TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC A NGUYÊN HÀM ( Tích phân bất định ) Khái niệm Định nghĩa Cho hàm số f ( x) xác định K (K đoạn, khoảng, nửa khoảng) Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm hàm số f ( x) K, F '( x)  f ( x) , với x  K Định lý Giả sử F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) khoảng K Khi a Với số C, hàm số G( x)  F ( x)  C nguyên hàm f ( x) b Ngược lại, G(x) nguyên hàm f ( x) tồn số C cho G(x) = F(x) + C c Họ tất nguyên hàm f ( x)  f ( x)dx  F ( x)  C , F ( x) nguyên hàm f ( x) , C số Công thức Bảng nguyên hàm Nguyên hàm hàm số thƣờng gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp thƣờng gặp  dx  x  C  x  dx  x  1  C   1  1  x  ln x  C x  0  e dx  e  C dx x x ax  C 0  a  1 ln a cos xdx  sin x  C    sin xdx   cos x  C a x dx   cos x  sin x Nguyên hàm hàm số hợp  d ax  b  a ax  b  C  du  u  C       dx  tan x  C  dx   cot x  C  ax  b dx  ax  b  C   1 a  1 dx  ln ax  b  C x  0 ax  b a e axb dx  e axb  C a cosax  b dx  sin ax  b   C a sin ax  b dx   cosax  b   C a 1 dx  tanax  b   C a cos ax  b  1 dx   cotax  b   C a sin ax  b   1  Trang u  du  u  1  C   1  1  u  ln u  C u  0  e du  e  C du u u au  C 0  a  1 ln a cos udu  sin u  C    sin udu   cos u  C a u dx   cos u  sin u du  tan u  C du   cot u  C TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn B TÍCH PHÂN ( Tích phân xác định) Định nghĩa Cho hàm f ( x) liên tục khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F ( x) nguyên hàm f ( x) hiệu số F (b)  F (a) gọi tích phân b b f ( x) từ a đến b ký hiệu  f ( x)dx Trong trường hợp a  b tích phân f  a; b  f ( x)dx a a Tính chất tích phân Cho hàm số f ( x), g ( x) liên tục K a, b, c ba số thuộc K a   f ( x)dx   a b c a a b   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx b a a b  f ( x)dx   f ( x)dx b b a a   k f ( x)dx  k  f ( x)dx c b b b a a a   [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x) dx Một số phƣơng pháp tính tích phân  Phƣơng pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số u (b ) b  a f [u ( x)]u '( x)dx   f (u )du u(a) Trong f ( x) hàm số liên tục u ( x) có đạo hàm liên tục khoảng J cho hàm hợp f [u( x)] xác định J; a, b  J Phƣơng pháp đổi biến số thƣờng áp dụng theo hai cách Cách Đặt ẩn phụ u  u( x) ( u hàm x) Cách Đặt ẩn phụ x  x(t ) ( x hàm số t)  Phƣơng pháp tích phân phần Định lý Nếu u( x), v( x) hai hàm số có đạo hàm liên tục khoảng K a, b hai số b b thuộc K  u ( x)v '( x)dx  u ( x)v( x)  v( x)u '( x)dx b a a a Ứng dụng tích phân 4.1 Tính diện tích hình phẳng Trang TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn Nếu hàm số y  f ( x) liên tục  a; b diện tích S hình phẳng