TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn BÀI TẬP YÊU CẦU A PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng cách xác định vectơ pháp tuyến Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng (P) r r r r uuu n =  nP , AB = (0; −8; −12) ≠ • (Q) qua A, B vng góc với (P) ⇒ (Q) có VTPT (Q) : 2y + 3z − 11= ⇒ Câu hỏi tương tự: (P ) : x + y + 3z + = (Q) : x − 2y + z − = A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ĐS: a) Với Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm  x = −1+ t  d :  y = 2t  A(2;1;3), B(1; −2;1)  z = −3− 2t song song với đường thẳng uur r BA = (1;3;2) u = (1;2; −2) • Ta có , d có VTCP uur r n ⊥ BA uur r r r r r n =  BA,u = (−10;4; −1) n n ⊥ u Gọi VTPT (P)   chọn 10x − 4y + z − 19 =  Phương trình (P): Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d1); x − y+ z− x − y − z− = = (d2): = = , (d2) ) • Chứng tỏ (d1) // (d2) (P): x + y – 5z +10 = (d1) (d2) có phương trình: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, 2 cho mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z − 2x + 6y − 4z − = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá (α ) : x + 4y + z − 11 = véc tơ , vng góc với mặt phẳng tiếp xúc với (S) r (α ) n = (1;4;1) • (S) có tâm I(1; –3; 2) bán kính R = VTPT r r r nP = [ n, v] = (2; −1;2) 2x − y + 2z + m=  VTPT (P) là:  PT (P) có dạng:  m= −21 ⇔ d(I ,(P )) =  m= Vì (P) tiếp xúc với (S) nên 2x − y + 2z + = 2x − y + 2z − 21= Vậy: (P): (P): r v = (1;6;2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) hai đường thẳng x y+ z x y− z− (d1): = = (d2) : = = M , d1, d2 −2 −3 Chứng minh điểm cùng nằm mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng r r d1 M1(0; −1;0) u1 = (1; −2; −3) d2 M2(0;1;4) u2 = (1;2;5) • qua có , qua có r uuuuuur r r uuuuuur r r  u1; u2 = (−4; −8;4) ≠ M1M2 = (0;2;4) u1; u2  M1M2 = d1,d2 ,   đồng phẳng r d1,d2 n = (1;2; −1) Gọi (P) mặt phẳng chứa  (P) có VTPT qua M1 nên có x + 2y − z + = M (1;–1;1) ∈ (P ) phương trình Kiểm tra thấy điểm Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x2 + y2 + z2 − 2x − 2y − 4z + = x − y− z = = 2 mặt cầu (S): Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) r u = (2;2;1) • (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = d có VTCP r r r n = [ u, i ] = (0;1; −2) y − 2z + D = (P) // d, Ox ⇒ (P) có VTPT ⇒ PT (P) có dạng: TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn 1− + D d(I ,(P )) = R (P) tiếp xúc với (S) ⇔ ⇒ (P): y − 2z + 3+ = ⇔ 12 + 22 (P): =2 ⇔ D−3 = y − 2z + 3− = ⇔  D = 3+   D = 3− x2 + y2 + z2 + 2x − 4y − = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): mặt M(3;1; −1) x + z− = phẳng (P): Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm vng góc với mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) r nP = (1;0;1) • (S) có tâm I(–1; 2; 0) bán kính R = 3; (P) có VTPT PT (Q) qua M có dạng: A(x − 3) + B(y − 1) + C(z + 1) = 0, A2 + B2 + C ≠ d(I ,(Q)) = R ⇔ −4A + B + C = A2 + B2 + C (Q) tiếp xúc với (S)  r r (Q) ⊥ (P ) ⇔ nQ.nP = ⇔ A + C = ⇔ C = − A 2 (*) (**) B − 5A = 2A + B ⇔ 8B − 7A + 10AB = A = 2B ∨ 7A = −4B Từ (*), (**)   x + y − z − 9= A = 2B  Với Chọn B = 1, A = 2, C = –2  PT (Q): 4x − 7y − 4z − = 7A = −4B  Với Chọn B = –7, A = 4, C = –4  PT (Q): Câu hỏi tương tự: (S) : x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 4z + = (P ): 2x + y − 6z + = 0, M (1;1;2) a) Với , (Q) : 2x + 2y + z − = (Q) :11x − 10y + 2z − = ĐS: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – = Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán r =3 kính • (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = (P) chứa Ox ⇒ (P): ay + bz = Mặt khác đường trịn thiết