CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Kiến thức liên quan 1.1 Công thức nguyên hàm Nguyên hàm hàm số ∫ dx = x + C α ∫ x dx = ∫ xα +1 + C , α ≠ −1 α +1 dx = ln x + C , x ≠ x ∫ e dx = e x x ∫ a dx = x Nguyên hàm mở rộng ∫ a.dx = ax + C, a ∈ ¡ (ax + b)α +1 α ( ax + b ) dx = +C ∫ a α +1 dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C ax +b ax +b e dx = e +C ∫ a +C ax +C ln a α x+β ∫ a dx = aα x + β +C α ln a ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C ∫ sin xdx = − cos x + C sin( ax + b ) dx = − cos(ax + b) + C ∫ a ∫ cos x ∫ sin x 1 dx = tan x + C ∫ cos (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C dx = −cotx + C ∫ sin 2 1 dx = − cot ( ax + b) + C ( ax + b) a 1.2 Công thức tích phân F(x) nguyên hàm hàm số f(x) đoạn [a;b] b ∫ f ( x)dx = F ( x) b a a 1.3 Phương pháp đổi biến số = F (b) − F (a ) b ∫ f [ ϕ ( x)]ϕ ( x)dx ' a 1.3.1 Dạng : Tính I = ϕ ( x) ⇒ dt = ϕ ' ( x).dx + Đặt t = + Đổi cận : x a t ϕ (a) ⇒ b ϕ (b) ϕ (b) ∫ ϕ f (t ).dt = F (t ) (a) I= b ∫ f ( x)dx a cách đặt x = 1.3.2 Dạng : Tính I = a −x Dạng chứa : Đặt x = asint, t 1.4 Phương pháp tích phân phần 2 b b a a ϕ (t )  π π ∈ − ;   2 (a>0) b ∫ f ( x)dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu b a * Công thức tính :  u = du = dx ⇒   v = dv = a (lay dao (lay nguyen ham) ham)  Đặt Ta thường gặp hai loại tích phân sau: * Loại 1: b  ∫ P ( x ).sin f ( x ).dx a  b ⇒ u = P( x)  ∫ P ( x ).cos f ( x ).dx a b  ∫ P ( x ).e f ( x ) dx  a P( x) , đa thức bậc n b ∫ P( x).ln f ( x).dx a *Loại 2: 1.5 Tính chất tích phân ⇒ u = ln f ( x ) hoctoancapba.com ϕ (b) ϕ (a) b b a a ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx Tính chất 1: b ∫[ Tính chất 2: a , k: số b b a a f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx b c b a a c ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx Tính chất 3: (a < c < b ) 1.6 Diện tích hình phẳng 1.6.1 Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục [a; b] diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a x = b là: b S = ∫ f ( x) dx a (*) Lưu ý:  f ( x) = vô nghiệm (a;b) b b S = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x)dx a  f ( x) = có nghiệm b c ∈ ( a; b) S = ∫ f ( x ) dx = a a c ∫ b f ( x )dx + a ∫ f ( x)dx c 1.6.2 Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) y = f2(x) liên tục [a; b] Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) hai đường thẳng x = a, x = b là: b S = ∫ f1 ( x) − f ( x) dx a (**) Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối công thức (**) thực