giới hạn b đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b S   f ( x) dx a Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) hai đường thẳng x  a, x  b b S   f ( x)  g ( x) dx a 4.1 Tính thể tích vật thể Thể tích vật thể B giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm a, b b V   S ( x)dx Trong S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng a vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x   a; b S(x) hàm liên tục 4.2 Tính thể tích khối tròn xoay Hàm số y  f ( x) liên tục không âm  a; b Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b quay quanh trục hoành tạo nên b khối tròn xoay Thể tích V tính công thức V    f ( x)dx a Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x  g ( y) , trục tung hai đường thẳng y  c, y  d quay quanh trục tung tạo nên khối tròn xoay Thể tích V tính công d thức V    g ( y )dy c Trang TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn TÍCH PHÂN HỮU TỶ : Xác định bậc tử thức mẫu thức : - Tử ≥ mẫu  Ta thực phép chia đa thức - Tử < mẫu  Ta thực phép phân tích mẫu thức Bƣớc Gọi hệ số α , β ( cần ) quy đồng mẫu thức thực phép Đồng hệ số tìm α , β Bƣớc Tách biểu thức thành dạng có nguyên hàm sử dụng phép đổi biến số để thực tiếp yêu cầu Bƣớc Dạng 1: Tách phân thức Ví dụ minh họa Câu x2 I  dx x  x  12 2  16   I   1  dx =  x  16ln x   9ln x   = 1 25ln2  16ln3 x  x  3  Câu I  dx x  x3 1 x    x x x ( x  1) x 1  Ta có:  2 1 3  I   ln x   ln( x2  1)   ln2  ln5  2 2x  1 Câu I  3x2  x3  2x2  5x  dx 13 14  I   ln  ln  ln2 3 15 Trang TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn Câu I  xdx ( x  1)3 x x  1 1  Ta có:   ( x  1)2  ( x  1)3  I   ( x  1)2  ( x  1)3 dx  ( x  1)3 ( x  1)3 Ví dụ minh họa Câu I  ( x  1)2 (2x  1)4 Câu I  101  2x  1  7x    I     2x   99  x 1   Ta có: f ( x)     2x   dx  7x  199 5x I  (x  4) x7  100   2  1 900  Đặt t  x2   I  dx  Đặt t  1 x2  dt  2xdx  I  I  Câu I   x5(1  x3)6dx x2 )5 99 dx Câu (1   x    x 1    C  I    2x    2x    7x   1  7x     d    2x  12  2x    2x   dx 100 Câu dx 1  7x       100  2x   Dạng 2: Đổi biến số (t  1)3 1 dt   21 t 25  Đặt t   x3  dt  3x2dx  dx  Câu 10 I   Câu 11 I   1 x( x4  1) dx dx x.( x10  1)2 dt 3x2 I  11  t t8  t (1  t ) dt      30   168  Đặt t  x2  I  2 1 t    t  t  dt  ln   32 dt  I   10 Đặt t  x  I   2 t(t  1)2 x ( x  1) x4.dx Trang 5 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn Câu 12 I   x(1  x7 ) Câu 13 I   x7  128  t  I  dx Đặt t  x  I   dt 7 t(1  t ) x (1  x ) dx (1  x7 ).x6 dx x (1  x2 )  Đặt : x   I  t 3  t6 dt  t2   117  41     t  t    dt = 135 12 t     x2001 Câu 14 I   1002 (1  x ) 2 x2004  I  dx 1002 x (1  x ) dx   1002 3  x   1 x  dx Đặt t  x2   