(1; 1;0), : S: M ; ; 2x y 1= thng : Trang 56 Hc vin hun luyn STA e) Vi A(1;4;2), B(1;2;4), : x y z = = 1 12 38 S: M ; ; ữ 7 Cõu 172 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ba im A(5;8; 11) , B(3;5; 4) , C(2;1; 6) x y z = = v ng thng d : Xỏc nh to im M thuc ng thng d 1 uuur uuur uuur cho MA MB MC t giỏ tr nh nht uuur uuur uuur Gi s M (2t + 1;2t + 2;t + 1) d MA MB MC = (2t 1; 2t 4; t) uuur uuur uuur MA MB MC = 10 53 53 (2t + 1)2 + (2t + 4)2 + t2 = t + ữ + 9 11 10 Du "=" xy t = M ; ; 9 Cõu 173 Trong khụng gian vi h trc to Oxyz, cho (P ) : x + 2y z + = im A( 2; 3; 4) x+ = y + 1= z Gi l ng thng nm trờn (P) i qua giao im ca (d) v (P) ng thi vuụng gúc vi d Tỡm trờn im M cho khong cỏch AM ngn nht x = 2t PTTS ca d: y = t Gi I l giao im ca (d) v (P) I (1;0;4) z = t + r r r r (d) cú VTCP l a = (2;1;1) , (P) cú VTPT l n = (1;2; 1) [ a, n] = (3;3;3) v ng thng (d) : x = u r r Gi u l vect ch phng ca u = (1;1;1) : y = u z = + u uuur Vỡ M M (1 u; u;4 + u) , AM = (1 u;u 3;u) uuur r AM ngn nht AM AM u = 1(1 u) + 1(u 3) + 1.u = u = 16 Vy M ; ; ữ 3 Cõu 174 Trong khụng gian Oxyz, cho hai im A(1; 1; 2), B(2; 2; 1) v mt phng (P) cú phng trỡnh x + 3y z + = Vit phng trỡnh mt phng (Q) l mt phng trung trc ca on AB Gi l giao tuyn ca (P) v (Q) Tỡm im M thuc cho di on thng OM l nh nht r 3 uuu Gi I l trung im ca AB I ; ; ữ; AB = (1; 1; 1) 2 PT (Q): x + y + z + = l giao tuyn ca (P) v (Q) PTTS ca : x = + 2t; y = t; z = t 4 15 25 Gi s M + 2t; t; t ữ ; OM = 6t2 t + 4 Trang 57 PP to khụng gian OM nh nht t = 5 M ; ; 8 Cõu 175 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng (d 1): x y z+ , (d2): = = 1 x y+ z = = Mt ng thng () i qua im A(1; 2; 3), ct ng thng (d 1) ti im B v ct ng thng (d2) ti im C Chng minh rng im B l trung im ca on thng AC uuu r uuur Ly B (d1), C (d2) T : AB = kAC k = B l trung im ca on thng AC Ta cú th tớnh c B(2; 1; 1), C(3; 4; 1) Cõu 176 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im E(2;1;5), F (4; 3; 9) Gi l giao tuyn ca hai mt phng (P ): 2x + y z + = v (Q) : x y + 2z = Tỡm im I thuc cho: IE IF ln nht x = 1+ t x = + t PTTS ca : y = 5t PTTS ca EF: y = 1+ t z = 3t z = 5+ 2t 1+ t = + t t = Xột h: 5t = 1+ t EF ct ti A(1;0;3) t = 3t = 5+ 2t Trong mp( ,EF) mi im I ta cú IE IF EF (hiu cnh tam giỏc nh hn cnh th 3) Du "=" xy I, E, F thng hng, t ú suy I trựng A Vy im I(1;0;3) Cõu 177 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d : A(0;0;3) , B(0;3;3) Tỡm im M d cho: a) MA + MB nh nht Xột hm s f (t) = (t 1)2 + + (t 2)2 + f (t) = f (t) = uuur uuur c) MA 3MB nh nht b) MA2 + 2MB2 nh nht x = t a) PTTS ca d: y = t Gi M (t;t;t) d Ta cú: P = z = t t1 (t 1)2 + = t (t 2)2 + ( (t 1)2 + + (t 2)2 + t1 (t 1)2 + t1 (t 1)2 + x y z = = v hai im 1 = + ) t (t 2)2 + (t 2) [ (t 2)] + (*) u ữ g(u) = u2 + u = >0 Ta cú ữ u2 + 2 u2 + u + (u + 2) nờn hm s g ng bin trờn Ă Do ú t (*), ta cú g(t 1) = g[ (t 2)] t 1= t + t = Xột hm s g(u) = u Trang 58 Hc vin hun luyn STA Da vo BBT ca hm s f ta suy f (t) = f ữ = Vy min(MA + MB) = 3 t c ti t = 3 3 , tc l M ; ; ữ 2 b) Tng t cõu 1), ta tớnh c Q = MA2 + 2MB2 = 9t2 30t + 45 = (3t 5)2 + 20 5 5 minQ = 20 t = , tc M ; ; ữ 2 uuur uuur c) Theo cõu 1) , ta cú MA = (t; t;3 t) , MB = (t;3 t;3 t) uuur uuur uuur uuur Suy MA 2MB = (t; t 6;t 3) MA 2MB = 3t2 18t + 45 = 3(t 3)2 + 18 uuur uuur Vy MA 2MB = t = 3, tc M(3;3;3) Dng 3: Xỏc nh im thuc mt cu Cõu 178 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt cu (S): x2 + y2 + z2 + 4x 6y + m= v ng thng (d) l giao tuyn ca mt phng (P): 2x 2y z + 1= , (Q): x + 2y 2z = v Tỡm m (S) ct (d) ti im M, N cho di MN = Trang 59 PP to khụng gian (S) tõm I(2;3;0), bỏn kớnh R= 13 m = IM (m< 13) Gi H l trung im ca MN MH= IH = d(I; d) = m r uur r u; AI (d) qua A(0;1;-1), VTCP u = (2;1;2) d(I; d) = = r u Vy : m =3 m = 12 Cõu 179 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x + y z + = v mt cu (S): x2 + y2 + z2 6x 8y 2z + 23 = Tỡm trờn (S) im M cho khong cỏch t M n mt phng (P) l ln nht Khi ú hóy vit phng trỡnh mt cu (T) cú tõm M v ct (P) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh bng Mt cu (S) cú tõm I (3;4;1) , bỏn kớnh R = x = 3+ t Gi d l ng thng qua I vuụng gúc vi (P) PTTS ca d: y = + t z = t Khi ú M l giao im ca d vi (S) Ta im M l nghim ca h: x = 3+ t t = t = y = + t x = x = M1(4;5;0), M2(2;3;2) z = t 2 y = y = x + y + z 6x 8y 2z + 23 = z = z = Ta thy d(M1,(P )) = > d(M2,(P )) = Vy M(4;5;0) l im cn tỡm Mt cu (T) cú R ' = MH + HE = (4 3)2 + 42 = (T ) :(x 4)2 + (y 5)2 + z2 = 64 Cõu 180 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt cu (S) v mt phng (P) cú phng trỡnh l (S) : x2 + y2 + z2 4x + 2y 6z + = 0, (P ) : 2x + 2y z + 16 = im M di ng trờn (S) v im N di ng trờn (P) Tớnh di ngn nht ca on thng MN Xỏc nh v trớ ca M, N tng ng Mt cu (S) tõm I(2;1;3) v cú bỏn kớnh R = ( ) Khong cỏch t I n mt phng (P): d = d I ,( P ) = 2.2 + 2.(1) 3+ 16 = d > R Do ú (P) v (S) khụng cú im chung Do vy, MN = d R = = Trong trng hp ny, M v trớ M0 v N v trớ N0 D thy N0 l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn mt phng (P) v M0 l giao im ca on thng IN0 vi mt cu (S) Gi l ng thng i qua I v vuụng gúc vi (P), thỡ N0 l giao im ca v (P) x = + 2t r ng thng cú VTCP l nP = ( 2;2; 1) v qua I nờn cú phng trỡnh l y = 1+ 2t z = t Ta ca N0 ng vi t nghim ỳng phng trỡnh: 2(2 + 2t) + 2(1+ 2t) (3 t) + 16 = 9t + 15 = t = uuuu r uuur 13 14 Suy N0 ; ; ữ Ta cú IM0 = IN0 Suy M0(0;3;4) 3 Cõu hi tng t: a) (S) : x2 + y2 + z2 4x 4y + 2z = 0; (P ) : 2x + y 2z + = Trang 60 15 = Hc