tương tự công thức (*) 1.7 Thể tích vật thể tròn xoay Thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn đường y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: b V = π ∫ f ( x) dx a Lưu ý: Diện tích, thể tích giá trị dương Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính tích phân sau / B = ∫ ( e + 3) dx / A = ∫ (2x+e )dx x / C = ∫ ( sinx+ cos x ) dx x  x + x +3 / D = ∫ ÷dx x3 1  π x π / E = ∫ ( x − sin x ) dx Lời giải 1 0 / A = ∫ ( x + e x ) dx = ∫ xdx + ∫ e x dx = x + e x = − + e − = e 1 x 0 0 x 1 2x  2e −  +3 = ÷+ ln 2e ln  ln 2e  ln 2 / B = ∫ ( e + 3) dx = ∫ ( 2e ) dx +3∫ x ( 2e ) x dx = x π π π 0 / C = ∫ ( sinx + cos x ) dx = ∫ sinxdx + ∫ cos xdx = − cos x + sin x = π π 4 1 − 1 x 3 − 32 −2 −3  / D = ∫  + + ÷dx = ∫  + x + x ÷dx = ln x − x + x = x x x  x −  1 1 π π π π π π2 / E = ∫ ( x − sin x ) dx = ∫ xdx − ∫ sin xdx = x + cos x = 2 0 0 Ví dụ Tính tích phân sau / I = ∫ x x + 3dx 2x + dx + 3x + 2/ J = ∫ e  2ln x + / K = ∫  + x x ( ln x + 1) 1 Lời giải  ÷ ÷dx  ln 4/ L = ∫   x+ x ÷dx 2e +   / I = ∫ x x + 3dx x+3 =t • Đặt • Đổi cận: x + = t ⇒ dx = 2tdt ta x = ⇒ t = 2; x = ⇒ t = 3 232 2  I = ∫ ( 2t − 6t ) dt =  t − 2t ÷ = 5 2 • Khi 2x + dx + 3x + 2/ J = ∫ t2 −1 x= ⇒ dx = tdt 3 3x + = t • Đặt • Đổi cận ta x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 2 J= • Khi e  2ln x + / K = ∫  + x x ( ln x + 1) 1 e K1 = ∫ • Tính • Đổi cận 2 2t + t   28 dt = t − t + − dt = − ln  ÷ ∫1 + t ∫1  t +1 27 dx x  ÷ ÷dx  K1 = ta kết dx dt = ln x = t x • Đặt ta x = ⇒ t = 0; x = e ⇒ t = 1 • Khi Vậy ta ) e −1 2t + dt = ( 2t − ln ( t + 1) ) = − ln t +1 K2 = ∫ • ( K = K1 + K = e − ln ln  ∫  x + 2e 4/ L = x  ÷dx +1  hoctoancap ba com ln L1 = • ∫ xdx Tính ta kết ln L2 = ∫ 2e • I= x +1 ln 2 dx Tính ex = t e x dx = dt • Đặt ta x = ⇒ t = 1; x = ln ⇒ t = • Đổi cận 2 dt L2 = ∫ = ( ln t − ln ( 2t + 1) ) = ln − ln = ln t 2t + 1) ( • Khi L = L1 + L2 = ln 2 + ln • Vậy ta Ví dụ Tính tích phân sau π / I = ∫ ( − sin x ) cos xdx π 2/ J = ∫ π dx sin x cos x Lời giải π / I = ∫ ( − sin x ) cos xdx • Đặt sin x = t ⇒ dt = cos xdx x = ⇒ t = 0; x = • Đổi cận  t4  I = ∫ ( − t ) dt =  t − ÷ = 0  • Khi π ⇒ t =1 π / K = ∫ ( sinx + x ) sin xdx π 2/ J = ∫ π dx sin x cos x cot x = t ⇒ dt = • Đặt x= • Đổi cận π π ⇒ t = 3; x = ⇒ t = • Khi −1 dx sin x 1  J = ∫ 1 + ÷ dt = t   π π 0 3 1    ∫1 1 + t + t ÷dt =  t − t − 3t ÷ = 27 + π / K = ∫ ( sinx + x ) sin xdx = ∫ sin xdx + ∫ x sin xdx π π − cos x dx = π 2 K1 = ∫ sin xdx = ∫ • Đặt π K = ∫ x sin xdx • • u = x du = dx ⇒  dv = sin xdx v = − cos x π π π