dt   x3 dx 11 x2000.2xdx Cách 2: Ta có: I   Đặt t  1 x2  dt  2xdx 2000 2 (1  x ) (1  x ) 1000 (t  1)1000  1  I   1000 dt      21 t 1 t  t Câu 15 I    x2 1  Ta có: x4 1 x  x4  1 d 1    t  2002.21001 dx 1  x2 Đặt t  x   dt     dx   x x2   x2  x 2  1  t  I   ln  ln   dt   t  t     1 2 t  2 2 t    1   dt Câu 16 I   1  x2 1 x4 1 dx 1  1 dt  x Đặt t  x   dt     dx  I    x  x x2  t   x2  x2 5 du Đặt t  tan u  dt  ; tan u   u1  arctan2; tan u   u2  arctan 2 cos u  Ta có: 1 x Trang TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn u  2 2  I du  (u2  u1)   arctan  arctan2   u 2   Câu 17 I   1 Câu 18 I   1 x x  x3 x4  x 1 1  I  x2  3  I I dx  1 d( x3)    dx     ( x3)2  4 dx x ( x2  1)( x2  1) Câu 20 I   xdx x  x 1 1   Ta có: dx x4  1 Câu 21 I  dx x2 3  1 x  Ta có: I   dx Đặt t  x   I  ln x x x x4  ( x4  x2  1)  x2 x4  x2  x2 x2      x6  x6  ( x2  1)( x4  x2  1) x6  x2  x6   Ta có: Câu 19 2 dx   1    dx  ln(2  3)    12  x  x2   1 dt 11  Đặt t  x  I    t  t  0 x  x2  x  x2  1 dt x2  x2  3   1    t      2   dx 1 x2  x2  x2 Đặt t  x  1  1  dt     dx x x2     I  0t dt 1 Đặt t  tan u  dt  du cos u Trang  I   du     TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Ta thƣờng đặt t căn, mũ, mẫu Chú ý Dấu hiệu Có thể chọn a2  x2     x | a | sin t ,   t    x | a | cost ,  t   x2  a2 |a|     x  sin t ,   t  ; t   x  | a | ,  t   ;t    cost x2  a2     x | a | tan t ,   t    x | a | cott ,  t   ax ax ax ax ( x  a)(b  x) Ví dụ minh họa Đặt x  a cos 2t Đặt x  a  (b  a)sin t Dạng 1: Đổi biến số dạng Trang TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn x Câu 22 I   dx 3x  9x2  x  I  dx   x(3x  9x2  1)dx   3x2dx   x 9x2  1dx 3x  9x  + I   3x dx  x  C1 1 + I   x 9x  1dx   9x2  d(9x2  1)  (9x2  1)  C2 18 27  I  (9x2  1)  x3  C 27 Câu 23 I     dx 1 x x x2  x 1 x x + I1    x2  x x2 dx   1 x x x dx   1 x x dx x2 dx Đặt t= 1 x x  t   x x  x3  (t  1)2  x2dx  t(t  1)dt 1 x x 4 4  (t  1)dt  t  t  C = x + I2   1 x x Vậy: I   dx = x 1 x 1 2x  2x    dx 4x  1 t2  Đặt t  2x  I =  dt 2  ln2 1 t 12  Đặt t  4x  I  ln   Đặt: t   x2  I    t  t  dt  Câu 27 I    x x  C1 C Câu 26 I   x3  x2 dx  d(1  x x) =  x x  C2  3 1 x x dx Câu 25 I   1 x x 2x  Câu 24 I    1 x 1 15 dx x  t t  11 dt = 2  t  t    4ln2 dt = t 1 1 t   0  Đặt t  x  dx  2t.dt I = 2 Câu 28 I   x3 dx x   x  Trang TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn 2 2t  8t dt   (2t  6)dt  6 dt  3  6ln t 1 t  3t  1  Đặt t  x   2tdu  dx  I    x Câu 29 I  x  1dx 1  t7 t4   Đặt t  x   t  x   dx  3t dt  I   3(t  1)dt  3     28  0 3 Câu 30 I   x2  x 3x  1 dx  t2  1   1 4  2tdt 2tdt  Đặt t  3x   dx   I   3 t 1 t 4 2  t 1 100   t  t   ln   ln 9 t  27 2 Câu 31 I   2x2  