Bi OXYZ TKG 01: VIT PHNG TRèNH MT PHNG Dng 1: Vit phng trỡnh mt phng bng cỏch xỏc nh vect phỏp tuyn Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(2;4;1), B(1;1;3) v mt phng (P): x 3y + 2z = Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua hai im A, B v vuụng gúc vi mt phng (P) r r r r uuu n = nP , AB = (0; 8; 12) (Q) i qua A, B v vuụng gúc vi (P) (Q) cú VTPT (Q): 2y + 3z 11 = Cõu hi tng t: (P ) : x + y + 3z + = (Q): x 2y + z = A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), S: a) Vi Trong khụng gian vi h ta Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua hai im x = 1+ t d : y = 2t A(2;1;3), B(1; 2;1) z = 2t v song song vi ng thng uur r BA = (1;3;2) u = (1;2; 2) Ta cú , d cú VTCP uur r n BA r r r uur r r n u n = BA,u = (10;4; 1) n Gi l VTPT ca (P) chn 10x 4y + z 19 = Phng trỡnh ca (P): Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng (d1); x y + z x y z = = (d2): = = , (d1) v (d2) cú phng trỡnh: Lp phng trỡnh mt phng (P) cha (d (d2) ) v Chng t (d1) // (d2) (P): x + y 5z +10 = Trong khụng gian vi h to Oxyz, 2 cho mt cu (S) cú phng trỡnh: x + y + z 2x + 6y 4z = Vit phng trỡnh mt phng (P) song song vi giỏ ca vộc t r v = (1;6;2) ( ) : x + 4y + z 11 = v tip xỳc vi (S) r ( ) n = (1;4;1) (S) cú tõm I(1; 3; 2) v bỏn kớnh R = VTPT ca l r r r nP = [ n,v] = (2; 1;2) 2x y + 2z + m= VTPT ca (P) l: PT ca (P) cú dng: m= 21 d(I ,(P )) = m= Vỡ (P) tip xỳc vi (S) nờn 2x y + 2z + = 2x y + 2z 21= Vy: (P): hoc (P): , vuụng gúc vi mt phng Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(1; 1; 1) v hai ng thng x y+ z x y z (d1) : = = (d2) : = = M , d1, d2 v Chng minh rng im cung nm trờn mt mt phng Vit phng trỡnh mt phng ú r r d1 M1(0; 1;0) u1 = (1; 2; 3) d2 M2(0;1;4) u2 = (1;2;5) qua v cú , qua v cú r uuuuuur r r uuuuuur r r u1; u2 = (4; 8;4) M1M2 = (0;2;4) u1;u2 M1M2 = d1, d2 , ng phng r d1, d2 n = (1;2; 1) Gi (P) l mt phng cha (P) cú VTPT v i qua M1 nờn cú x + 2y z + = M (1;1;1) (P ) phng trỡnh Kim tra thy im Dng 2: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n mt cu Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng d: 2 x y z = = 2 v mt cu (S): x + y + z 2x 2y 4z + = Lp phng trỡnh mt phng (P) song song vi d v trc Ox, ng thi tip xỳc vi mt cu (S) r u = (2;2;1) (S) cú tõm I(1; 1; 2), bỏn kớnh R = d cú VTCP r r r n = [ u,i ] = (0;1; 2) y 2z + D = (P) // d, Ox (P) cú VTPT PT ca (P) cú dng: D = 3+ + D =2 d(I ,(P )) = R D3 = 12 + 22 D = (P) tip xỳc vi (S) (P): y 2z + 3+ = hoc (P): y 2z + = x2 + y2 + z2 + 2x 4y = Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt cu (S): v mt M(3;1 ; 1) x + z 3= phng (P): Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua im vuụng gúc vi mt phng (P) v tip xỳc vi mt cu (S) r nP = (1;0;1) (S) cú tõm I(1; 2; 0) v bỏn kớnh R = 3; (P) cú VTPT PT (Q) i qua M cú dng: A(x 3) + B(y 1) + C(z + 1) = 0, A2 + B2 + C d(I ,(Q)) = R 4A + B + C = A2 + B2 + C (Q) tip xỳc vi (S) r r (Q) (P ) nQ.nP = A + C = C = A (*) (**) B 5A = 2A2 + B2 8B2 7A2 + 10AB = A = 2B 7A = 4B T (*), (**) 2x + y 2z = A = 2B Vi Chn B = 1, A = 2, C = PT (Q): 4x 7y 4z = 7A = 4B Vi Chn B = 7, A = 4, C = PT (Q): Cõu hi tng t: (S): x2 + y2 + z2 2x + 4y 4z + = (P ) : 2x + y 6z + = 0, M (1;1;2) a) Vi , (Q) : 2x + 2y + z = (Q) :11x 10y + 2z = S: hoc x2 + y2 + z2 2x + 4y + 2z = Trong khụng gian vi h trc Oxyz, cho mt cu (S): Vit phng trỡnh mt phng (P) cha trc Ox v ct mt cu (S) theo mt ng trũn cú bỏn r =3 kớnh (S) cú tõm I(1; 2; 1), bỏn kớnh R = (P) cha Ox (P): ay + bz = Mt khỏc ng trũn thit din cú bỏn kớnh bng cho nờn (P) i qua tõm I Suy ra: 2a b = b = 2a (a 0) (P): y 2z = x2 + y2 + z2 + 2x 2y + 2z 1= Trong khụng gian vi h trc Oxyz, cho mt cu (S): v x y = d: 2x z = ng thng Vit phng trỡnh mt phng (P) cha d v ct mt cu (S) r =1 theo mt ng trũn cú bỏn kớnh I (1;1; 1) (S) cú tõm , bỏn kớnh R = ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) PT mt phng (P) cú dng: M (2;0; 2), N(3;1;0) d Chn M (P ) N (P ) a = b,2c = (a + b),d = 3a b (1) d(I ,(P )) = R2 r 17a = 7b,2c = (a + b), d = 3a b (2) Ta cú: x + y z = 7x 17y + 5z = + Vi (1) (P): + Vi (2) (P): : 10 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng : x1 y z = = 1 x y z = = 1 , x2 + y2 + z2 2x + 2y + 4z = v mt cu (S): Vit phng trỡnh tip din ca mt cu (S), bit tip din ú song song vi hai ng thng v (P): y + z + 3+ = hoc (P): y + z + 3 = 11 Trong khụng gian vi h to 2 Oxyz, cho mt cu (S) cú phng trỡnh x + y + z 2x + 4y 6z 11= v mt phng () cú phng trỡnh 2x + 2y z + 17 = Vit phng trỡnh mt phng ( ) song song vi () v ct (S) theo giao tuyn l ng trũn p = cú chu vi bng Do () // () nờn () cú phng trỡnh 2x + 2y z + D = (D 17) (S) cú tõm I(1; 2; 3), bỏn kớnh R = ng trũn cú chu vi nờn cú bỏn kớnh r = R2 r = 52 32 = Khong cỏch t I ti () l h = 2.1+ 2(2) 3+ D D = = 5+ D = 12 D = 17 (loaùi) 22 + 22 + (1)2 Do ú 2x + 2y z = Vy () cú phng trỡnh Cõu hi tng t: (S): x2 + y2 + z2 + 2x + 4y 6z 11= (a ):2x + y 2z + 19 = p = a) , , (b ) : 2x + y 2z + = S: Dng 3: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n khong cỏch 12 Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) qua O, vuụng gúc vi x+ y+ z = v cỏch im M(1; 2; 1) mt khong bng Ax + By + Cz = A2 + B2 + C PT mt phng (P) qua O nờn cú dng: (vi ) 1.A + 1.B + 1.C = C = A B Vỡ (P) (Q) nờn: (1) A + 2B C = d(M ,(P )) = ( A + 2B C )2 = 2( A2 + B2 + C 2) A2 + B2 + C B = (3) 8A + 5B = (4) 8AB + 5B = T (1) v (2) ta c: x z= T (3): B = C = A Chn A = 1, C = (P): 5x 8y + 3z = T (4): 8A + 5B = Chn A = 5, B = C = (P): mt phng (Q): 13 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho ng thng : x1 y z = = 1 (2) v im M(0; 2; 0) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im M, song song vi ng thng , ng thi khong cỏch d gia ng thng v mt phng (P) bng ax + by + cz + 2b = a2 + b2 + c2 Phng trỡnh mp (P) i qua M(0; 2; 0) cú dng: ( ) r u = (1;1;4) i qua im A(1; 3; 0) v cú mt VTCP a + b + 4c = P (P ) a + 5b = a = 4c d ( A ;( P )) = d a = 2c 2 a +b +c Ta cú: a = 4,c = b = 4x 8y + z 16 = a = 4c Vi Chn Phng trỡnh (P): a = 2,c = b = 2x + 2y z + = a = 2c Vi Chn Phng trỡnh (P): Cõu hi tng t: x y z : = = ; M(0;3; 2), d = 1 a) Vi (P ) : 2x + 2y z = (P ) : 4x 8y + z + 26 = S: hoc x = t (d): y = 1+ 2t z = A(1;2;3) v im Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng (d) cho khong cỏch t im A n mt phng (P) bng r r M(0; 1;1) u = (1;2;0) n = (a; b;c) a2 + b2 + c2 (d) i qua im v cú VTCT Gi vi l VTPT ca (P) a(x 0) + b(y + 1) + c(z 1) = ax + by + cz + b c = PT mt phng (P): (1) rr u.n = a + 2b = a = 2b Do (P) cha (d) nờn: (2) a + 3b + 2c 5b + 2c d ( A,(P )) = = = 5b + 2c = 5b2 + c2 a2 + b2 + c2 5b2 + c2 14 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng 4b2 4bc + c2 = ( 2b c) = c = 2b T (2) v (3), chn b = a = 2,c = (3) PT mt phng (P): 15 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im 2x y 2z + 1= M (1;1;0), N(0;0; 2), I (1;1;1) Vit phng trỡnh mt phng (P) qua A v B, ng thi khong cỏch t I n (P) bng ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) PT mt phng (P) cú dng: M (P ) a = b,2c = a b,d = a b (1) N (P ) d(I ,(P )) = 5a = 7b,2c = a b,d = a b (2) Ta cú: + Vi (1) PT mt phng (P): + Vi (2) PT mt phng (P): x y+ z+ = 7x + 5y + z + = 16 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho t din ABCD vi A(1; 1;2) B(1;3;0) , , C(3;4;1) D(1;2;1) , Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B cho khong cỏch t C n (P) bng khong cỏch t D n (P) PT mt phng (P) cú dng: A (P ) B (P ) d(C,(P )) = d(D,(P )) ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) a b + 2c + d = a + 3b + d = 3a + 4b + c + d a + 2b + c + d = a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 Ta cú: b = 2a,c = 4a, d = 7a c = 2a, b = a, d = 4a b = 2a,c = 4a, d = 7a x + 2y + 4z = + Vi (P): c = 2a,b = a, d = 4a x + y + 2z = + Vi (P): Cõu hi tng t: A(1;2;1), B(2;1;3),C(2; 1;1), D(0;3;1) a) Vi (P ) : 4x + 2y + 7z 15 = (P ) : 2x + 3z = S: hoc A(1;2;3) B(0; 1;2) C(1;1;1) 17 Trong khụng gian vi h trc ta , cho cỏc im , , (P ) O A B Vit phng trỡnh mt phng i qua v gc ta cho khong cỏch t n (P ) (P ) C bng khong cỏch t n Oxyz Vỡ O (P) nờn (P ) : ax + by + cz = a2 + b2 + c2 , vi d(B,(P )) = d(C,(P )) b + 2c = a + b + c a + 2b + 3c = Do A (P) (1) v (2) b= c= T (1) v (2) hoc ( P ) :3 x z= b = a = 3c c= a = 2b (P ) : 2x y = Vi thỡ Vi thỡ Cõu hi tng t: A(1;2;0), B(0;4;0),C(0;0;3) 6x + 3y + 4z = 6x 3y + 4z = a) Vi S: hoc A(1;1; 1) B(1;1;2) C(1;2;2) , , x 2y + 2z + 1= ( ) v mt phng (P): Vit phng trỡnh mt phng i qua A, vuụng gúc IB = 2IC vi mt phng (P), ct ng thng BC ti I cho 18 Trong khụng gian vi h trc ta PT ( ) cú dng: A(1;1; 1) ( ) Oxyz ax + by + cz + d = , cho ba im a2 + b2 + c2 , vi ( ) (P ) a + b c + d = a 2b + 2c = Do nờn: (1); nờn (2) a + b + 2c + d a + 2b 2c + d =2 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 IB = 2IC d(B,( )) = 2d(C;( )) 3a 3b + 6c d = (3) a + 5b 2c + 3d = T (1), (2), (3) ta cú trng hp sau : a + b c + d = b = a; c = a; d = a a 2b + 2c = 2 3a 3b + 6c d = TH1 : a = b = 1; c = 2; d = ( ) 2x y 2z = Chn : a + b c + d = 3 b = a; c = a; d = a a 2b + 2c = 2 a + 5b 2c + 3d = TH2 : a = b = 3; c = 2; d = ( ) 2x + 3y + 2z = Chn : ( ) 2x y 2z = ( ) 2x + 3y + 2z = Vy: : hoc : 19 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng d1, d2 ln lt cú phng trỡnh x y z x y z = = d2 : = = , Vit phng trỡnh mt phng cỏch u d1, d2 hai ng thng r r d1 ud1 = (2;1;3) d2 ud2 = (2; 1;4) B(1;2;1) Ta cú i qua A(2;2;3) , cú , i qua v cú r r r nP = ud1,ud2 = (7; 2; 4) d1, d2 d1, d2 Do (P) cỏch u nờn (P) song song vi 7x 2y 4z + d = PT mt phng (P) cú dng: d1, d2 d( A,(P )) = d(B,(P )) Do (P) cỏch u suy 7.2 2.2 4.3+ d 7.1 2.2 4.1+ d = d = d d = 69 69 14x 4y 8z + = Phng trỡnh mt phng (P): d1 : 20 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng d1, d2 ln lt cú phng trỡnh x = 1+ t d1 : y = t x y z+ d2 : = = z = d1 2 , Vit phng trỡnh mt phng (P) song song vi d2 d1 d2 v , cho khong cỏch t n (P) gp hai ln khong cỏch t n (P) r d1 u1 = (1; 1;0) A(1;2;1) Ta cú : i qua v cú VTCP r d2 u2 = (1; 2;2) B(2;1; 1) i qua v cú VTCP l r r r r n = u1,u2 = (2; 2; 1) d1 d2 n Gi l VTPT ca (P), vỡ (P) song song vi v nờn 2x + 2y + z + m= Phng trỡnht (P): 7+ m 5+ m d(d1,(P )) = d( A;(P )) = d(d2,(P ))= d(B,(P )) = 3 ; d(d1,(P )) = 2d(d2,(P )) + m = 5+ m + Vi m= (P ) : 2x + 2y + z = + m= 2(5+ m) 17 m= 3; m= + m = 2(5 + m ) m= + Vi 17 17 (P ): 2x + 2y + z = 21 Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua hai im (x 1)2 + (y 2)2 + (z + 1)2 = A(0; 1;2) B(1;0;3) , v tip xỳc vi mt cu (S): (S) cú tõm I (1;2; 1) , bỏn kớnh R= ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 0) PT mt phng (P) cú dng: A (P ) a = b,c = a b, d = 2a + 3b B (P ) 3a = 8b,c = a b, d = 2a + 3b d ( I ,( P )) = R Ta cú: x y 1= + Vi (1) Phng trỡnh ca (P): 8x 3y 5z + = + Vi (2) Phng trỡnh ca (P): 22 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im (1) (2) A(2; 1;1) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im A v cỏch gc ta O mt khong ln nht d(O,(P ))max = OA d(O,(P )) OA OA (P ) Ta cú Do ú xy nờn mt phng (P) uuu r OA = (2; 1;1) cn tỡm l mt phng i qua A v vuụng gúc vi OA Ta cú 2x y + z = Vy phng trỡnh mt phng (P): 23 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(10; 2; 1) v ng thng d cú phng x y z = = trỡnh: Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, song song vi d v khong cỏch t d ti (P) l ln nht Gi H l hỡnh chiu ca A trờn d d(d, (P)) = d(H, (P)) Gi s im I l hỡnh chiu ca AH HI A I H lờn (P),uuta cú HI ln nht Vy (P) cn tỡm l mt phng i qua A ur 7x + y 5z 77 = AH v nhn lm VTPT (P): x + 3y z + = phng trỡnh Vit phng trỡnh mt phng (Q) l mt phng trung trc ca on AB Gi l giao tuyn ca (P) v (Q) Tỡm im M thuc cho di on thng OM l nh nht r 3 uuu I ; ; ữ; AB = (1; 1; 1) 2 Gi I l trung im ca AB x + y + z+ = PT (Q): x = + 2t; y = t; z = t 4 l giao tuyn ca (P) v (Q) PTTS ca : 15 25 M + 2t; t; t ữ ; OM = 6t2 t + 4 Gi s 5 t = M ; ; ữ 8 OM nh nht x y z+ = = 1 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng (d1): , (d2): x y+ z = = Mt ng thng () i qua im A(1; 2; 3), ct ng thng (d 1) ti im B v ct ng thng (d2) ti im C Chng minh rng im B l trung im ca on thng AC uuu r uuur k= AB = kAC Ly B (d1), C (d2) T : B l trung im ca on thng AC Ta cú th tớnh c B(2; 1; 1), C(3; 4; 1) 175 E(2;1;5), F (4; 3; 9) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im Gi l giao (P ): 2x + y z + = (Q) : x y + 2z = tuyn ca hai mt phng v Tỡm im I IE IF thuc cho: ln nht x = 1+ t x = + t y = 5t y = 1+ t z = 3t z = 5+ 2t PTTS ca : PTTS ca EF: 176 1+ t = + t t = 5t = 1+ t t = 3t = 5+ 2t EF ct ti A(1;0;3) IE IF EF Trong mp( ,EF) mi im I ta cú (hiu cnh tam giỏc nh hn cnh th 3) Du "=" xy I, E, F thng hng, t ú suy I trựng A Vy im I(1;0;3) Xột h: d: 177 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng A(0;0;3) B(0;3;3) , Tỡm im M d cho: MA + MB 2 x y z = = 1 v hai im uuur uuur MA 3MB MA + 2MB nh nht b) nh nht c) nh nht x = t y = t z = t P = (t 1)2 + + (t 2)2 + M (t;t;t) d a) PTTS ca d: Gi Ta cú: t1 t f (t) = + f (t) = (t 1)2 + + (t 2)2 + (t 1)2 + (t 2)2 + Xột hm s t1 (t 2) t1 t = f (t) = = (t 