vin hun luyn STA ; ; ữ 3 S: M(2 2;2 2; 1+ 2) , N Cõu 181 Trong khụng gian ta Oxyz , cho im A(0;1;1), B(1;0; 3),C(1; 2; 3) v mt cu (S) cú phng trỡnh: x2 + y2 + z2 2x + 2z = Tỡm ta im D trờn mt cu (S) cho t din ABCD cú th tớch ln nht (S) cú tõm I(1; 0; 1), bỏn kớnh R = PT mp(ABC): 2x 2y + z + 1= Ta cú VABCD = d(D;(ABC )).SABC nờn VABCD ln nht d(D;( ABC )) ln nht Gi D1D2 l ng kớnh ca (S) vuụng gúc vi mp(ABC) Ta thy vi D l im bt k thuc (S) thỡ d(D;( ABC )) max{ d(D1;( ABC )); d(D2;( ABC ))} Du = xy D trựng vi D1 hoc D2 r D1D2 i qua I(1;0;1), v cú VTCP l nABC = (2; 2;1) D1D2 : { x = 1+ 2t; y = 2t; z = 1+ t x = 1+ 2t t= y = t Ta D1 v D2 tha: t = z = 1+ t (x 1)2 + y2 + (z + 1)2 = D1 ; ; ữ; D2 ; ; ữ 3 3 Ta thy: d(D1;( ABC )) > d(D2;(ABC )) Vy im D ; ; ữ l im cn tỡm 3 Dng 4: Xỏc nh im khụng gian Cõu 182 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (): 3x + 2y z + = v hai im A(4;0;0) , B(0;4;0) Gi I l trung im ca on thng AB Xỏc nh ta im K cho KI vuụng gúc vi mt phng (), ng thi K cỏch u gc ta O v () x y z I(2;2;0) PT ng thng KI: = = Trang 61 PP to khụng gian Gi H l hỡnh chiu ca I trờn (): H(1;0;1) Gi s K(xo;yo;zo) x0 y0 z0 = = 1 3 Ta cú: KH = KO K ; ; ữ 4 (x + 1)2 + y + (z 1)2 = x + y + z 0 0 0 Cõu 183 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im A(2;4;1), B(1;4;1), C(2;4;3), D(2;2;1) Tỡm ta im M MA2 + MB2 + MC + MD2 t giỏ tr nh nht 14 Gi G l trng tõm ca ABCD ta cú: G ; ;0ữ 3 2 2 Ta cú: MA + MB + MC + MD = 4MG2 + GA2 + GB2 + GC + GD2 14 GA2 + GB2 + GC + GD2 Du bng xy M G ; ;0ữ 3 Cõu 184 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x + y + z + = v im A(0; 1; 2) Tỡm to im A i xng vi A qua mt phng (P) r (P) cú VTPT n = (1;1;1) Gi s A (x; y; z) x y + z+ Gi I l trung im ca AA I ; ; ữ 2 x y z uuur x = r AA , ncuứ = = n g phửụng A i xng vi A qua (P) y = I (P) z = x + y + 1+ z+ + = 2 Vy: A (4; 3; 2) Cõu 185 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) v mt phng ( ) : x + 2y + = Tỡm to ca im M bit rng M cỏch u cỏc im A, B, C v mt phng ( ) Gi s M (x0; y0; z0) (x 1)2 + y2 + z2 = x2 + (y 1)2 + z2 (1) 0 0 20 MA = MB 2 2 x0 + (y0 1) + z0 = x0 + (y0 3) + (z0 2) (2) Ta cú: MB = MC MA = d(M ,(a )) 2 (x0 + 2y0 + 2) ( x ) + y + z = (3) 0 x0 = 1, y0 = 1, z0 = 23 23 14 23 23 14 M(1; 1; 2) hoc M ; ; x0 = , y = , z0 = 3 3 Cõu 186 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC, bit A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) Tỡm to nh S bit th tớch chúp S.ABC bng 36 Phng trỡnh ( ABC ) : x + y + z = ABC cú trng tõm G(1;1;1) v AB= BC= CA= SABC = Do hỡnh chúp S.ABC u nờn ng thng SG qua G v vuụng gúc vi (ABC) Trang 62 Hc vin hun luyn STA x = 1+ t Phng trỡnh SG : y = 1+ t Gi s S(1+ t;1+ t;1+ t) z = 1+ t Ta cú : VS.ABC=36= SG SABC t = 8, t = Vy: S(9;9;9) hoc S(7; 7; 7) Dng 5: Xỏc nh im a giỏc Cõu 187 Trong khụng gian vi h trc to Oxyz, cho ba im A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tỡm to trc tõm ca tam giỏc ABC Lp phng trỡnh mp(ABC); (P) qua A v (P) BC; (Q) qua B v (Q) AC 36 18 12 Gii h gm ba phng trỡnh ba mt phng trờn ta c trc tõm H ; ; ữ 49 49 49 Cõu hi tng t: a) Vi A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2) S: Cõu 188 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(1;3;5) , B(4;3;2) , C(0;2;1) Tỡm ta tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Ta cú: AB = BC = CA = ABC u Do ú tõm I ca ng trũn ngoi tip 8 ABC cng l trng tõm ca nú Kt lun: I ; ; ữ 3 Cõu 189 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(1; 0; 1), B(1; 2; 1), C(1; 2; 3) Tỡm ta tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC uuu r uuur Ta cú: AB = (2; 2; 2), AC = (0; 2;2) Suy phng trỡnh mt phng trung trc ca AB, x + y z 1= 0, y + z = AC l: uuu r uuur r VTPT ca mp(ABC) l n = AB, AC = (8; 4;4) Suy (ABC): 2x y + z + 1= x + y z 1= x = Gii h: y + z = y = Suy tõm ng trũn l I (0; 2;1) 2x y + z + 1= z = Bỏn kớnh l R = IA = (1 0)2 + (0 2)2 + (1 1)2 = Cõu 190 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho ba im A(2;3;1) , B(1;2;0) , C(1;1; 2) Tỡm ta trc tõm H v tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC H (x; y; z) l trc tõm ca ABC BH AC,CH AB, H (ABC ) uuur uuur BH AC = r uuur uuu 29 29 CH AB = x = ; y = ; z = H ; ; ữ uuu r uuur uuur 15 15 15 15 AB, AC AH = I (x; y; z) l tõm ng trũn ngoi tip ABC AI = BI = CI , I ( ABC ) Trang 63 PP to khụng gian AI = BI 14 61 14 61 CIuu2u = BI x = ; y = ; z = I ; ; ữ r uuur uur 15 30 15 30 AB, AC AI = Cõu 191 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A(1;0;1), B(1;2; 1),C(1;2;3) v I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Lp phng trỡnh mt cu (S) cú tõm I v tip xỳc vi mt phng (Oxz) Phng trỡnh ( ABC ) : 2x y + z + 1= Gi I (x; y; z) I ( ABC ) 2x y + z + 1= (2) IA = IB = IC x + y z 1= 0, y + z = (1) ; T (1) (2) I (0; 2;1) Bỏn kớnh mt cu l R = d(I ,(Oxz)) = (S): x2 + (y 2)2 + (z 1)2 = Cõu 192 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho tam giỏc ABC cú A(3;1;0) , B nm trờn mt phng (Oxy) v C nm trờn trc Oz Tỡm to cỏc im B, C cho im H(2;1;1) l trc tõm ca tam giỏc ABC Gi s B(x; y;0) (Oxy),C(0;0; z) Oz uuur uuu r uuur uuu r AH BC = AH BC r r uuur uuu uuur uuu H l trc tõm ca ABC CH AB CH AB uuu uuu r uuur uuur r uuur= 0uuur AB, AC, AH ủo ng phaỳ ng AB, AH AC = 177 17 + 177 3+ 177 x+ z = ;y = ;z = x = 4 2x + y = + 177 17 177 177 3x 3y + yz z = ;y = ;z = x = 4 B 177 ; 17 + 177 ;0ữ,C 0;0; 3+ 177 ữ 3+ 177 17 177 177 hoc B ; ;0ữ,C 0;0; ữ Cõu 193 Trong khụng gian Oxyz, cho im A(3; 2; 3) v hai ng thng cú phng