NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 BÀI TẬP TỔNG HỢP TÍCH PHÂN π Bài 1: Tính tích phân sau: I = sin x ( x + cos 2008 x ) dx ∫   + ln x ÷dx Bài 2: Tính tích phân sau: I = ∫   x − ln x  e π Bài 3: Tính tích phân sau: I = ∫ π tan x cos x + cos x e Bài 4: Tính tích phân sau: I = ∫ ln x + e x ( e x + ln x ) + ex π ln ∫ Bài 5: Tính tích phân: I = Bài 6: Tính tích phân dx ( x + sin 2 x) cos xdx ∫ I= dx dx (3 e x + 2) − x2 dx x2 Bài 7: Tính tích phân: I = ∫ − x2 dx x + x Bài 8: Tính tích phân sau : I = ∫ π Bài 9: Tính tích phân: I = 3sin x − cos x dx ∫0 (sin x + cos x)3 e log 32 x Bài 10: Tính tích phân: I = ∫ dx x + 3ln x x −3 dx Bài 11: Tính tích phân ∫ x + + x + π sin x − cosx + Bài 12: Tính tích phân: I = ∫ sin x + 2cosx + dx π cotx dx π  π s inx.sin  x + ÷ 4  dx Bài 13: Tính tích phân I = ∫ Bài 14: Tính tích phân: ∫ 1+ x + −1 Bài 15: Tính tích phân: I = π ∫ 1+ x2 tan x.ln(cos x) dx cos x Trang NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 π /4 sin x ∫ Bài 16: Tính tích phân: I = 1+ x + x −π /4 π tan( x − ) dx I =∫ c os2x π Bài 17: Tính tích phân : Bài 18: Tính tích phân dx ∫ ( x sin x + Bài 19: Tìm nguyên hàm I = ∫ x )dx 1+ x dx sin x cos x Bài 20: Tìm nguyên hàm F ( x ) = sin xdx ∫ + sin x − cos x ln x + ln x Bài 21: Tính tích phân: I = ∫ dx x e ∫e Bài 22: Tính tích phân: I = x +1 dx Bài 23: Tính: A = ∫ x2 1− x2 e dx  ln x  + ln x ÷dx   x + ln x Bài 24: Tính tích phân: I = ∫  e   ln x + 3x2 ln xdx Bài 25: Tính tích phân I = ∫    x 1+ ln x ln x ∫1 (x + 1)2 dx Bài 26: Tính tích phân: I = Bài 27: Tính tích phân I = π x sin x dx x ∫ cos −π Bài 28: Tính tích phân: I = ∫ (1 + π ∫ Bài 29: Tính tích phân: I = x +1 + 2x ) dx ( x + sin 2 x) cos xdx π dx I = ∫ Bài 30: Tính tích phân sau: π + s inx-cosx π 2 I = ∫ sin x × sin x + Bài 31: Tính tích phân: Bài 32: Tính tích phân: I = π π ∫ dx x + sin x dx cos x Trang NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 π Bài 33: Tính tích phân sau: I = ∫ esin x.sin x.cos3 x dx Bài 34: Tính I = ∫ 2x + 1+ 2x + dx π Bài 35: Tính tích phân: I = (sin4 x + cos4 x)(sin6 x + cos6 x)dx ∫  1− x  − x ln ( + x ) ÷ Bài 36: Tính tích phân sau: I = ∫  ÷dx + x  0 π  ex −x  e x + ∫0  + tan x ÷ dx Bài 37: Tính tích phân: I = Bài 38: Tính tích phân: ∫ x( x I= Bài 39: Tính tích phân π ∫ + 1) dx sin xdx ( sin x + cos x ) I = ∫ x ln( x + x + 1)dx Bài 40: Tính tích phân: dx 4x + 2x + + Bài 41: Tính tích phân: I = ∫ ln Bài 42: Tính tích phân ∫ I= ( e + 2) Bài 43: Tính tích phân I = ∫ dx x x2 +1 x 3x + dx x+ x ( x + − )e dx Bài 44: Tính tích phân: I = ∫1 x ln Bài 45: Tính tích phân: I = ∫ ln Bài 46: Tính tích phân I = ln ∫ ln Bài 47: Tìm nguyên hàm I = e2x e x −1 e 2x dx dx ex − + ex − ∫ ln(1 + x ) x + 2011x ln[(ex + e) x2 +1 ] dx ln(x + 1) dx x3 Bài 48: Tính tích phân : I = ∫ ( x − 1) dx Bài 49: Tính tích phân: I = ∫ 2 −1 ( x + 1) Trang NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 Bài 50: Tính tích phân: I = π  (1 + cosx)1+ sinx  ∫0 ln  + sinx  dx ĐÁP ÁN 50 BÀI TÍCH PHÂN TỔNG HỢP π Bài 1: Tính tích phân sau: I = sin x ( x + cos 2008 x ) dx ∫ π π π 0 I = ∫ sin x ( x + cos 2008 x ) dx = ∫ x sin x.dx + ∫ sin x.cos 2008 x.dx = I1 + I2 du = x.dx u = x  ⇒ (+) I1 = x sin x.dx Đặt:   ∫0  dv = sin x.dx v = − cos x  π π π 2 − x cos x π ⇒ I1 = + ∫ x.cos x.dx = + ∫ x.cos x.dx 0  du = dx u = x  ⇒ Đặt:   du = cos x.dx v = sin x  π π π π2 π2 π2 