1)2 + [ (t 2)] + (t 1)2 + (t 2)2 + (*) u u ữ g(u) = u2 + u = >0 g(u) = ữ 2 u + u + (u + 2) u +2 Xột hm s Ta cú Ă nờn hm s g ng bin trờn g(t 1) = g[ (t 2)] t 1= t + t = Do ú t (*), ta cú f (t) = f ữ = Da vo BBT ca hm s f ta suy a) ( Vy min(MA + MB) = 3 t= t c ti , tc l 3 M ; ; ữ 2 ) Q = MA2 + 2MB2 = 9t2 30t + 45 = (3t 5)2 + 20 b) Tng t cõu 1), ta tớnh c 5 5 M ; ; ữ t= minQ = 20 2 , tc uuur uuur MA = (t; t;3 t) MB = (t;3 t;3 t) c) Theo cõu 1) , ta cú , uuur uuur uuur uuur 2 MA 2MB = (t;t 6;t 3) MA 2MB = 3t 18t + 45 = 3(t 3) + 18 Suy uuur uuur M(3;3;3) MA 2MB = t=3 Vy , tc Dng 3: Xỏc nh im thuc mt cu 178 x2 + y2 + z2 + 4x 6y + m= Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt cu (S): 2x 2y z + = v ng thng (d) l giao tuyn ca mt phng (P): , (Q): x + 2y 2z = v Tỡm m (S) ct (d) ti im M, N cho di MN = (S) tõm I(2;3;0), bỏn kớnh R= m Vy : 179 Gi H l trung im ca MN m MH= IH = d(I; d) = (d) qua A(0;1;-1), VTCP 13 m = IM (m< 13) r u = (2;1;2) d(I; d) = r uur u; AI =3 r u =3 m = 12 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): 2 x + y z+ = v mt cu x + y + z 6x 8y 2z + 23 = (S): Tỡm trờn (S) im M cho khong cỏch t M n mt phng (P) l ln nht Khi ú hóy vit phng trỡnh mt cu (T) cú tõm M v ct (P) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh bng Mt cu (S) cú tõm I (3;4;1) , bỏn kớnh R = x = 3+ t y = 4+ t z = t Gi d l ng thng qua I vuụng gúc vi (P) PTTS ca d: Khi ú M l giao im ca d vi (S) Ta im M l nghim ca h: x = 3+ t t = t = y = + t x = x = z = t 2 y = y = M1(4;5;0), M2(2;3;2) x + y + z 6x 8y 2z + 23 = z = z = Ta thy d(M1,(P )) = Mt cu (T) cú 180 > d(M2,(P )) = Vy M(4;5;0) l im cn tỡm R ' = MH + HE = (4 3)2 + 42 = (T ) :(x 4)2 + (y 5)2 + z2 = 64 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt cu (S) v mt phng (P) cú phng trỡnh (S) : x2 + y2 + z2 4x + 2y 6z + = 0, (P ) : 2x + 2y z + 16 = l im M di ng trờn (S) v im N di ng trờn (P) Tớnh di ngn nht ca on thng MN Xỏc nh v trớ ca M, N tng ng Mt cu (S) tõm I(2;1;3) v cú bỏn kớnh R = 2.2 + 2.(1) 3+ 16 d = d I ,( P ) = = d > R Khong cỏch t I n mt phng (P): Do ú (P) v (S) khụng cú im chung Do vy, MN = d R = = Trong trng hp ny, M v trớ M0 v N v trớ N0 D thy N0 l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn mt phng (P) v M0 l giao im ca on thng IN0 vi mt cu (S) Gi l ng thng i qua I v vuụng gúc vi (P), thỡ N0 l giao im ca v (P) x = + 2t r y = 1+ 2t z = t nP = ( 2;2; 1) ng thng cú VTCP l v qua I nờn cú phng trỡnh l Ta ca N0 ng vi t nghim ỳng phng trỡnh: 15 2(2 + 2t) + 2(1+ 2t) (3 t) + 16 = 9t + 15 = t = = ( ) uuuu r uuur 13 14 N0 ; ; ữ IM0 = IN0 3 Suy Ta cú Suy M0(0;3;4) Cõu hi tng t: a) (S) : x2 + y2 + z2 4x 4y + 2z = (P ) : 2x + y 2z + = ; N ; ; ữ M(2 2;2 2; 1+ 2) 3 S: , 181 Trong khụng gian ta Oxyz , cho im 2 A(0;1;1), B(1;0; 3),C (1; 2; 3) v mt cu (S) cú x + y + z 2x + 2z = phng trỡnh: ABCD cú th tớch ln nht R=2 Tỡm ta im D trờn mt cu (S) cho t din 2x 2y + z + 1= (S) cú tõm I(1; 0; 1), bỏn kớnh PT mp(ABC): VABCD = d(D;(ABC )).SABC VABCD d(D;( ABC )) Ta cú nờn ln nht ln nht D1D2 Gi l ng kớnh ca (S) vuụng gúc vi mp(ABC) Ta thy vi D l im bt k d(D;(ABC )) max{ d(D1;(ABC )); d(D2;(ABC ))} thuc (S) thỡ Du = xy D trựng vi D1 hoc D2 r D1D2 nABC = (2; 2;1) i qua I(1;0;1), v cú VTCP l D1D2 : { x = 