diện có bán kính (P) qua tâm I Suy ra: –2a – b = ⇔ ≠ b = –2a (a 0) ⇒ (P): y – 2z = TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn x2 + y2 + z2 + 2x − 2y + 2z – 1= Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x− y− = d: 2x − z − = đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d cắt mặt cầu (S) r =1 theo đường trịn có bán kính I (−1;1; −1) • (S) có tâm , bán kính R = ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ≠ 0) PT mặt phẳng (P) có dạng: M (2;0; −2), N(3;1;0) ∈ d Chọn  M ∈ (P )  N ∈ (P )   a = b,2c = −(a + b),d = −3a − b (1) d(I ,(P )) = R2 − r 17a = −7b,2c = −(a + b), d = −3a − b (2)   Ta có:  x + y − z− = 7x − 17y + 5z − = + Với (1)  (P): + Với (2)  (P): ∆1 : 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆2 : x−1 y z = = −1 −1 x y− z = = −1 , x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – = mặt cầu (S): Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện song song với hai đường thẳng ∆1 ∆1 • (P): y + z + 3+ = (P): y + z + 3− = 11 Trong không gian với hệ toạ độ x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 6z − 11= Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình mặt phẳng (α) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = Viết phương trình mặt phẳng ( β) song song với (α) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn p = 6π có chu vi ≠ • Do (β) // (α) nên (β) có phương trình 2x + 2y – z + D = (D 17) (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = Đường trịn có chu vi 6π nên có bán kính r = TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn R2 − r = 52 − 32 = Khoảng cách từ I tới (β) h = 2.1+ 2(−2) − 3+ D  D = −7 = ⇔ −5+ D = 12 ⇔   D = 17 (loại) 22 + 22 + (−1)2 Do 2x + 2y – z – = Vậy (β) có phương trình Câu hỏi tương tự: (S): x2 + y2 + z2 + 2x + 4y − 6z − 11= (a ):2x + y − 2z + 19 = p = 8π a) , , (b ) : 2x + y − 2z + = ĐS: Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với x + y+ z = cách điểm M(1; 2; –1) khoảng Ax + By + Cz = A2 + B2 + C ≠ • PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: (với ) mặt phẳng (Q): TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn • Vì (P) ⊥ (Q) nên: 1.A + 1.B + 1.C = A + 2B − C • d(M ,(P )) = ⇔ A2 + B2 + C ⇔ = 2 Từ (1) (2) ta được: 8AB + 5B = C = −A − B ⇔ (1) ( A + 2B − C )2 = 2( A2 + B2 + C 2) ⇔ B = 8A + 5B =  • Từ (3): B = ⇒ C = –A Chọn A = 1, C = –1 ⇒ (P): (2) (3) (4) x− z = • Từ (4): 8A + 5B = Chọn A = 5, B = –8 ⇒ C = ⇒ (P): 5x − 8y + 3z = 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x− y− z = = 1 điểm M(0; –2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M, song song với đường thẳng ∆, đồng thời khoảng cách d đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) ax + by + cz + 2b = a2 + b2 + c2 ≠ • Phương trình mp (P) qua M(0; –2; 0) có dạng: ( ) r u = (1;1;4) ∆ qua điểm A(1; 3; 0) có VTCP Ta có: a + b + 4c =  ∆ P (P ) a + 5b ⇔  d(A;(P )) = d  2 =  a +b +c  a = 4c a = −2c  a = 4,c = 1⇒ b = −8 4x − 8y + z − 16 = Chọn  Phương trình (P): a = 2, c = − ⇒ b = 2 x + y − z + = a = −2c  Với Chọn  Phương trình (P): Câu hỏi tương tự: x y z− ∆: = = ; M (0;3; −2), d = 1 a) Với (P ) : 2x + 2y − z − = (P ) : 4x − 8y + z + 26 = ĐS:  Với a = 4c 14 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x = t  (d) :  y = −1+ 2t  z = điểm A(−1;2;3) TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) r r M(0; −1;1) u = (1;2;0) n = (a; b; c) a2 + b2 + c2 ≠ • (d) qua điểm có VTCT Gọi với VTPT (P) a(x − 0) + b(y + 1) + c(z − 1) = ⇔ ax + by + cz + b − c = PT mặt phẳng (P): (1) rr u.n = ⇔ a + 2b = ⇔ a = −2b Do (P) chứa (d) nên: (2) −a + 3b + 2c 5b + 2c d ( A,(P )) = ⇔ = 3⇔ = ⇔ 5b + 2c = 5b2 + c2 a2 + b2 + c2 5b2 + c2 ⇔ 4b2 − 4bc + c2 = ⇔ ( 2b − c) = ⇔ c = 2b Từ (2) (3), chọn b = −1  a = 2, c = −2 (3)  PT mặt phẳng (P): 15 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm 2x − y − 2z + 1= M (−1;1;0), N(0;0; −2), I (1;1;1) phương trình mặt phẳng (P) qua A B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ≠ 0) • PT mặt phẳng (P) có dạng:  M ∈ (P )   a = − b,2c = a − b, d = a − b (1)  N ∈ (P ) d(I ,(P )) =  5a = 7b,2c = a − b,d = a − b (2) Ta có:  + Với (1)  PT mặt phẳng (P): + Với (2)  PT mặt phẳng (P): Viết x − y + z+ = 7x + 5y + z + = 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với C(−3;4;1) D(1;2;1) A(1; −1;2) , B(1;3;0) , , Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) • PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = (a2 + b2 + c2 ≠ 0) TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn  A ∈ (P )   B ∈ (P ) d(C,(P )) = d(D,(P )) a − b + 2c + d = a + 3b + d =  −3a + 4b + c + d a + 2b + c + d =  2 a2 + b2 + c2  a + b + c Ta có:   b = 2a,c = 4a, d = −7a  c = 2a, b = a, d = −4a   b = 2a,c = 4a,d = −7a x + 2y + 4z − = + Với  (P): c = 2a,b = a, d = −4a x + y + 2z − = + Với  (P): Câu hỏi tương tự: A(1;2;1), B(−2;1;3),C (2; −1;1), D(0;3;1) a) Với (P ) : 4x + 2y + 7z − 15 = (P ) : 2x + 3z − = ĐS: A(1;2;3) B(0; −1;2) C(1;1;1) , cho điểm , , O A B Viết phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ cho khoảng cách từ đến (P ) (P ) C khoảng cách từ đến (P ) : ax + by + cz = a2 + b2 + c2 ≠ • Vì O  (P) nên , với d(B,(P )) = d(C,(P )) ⇔ −b + 2c = a + b + c a + 2b + 3c = Do A  (P)  (1) (2) b= c= Từ (1) (2)  ( P ) :3 x − z= b = a = −3c c= a = −2b (P ) : 2x − y =  Với   Với  Câu hỏi tương tự: A(1;2;0), B(0;4;0),C (0;0;3) −6x + 3y + 4z = 6x − 3y + 4z = a) Với ĐS: 17 Trong không gian với hệ trục tọa độ (P ) Oxyz Oxyz A(1;1; −1) B(1;1;2) C(−1;2; −2) 18 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , , x − 2y + 2z + 1= (α ) mặt phẳng (P): Viết phương trình mặt phẳng qua A, vng góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC I cho IB = 2IC TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn • PT (α ) có dạng: A(1;1; −1) ∈ (α ) ax + by + cz + d = a2 + b2 + c2 ≠ , với (α ) ⊥ (P ) a + b− c + d = a − 2b + 2c = Do nên: (1); nên (2) a + b + 2c + d − a + 2b − 2c + d =2 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 IB = 2IC d(B,(α )) = 2d(C;(α ))   3a − 3b + 6c − d = ⇔ (3)  −a + 5b − 2c + 3d = Từ (1), (2), (3) ta có trường hợp sau : a + b − c + d = −1 −3  ⇔ b = a; c = −a; d = a  a − 2b + 2c = 2 3a − 3b + 6c − d = TH1 : a = ⇒ b = −1; c = −2; d = −3 (α ) 2x − y − 2z − = Chọn  : a + b − c + d = −3  ⇔ b = a; c = a; d = a a − 2b + 2c = 2 −a + 5b − 2c + 3d = TH2 : a = ⇒ b = 3; c = 2; d = −3 (α ) 2x + 3y + 2z − = Chọn  : (α ) 2x − y − 2z − = (α ) 2x + 3y + 2z − = Vậy: : : 19 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1,d2 có phương trình x − y − z− x − y − z− = = d2 : = = −1 , Viết phương trình mặt phẳng cách d1,d2 hai đường thẳng r r d1 ud1 = (2;1;3) d2 ud2 = (2; −1;4) B(1;2;1) • Ta có qua A(2;2;3) , có , qua có r r r nP = ud1,ud2  = (7; −2; −4) d1,d2 d1,d2 Do (P) cách nên (P) song song với  7x − 2y − 4z + d =  PT mặt phẳng (P) có dạng: d1 : TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn d1,d2 d( A,(P )) = d(B,(P )) Do (P) cách suy 7.2 − 2.2 − 4.3+ d 7.1− 2.2 − 4.1+ d = ⇔ d− = d−1 ⇔ d = 69 69  14x − 4y − 8z + =  Phương trình mặt phẳng (P): 20 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1,d2 có phương trình  x = 1+ t  d1 :  y = − t x − y − z+ d2 : = =  z = d1 −2 , Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d2 d1 d2 , cho khoảng cách từ đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ đến (P) r d1 u1 = (1; −1;0) A(1;2;1) • Ta có : qua có VTCP r d2 u2 = (1; −2;2) B(2;1; −1) qua có VTCP r r r r n = u1,u2  = (−2; −2; −1) d1 d2 n Gọi VTPT (P), (P) song song với nên 2x + 2y + z + m=  Phương trìnht (P): 7+ m 5+ m d(d1,(P )) = d(A;(P )) = d(d2,(P )) = d(B,(P )) = 3 ;  + m= 2(5+ m) 17 ⇔ ⇔ m= −3; m= − d(d1,(P )) = 2d(d2,(P )) ⇔ + m = 5+ m  + m= −2(5+ m) + Với m= −3 ⇒ (P ): 2x + 2y + z – = m= − + Với 17 17 (P ) : 2x + 2y + z − = ⇒ 21 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = A(0; −1;2) B(1;0;3) , tiếp xúc với mặt cầu (S): • (S) có tâm I (1;2; −1) , bán kính R= TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn C TÌM ĐIỂM THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Dạng 1: Xác định điểm thuộc mặt phẳng Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) B(3;4;1) Tìm toạ độ x − y + z − 1= điểm M thuộc mặt phẳng (P): để ∆MAB tam giác x + y − z− = • Gọi (Q) mặt phẳng trung trực đoạn AB ⇒ (Q): { x = 2; y = t + 1; z = t d giao tuyến (P) (Q) ⇒ d: 134 M∈d⇒ Vì AB = M (2; t + 1; t) ⇒ AM = 2t2 − 8t + 11 12 nên ∆ MAB MA = MB = AB  ± 18 ± 18  ± 18 ⇒ M  2; ; ÷ ⇔ 2t2 − 8t − 1= ⇔ t =  2  Câu hỏi tương tự: A(4;0; 0) , B(0; 0; 4) 2x − y + 2z − = a) Với , (P): ĐS: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3) B(2; 0;–1) Tìm toạ độ 3x − y − z + = điểm M thuộc mặt phẳng (P): để ∆MAB tam giác M (x; y; z) ∈ (P ) 3x − y − z + 1= • Giả sử  (1)  x =  10 2  MA = MB y =  x + z = −     MA2 = AB2 6z = −1  z = − M  2; 10; −   M ∈ (P )  ÷  x − y − z = −     3 6  MAB     Câu hỏi tương tự: A(1;1; −3), B(3;1; −1),(P ) : 3x − 8y + 7z + = a) Với   6 6 6 6 C  2+ ;1− ; −2 − C  2− ;1+ ; −2 + ÷ ÷ 3  3    ĐS: 135 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn b) Với A(1;2;3), B(−1;4;2),(P ) : x − y + z + 1= ĐS:  1− 11−  C ; ; ÷  4 2  1+ 11+  C ; ; ÷  4 2 A(3;5;4) , B(3;1;4) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Tìm tọa độ (P ) : x − y − z − 1= điểm C thuộc mặt phẳng cho tam giác ABC cân C có diện tích 136 17 C(x; y; x − y − 1) ∈ (P ) AB = • Giả sử: AC = BC ⇒ (x − 3)2 + (y − 5)2 + (x − y − 5)2 = (x − 3)2 + (y − 1)2 + (x − y − 5)2 ⇒ y = Gọi I trung điểm AB ⇒ I (3;3;4) SIAB = 17 ⇒ CI AB = 17 ⇒ CI = 17 + Với x = ⇒ C (4;3;0) + x = (3− x)2 + (8− x)2 = 17 ⇔  x =  x = ⇒ C(7;3;3) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1) 2x + 2y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): cho MA = MB = MC uuu r uuur uuu r uuur r AB = (2; −3; −1), AC = (−2; −1; −1) ⇒ n =  AB, AC  = (2;4; −8) • Ta có VTPT (ABC) x + 2y − 4z + = Suy phương trình (ABC): Giả sử M(x; y; z) x =   MA = MB = MC y =  M ∈ (P ) M(2;3; −7)  ⇔  z = −7 Ta có: ⇒ 137 A(0; −2;1), B(2;0;3) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm mặt phẳng ( P) : x − y − z + = ( ABM ) ⊥ ( P ) Tìm điểm M thuộc (P) cho MA =MB 138 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn • Gọi (Q) mặt phẳng trung trực AB I (1; −1;2) v r uuu ⇒ nQ = AB = (1;1;1) trung điểm AB  Phương trình VTPT (Q) (Q) : x + y + z − = r r r nR =  nP ; nQ  = (0;3; −3) Gọi (R) mặt phẳng qua A, B vng góc với (P) (R) : y − z + = (R)  Phương trình 2x − y − z + =  17    x + y + z− = ⇒ M  − ;− ; ÷  6  y − z + = Toạ độ M nghịêm cuả hệ: VTPT Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B mp(Oxy) cho tứ giác OABC hình chữ nhật Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm O, B, C, S • OABC hình chữ nhật ⇒ B(2; 4; 0) ⇒ Tọa độ trung điểm H OB H(1; 2; 0), H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng OCB + Đường thẳng vng góc với mp(OCB) H cắt mặt phẳng trung trực đoạn OS (mp có phương trình z = ) I ⇒ I tâm mặt cầu qua điểm O, B, C, S 139 + Tâm