x  x 1  Đặt  24 dt ( t  1) dt    92 t 1 dx x   t  x  t   dx  2tdt 2(t  1)2  (t  1)   I  2tdt t 1  4t  54  2 (2t  3t )dt    2t    1 x2dx Câu 32 I  2 ( x  1) x 1  Đặt t  x   t  x   2tdt  dx I   (t  1)2 t3 Câu 33 I   x 1 1 2  t3  1 1 16  11 2tdt 2   t   dt    2t    t 1  t 3  2x  dx t  2t  dx  (t  1)dt x   Đặt t    2x  dt   2x dx Ta có: I = (t  2t  2)(t  1) t  3t  4t  4 2 dt  dt  t    dt     22 22 2 t t2  t2 t2 =  t2 2   3t  4ln t   = 2ln2   t  Trang 10 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn Câu 29 3  Đặt t   ln2 x  I   34  24  e ln x  ln2 x dx x I  ee   Đặt t  e  ln x  I  ln e xe x  Câu 30 I   dx x(e x  ln x) e x  Câu 31 I  e sinx sin2xdx  u  sin x du  cos xdx   I   esinx sin x cos xdx Đặt  sin x sin x dv  e cos xdx v  e   I  2sin xesin x 02  e sin x cos xdx  2e  2esin x 02 2 Câu 32 I   x ln( x2  x  1)dx  2x  du  dx  u  ln( x  x  1)  x  x    Đặt  dv  xdx v  x  2 x2 1 2x3  x2 I ln( x2  x  1)   dx 2 x  x 1 3 11 1 2x  31 dx  ln3   ln3   (2x  1)dx   dx   12 20 x2  x  x2  x  Câu 33 I   ln x x 1 dx u  ln x  dx 8 x 1  du  dx    I   x  1.ln x   2 dx  6ln8  4ln3  2J  Đặt  x dv  x   x  v  x   + Tính J   3 3  t x 1 t 1  2tdt  2 dt     dx Đặt t  x   J     dt 2 x t  t  1 t 1 t 1 2 Từ I  20ln2  6ln3   t 1    2t  ln    ln3  ln2 t 1   Trang 39 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn e x  x ln x  x e dx x Câu 34 I   e e e x e dx x  I   xexdx   ln xexdx   1 e e e x e e 1 e x e e dx  ee   dx x x 1 +Tính I   ex ln xdx  ex ln x   e + Tính I   xexdx  xex   exdx  ee(e  1) e x e dx = ee1 x Vậy: I  I  I     ln2 x  dx   x  ln x e  ln x Câu 35 I    e ln x 1x e  ln x  Tính I   dx Đặt t   ln x  I  2  3 + Tính I   ln2 xdx Lấy tích phân phần lần I  e  2 Vậy I  e   3 ln( x  1) Câu 36 I   dx x  2x u  ln( x2  1) du  2 dx   x2  Do I =  ln( x  1)    Đặt  dx  1 x( x2  1) 2x dv  v   x   x2 ln2 ln5 dx d( x2  1) ln2 ln5  x           dx  2 1 x 1 x2  1  x x2    2 ln2 ln5     ln | x |  ln | x2  1| = 2ln2  ln5  1 Câu 37 I =  ln( x  1) x2 dx  dx u  ln( x  1) du   dx  x   I   ln( x  1)  dx   3ln2  ln3  Đặt   dv  x ( x  1) x  v   1 x2 x   1 x   dx  1 x  Câu 38 I   x ln  Trang 40 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn    dx   x du     1 x    2  (1  x)2  x dx  Đặt u  ln  x    I   x2 ln      x2   2 1 x  x     0  dv  xdx v       2  ln3 x ln3 ln3 1  dx    1  dx    ln  x 1  ( x  1)( x  1)  2   1 10 u  ln  x    Đặt  x   I  3ln3  ln2   dv  x2dx   1 Câu 39 I   x ln  x   dx x  2   x2 )  I  ln2     Đặt u  ln(1 dv  x dx Câu 40 I   x2.ln(1  x2)dx ln x Câu 41 I   dx ( x  1) e Câu 42 I   u  ln x  dx   Đặt  dv   ( x  1)2  I   ln3  ln ln x  e x (e x  ln x) dx  ex e e  Ta có: I   ln x.dx   e2x x 1e 1 dx  H  K e u  ln2 