1+ 2t; y = 2t; z = 1+ t x = 1+ 2t t= y = 2t z = + t t = (x 1)2 + y2 + (z + 1)2 = Ta D1 v D2 tha: D1 ; ; ữ; D2 ; ; ữ 3 3 Ta thy: d(D1;(ABC )) > d(D2;( ABC )) Vy im D ; ; ữ 3 l im cn tỡm Dng 4: Xỏc nh im khụng gian 3x + 2y z + = Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (): v hai im A(4;0;0) , B(0;4;0) Gi I l trung im ca on thng AB Xỏc nh ta im K cho KI vuụng gúc vi mt phng (), ng thi K cỏch u gc ta O v () 182 x y z = = I(2;2;0) PT ng thng KI: Gi H l hỡnh chiu ca I trờn (): H(1;0;1) Gi s K(xo;yo;zo) x0 y0 z0 = = 1 (x + 1)2 + y + (z 1)2 = x + y + z K ; ; ữ 0 0 0 4 Ta cú: KH = KO 183 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im A(2;4;1), B(1;4;1), C(2;4;3), D(2;2;1) Tỡm ta im M MA2 + MB2 + MC + MD2 t giỏ tr nh nht 14 G ; ;0ữ 3 Gi G l trng tõm ca ABCD ta cú: Ta cú: MA2 + MB2 + MC + MD2 = 4MG2 + GA2 + GB2 + GC + GD2 14 G ; ;0ữ GA + GB + GC + GD M 3 Du bng xy 2 2 x + y+ z+ = Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): v im A(0; 1; 2) Tỡm to im A i xng vi A qua mt phng (P) r n = (1;1;1) (P) cú VTPT Gi s A(x; y; z) x y + z+ I ; ; ữ 2 Gi I l trung im ca AA x y z = = x = uuur r AA , ncuứ ng phửụng y = x + y+ 1+ z+ + 3= I (P) z = 2 A i xng vi A qua (P) Vy: A(4; 3; 2) 184 Oxyz, A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) Trong khụng gian vi h to cho cỏc im v ( ) : x + 2y + = M M mt phng Tỡm to ca im bit rng cỏch u cỏc im A, B, C ( ) v mt phng 185 Gi s M (x0; y0; z0) (x 1)2 + y2 + z2 = x2 + (y 1)2 + z2 (1) 0 0 20 2 2 x0 + (y0 1) + z0 = x0 + (y0 3) + (z0 2) (2) MA = MB MB = MC 2 (x0 + 2y0 + 2) ( x ) + y + z = (3) 0 MA = d(M ,(a )) Ta cú: x0 = 1, y0 = 1, z0 = 23 23 14 23 23 14 x0 = , y = , z0 = M ; ; ữ M(1; 1; 2) 3 3 3 hoc Oxyz, Trong khụng gian vi h to cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC, bit A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) Tỡm to nh S bit th tớch chúp S.ABC bng 36 (ABC ) : x + y + z = Phng trỡnh 186 SABC = G(1;1;1) ABC cú trng tõm v AB= BC= CA= Do hỡnh chúp S.ABC u nờn ng thng SG qua G v vuụng gúc vi (ABC) x = 1+ t SG : y = 1+ t z = 1+ t S(1+ t;1+ t;1+ t) Phng trỡnh Gi s SG t = 8, t = S(9;9;9) S(7; 7; 7) Ta cú : VS.ABC=36= SABC Vy: hoc Dng 5: Xỏc nh im a giỏc Trong khụng gian vi h trc to Oxyz, cho ba im A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tỡm to trc tõm ca tam giỏc ABC Lp phng trỡnh mp(ABC); (P) qua A v (P) BC; (Q) qua B v (Q) AC 187 Gii h gm ba phng trỡnh ba mt phng trờn ta c trc tõm H Cõu hi tng t: a) Vi A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2) S: Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im Tỡm ta tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC 188 Ta cú: AB = BC = CA = 36 18 12 ; ; ữ 49 49 49 A(1;3;5) B(4;3;2) C(0;2;1) , , ABC u Do ú tõm I ca ng trũn ngoi tip 8 I ; ; ữ ABC 3 cng l trng tõm ca nú Kt lun: 189 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(1; 0; 1), B(1; 2; 1), C(1; 2; 3) Tỡm ta tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC uuu r uuur AB = (2; 2; 2), AC = (0; 2;2) Ta cú: Suy phng trỡnh mt phng trung trc ca AB, x + y z 1= 0, y + z = AC l: uuu r uuur r n = AB, AC = (8; 4;4) 2x y + z + 1= VTPT ca mp(ABC) l Suy (ABC): x + y z 1= x = y + z = y = 2x y + z + 1= z = I (0; 2;1) Gii h: Suy tõm ng trũn l Bỏn