trỡnh x y z x y z = = = = v d2 : Chng minh ng thng d1, d2 v 1 2 im A cung nm mt mt phng Xỏc nh to cỏc nh B v C ca tam giỏc ABC bit d1 cha ng cao BH v d2 cha ng trung tuyn CM ca tam giỏc ABC r r d1 qua M1(2; 3; 3), cú VTCP a = (1;1; 2) ; d2 qua M2(1; 4; 3) cú VTCP b = (1; 2;1) urr r r r uuuuuur Ta cú a,b , a, b M1M2 = d1, d2 ct d1 : Phng trỡnh mt phng cha d1, d2 : x + y + z = A mp(d1, d2) t+ t+ ; ;3 t ữ Gi s B(2 + t;3+ t;3 2t) d1 trung im ca AB l M M d2 t = M (2;2;4) B(1;2;5) uuur r Gi s C(1+ t;4 2t;3+ t) d2 AC a t = C(1;4;2) Cõu 194 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cho tam giỏc ABC cú A(3;2;3), ng cao CH, ng phõn giỏc BM ca gúc B ln lt cú phng trỡnh l Trang 64 Hc vin hun luyn STA x y z x y z = = = = , d2 : Tớnh di cỏc cnh ca tam giỏc ca 1 2 tam giỏc ABC Gi (P) l mt phng i qua A v vuụng gúc vi d1 (P): x + y 2z + 1= B l giao d1 : im ca d2 vi (P) B(1;4;3) Gi (Q) l mt phng i qua A v vuụng gúc vi d2 (Q): x 2y + z = Gi K l giao im ca d2 vi (Q) K (2;2;4) Gi E l im i xng ca A qua K E(1;2;5) x = Phng trỡnh ng thng BE l y = t C l giao im ca BE v CH C(1;2;5) z = 3+ t Ta cú AB = AC = BC = 2 Tam giỏc ABC u Cõu 195 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh thang cõn ABCD vi A( 3; 1; 2) , B ( 1;5;1) , C ( 2;3;3) , ú AB l ỏy ln, CD l ỏy nh Tỡm to im D Do ABCD l hỡnh thang cõn nờn AD = BC = Gi l ng thng qua C v song song vi AB, (S) l mt cu tõm A bỏn kớnh R = im D cn tỡm l giao im ca v (S) x = 2t uuu r AB = 2;6;3 ng thng cú vect ch phng ( ) nờn cú phng trỡnh: y = 3+ 6t z = 3+ 3t Phng trỡnh mt cu (S) :(x 3)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = To im D tho H PT: x = 2t t = y = 3+ 6t 49 t + 82 t + 33 = 33 z = 3+ 3t t = 2 49 ( x 3) + ( y + 1) + ( z + 2) = Vi t = 1, thỡ D(4; 3; 0) : khụng tho vỡ AB = CD = 164 51 48 33 ; ; ữ (nhn) Vi t = D 49 49 49 49 Cõu 196 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh thoi ABCD vi A(1;2;1) , B(2;3;2) Tỡm ta cỏc nh C, D v vit phng trỡnh mt phng cha hỡnh thoi ú bit rng tõm I x + y z = = ca hỡnh thoi thuc ng thng d : v im D cú honh õm 1 uu r uur Gi I (1 t; t;2 + t) d Ta cú IA = (t;2 + t; t), IB = (3+ t;3+ t; t) uu r uur Do ABCD l hỡnh thoi nờn IA.IB = 3t2 + 9t + = t = 1, t = Vỡ C i xng vi A qua I v D i xng vi B qua I nờn: + Vi t = I (0;1;1) C(1;0;1), D(2; 1;0) + Vi t = I (1;2;0) C(3;2; 1), D(0;1; 2) Do D cú honh õm nờn ta chn c nghim C(1;0;1), D(2; 1;0) r + Gi (P) l mt phng cha hỡnh thoi ABCD, gi s (P) cú VTPT n Trang 65 PP to khụng gian r r uu r uur n IA = (1;1;0) r uu Ta cú r uur cú th chn n = IA, IB = (1;1; 4) n IB = (2;2;1) Suy phng trỡnh mt phng (P ) : x + y 4z + = Cõu 197 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng, A(1;0;0) , C(1;2;0) , D(1;0;0) , S(0;0; 3) Gi M, N ln lt