I(1; 2; 2) R = OI = 1+ 22 + 22 = ⇒ (S): (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 = A(–1;3;–2), B(–3;7;–18) Trong không gian Oxyz cho hai điểm mặt phẳng (P): 2x – y + z + = Tìm tọa độ điểm M ∈ (P) cho MA + MB nhỏ 140 • A, B nằm phía (P) Gọi A′ điểm đối xứng với A qua (P) ⇒ A'(3;1;0) M(2;2; −3) Để M ∈ (P) có MA + MB nhỏ M giao điểm (P) với A′B ⇒ Câu hỏi tương tự:   M  − ; − ;0÷ A(0; −1;2), B(−1;1;3) (P ) ≡ (Oxy)  5  a) Với , ĐS: A(1;0;0) B(1;2;0) (P ) : x + y + z − = b) Với , , ĐS:  13 4 M  ;1; − ÷ A(1;2; −1), B(3;1; −2),(P ) : x − y + 2z = 5  c) Với ĐS: TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn 141 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) đường thẳng { x = −1+ 2t; y = 1− t; z = 2t ∆ có phương trình tham số Một điểm M thay đổi đường ∆ thẳng , xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ • Gọi P chu vi tam giác MAB P = AB + AM + BM Vì AB khơng đổi nên P nhỏ AM + BM nhỏ Điểm M∈∆ nên M ( −1+ 2t;1− t;2t) AM + BM = (3t)2 + (2 5)2 + (3t − 6)2 + (2 5)2 r u = 3t;2 ( ) r v = −3t + 6;2 ( Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ r r u = (3t)2 + (2 5)2 ; v = (3t − 6)2 + (2 5)2 Ta có r r r r r r u + v = (6;4 5) ⇒ | u + v |= 29 AM + BM =| u | + | v | ⇒ r r r r AM + BM ≥ 29 | u | + | v |≥| u + v | Mặt khác, ta ln có Như 3t r r ⇔ = ⇔ t=1 −3t + u, v Đẳng thức xảy hướng ⇒ M(1;0;2) min(AM + BM ) = 29 Vậy M(1;0;2) minP = ) 2( 11 + 29) (P ) : x − 3y + 3z − 11 = Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng A(3; −4;5) B(3;3; −3) M ∈ (P ) MA − MB hai điểm , Tìm điểm cho lớn  Xét tương tự câu 6) MA − MB ≤ AB + Nếu A, B phía so với (P) A′ + Nếu A, B khác phía so với (P), ta lấy điểm đối xứng với A qua (P) MA′ = MA ⇒ MA − MB = MA′ − MB ≤ A′B Khi  31 31 M  − ;− ; ÷  7 7 ĐS: Câu hỏi tương tự: (P ) : x + y + z − = A(1;2;1) B(0;1;2) a) , , ĐS: 142 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn b) (P ) : x − y + 2z = 0, A(1;2; −1),C(1; −2;1) ĐS:  11  M  ; ;1÷ 2  x − y + 2z + = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 A(–1;2;3), B(3;0;–1) MA + MB ∈ điểm Tìm điểm M (P) cho nhỏ 143 • Gọi I trung điểm AB  Do đó: MA2 + MB2 nhỏ uuu r r  IM , n ng phương P cù   M ∈ (P ) I (1; 1; 1) ⇔ IM MA2 + MB2 = 2MI + Ta có: nhỏ  M hình chiếu vng góc I (P)  x = 1+ t t = −1  y = 1− 2t  x = ⇔ ⇔  z = 1+ 2t y =  x − 2y + 2z + =  z = −1   Câu hỏi tương tự: x + y+ z = a) Với (P): , A(–3; 5;–5); B(5;–3; 7) b) Với (P): AB2 x + 5y − 7z − = A(4;9; −9), B(−10;13;1) , Vậy M(0; 3; –1) ĐS: M  O(0; 0; 0)  50 192 75  M  − ;− ; ÷  17 17 17  ĐS: (P ) : x + y + z − = Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng A(1;2;1) B(0;1;2) M ∈ (P ) MA2 + 2MB2 điểm , Tìm điểm cho nhỏ  5 I ; ; ÷ uu r uu r r uu r uu r  3 3 IA + 2IB = ⇔ IA = −2IB  Giả sử I điểm thoả mãn:  144 Ta có: MA2 + 2MB2 = 3MI + IA2 + 2IB2 Vậy MA + 2MB nhỏ  14 17  M ; ; ÷ 9 9  (P)  ⇔ MI Do I cố định nên nhỏ ⇔ MI IA2, IB2 nhỏ không đổi ⇔M hình chiếu I TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), x – y– z– 3= C(5; 2; 1) mặt phẳng (P): Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng 145 F = MA2 + MB2 + MC (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Khi tìm toạ độ M 7  56 32 104 64 + + =  ; ;3÷ GA2 + GB2 + GC = 3  9 • Gọi G trọng tâm ∆ABC ⇒ G ; uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur F = MA2 + MB2 + MC = ( MG + GA) + ( MG + GB) + ( MG + GC ) Ta có uuuu r uuu r uuu r uuuu r = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC + 2MG(GA + GB + GC ) = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC F nhỏ ⇔ MG2 nhỏ ⇔ M hình chiếu G lên (P) − − 3− 3 19 MG = d(G,(P )) = = 1+ 1+ 3 ⇔ Vậy F nhỏ Câu hỏi tương tự:  19  