K = − x cos x + ∫ cos xdx = π + sinx = π • * Chú ý: Ta thường đặt t căn, mũ, mẫu - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa đặt t phần bên dấu ngoặc có luỹ thừa cao - Nếu hàm chứa mẫu số đặt t mẫu số - Nếu hàm số chứa thức đặt t = thức dx t = ln x x - Nếu tích phân chứa đặt ex t = ex - Nếu tích phân chứa đặt - Nếu tích phân chứa - Nếu tích phân chứa dx x đặt dx x2 t= x t= x đặt cos xdx t = sin x - Nếu tích phân chứa đặt sin xdx t = cos x - Nếu tích phân chứa đặt dx t = tan x cos x - Nếu tích phân chứa đặt dx t = cot x sin x - Nếu tích phân chứa đặt Ví dụ Tính tích phân π I = ∫ x sin xdx a) e b) J = ∫ x ln xdx Lời giải π I = ∫ x sin xdx a)  u = x  du = dx ⇒  dv = sin xdx v = − cos x π π π I = − x cos x + ∫ cos xdx = − + sinx 02 =  e b) J = ∫ x ln xdx 1 c) K = ∫ xe x dx   du = dx  u = ln x  x ⇒  dv = xdx v = x  e e e e x2 x x2 x2 e2 + J = ln x − ∫ dx = ln x − = 2 4 1  c) K = ∫ xe x dx  u = x du = dx ⇒   x x dv = e dx v = e K = xe x  1 − ∫ e x dx = e − e x = 0 Ví dụ Tính tích phân sau  − x2  1/ I = ∫ x + ÷dx x + x3  1 ln 2/ J = ∫  x  e + x ÷dx e +2  x2 − / K = ∫ ln xdx x Lời giải 2  − x2  − x2 1/ I = ∫ x + dx = x dx + ÷ ∫1 ∫1 x + x dx x + x3  1 2 I1 = ∫ x dx = x = 3 Tính 2 1− x dx = ∫ x + x3 1 I2 = ∫ I = I1 + I = Vậy 1  + x÷ − d x 1    x dx = − ∫ dx = − ln  + x ÷ = ln 1 x 1 +x +x x x + ln ln 2/ J = ∫ ln ln  x  x dx e + x ÷dx = ∫ e dx + ∫ x e +2 e +2  0 ln J1 = ∫ e dx = e x ln J2 = ∫ e +2 x x ln =3 dx; t = e x ⇒ t = e x ⇒ 2tdt = e x dx ⇒ dx = dt t 2  t  ⇒ J2 = ∫ dt = ln  ÷ = ln t t + 2)  t + 1 ( J = J1 + J = + ln Vậy 2 x2 − / K = ∫ ln xdx x Đặt  u = ln x du = dx  11      x ⇒ K =  x + ÷ln x − ∫  x + ÷ dx  x −1 ⇒  x x x  1 dv = dx v = x + x   x 2 1 1   ⇒ K =  x + ÷ln x −  x − ÷ = ln − x x 1 2   Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau y = x2 a) , trục hoành hai đường thẳng x=0, x=2 y=x y = −2 x + b) , hai đường thẳng x =0, x=2 y = x , y = x+2 c) Lời giải y = x2 a) , trục hoành hai đường thẳng x= 0, x=2 x = ⇔ x = ∈ [0;2]  Trên [0; 2] ta có  Diện tích hình phẳng cho: S=∫ b) Đặt Ta có: x dx = x3 = 3 f1 ( x ) = x , f ( x) = −2 x +  x = ∈ [0; 2] f1 ( x) − f ( x) = ⇔ x − ( −2 x + 3) = ⇔ x + x − = ⇔   x = −3 ∉ [0; 2]  Diện tích hình phẳng cho S = ∫ | x + x − | dx = ∫ ( x + x − 3)dx + ∫ ( x + x − 3)dx  x3   x3  =  + x − 3x ÷ +  + x − 3x ÷  0  1 − + + − − −1+ = + = 3 3 =  x = −1 x − ( x + 2) = ⇔ x − x − = ⇔  x = c) Ta có: Diện tích hình phẳng  x3 x  1 S = ∫ | x − x − | dx =  − − 2x ÷ = − − + + − = 2   −1 −1 2 Ví dụ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn Lời giải  Ta có: y = − x2 , y = − x = ⇔ x = ±1 b V = π ∫ f ( x)dx  Áp dụng công thức: a  Ta có:  2x x  2 + ÷ V = π ∫ (1 − x ) dx = π ∫ ( − 2x + x ) dx = π  x −  −1  − −1 1      16π  = π 1 − + ÷−  −1 + − ÷ = π  − + ÷ =   15     Bài Tập tự luyện Bài 1: Tính tích phân sau ∫ (x e + x + 1)dx π ∫π (2sin x + 3cosx + x)dx 1 ∫1 ( x + x + x + x )dx ∫ ∫ (e x ∫ (x + x) dx (3sin x + cosx + )dx ∫π x ∫( x + 1)( x − x + 1)dx 10 + 1).dx −1 11 −3 16  ∫  x − ∫ (e 14  ÷dx x2  Bài 2: Tính tích phân sau  1 ∫1  x + x3 ÷dx x + x + 1)dx ∫ x( x − 3)dx 12 2 ∫ ( x − 4)dx 13 7x − x − dx ∫1 x + x x )dx e2 ∫ (x 3 π 2 x + 1dx −2 15 x2 − 2x ∫1 x3 dx π ∫ sin π π xcos xdx ∫ ∫e π sin x 12 π ∫ π x dx x −1 ∫ 11 x ∫ (1 + 3x ) dx ∫ x (1 − x ) dx 9 2 ∫ sin x(1 + sin x) dx cos x ∫0 − 5sin x + sin xdx dx π cosxdx x3 + x + 1dx x2 ∫ π ∫ x − x dx ∫x + 4sin xcosxdx 12 + 4sin x cos xdx x ∫e 13 +2 e 14 ∫x x + 1dx 17 ln ∫e 19 x ln dx + 2e − x − 20 22 Bài 3: Tính tích phân sau ∫ x cos 23 −x − x2 ∫e xdx x dx 24 π 2 x2 + dx sin x dx x ∫ cos dx 1 ∫x π 21 ∫ − x dx x + 5dx π 15 18 ∫e sin(ln x) dx x ∫ 1 ∫ e ∫x 16 + ln x dx x ∫ xdx ∫1+ x dx ∫ (2 x − 1)cosxdx sin xdx ∫ xe dx π ∫e ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx 11 + 1)sin xdx 2x ∫ ( x − 2)e sin 3xdx 2x dx π ∫ x cos x dx ∫ (2 x + 2) ln xdx 2 ∫ (x e ∫ x ln(1 + x )dx 10 π ∫ ( x + cos x)sin xdx π ∫ x ln xdx x e 12 ∫ ( x − 2)e 2x dx 13 14 Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: y = − x3 + x − 3 a) , trục hoành, x = x = 2 y = x + 1, x = −1, x = b) trục hoành y = x − 12 x, y = x c) y = x3 − d) tiếp tuyến điểm có tung độ -2 y = x − x, y = 0, x = 0, x = e) 3π y = sinx, y=0, x=0, x= f) y = e x , Ox, x = 0, x = g) Bài 5: Tính thể tích vật tròn xoay quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục hoành: y = x − x, y = 0, x = 0, x = a) y = cos x, y = 0, x = 0, x = π b) y = tan x, y = 0, x = 0, x = c) d) e) π y = − x2 , y = 1 y = ln x, x = , x = e, y = e ... t = ln x x - Nếu tích phân chứa đặt ex t = ex - Nếu tích phân chứa đặt - Nếu tích phân chứa - Nếu tích phân chứa dx x đặt dx x2 t= x t= x đặt cos xdx t = sin x - Nếu tích phân chứa đặt sin... chứa đặt sin xdx t = cos x - Nếu tích phân chứa đặt dx t = tan x cos x - Nếu tích phân chứa đặt dx t = cot x sin x - Nếu tích phân chứa đặt Ví dụ Tính tích phân π I = ∫ x sin xdx a) e b) J... Thể tích vật thể tròn xoay Thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn đường y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: b V = π ∫ f ( x) dx a Lưu ý: Diện tích,