l trung im ca on SB v CD Chng minh rng hai ng thng AM v BN vuụng gúc vi v xỏc nh ta tõm ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ONB uuu r uuur AB = DC B(1; 2; 0) M l trung im SB, N l trung im CD M ;1; ữ, N(1; 1; 0) AM BN Vỡ ONB nm mp(Oxy) nờn tõm I ca ng 2 ữ trũn ngoi tip ONB thuc mp(Oxy) IO = IN Gi I (x; y;0) Ta cú: I ; ;0ữ IO = IB 6 Cõu 198 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh vuụng MNPQ cú M(5;3; 1) , P(2;3; 4) Tỡm to nh (R) : x + y z = Q bit rng nh N nm mt phng uuur Gi I l tõm hỡnh vuụng I ;3; ữ Gi N(a; b;c) (R) MP = (3;0; 3) 2 uur IN = a ; b 3; c + ữ; MP = IN = 2 a + b c = u Nur (R ) uuur IN MP a ữ c + ữ =0 a = 2, b = 3,c = Ta cú: 2 a = 3, b = 1,c = IN = a ữ + (b 3) + c + ữ = 2 2 Nu N(2;3 1) thỡ Q(5;3; 4) Nu N(3;1; 2) thỡ Q(4;5; 3) Cõu 199 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh vuụng ABCD, bit B(3;0;8) , D(5; 4;0) v nh A thuc mt phng (Oxy) Tỡm ta im C Ta cú trung im BD l I(1;2; 4), BD = 12 v im A thuc mp(Oxy) nờn A(a; b; 0) AB2 = AD2 2 2 (a 3) + b + = (a + 5) + (b + 4) ABCD l hỡnh vuụng 2 2 (a + 1) + (b + 2) + = 36 AI = BD ữ 17 a = b = 2a 17 14 a = ;0ữ hoc A(1; 2; 0) hoc A ; 2 b = 5 (a + 1) + (6 2a) = 20 b = 14 17 14 27 ;0ữ C ; ;8ữ Vi A(1; 2; 0) C(3;6; 8) Vi A ; 5 5 Cõu 200 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh vuụng ABCD, bit A(1;2;0),C(2;3; 4) Trang 66 Hc vin hun luyn STA v nh B nm trờn mt phng (Q): x + 2y + z = Tỡm to ca nh D, bit to ca B l nhng s nguyờn AC = AB = Gi B(x; y; z) x + 2y + z = (1) B (Q) 2 2 2 Ta cú: AB = CB (x 1) + (y 2) + z = (x 2) + (y 3) + (x + 4) (2) AB = (x 1)2 + (y 2)2 + z2 = (3) x = ; y = ; z = B(1;1;2) Vy D(4;4; 6) Trang 67 ... (Oxy) mt gúc = 600 Cõu 30 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d : S: (P ) : 2x + y + z = hoc (P ) : 2x y z + = Trang PP to khụng gian Cõu 31 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho... t = x y z+ M(3;6; 3) PT ng thng d : = = Cõu 56 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng : Trang 17 PP to khụng gian Cõu 57 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1; 5; 0), B(3; 3;... (P): ax + by + z a + 2b = sin = 5a2 + 5b2 2ab TH1: Nu b = thỡ a = 00 Trang 11 PP to khụng gian TH2: Nu b thỡ Xột hm s f (x) = sin = a 2 a a t x = b v f (x) = sin a ữ + b b Da vo BBT,
- Xem thêm -

Xem thêm: hoctoancapba com 200 bai toan toa do trong khong gian co loi giai TRAN SI TUNG , hoctoancapba com 200 bai toan toa do trong khong gian co loi giai TRAN SI TUNG , hoctoancapba com 200 bai toan toa do trong khong gian co loi giai TRAN SI TUNG

Mục lục

Xem thêm

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Từ khóa liên quan

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay
Nạp tiền Tải lên
Đăng ký
Đăng nhập