x + H   ln x.dx Đặt:   H  e   2ln x.dx  e  dv  dx 1 e e e2x + K x 1e dx Đặt t  e    I  x 1 Vậy: I  ee –  ln x   Ta có: I   e x x t 1 e dt  ee  e  ln t ee  e1  e ee  Câu 43 I  ( x   )e ee 1 x x dx  x  dx    x   e x dx  H  K x 1 + Tính H theo phương pháp phần I1 = H  xe x x I e Trang 41  x 1x 52     x   e dx  e  K x 1 2 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn  Câu 44 I  ln( x   x)dx    Đặt u  ln   x2   x  I  x ln  dv  dx Câu 45 I    x2ex  0 x2   x  x 9 dx  x   dx 1 x   I   x2ex dx   x 1 x 0 x 4  TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ BÀI ĐỌC THÊM 1  dx 11 t 1 1 + Tính I   x e dx Đặt t  x  I   e dt  et  e  30 3 1 + Tính I   x3 1   dt       4 1 t x x Vậy: I  e    3   x2 Câu 46 I   x  ex   x3  2 1  I   xexdx +    dx    x2 x2 + Tính I   xexdx  e2 t4 dx Đặt t  x  I  4 dx + Tính I    x2 Trang 42 x   dx Đặt x  2sin t , t   0;   2 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn   I2  cos2 t  sin2 t   dt  ( cot t  t ) 2 = 3  6 Vậy: I  e2   4 x 1   x2  x2 dx x3 4 x  I   xe2x dx    e2x x Câu 47 I    dx  I  I e2  + Tính I   xe dx  2x x3 + Tính I    x2  I dx Đặt t   x2  I  3  16 e2 61 3 3 12 x2  Câu 48 I   ( x  1) exdx 2  Đặt t  x   dx  dt I   Câu 49 I  t2   2  t 1  e2 e dt   1    e dt = e  1    e   e  t2 t  1  t 1 x2 1 3  t  2t  x e dx  x2 2 1  Đặt t  1 x2  dx  tdt  I   (t  1)et dt   t 2et dt  et + J   t 2et dt  t 2et  J  (e2  e)  2    2tet dt  4e2  e   tet   et dt   4e2  e  2(tet  et )  1  1   Vậy: I  e2 Câu 50 I  x ln( x2  1)  x3 x2   Ta có: f ( x)  dx x ln( x2  1)  x( x2  1)  x  x ln( x2  1)  x x x2  x2  x2  x2  1  F( x)   f ( x)dx   ln( x2  1)d( x2  1)   xdx   d ln( x2  1) 2 1 = ln2( x2  1)  x2  ln( x2  1)  C 2 Trang 43 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn  4  ln x  x2   3x3 Câu 51 I   x 9   ln x  x2   3x3  I  x2  ln x  x2  x2   I1  ln9  udu  ln3 x2  Vậy I   x2  dx Đặt ln x  dx  34  x3 x2   x2   u  du  dx  I  3I x2  dx x x2  dx, x2  v 9 u3 44  9u)  3   ln x  x2   3x3 x2  x2   v  dv  dx Đặt  I   (u2  9)du  ( dx    ln x  x2  u2 ln9 ln2  ln2  ln3 x3 + Tính I    + Tính I   dx dx  I  3I  ln2  ln2  44 e ( x3  1) ln x  2x2  dx  x ln x Câu 52 I   e e  ln x dx  I   x dx    x ln x 1 e e x3 e3  +  x dx   31 e e e e  ln x d(2  x ln x) dx    ln  x ln x  ln +  2  x ln x  x ln x 1 Câu 53 I  e3 x ln3 x  ln x dx  Đặt t   ln x  1 ln x  t  (t  1)3 dt = t  I  e3  e  ln Vậy: I  dx  2tdt ln3 x  (t  1)3 x 15 t  3t  3t  1 dt  (t  3t  3t  )dt   ln2   t t 1  Câu 54 I  x sin x dx x  cos u x    Đặt  sin x dx dv  cos x      du  dx x 4 dx  dx       I cos x 0 cos x cos x v  cos x  Trang 44 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn   4 dx cos xdx Đặt t  sin x  I   cos x    