kớnh l R = IA = (1 0)2 + (0 2)2 + (1 1)2 = A(2;3;1) B(1;2;0) C(1;1; 2) Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho ba im , , Tỡm ta trc tõm H v tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC H (x; y; z) BH AC,CH AB, H ( ABC ) l trc tõm ca ABC uuur uuur BH AC = r uuur uuu 29 CH AB x = ; y = ;z = uuu r uuur= 0uuur 29 15 15 AB, AC AH = H ; ; ữ 15 15 I (x; y; z) AI = BI = CI , I ( ABC ) l tõm ng trũn ngoi tip ABC 190 AI = BI CIuu2u BI 14 61 14 61 r =uu ur uur AB, AC AI = x = ; y = ; z = I ; ; ữ 15 30 15 30 A(1;0;1), B(1;2; 1),C(1;2;3) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im v I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Lp phng trỡnh mt cu (S) cú tõm I v tip xỳc vi mt phng (Oxz) ( ABC) : 2x y + z + = I (x; y; z) Phng trỡnh Gi x + y z = 0, y + z = (1 ) I (ABC ) 2x y + z + 1= (2) IA = IB = IC ; I (0; 2;1) R = d(I ,(Oxz)) = T (1) (2) Bỏn kớnh mt cu l 191 (S): x2 + (y 2)2 + (z 1)2 = A(3;1;0) 192 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho tam giỏc ABC cú , B nm trờn mt H(2;1;1) phng (Oxy) v C nm trờn trc Oz Tỡm to cỏc im B, C cho im l trc tõm ca tam giỏc ABC B(x; y;0) (Oxy),C(0;0; z) Oz Gi s uuur uuu r uuur uuu r AH BC = AH BC r r uuur uuu uuur uuu CH AB CH AB uuu r uuur uuur uuu r uuur= 0uuur AB, AC, AH ủo ng phaỳ ng AB, AH AC = H l trc tõm ca ABC 177 17 + 177 3+ 177 ;y = ;z = x = x+ z = 4 3+ 177 17 177 177 2x + y = ;y= ;z = 3x 3y + yz z = x = 4 177 17 + 177 3+ 177 B ; ;0ữ,C 0;0; ữ 3+ 177 17 177 177 B ; ;0ữ,C 0;0; ữ hoc 193 Trong khụng gian Oxyz, cho im A(3; 2; 3) v hai ng thng cú phng trỡnh d1 : x y z = = 1 d2 : x y z = = v Chng minh ng thng d1, d2 v im A cung nm mt mt phng Xỏc nh to cỏc nh B v C ca tam giỏc ABC bit d1 cha ng cao BH v d2 cha ng trung tuyn CM ca tam giỏc ABC r r a = (1;1; 2) b = (1; 2;1) d1 qua M1(2; 3; 3), cú VTCP ; d2 qua M2(1; 4; 3) cú VTCP urr r r r uuuuuur a,b , a, b M M = d , d 2 Ta cú ct d1, d2 x + y + z = A mp(d1,d2) Phng trỡnh mt phng cha : t+ t+ M ; ;3 t ữ B(2 + t;3+ t;3 2t) d1 Gi s trung im ca AB l M d2 t = M (2;2;4) B(1;2;5) uuur r C(1+ t;4 2t;3+ t) d2 AC a Gi s t = C(1;4;2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cho tam giỏc ABC cú A(3;2;3), ng cao CH, ng phõn giỏc BM ca gúc B ln lt cú phng trỡnh l x y z x y z d1 : = = d2 : = = 1 2 , Tớnh di cỏc cnh ca tam giỏc ca tam giỏc ABC d1 x + y 2z + 1= Gi (P) l mt phng i qua A v vuụng gúc vi (P): B l giao d2 B(1;4;3) im ca vi (P) d2 x 2y + z = Gi (Q) l mt phng i qua A v vuụng gúc vi (Q): Gi K l d2 K (2;2;4) E(1;2;5) giao im ca vi (Q) Gi E l im i xng ca A qua K x = y = t z = 3+ t C(1;2;5) Phng trỡnh ng thng BE l C l giao im ca BE v CH 194 Ta cú AB = AC = BC = 195 2 Tam giỏc ABC u Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh thang cõn ABCD vi A( 3; 1; 2) , B ( 1;5;1) C ( 2;3;3) , , ú AB l ỏy ln, CD l ỏy nh Tỡm to im D Do ABCD l hỡnh thang cõn nờn AD = BC = Gi l ng thng qua C v song song vi AB, (S) l mt cu tõm A bỏn kớnh R = im D cn tỡm l giao im ca v (S) x = 2t uuu r y = 3+ 6t z = 3+ 3t AB = ( 2;6;3) ng thng cú vect ch phng nờn cú phng trỡnh: (S) :(x 3)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = Phng trỡnh mt cu To im D tho H PT: x = 2t t = y = 3+ 6t 49t + 82t + 33 = 33 z = 3+ 3t t = 2 49 ( x 3) + ( y + 