64 553 3. = ÷ +  3 a) A(1; –3; 5), B(1; 4; 3), C(4; 2; 1), (P): M hình chiếu G lên (P) x − y− z− =  11 −2  M ; ; ÷  3 3 F = 65 ĐS: ,  22 61 17  M  ; ;− ÷ 3 x + 3y – z + =  3 b) A(1; 1; 0), B(0; 1; 1) C(2; 2; 1), (P): ĐS: x − y + 2z + = c) A(–1; 2; 3), B(3; 0; –1), C(1; 4; 7), (P): ĐS: M (0; 4; 1) A(−1;0;1) B(2; −1;0) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm , , C(2;4;2) x + y + 2z + = mặt phẳng (P): Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho biểu 146 thức T = MA2 + MB2 + MC đạt giá trị nhỏ M (x; y; z) ∈ (P ) x + y + 2z + = (x − 1) + (y − 1) + 2(z − 1) + = • Giả sử   (1) TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Ta có: T = 3(x2 + y2 + z2 − 2x − 2y − 2z) + 31= 3(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 + 22 Từ (1), áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho số: (1;1;2) (x − 1; y − 1; z − 1) (2) , ta được: (−6)2 = 1(x − 1) + 1(y − 1) + 2(z − 1) ≤ (1+ 1+ 4) (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z− 1)2  T ≥  + 22 = 40 Dấu "=" xảy   x − y − z −  x =  = =  1 ⇔ y =  z = −1  x + y + 2z + =  M(0;0; −1) (P ) : x + y + z − = Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng 2 A(1;2;1) B(0;1;2) C(0;0;3) M ∈ (P ) MA + 3MB + 2MC điểm , , Tìm điểm cho nhỏ  Giải tương tự Câu 10 147 (P ) : x − y + z − 1= Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng A(1;2; −1) B(1;0; −1) C(2;1; −2) M ∈ (P ) MA2 + MB2 − MC điểm , , Tìm điểm cho nhỏ  2 M ; ; ÷  3 3  Giải tương tự Câu 10 ĐS: 148 (P ): x − y + 2z = Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng 2 A(1;2; −1) B(3;1; −2) C(1; −2;1) M ∈ (P ) MA − MB − MC điểm , , Tìm điểm cho nhỏ M ( 2; −2; −2)  Giải tương tự Câu 10 ĐS: 149 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) x + y+ z− 3= mặt phẳng (P) có phương trình: Tìm (P) điểm M cho uuur uuur uuur MA + 2MB + 3MC nhỏ 150 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn uu r uu r uur r IA + 2IB + 3IC =  23 13 25 I ; ; ÷  6 6 • Gọi I điểm thoả: ⇒ uuur uuur uuur uuu r uu r uuu r uu r uuu r uur uuu r uuu r MA + 2MB + 3MC = ( MI + IA) + 2( MI + IB) + 3( MI + IC ) = 6MI = MI Ta có: T = Do đó: T nhỏ ⇔ uuu r MI  13 16  M  ;− ; ÷  9 9 Cách 2: Giả sử nhỏ ⇔ M hình chiếu I (P) Ta tìm được: minT = Khi M (x; y; z) ∈ (P )  43 3 x + y+ z− = (1)  23  13  25 MI =  x − ÷ +  y − ÷ +  z − ÷ 6  6  6  Khi đó: Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1), ta được: 2 2   43     23 13 25  23  13  25   − = x − + y − + z − ≤ x − + y − + z −  ÷   ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ 6 6  6  6     6        43 MI ≥ 3 ÷  18  Dấu "=" xảy  minT = Vậy MI ≥  43 18  23 13 25  x − y − z− = =  1  x + y+ z− = 43 3  13 16  M  ;− ; ÷  9 9   13 x =   y = −  16 z =     13 16  M  ;− ; ÷  9 9 (P ) : x + y + z − = Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng uuur uuur uuur A(1;2;1) B(0;1;2) C(0;0;3) M ∈ (P ) MA + 3MB + 4MC điểm , , Tìm điểm cho nhỏ  Giải tương tự Câu 16 151 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Oxyz (P ) : x + y + z − 1= Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt phẳng ba A(2;1;3), B(0; −6;2),C(1; −1;4) ( P ) M điểm Tìm tọa độ điểm mặt phẳng cho uuur uuur uuur MA + MB + MC đạt giá trị bé G(1; −2;3) A, B,C G ABC • Dễ thấy không thẳng hàng Gọi trọng tâm tam giác , uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuu r M ∈ (P ) MA + MB + MC MA + MB + MC = 3MG Khi với ta có , đạt giá trị uuuu r (P ) ⇔  MG ⇔M G bé đạt giá trị bé hình chiếu vng góc r M (x0; y0; z0) ∈ (P ) ⇒ x0 + y0 + z0 − 1= n = (1;1;1) (P) có VTPT Giả sử (1) uuur r (P ) ⇔ GM = ( x0 − 1; y0 + 2; z0 − 3) n G M hình chiếu phương với x − y0 + z0 − (x0 − 1) + (y0 + 2) + (z0 − 3) (x0 + y0 + z0 − 1) − −1 ⇔ = = = = = 1 1+ 1+ 3 152 −7 x0 = , y0 = , z0 = 3  Câu hỏi tương tự: a) Vậy  −7  M ; ; ÷  3 3 (P ) : x − y + 2z = 0, A(1;2; −1), B(3;1; −2),C (1; −2;1) ĐS:  2 M  ; ;− ÷  3 3x − 3y + 2z + 37 = Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): A(4;1;5), B(3;0;1),C(−1;2;0) điểm Tìm độuuđiểm M thuộc (P) cho biểu thức sau uuur uuur uuur uu ur toạ uuuuru r MA.MB + MB.MC + MC.MA đạt giá trị nhỏ nhất: S = M (x; y; z) ∈ (P ) 3x − 3y + 2z + 37 = • Giả sử  (1) S = 3(x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 − 5 Khi Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1) ta được: (−44)2 = 3(x − 2) − 3(y − 1) + 2(z − 2) ≤ (9 + + 4) (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2  153 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 ≥  442 = 88 22 x − y − z− = = −3  x = −4  y =   z = −2 Dấu "=" xảy   M(4;7; −2) minS = 3.88− = 259 Vậy  M(4;7; −2) A(0;1;2), B(−1;1;0) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm mặt x− y+ z = phẳng (P): Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho MAB vuông cân B uur uuur M (x; y; z) ∈ (P ) BA = (1;0;2), MB = (x + 1; y − 1; z) • Giả sử   −1− 10 −4 + 10 x = x = 3     −4 + 10 −2 + 10 y = ∨ y = u  M ∈ ( P ) x + + z = 6    ur uuur     BA.BM =  x − y + z = −2 − 10 −2 + 10 z =  BA = BM (x + 1)2 + (y − 1)2 + z2 =  z = 6  Ta có:   154 B(−1; 3; 0) C(1; 3; 0) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm , , M (0; 0; a) với a > Trên trục Oz lấy điểm N cho mặt phẳng (NBC) vng góc với mặt phẳng (MBC) Tìm a để thể tích khối chóp BCMN nhỏ 155 VBCMN = VMOBC + VNOBC = • 3 3  a+ ÷ 3 a a= đạt nhỏ ⇔ a ⇔ a= TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Dạng 2: Xác định điểm thuộc đường thẳng  x = −2t  d : y = t   z = −1− 2t Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng mặt phẳng x + y − z + 1= (P): Gọi d  hình chiếu d mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm H K(1;1;4) thuộc d  cho H cách điểm khoảng  x = + 7t   y = −2 − 2t  A(4; −2;3)  z = 3+ 5t • Gọi A = d  (P)  PT hình chiếu d d (P): 156 H (4 + 7t; −2 − 2t;3+ 5t) ∈ d′ KH = 25 Giả sử  t= −11± 238 39  H Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2),B(–1; 2; 4) đường x−1 y+ z = = MA2 + MB2 = 28 ∆ −1 ∆ thẳng : Tìm toạ độ điểm M cho:  x = 1− t  ∆ :  y = −2 + t  z = 2t M ∈ ∆ ⇒ M (1− t; −2 + t;2t) • PTTS MA2 + MB2 = 28 ⇔ 12t2 − 48t + 48 = ⇔ t = M(−1;0;4) Ta có:  157 Oxyz, A(0;1;0), B(2;2;2),C(−2;3;1) Trong khơng gian toạ độ cho điểm đường x − y + z− d: = = −1 M thẳng Tìm điểm d để thể tích tứ diện MABC  x = 1+ 2t  r uuur d :  y = −2 − t  uuu r n = − AB ; AC  = (1; 2; − 2)   z = 3+ 2t M (1+ 2t; − − t; 3+ 2t) ∈ d • Giả sử 158 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn SABC = x + 2y − 2z − = PT mặt phẳng (ABC): 17 4t + 11 t= − VMABC = = 3⇔ t = − 32  3 1  15 11 M− ; − ; ÷ M− ; ; − ÷  2  2   159 h = d(M,( ABC) = −4t − 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) đường thẳng d: x − y z− = = 1 Tìm d hai điểm A, B cho tam giác ABM • Gọi H hình chiếu M d Ta có: MH = d(M , d) = 2MH = 3 Tam giác ABM đều, nhận MH làm đường cao nên: MA = MB = AB =  x − y z−  = 1=  (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 =  Do đó, toạ độ A, B nghiệm hệ:  2 2  2 2 A + ; ;3+ ;− ;3− ÷, B  − ÷ 3   3   Giải hệ ta tìm được: Câu hỏi tương tự: x = t   5+ 76 10 + 76   1− 76 − 76  d :  y = 2t A ; ;1÷, B  ; ;1÷   M(1;0; −1) z = 15 15  15   15  a) Với , ĐS:  5− 76 10 − 76   1+ 76 + 76  A ; ;1÷, B  ; ;1÷ 15 15  15   15  160 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) đường thẳng d:  x = 1− t   y = + 2t  z = TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Tìm d hai điểm B, C cho tam giác ABC  d có VTCP Giả sử Mà AH r ud = (−1;2;0) H ( 1− t; + 2t;3) ⊥ ⇒ AH = d nên 5 Gọi uuuu r H hình chiếu vng góc A d AH = ( 1− t;1+ 2t;0) ⇒ uuur r AH ⊥ ud −1( 1− t) + 2( 1+ 2t) = ⇒ 2AH Mà ∆ABC nên BC = = B(1− s;2+ 2s;3)  Vậy: 161 25s + 10s − =   − 8+  B ; ;3÷    + 8−  B ; ;3÷   hay BH = ⇒ 6  H  ; ;3÷ 5  15   2  15  − − s÷ +  + 2s÷ = 25   5  s= ⇔ 15 Giả sử t= − −1± và  + 8−  C ; ;3÷    − 8+  C ; ;3÷   Trong khơng gian với hệ toạ Oxyz, tìm Ox điểm A cách đường thẳng (d) : x −1 y z + = = 2 • Gọi A(a; 0; 0) mặt phẳng (P) : ∈ Ox ⇔ d(A; (P)) = d(A; d) 2x – y – 2z = d( A; (P )) = ⇒ 2a ⇔ 4(a − 3)2 = ⇔ a = = 2a 22 + 12 + 22 = 2a d(A; d) = ; 8a2 − 24a + 36 ⇔ 4a2 − 24a + 36 = Vậy có điểm A(3; 0; 0) 8a2 − 24a + 36 TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn x – 2y + 2z – 1= Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): hai x + y z+ x − y− z+ = = = = 1 −2 đường thẳng ∆1 : ; ∆2 : Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) r a • M (–1 + t; t; –9 + 6t) ∈∆1; ∆2 qua A (1; 3; –1) có véctơ phương = (2; 1; –2) uuur r uuur  AM; a AM = (t – 2; t – 3; 6t – 8) ⇒ = (14 – 8t; 14t – 20; – t) 162 Ta có : d (M, ∆2) = d (M, (P)) ⇔ 261t2 − 792t + 612 = 11t − 20  18 53   ; ; ÷  35 35 35 53 35 ⇔ 35t2 – 88t + 53 = ⇔ t = hay t = Vậy M (0; 1; –3) hay M Câu hỏi tương tự: x− y− z x − 2− y z− ∆1 : = = ∆2 : = = 2x + y + 2z − 1= 1 −1 1 a) Với (P): , , ĐS: M(2;4;1) M(−1;1;4) , ∆1 : x − y z+ = = −1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x + y− z− ∆2 : = = ∆1 ∆2 ∆1 ∆2 −1 Đường vng góc chung cắt A, cắt B Tình diện tích OAB r r ∆1 u1 = (2; −1;1) ∆2 u2 = (1;7; −1) • có VTCP , có VTCP A(1+ 2t1; −t1; −2 + t1) ∈ ∆1 B(−1+ t2;1+ 7t2;3− t2) ∈ ∆2 Giả sử , uuu rr  AB.u = t = ⇒ A(1;0; −2) r uuu r r r1  uuu ⇔1  uuu  S = OA , OB  OAB  AB.u2 = t2 = ⇒ B(−1;1;3) 2 Ta có:  = 163 164 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − 2y + 2z − = TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn d1 : x−1 = y− z = ; −3 d2 : x− = y = z+ M ∈ d1, N ∈ d2 −5 đường thẳng Tìm điểm cho MN // (P) cách (P) khoảng  x = 1+ 2t   y = 3− 3t  z = 2t ( 1+ 2t;3− 3t;2t) • PTTS d1 là: M ∈ d1 nên tọa độ M 1+ 2t − 2(3− 3t) + 4t − 12t − t = d(M;(P )) = = 2⇔ = 2⇔  t = 12 + (−2)2 + 22 Theo đề: M1 ( 3;0;2) M2 ( 1;3;0) + Với t = ta ; + Với t = ta ∈ d2 • Ứng với M1, điểm N1 cần tìm phải giao d2 với mp qua M1 // (P), gọi mp (x − 3) − 2y + 2(z − 2) = ⇔ x − 2y + 2z − = (1) (Q1) PT (Q1) là:  x = 5+ 6t   y = 4t  z = −5− 5t PTTS d2 là: (2) Thay (2) vào (1), ta được: t = –1 Điểm N1 cần tìm N1(–1;–4;0) • Ứng với M2, tương tự tìm N2(5;0;–5) 165 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): d1 : x−1 = y− = z −2 d2 : x− = y = 2x − y + 2z − = z+ A ∈ d1, B ∈ d2 đường thẳng , Tìm điểm cho AB // (P) AB cách (P) khoảng A(2t1 + 1,t1 + 3,−2t1) ∈ d1 B(3t2 + 5,4t2,2t2 − 5) ∈ d2 • Giả sử: , uuu r AB = (3t2 − 2t1 + 4,4t2 − t1 − 3,2t2 + 2t1 − 5) uuu rr AB.nP = ⇔ 2(3t2 − 2t1 + 4) − 4t2 + t1 + 3+ 2(2t2 + 2t1 − 5) = ⇔ 6t2 + t1 + = AB P (P ) ⇒ d( AB,(P )) = d(A,(P )) = 4t1 + − t1 − 3− 4t1 − = t1 +  t1 = −5 ⇔ =1  t =1  ... 4z = 6x − 3y + 4z = a) Với ĐS: 17 Trong không gian với hệ trục tọa độ (P ) Oxyz Oxyz A(1;1; −1) B(1;1;2) C(−1;2; −2) 18 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , , x − 2y + 2z + 1=... − z − + = 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (Q) : x − 4y − 8z + 12 = (R) Lập phương trình mặt phẳng (P ) : 5x − 2y + 5z − = qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vng góc... trình mặt phẳng liên quan đến tam giác 40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, cắt trục tọa độ I, J, K mà A trực tâm tam giác IJK TRUNG