sin2 x + I1  2  0 2  ln 2 1 t dt  2  ln 2 ln(5  x)  x3  x Câu 55 I   dx x2 Vậy:  ln(5  x) dx   x  x dx  K  H x2 1 4  Ta có: I   ln(5  x) + K x2 u  ln(5  x)  dx dx Đặt   K  ln4 dv   x2 + H=  x  x dx Đặt t   x  H  164 15 164 Vậy: I  ln4  15 Câu 56 I    x(2  x)  ln(4  x2 )  dx 2 0  Ta có: I   x(2  x)dx +  ln(4  x2 )dx = I  I 2 + I   x(2  x)dx    ( x  1)2dx  2 + I   ln(4  x )dx  x ln(4  x )  2 2  (sử dụng đổi biến: x  1 sin t ) x2 dx (sử dụng tích phân phần) x2  6ln2    (đổi biến x  2tan t ) 4 Vậy: I  I  I  3   6ln2 ln x dx x 1 Câu 57 I   u  ln x  dx 8 x 1  du  dx    I  x  1ln x  2 dx  Đặt  x dv  x   x  v  x   + Tính J   3  x 1 2t dt  dx Đặt t  x   J    2 1  dt   ln3  ln2 2 x t  1 t 1 2  I  6ln8  4ln3  2(2  ln3  ln2)  20ln2  6ln3   x2 1 x3 ln xdx Câu 58 I  Trang 45 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn u  ln x  1  1  Ta có: I      ln xdx Đặt  dv  (  )dx x  1 x x3 x 2  1   1  63  I    ln x  ln x     ln x  dx =  ln2   ln2 x 64  4x    4x e x  x ln x  x e dx x Câu 59 I   e e e x e dx  H  K  J x  Ta có: I   xe dx   e ln xdx   x x e e 1 + H   xexdx  xex 1e  exdx  ee(e  1) e e e x e x e e dx  ee   dx  ee  J x x 1 + K   ex ln xdx  ex ln x   1 Vậy: I  H  K  J  ee1  ee  ee  J  J  ee1  Câu 60 I  x cos x  sin3 x  dx   2cos x  Ta có     Đặt sin x  sin x     I =  x sin x  u  x du  dx   cos x  dv  v   dx   sin3 x 2sin2 x  1 dx     (  )  cot x  =  2  sin x 2 2 + 4  Câu 61 I  x sin x  cos3 xdx    u  x du  dx 4 x dx     sin x   Đặt:  I      tan x   2 dv  dx v 2cos x cos x   cos3 x 2.cos2 x  Câu 62 I  ( x  sin x) 0  sin x dx   Ta có: I   x sin2 x dx    sin2x   sin2x dx  H  K 0 Trang 46 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn u  x du  dx  dx x x dv     + H  dx   dx Đặt:    v  tan  x     sin2 x    2  0 2cos x  2cos  x    4   4        2   H  1  2    ln cos x     2      x  tan  x   40     cos2 x sin x t   x Đặt  K  dx   sin2x   sin2x dx 0 2 + K    dx 2  2K    tan  x     K    40  2cos2 x      4  Vậy, I  H  K   2 Câu 63 I   x(cos3 x  cos x  sin x)   cos2 x  dx    cos x(1  cos2 x)  sin x  x.sin x dx   x.cos x.dx   dx  J  K  2    cos x  cos x 0    Ta có: I   x    0   u  x + Tính J   x.cos x.dx Đặt   J  ( x.sin x)   sin x.dx   cos x  2 0 dv  cos xdx  x.sin x + Tính K    cos x  dx Đặt x    t  dx  dt (  t ).sin(  t ) K   cos2 (  t )   2K   ( x    x).sin x  cos2 x  (  t ).sin t dt    cos2 t  dx    (  x).sin x  cos2 x sin x.dx  cos x Đặt t  cosx  dt   sin x.dx  K   dt    K  dt ,  1 t K    (1  tan u)du   tan2 u Vậy I    2 4      du    u 4   2 4 2 Trang 47   sin x.dx 0  cos2 x đặt t  tan u  dt  (1 tan2 u)du 1  dx TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn 2 Câu 64 I    x  ( x  sin x)sin x (1  sin x)sin2 x 2  Ta có: I  3 x(1  sin x)  sin2 x (1  sin x)sin x 2 + H   2 2 3  2 dx   2 x sin x dx   dx HK  sin x u  x   du  dx dv  dx  v   cot x  H    sin2 x dx Đặt dx   sin x  + K  3 Vậy I  x sin2 x dx 2 dx dx  3  32   x 2  cos  x  2cos    2   2  32  Câu 65 I   x  sin2 x dx  cos2x   x  sin x dx   cos2x  Ta có: I     x dx   sin2 x dx  H  K 2cos2 x   u  x x x  du  dx dx   + H  dx   dx Đặt  2 dv  cos x v  tan x 2cos x  cos2 x      1    H  x tan x   tan xdx   ln cos x   ln2 0  2  + K 2cos2 x   1  dx   tan2 xdx   tan x  x     2 3 2cos2 x sin2 x Vậy: I  H  K  1      1  ln2       (  ln2) 2 3 2  Câu 66 I   x  1sin x  1.dx 2 1  Đặt t  x   I   t.sin t.2tdt   2t sin tdt   2x2 sin xdx 2  du  4xdx  Đặt u  2x  I  2x2 cos x   4x cos xdx dv  sin xdx v   cos x u  4x du  4dx Đặt  Từ suy kết  dv  cos xdx v  sin x Trang 48 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn   sin x   cos x e dx Câu 67 I  x  I  x e dx sin x x  e dx 0  cos x 2x cos   2  x x 2sin cos sin x x 2 exdx  tan x exdx + Tính I   e dx    x  cos x 0 2cos2  u  ex   du  exdx   x 2 e dx    tan x exdx + Tính I   Đặt dv  dx    I  e  2 x x 20   v  tan 2x cos2 2cos     Do đó: I  I  I  e2  Câu 68 I   cos x ex (1  sin2x) dx  cos x  (sin x  cos x)dx u du    x cos x   e ex dx Đặt   I  02 x  dx sin x e (sin x  cos x) dv  v    sin x  cos x (sin x  cos x)     I  cos x x e   2 sin x sin xdx   sin x  cos x 0 ex  sin xdx ex  u1  sin x du1  cos xdx 1   Đặt   I  sin x x  dx   1 e  dv1  ex v1  ex   u2  cos x du2   sin xdx   Đặt  dx   1  dv1  ex v1  ex   I  1    cos x e2 1 ex   sin xdx ex  1    I  2I e2  Câu 69 I  sin6 x  cos6 x  6x    dx Trang 49    cos xdx   e x e  1  e2 1  I    cos xdx  e 2 ex  TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn    Đặt t   x  dt  dx  I    6t I  dt    6x  (6x  1) sin x  cos x 6 6x   dx  6x  dx    sin6 x  cos6 x    6t     2I  sin t  cos t (sin6 x  cos6 x)dx     5 5    cos4x dx  16   8 4 5 32   Câu 70 I   sin4 xdx 2 x     Ta có: I  sin xdx  2x    2x sin4 xdx  2x     x sin xdx 2x    sin4 xdx 1 x     2x  0 Đặt x  t  I    2x sin4 xdx 1 x  I1  I 2t sin4 (t )   2x sin4 xdx  6  I    + Tính I   x 6   sin4 xdx  2t  dt    sin4 x dt   dx x 2t    6  sin4 t (1  cos2x)2 dx  40   4  16 (3  4cos2x  cos4x)dx   64 80 Câu 71 I  e  cos(ln x)dx  Đặt t  ln x  x  et  dx  et dt   I   et costdt =  (e  1) (dùng pp tích phân phần)  sin2 x sin x.cos3 xdx Câu 72 I   e  Đặt t  sin x  I  11 t e (1  t )dt  e (dùng tích phân phần)  20 Trang 50 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn  Câu 73 I   ln(1  tan x)dx   Đặt t  =     x  I   ln   tan   t  dt =       4 0  ln2  I     tan t   ln 1   tan t dt = 4  ln  tan t dt   ln2dt   ln(1  tan t )dt  