1) + ( z + 2) = Vi t = 1, thỡ D(4; 3; 0) : khụng tho vỡ AB = CD = 164 51 48 33 t= D ; ; ữ 49 49 49 49 Vi (nhn) A(1;2;1) B(2;3;2) Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh thoi ABCD vi , Tỡm ta cỏc nh C, D v vit phng trỡnh mt phng cha hỡnh thoi ú bit rng tõm I x + y z d: = = 1 ca hỡnh thoi thuc ng thng v im D cú honh õm uu r uur I (1 t; t;2 + t) d IA = (t;2 + t; t), IB = (3+ t;3+ t; t) Gi Ta cú uu r uur IA.IB = 3t2 + 9t + = t = 1, t = Do ABCD l hỡnh thoi nờn Vỡ C i xng vi A qua I v D i xng vi B qua I nờn: t = I (0;1;1) C (1;0;1), D(2; 1;0) + Vi t = I (1;2;0) C(3;2; 1), D(0;1; 2) + Vi C(1;0;1), D(2; 1;0) Do D cú honh õm nờn ta chn c nghim r n + Gi (P) l mt phng cha hỡnh thoi ABCD, gi s (P) cú VTPT 196 r r uu n IA r = (1;1;0) r uu n IB = (2;2;1) uu r uur r n = IA, IB = (1;1; 4) cú th chn (P ) : x + y 4z + = Suy phng trỡnh mt phng Ta cú 197 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh A(1;0;0) C(1;2;0) D(1;0;0) S(0;0; 3) vuụng, , , , Gi M, N ln lt l trung im ca on SB v CD Chng minh rng hai ng thng AM v BN vuụng gúc vi v xỏc nh ta tõm ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ONB uuu r uuur AB = DC B(1; 2; 0) M l trung im SB, N l trung im CD M ;1; ữ 2 ữ , N(1; 1; 0) AM BN Vỡ ONB nm mp(Oxy) nờn tõm I ca ng trũn ngoi tip ONB thuc mp(Oxy) IO = IN I 1; 7;0 IO = IB ữ I (x; y;0) 6 Gi Ta cú: Oxyz, MNPQ M(5;3; 1) Trong khụng gian vi h to cho hỡnh vuụng cú , P(2;3; 4) Q N Tỡm to nh bit rng nh nm mt phng (R) : x + y z = 198 uuur I ;3; ữ N(a; b; c) (R) MP = (3;0; 3) 2 Gi I l tõm hỡnh vuụng Gi uur IN = a ; b 3; c + ữ IN = 2 MP = 2 ; a + b c = u Nur (R )ur uu a ữ c + ữ = IN MP 2 IN = a ữ + (b 3)2 + c + ữ = a = 2,b = 3,c = 2 a = 3,b = 1,c = 2 Ta cú: N(2;3 1) Q(5;3; 4) N(3;1; 2) Q(4;5; 3) Nu thỡ Nu thỡ B(3;0;8) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh vuụng ABCD, bit , D(5; 4;0) v nh A thuc mt phng (Oxy) Tỡm ta im C Ta cú trung im BD l I(1;2; 4), BD = 12 v im A thuc mp(Oxy) nờn A(a; b; 0) AB2 = AD2 (a 3)2 + b2 + 82 = (a + 5)2 + (b + 4)2 AI = BD ữ 2 (a + 1) + (b + 2) + = 36 ABCD l hỡnh vuụng 17 a = b = 2a 17 14 a = A ; ;0ữ b = 14 2 (a + 1) + (6 2a) = 20 b = 5 hoc A(1; 2; 0) hoc 17 14 27 A ; ;0ữ C ; ;8ữ 5 5 Vi A(1; 2; 0) C(3;6; 8) Vi 199 A(1;2;0),C(2;3; 4) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh vuụng ABCD, bit x + 2y + z = v nh B nm trờn mt phng (Q): Tỡm to ca nh D, bit to ca B l nhng s nguyờn B(x; y; z) AC = AB = Gi x + 2y + z = (1) B (Q) 2 2 2 AB = CB (x 1) + (y 2) + z = (x 2) + (y 3) + (x + 4) (2) (x 1)2 + (y 2)2 + z2 = (3) AB = Ta cú: x = 1; y = 1; z = B(1;1;2) D(4;4; 6) Vy 200 Chõn thnh cm n cỏc bn ng nghip v cỏc em hc sinh ó c ti liu ny transitung_tv@yahoo.com ... gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ⇔ 4b2 − 4bc + c2 = ⇔ ( 2b − c) = ⇔ c = 2b Từ (2) (3), chọn b = −1  a = 2,c = −2 (3)  PT mặt phẳng (P): 15 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm... điểm Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: 2 x − y− z = = 2 mặt cầu (S): x + y + z − 2x − 2y − 4z + = Lập phương... (P): y − 2z + 3+ = (P): y − 2z + 3− = x2 + y2 + z2 + 2x − 4y − = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): mặt M(3;1 ; − 1) x + z− 3= phẳng (P): Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua