CHUYÊN ĐỀ 4: SỐ PHỨC Kiến thức 1.1 Các khái niệm 1.2 Các phép toán số phức * Phép cộng phép trừ, nhân hai số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:  z + z ' = ( a + a ') + (b + b ')i   z − z ' = ( a − a ') + (b − b ')i zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i * Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số 1 z= 2z 2 a +b z -1 z = z' z Thương phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z' z '.z = z.z −1 = z z Các dạng tập 2.1 Dạng 1: Các phép toán số phức − i Ví dụ 1: Cho số phức z = 2 Tính số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 11 Giải: 3 − i + i *Vì z = 2 ⇒ z = 2   3 − i÷  + i − i − i ÷ 2  =4 =2 *Ta có z =    3 + i÷ = + i + i = + i  ÷ 4 2 2 2   ⇒ (z ) = 1   3 i ÷ + i÷ = + i+ i− =i  + ÷ ÷ 2  2  4 z  z z ( ) =( ) = Ta có: + z + z = 1+ 1 3 + 1+ − i+ − i= − i 2 2 2 Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: Giải: z = (1 + i )(3 − 2i) + 3+i 3−i 3−i = 5+i + (3 + i )(3 − i ) 10 Ta có 53 z= − i 10 10 Suy số phức liên hợp z là: z = 5+i + z= Ví dụ 3: Tìm phần ảo số phức z biết Giải: ( )( ) ( z = + 2i − 2i = + 2i Phần ảo số phức Giải: Ta có: z= ) ( − 2i ) z = − 2i z=− Ví dụ 4: Tìm mô đun số phức z= Suy ra, +i (1 + i )(2 − i) + 2i 5+i = 1+ i 5 26 1 z = 1+  ÷ = 5 Vậy mô đun z bằng: 22  ( − 3i ) z= Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn 1− i Tìm môđun số phức z + iz Giải: Ta có: ( − 3i ) z= = −8 Do −8 = −4 − 4i ⇒ z = −4 + 4i 1− i ⇒ z + iz = −4 − 4i + ( −4 + 4i ) i = −8 − 8i z + iz = Vậy x, y Ví dụ 6: Tìm số thực thỏa mãn đẳng thức: a) 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i b) (2x + 3y + 1) + ( –x + 2y)i = (3x – 2y + 2) + (4x – y – 3) i x ( + 5i ) + y ( − 2i ) = −35 + 23i c) Giải: a) Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i⇔ (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i  x=−    3 x + y = y − y =  ⇔ 5 x = x − y ⇔   x =  2 x + y + = 3x − y + − x + y = 11 ⇔ ⇔  − x + y = x − y −  −5 x + y = −3 y =  11 b) Theo giả thiết ta có: c) Ta có ( − 2i ) = ( − 2i ) ( − 2i ) = ( −3 − 4i ) ( − 2i ) = 2i − 11 x ( + 5i ) + y ( − 2i ) = −35 + 23i ⇔ x ( + 5i ) + y ( 2i − 11) = −35 + 23i Suy 3 x − 11 y = −35 x = ⇔ ( x − 11y ) + ( x + y ) i = −35 + 23i ⇔  ⇔ 5 x + y = 23 y = Bài tập tự luyện Tìm số thực x, y biết: a (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; b (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; Chứng minh z = (1+2i)(2 - 3i)(2+i) (3-2i ) số thực 33 z1 = + 5i ; z = − 4i z1.z2 Cho hai số phức: Xác định phần thực, phần ảo số phức Tìm phần thực, phần ảo mô đun số phức: z = (2 + 3i )(1 − i) − 4i z = (2 − 2i )(3 + 2i )(5 − 4i ) − (2 + 3i) a) b) 25i z = − 4i z 2z + z Tìm số phức: , biết w= Cho số phức z = + 3i.Tìm phần thực phần ảo số phức 2.2 Dạng 2: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số số phức z+i iz − z , z , z , Nếu hệ thức tìm số phức z xuất hay nhiều đại lượng sau: z = x + yi x, y ∈ R dụng Dạng đại số z với z − ( + 3i ) z = − 9i Ví dụ 1: Tìm số phức z biết Giải: ∈R Gọi z= a+ bi (a,b ) ta có: z − ( + 3i ) z = − 9i ⇔ a + bi − ( + 3i ) ( a − bi ) = − 9i −a − 3b = a = ⇔ − a − 3b − ( 3a − 3b ) i = − 9i ⇔  ⇔ 3a − 3b = b = −1 Vậy z= 2-i Ví dụ 2: Tính mô đun số phức z biết rằng: Giải: ∈R Gọi z= a+ bi (a, b ) Ta có ( z − 1) ( + i ) + ( z + 1) ( − i ) = − 2i ( z − 1) ( + i ) + ( z + 1) ( − i ) = − 2i ⇔ ( 2a − 1) + 2bi  ( + i ) + ( a + 1) − bi  ( − i ) = − 2i ⇔ ( 2a − 2b − 1) + ( 2a + 2b − 1) i + ( a − b + 1) − ( a + b + 1) i = − 2i  a=  3a − 3b =  ⇔ ( 3a − 3b ) + ( a + b − ) i = − 2i ⇔  ⇔ a + b − = −2 b = −  44 ta sẽ sử z = a2 + b2 = Suy mô đun: 2 z + z z + z = Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn: Giải ∈ Gọi z = x + iy (x, y R), ta có z+z=2 z = x − iy; z = z = z z = x + y 2 z + z.z + z = ⇔ 4( x + y ) = ⇔ ( x + y ) = (1) z + z = ⇔ x = ⇔ x = (2) ±1 Từ (1) (2) tìm x = ; y = Vậy số phức cần tìm + i - i z + − 2i = z + + 4i Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: ảo Giải ∈R Đặt z= x+ yi (x,y ) Theo ta có x + + ( y − 2) i = x + + ( − y ) i ⇔ ( x + 1) + ( y − ) = ( x + 3) + ( y − ) ⇔ y = x + Số phức 2 2 z − 2i x + ( y − ) i x − ( y − ) ( y − 1) + x ( y − ) i w= = = x + (1− y) i z +i x + ( y − 1) w số ảo 12 23 z=− + i 7 Vậy  x − ( y − ) ( y − 1) = 12  x = −   ⇔  x + ( y − 1) > y = x +  y = 23   Ví dụ 5: Tìm tất số phức z biết Giải: z2 = z + z 55 z − 2i z +i số Gọi z= a+ bi (a, b ∈R ) ta có: z + z + z ⇔ ( a + bi ) = a + b + a − bi 2 ⇔ a − b + 2abi = a + b + a − bi  a = b =  a = −2b a − b = a + b + a ⇔ ⇔ ⇔ a = − ; b =  2ab = −b b ( 2a + 1) =  a = − ; b =  Vậy z=0; −1 1 1 z = − + i; z = − − i 2 2 Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn Giải: Gọi z= a+ bi (a, b ∈R ) Ta có z = z2 số ảo z = a2 + b2 z = a − b + 2abi a + b = a = a = ±1 ⇔ ⇔  2 a − b = b = b = ±1 Yêu cầu toán thỏa mãn Vậy số phức cần tìm 1+i; 1-i; -1+i; -1-i z− 5+i −1 = z Ví dụ 7: Tìm số phức z biết Giải: a2 + b2 ≠ ∈R Gọi z= a+ bi (a, b ) ta có z− 5+i 5+i − = ⇔ a − bi − − = ⇔ a + b − − i − a − bi = z a + bi a + b − a − = ⇔ ( a + b − a − 5) − b + i = ⇔  b + = 2 ( )  a = −1; b = − a − a − = ⇔ ⇔ b = −  = a = 2; b = − Vậy z = −1 − i z = 2+i 66 Ví dụ 8: Tìm số phức z thỏa mãn Giải: ∈R Giả sử z= x+ yi (x, y ) Khi đó, z −i = ( z − 1) ( z + i ) số thực z − i = ⇔ x + ( y − 1) = ( 1) ( z − 1) ( z + i ) = ( x − + yi ) ( x − ( y − 1) i ) = x ( x − 1) + y ( y − 1) + ( x + y − 1) i ( z − 1) ( z + i ) ∈ R ⇔ x + y − = ( ) Từ (1) (2) ta có x=1; y=0 x=-1; y=2 Vậy z=1; z=-1+ 2i  Bài tập tự luyện z−2+i = Bài Tìm số phức z thỏa mãn: Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị Bài Tìm số phức z thỏa mãn: | z | - iz = – 2i Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z − ( + i ) = 10 z.z = 25 z − ( + 2i ) = 26 z.z = 25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn Bài Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: z =2 z =5 a) z số ảo b) phần thực z hai lần phần ảo Bài Tìm số phức z thoả mãn Bài Giải phương trình: a) z2 + z = z = b) z2 số ảo z2 + z = z ( z + 1)(1 + i ) + Bài Tìm số phức z biết z −1 = z −1 = | z |2 1− i (1 + i )( z − 1) Bài Tìm số phức z biết: có phần ảo 2.3 Dạng 3: Biểu diễn hình học số phức Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Trong dạng này, ta gặp toán biểu diễn hình học số phức hay gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thỏa mãn hệ thức (thường hệ thức liên quan đến môđun số phức) Khi ta giải toán sau: Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M 77 Ví dụ 1: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau đây: z −1+ i a) =2 b) + z = 1− i c) z − 4i + z + 4i = 10 Giải: Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) biểu diễn điểm M(x;y) z −1+ i a) Xét hệ thức: =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y ∈ R) ⇒ z – + i = (x – 1) + (y + 1)i 2 Khi (1) ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = ⇔ (x-1)2 + (y + 1)2 = 4.⇒ Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) đường tròn có tâm I(1;-1) bán kính R = y B A -2 x O -1 -1 -2 2+ z = z −i b) Xét hệ thức ⇔ |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| 2 2 ⇔ (x+2) + y = x + (1-y) ⇔ 4x + 2y + = Vậy tập hợp điểm M đường thẳng 4x + 2y + = Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = đường trung trực đoạn AB c) Xét hệ thức: z − 4i + z + 4i = 10 Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn điểm 4i -4i tức F1 (0;4) F2 =(0;-4) Do đó: z − 4i + z + 4i = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 Ta có F1F2 = ⇒ Tập hợp tất điểm M nằm (E) có hai tiêu điểm F F2 có độ dài trục lớn 10 x2 y + =1 Phương trình (E) là: 16 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z − i = (1+ i) z Giải: Đặt z= x+ yi (x,y ∈R ) 88 Ta có: z − i = ( + i ) z ⇔ x + ( y − 1) i = ( x − y ) + ( x + y ) i ⇔ x + ( y − 1) = ( x − y ) + ( x + y ) 2 ⇔ x + y + xy − = ⇔ x + ( y + 1) = 2 x + ( y + 1) = 2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn có phương trình ( + 3i ) z = (1 + i )5 Ví dụ 3: Cho số phức Giải t = ⇔ t − 4t = ⇔  t = A = z + 2iz Tìm tập hợp điểm biểu diễn , biết x − y −1 = t = ⇒ B ( 0; − 1) , C ( 4; − 1) t = ⇒ B ( 4; − 1) , C ( 0; − 1) Giả uu r sử z2 = x + yi x, y ∈ R biểu diễn điểm M(x;y) Khi ta có: nP = ( a, b, c ) , a + b + c ≠ 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z2 đường tròn tâm O, bán kính Ví dụ 4: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện nhỏ nhất z − − 4i = z − 2i Tìm số phức z có môđun Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y ∈ R) biểu diễn điểm M(x;y) x − + ( y − 4)i = x + ( y − 2)i Ta có ⇔ y = −x + (1) ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = x + ( y − 2) Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (1) đường thẳng x + y = Mặt khác z = x + y = x + x − x + 16 = x − x + 16 z = ( x − 2) + ≥ 2 Hay Do z ⇔ x = ⇒ y = Vậy z = + 2i 99 Ví dụ 5: Biết số phức z thỏa mãn ( u = ( z + − i ) z + + 3i ) số thực Tìm giá trị nhỏ z nhất Giải ∈R Đặt z= x+ yi (x, y ) ta có u = ( x + 3) + ( y − 1) i  ( x + 1) − ( y − 3) i  = x + y + x − y + + ( x − − y − ) i u∈R ⇔ x− y −4 = Ta có: Tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) điểm biểu diễn z ⇔ OM ⊥ d mô đun z nhỏ nhất độ dài OM nhỏ nhất Tìm M(-2;2) suy z=-2+2i Z ( + i ) − + 2i = Ví dụ 6: Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất thỏa mãn điều kiện 13 Giải Gọi z = x + yi ( x, y ∈ R ) ⇒ z = x − yi z (1 + i ) − + 2i = 13 39 ⇔ x2 + y − x − y + =0 Gọi M (x;y) điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Oxy I( ; ) 2 R= bán kính 26 Gọi d đường thẳng qua O I ⇒ d : y = 5x Gọi M1, M2 hai giao điểm d (C) OM > OM  OM = OI + R ≥ OM ( M ∈ (C )) Ta thấy ⇒ ⇒ M ∈ (C ) 15 ⇒ M1 ( ; ) 4 z= số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay 10 10 M2( ; ) 4 15 + i 4 đường tròn có tâm  u= Ví dụ 7: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho Giải ∈R Đặt z= x+ yi (x, y ), đó: u= z + + 3i z −i số ảo ( x + ) + ( y + 3) i = ( x + ) + ( y + 3) i   x − ( y − 1) i  x + ( y − 1) i x + ( y − 1) (x = + y + x + y − 3) + ( x − y + 1) i x + ( y − 1) u số ảo 2  x + y + x + y − = ( x + 1) + ( y + 1) = ⇔  2 x + y − > ( )  ( x; y ) ≠ ( 0;1) Vậy tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính trừ điểm (0;1) Bài tập tự luyện Bài Giả sử M(z) điểm mặt phẳng tọa đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau z + (1 − 3i ) = z + − 2i a) z − i = z − z + 2i b) c) z − + 3i = z − ( − 4i ) = Bài Trong số phức thỏa mãn Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất Bài Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều z − i = z − 3i − kiện: nhỏ nhất Trong số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện nhỏ nhất z − − 4i = z − 2i Tìm số phức z có môđun z + − 5i = z + − i Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện môđun nhỏ nhất Bài Trong số phức z thỏa mãn nhất z − − i = 52 11 11 Tìm số phức z có , tìm số phức z mà z − + 2i nhỏ 2.4 Dạng Phương trình bậc hai tập số phức 2.4.1 Vấn đề Tìm bậc hai số phức (Đọc thêm) Cho số phức w = a + bi Tìm bậc hai số phức Phương pháp: +) Nếu w = ⇒ w có bậc hai +) Nếu w = a > (a ∈ R) ⇒ w có hai bậc hai a - a +) Nếu w = a < (a ∈ R) ⇒ w có hai bậc hai −ai - −ai +) Nếu w = a + bi (b ≠ 0) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w ⇔ z2 = w ⇔ (x+yi)2 = a + bi x2 − y = a  2 xy = b ⇔ Để tìm bậc hai w ta cần giải hệ để tìm x, y Mỗi cặp (x, y) nghiệm phương trình cho ta bậc hai w Nhận xét: Mỗi số phức khác có hai bậc hai hai số đối Ví dụ: Tìm bậc hai số phức sau: a 4+ 5i b) -1-2 i Giải: 1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = + i  (1)  y =  x − y = x ⇔   x − 45 = (2) 2 xy =  x2 Khi đó: z2 = w ⇔ (x+yi)2 = + i⇔ (2) ⇔ x4 – 4x2 – 45 = ⇔ x2 = ⇔ x = ± x=3⇒y= x = -3 ⇒ y = - Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = + i z2 = -3 - i 2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = -1-2 i  − (1)  x − y = −1  y = x ⇔   x − = −1 (2) 2 xy = −2  x2 Khi đó: z2 = w ⇔ (x+yi)2 = -1-2 i ⇔ (2) ⇔ x4 + x2 – = ⇔ x2 = ⇔ x = ± x= ⇒y=- x=- ⇒y= 12 12 Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = - i z2 = - + i 2.4.2 Vấn đề 2: Giải phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = (1) (A, B, C ∈ C, A ≠ 0) Phương pháp: Tính ∆ = B2 – 4AC −B + δ −B − δ *) Nếu ∆ ≠ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 = A , z2 = A (trong δ bậc hai ∆) − B 2A *) Nếu ∆ = phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 = Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập số phức a) z − z + = b) x + x + = c) z + z − = Giải: a) z − z + =  ∆ = − = −3 = 3i  bậc hai ∆ ±i z1 =  Phương trình có nghiệm: 1+ i 3 = + i , z2 = − i 2 2 b) x + x + =  ∆ = − 20 = −16 = 16i  Căn bậc hai ∆ ±4i  Phương trình có nghiệm: x1 = −1 − 2i , x2 = −1 + 2i c) z + z − =  Đặt t = z2  Phương trình trở thành: z2 =  z = ±1 t = t + 2t − = ⇔  ⇔ ⇔ t = −3  z = ±i  z = −3  Vậy phương trình có nghiệm: -1, 1, −i 3, i Ví dụ 2: Giải phương trình bậc hai sau: 13 13 a) z2 + 2z + = b z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = (tham khảo) Giải: a) Xét phương trình: z2 + 2z + = Ta có: ∆ = -4 = 4i2 ⇒ phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i z2 = -1 – 2i b) Ta có: ∆ = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i = (1+i)2 nên 1+i bậc hai số phức 2i 3i − + + i 3i − − − i = 2i = −1 + i 2 ⇒ Phương trình có hai nghiệm là: z1 = ; z2 = Ví dụ 3: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình A = z1 + z2 z + z + 10 = Tính giá trị biểu thức Giải: Ta có z + z + 10 = ⇔ ( z + 1) = −9 ⇔ ( z + 1) = ( 3i ) 2  z = −1 + 3i ⇔  z = −1 − 3i z1 = −1 + 3i ⇒ z1 = ( −1) + 32 = 10 z2 = −1 − 3i ⇒ z2 = 10 Vậy A = z1 + z2 = 20 Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn Giải: z − z + 13 = z+ Tính z+i  z = + 2i 2 z − z + 13 = ⇔ ( z − 3) = −4 ⇔ ( z − 3) = ( 2i ) ⇔   z = − 2i Với Với z = + 2i z = − 2i z+ 6 = + 2i + = + i = 17 z +i + 3i z+ 6 = − 2i + = 24 − 7i = z +i 3−i ta có ta có Ví dụ 5: Giải phương trình sau tập hợp số phức: 14 14 z − + 7i = z − 2i z −i (tham khảo)  Giải Điều kiện: z ≠ −1 z − ( + 3i ) z + + 7i = Phương trình cho tương đương với ∆ = ( + 3i ) − ( + 7i ) = − 4i = ( − i ) Phương trình có biệt thức z = + 2i z = + i Phương trình có hai nghiệm là: Bài tập tự luyện z1 z2 z − z + 11 = Bài Cho , nghiệm phức phương trình Tính giá trị 2 z1 + z2 ( z1 + z2 ) biểu thức A = z1; z2 z − 4z + = Bài Gọi nghiệm phức phương trình: Tính: ( z1 − 1) 2011 + ( z2 − 1)2011 2.4.3 Vấn đề 3: Phương trình quy bậc hai ( Đọc thêm) - Đối với dạng ta thường gặp phương trình bậc phương trình bậc dạng đặc biệt quy bậc hai - Đối với phương trình bậc (hoặc cao hơn), nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa phương trình tích) từ dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất bậc hai - Đối với số phương trình khác, ta đặt ẩn phụ để quy phương trình bậc hai mà ta biết cách giải a Phương pháp phân tích thành nhân tử Ví dụ 1: Giải phương trình: z3 – 27 = z = z =1 ⇔   z = −3 ± 3i z + 3z + =  2,3  Giải: z3 – 27 = ⇔ (z – 1) (z2 + 3z + 9) = ⇔ Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình tập hợp số phức: Giải: Nhận biết hai nghiệm z=-1 z=2 15 15 z − z + z − z − 16 = Phương trình cho tương đương với Giải ta bốn nghiệm: ( z − ) ( z + 1) ( z + ) = z = −1; z = 2; z = ±2 2i Ví dụ 3: Cho phương trình sau: z + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (1)biết phương trình có nghiệm ảo (Tham khảo) Giải: Đặt z = yi với y ∈ R Phương trình (1) có dạng: (iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i = ⇔ -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = = + 0i đồng nhất hoá hai vế ta được: −  2y + 4y =  − y + y + y − 10 = giải hệ ta nghiệm nhất y = Suy phương trình (1) có nghiệm ảo z = 2i * Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i ⇒ vế trái (1) phân tích dưới dạng: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b ∈ R) đồng nhất hoá hai vế ta giải a = b =  z = 2i  z = 2i  ⇔  z = −1 − 2i  z + 2z + =  z = −1 + 2i  ⇒ (1) ⇔ (z – 2i)(z +2z + 5) = ⇔ Vậy phương trình (1) có nghiệm z − ( − i ) z − ( − i ) z + 16 − 2i = Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm thực (Tham khảo) Giải Gọi nghiệm thực z0 ta có: z0 − ( − i ) z02 − ( − i ) z0 + 16 − 2i =  z03 − z02 − z0 + 16 = ⇔ ⇔ z0 = −2  zo + z0 − = ( z + 2) ( z − ( − i ) z + − i ) = Khi ta có phương trình Tìm nghiệm phương trình z= -2; z= 2+ i; z= 3- 2i 16 16 biết phương trình có Ví dụ 5: Giải phương trình nghiệm ảo (tham khảo) Giải z − ( − 3i ) z + ( − 2i ) z + 9i = Giả sử phương trình có nghiệm ảo bi, b Thay vào phương trình ta được: ( bi ) biết phương trình có ∈R − ( − 3i ) ( bi ) + ( − 2i ) ( bi ) + 9i = 2b + 6b = ⇔ 2b + 6b + ( −b − 3b + 3b + ) i = ⇔  ⇔ b = −3 −b − 3b + 3b + = ⇒ z = −3i Phương trình phân tích thành ( z + 3i ) ( z − z + 3) = Các nghiệm phương trình z= -3i; b Phương pháp đặt ẩn phụ z = ± 2i Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập số phức (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = Giải: Đặt t = z2 + z, phương trình cho có dạng:  −1 + 23i z =  z + z − =   t = −6 −1 − 23i ⇔ z = t = ⇔  2  z + z − =  z =   z = −2 t2 + 4t – 12 = ⇔ Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình sau tập số phức (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình cho có dang: t = z  t2 +2zt – 3z2 = ⇔ (t – z)(t+3z) = ⇔ t = −3 z  z = −1 + 5i  2 + Với t = z ⇔ z + 3z +6 –z = ⇔ z + 2z + = ⇔  z = −1 − 5i  z = −3 +  2 + Với t = -3z ⇔ z + 3z +6 +3z = ⇔ z + 6z + = ⇔  z = −3 − 17 17 Vậy phương trình cho có nghiệm ( z − z )( z + 3)( z + 2) = 10 z ∈ Ví dụ 3: Giải phương trình: , C Giải: 2 ⇔ z ( z + 2)( z − 1)( z + 3) = 10 ⇔ ( z + z )( z + z − 3) = PT Đặt t = z2 + 2z Khi phương trình (8) trở thành: t = z + 2z Đặt Khi phương trình (8) trở thành t − 3t − 10 = t = −2  z = −1 ± i ⇔ ⇒ t =   z = −1 ± Vậy phương trình có nghiệm: z = −1 ± z = −1 ± i ; z − z3 + Ví dụ 4: Giải phương trình sau tập số phức Giải: z2 + z +1 = ≠0 Nhận xét z=0 không nghiệm phương trình (1) z 1 z2 + ) − (z − ) + = z z Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được: ( (2) 1 t = z2 + − ⇔ z2 + = t2 + z z z Đặt t=z- Khi =0 Phương trình (2) có dạng: t2-t+ (3) ∆ = − = −9 = 9i 2 + 3i − 3i PT (3) có nghiệm t= ,t= + 3i 1 + 3i z− = ⇔ z − (1 + 3i) z − = z 2 Với t= ta có (4) 18 18 (tham khảo) Có ∆ = (1 + 3i ) + 16 = + 6i = + 6i + i = (3 + i) (1 + 3i ) + (3 + i ) = 1+ i (1 + 3i ) − (3 + i ) i − = PT(4) có nghiệm: z= ,z= − 3i 1 − 3i z− = ⇔ z − (1 − 3i) z − = z 2 Với t= ta có (4) 2 ∆ = (1 − 3i) + 16 = − 6i = − 6i + i = (3 − i ) Có (1 − 3i ) + (3 − i ) (1 − 3i ) − (3 − i ) −i − = 1− i = 4 PT(4) có nghiệm: z= ,z= i −1 −i − 2 Vậy PT cho có nghiệm: z=1+i; z=1-i ; z= ; z= 19 19 ... Tìm số phức: , biết w= Cho số phức z = + 3i.Tìm phần thực phần ảo số phức 2.2 Dạng 2: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số số phức z+i iz − z , z , z , Nếu hệ thức tìm số phức z xuất hay nhiều đại... hình học số phức hay gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thỏa mãn hệ thức (thường hệ thức liên quan đến môđun số phức) Khi ta giải toán sau: Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R) Khi số phức. .. diễn số phức z thỏa mãn điều z − i = z − 3i − kiện: nhỏ nhất Trong số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện nhỏ nhất z − − 4i = z − 2i Tìm số