2I    = t.ln2 04  I ln2  Câu 74 I   sin x ln(1  sin x)dx   cos x    Đặt u  ln(1  sin x)  du   sin x dx dv  sin xdx  v   cos x    I   cos x.ln(1  sin x)   cos x 0   cos x  sin x  dx    dx   (1  sin x)dx   1  sin x  sin x 0 2  Câu 75 I  tan x.ln(cos x) dx cos x   Đặt t  cosx  dt   sin xdx  I    ln t t2 dt   ln t t2 dt  u  ln t du  dt   t ln2 Đặt    I   1 dv  dt v    t2 t  TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Trang 51 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn Câu 76 Cho hàm số f(x) liên tục R f ( x)  f ( x)  cos4 x với x R   I Tính: f ( x)dx     Đặt x = –t     2   f ( x)dx       2  f ( x)dx    f (t )(dt )      f (t )dt     f ( x)dx    f ( x)  f ( x)  dx  2  cos4 xdx  I   3 16 1 Chú ý: cos4 x   cos2x  cos4x 8 Câu 77 Cho hàm số f(x) liên tục R f ( x)  f ( x)   2cos2x , với x R 3  I Tính: f ( x)dx 3   Ta có : I     f ( x)dx   3  3 f ( x)dx   f ( x)dx (1)  + Tính : I    3 f ( x)dx Đặt x  t  dx  dt  I  Thay vào (1) ta được: I     f ( x)  f ( x) dx    sin x 1 x  x dx Trang 52 2 1  cos2x    cos x dx   f ( x)dx      3   2       cos xdx   cos xdx  sin x 02  sin x     0          f (t )dt     3 Câu 78 I  TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com / nguyenvanson.vn  I      x2 sin xdx     x sin xdx  I  I   + Tính I    x2 sin xdx Sử dụng cách tính tích phân hàm số lẻ, ta tính I     + Tính I    x sin xdx Dùng pp tích phân phần, ta tính được: I    4   x e  3x    x  Suy ra: I  Câu 79 I    I  e x  x  1  x  e x  3x    x  e x  x  1  x  dx dx   e x  x  1  x   e x  x  1 e x  x  1  x  5 2 dx   dx   e x  x  1 e x  x  1  x  dx 5 e x  x  1 e x  x  1  x  dx   2 x  1(e x x   1)dx 2 x  1(e x x   1) e x  x  1 dx Đặt t  e x x    dt  x 1 e5 1  I  3  e2 1 2e5  2e5  dt  I   2ln t   2ln t e 1 e 1  Câu 80 I  x2  ( x sin x  cos x)2 dx  x u  x x cos x  cos x I  dx Đặt  x cos x cos x ( x sin x  cos x ) dv  dx  ( x sin x  cos x)2     I  x  cos x( x sin x  cos x)  cos x  x sin x dx du  cos x  1 v   x sin x  cos x  dx  cos2 xdx = 4 4 Chân thành cảm ơn các em học sinh đọc tập tài liệu Trang 53 ... nguyenvanson.vn B TÍCH PHÂN ( Tích phân xác định) Định nghĩa Cho hàm f ( x) liên tục khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F ( x) nguyên hàm f ( x) hiệu số F (b)  F (a) gọi tích phân b b f ( x) từ... 4.1 Tính thể tích vật thể Thể tích vật thể B giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm a, b b V   S ( x)dx Trong S(x) diện tích thi t diện vật thể bị cắt mặt phẳng a vuông góc với trục... Phƣơng pháp tích phân phần Định lý Nếu u( x), v( x) hai hàm số có đạo hàm liên tục khoảng K a, b hai số b b thuộc K  u ( x)v '( x)dx  u ( x)v( x)  v( x)u '( x)dx b a a a Ứng dụng tích phân 4.1