π x.sin x 12 + cos x = + (−1 − 1) = − Ta có: I1 = + − ∫ sin x.dx = 8 8 20 0 π 2 π cos 2010 x 2= (+) I2 = −2 cos 2009 x.d (cos x) = −2 ∫0 2010 1005 π π2 1 π 1003 − + = − 1005 2010 e e e    1  + ln x ÷dx = ∫  Bài 2: I = ∫  ÷dx + ∫ ln x.dx 2  x − ln x   x − ln x  e   * Ta tính tích phân I1 = ∫  ÷.dx  x − ln x  Vậy: I = Trang NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 dx Đặt u = lnx => du = x Khi x = u = 0; Khi x = e u = 1 du ⇒ I1 = ∫ − u2 Đặt u = 2sint => du = 2costdt π π Khi u = t = 0; u = t = ⇒ I1 = ∫ π π 2.cos t dt = ∫ dt = ∫ dt = x = 2.cos t − 4sin t 0 2.cos t π π e * Ta tính tích phân I = ∫ ln x.dx dx  e e e e u = ln x dx du = 2.ln x ⇔ = x.ln x − ∫ 2.ln x.dx x ⇒ I = x.ln x − ∫ x.2 ln x Đặt  1 1 x  dv = du v = x dx  e e e dx e e e u = ln x du = ⇔ = x.ln x − x ln x + x x ⇒ I = x.ln x − x.ln x + ∫ x Đặt  1 1 1 x  dv = 2dx v = x = e - 2e + 2e - = e - π Vậy: I = I1 + I = + e − π Bài 3: Ta viết lại : I = ∫ tan x.dx π =∫ tan x.dx π cos x + tan x cos x tan x.dx Đặt t = + tan x dt = cos x + tan x π π Khi x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = π cos x + Từ : I = ∫ dt = 5− 3 Bài 4: e ln x + e x (e x + ln x) dx + ex Tính tích phân: I = ∫ e  ln x + e x + e x ln x e2 x dx = ln x + ∫1  + ex 1+ ex e Ta có: I = ∫ e e  e2 x dx = ln x dx + ÷ ∫1 ∫1 e x + dx  dx  u = ln x du = ln x ⇒ x * Tính I1 = ∫ ln x.dx đặt:   dv = dx v = x e e e ⇒ I1 = ( x ln x) − ∫ ln x.dx = e − ∫ ln x.dx 1 e Trang NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 2dx  u = ln x du = ⇒ x Đặt:   dv = dx v = x   e e ⇒ I1 = e −  x.ln x − ∫ 2.dx  = e − 1   e 2x e I2 = ∫ x dx Đặt: y = ex + => ex = u – ex.dx = du e + 1 Khi: x= => u = e + x = e => u = ee + ee +1 ee +1 ee +  u −1   1 ⇒ I2 = ∫  du = − du = ( u − ln u ) ÷ ∫  u ÷ u  e +1 e +1  e +1  e e = e + – ln(e +1) – (e + – ln(e + 1))  e +1  = ee – e + ln  e ÷  e +1  e +1   e +1  Vậy: I = I1 + I2 = e – + ee – e + ln  e ÷ = ee – + ln  e ÷  e +1  e +1 Bài 5: π π ∫ π ∫ ∫ I = ( x + sin 2 x)cos xdx = xcos xdx + sin 2 xcos xdx = I + I 0 Tính I1 π π  du = dx  u = x x 14  ⇒ ⇒ I1 = sin x − ∫ sin xdx Đặt  v = cos xdx 20 v = sin x   ∫ π π π = + cos x = − 8 Tính I2 π π 1 I = ∫ sin xd (sin x) = sin x = 20 6 Vậy I= π 1 π − + = − 8 12 Bài 6: x 3 ln Ta có I = ∫ e dx x x e (e + 2) x x Đặt u= e ⇒ 3du = e dx ; x = ⇒ u = 1; x = ln ⇒ u = Trang NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 2  1 3du  − − I=∫ Ta được: =3 ∫ 4u 4(u + 2) 2(u + 2) 1 u (u + 2)  du  1  1  =3  ln u − ln u + + 2(u + 2)  4 3 = ln( ) − 3 Vậy I = ln( ) − Bài 7: Đặt x = sin t dx = cos tdt , x = t = I =∫ π π π π , x = t = , vậy: π π 4− x cos t   dx = ∫ dt = ∫  − 1dt = − ∫ d (cot t ) − t π2 = x2 sin t  π π  sin t π 2 6 3− π Bài 8: − x2 dx Tính tích phân sau : I = ∫ x + x3 − x2 I =∫ dx = x + x ∫ 1 −1 d (x + ) 2 x x dx = − ∫ ln( x + ) = … = ln = 1 x +x +x x x 2 − x2 2x  1 dx = ∫  − ÷dx =……) ( Hoặc I = ∫ x x +1  x+x 1 Bài 9: Đặt x = π π π − t ⇒ dx = − dt , x = ⇒ t = , x = ⇒ t = 2 π π π Suy ra: I = 3sin x − cos x dx = 3cos t − 2sin t dt = 3cos x − 2sin x dx (Do tích phân không phụ thuộc vào kí ∫0 (sin x + cos x)3 ∫0 (cos t + sin t )3 ∫0 (cos x + sin x)3 hiệu cảu biến số) π π π 2 Suy ra: I = I + I = 3sin x − cos x dx + 3cos x − 2sin x dx = ∫0 (sin x + cos x)3 ∫0 (cos x + sin x)3 ∫0 (sin x + cos x) dx = π π 1 π π  π2   dx = d x − = tan x −  ÷  ÷ = KL: Vậy I = =∫ ∫ π π 4        0 cos x − cos x −  ÷  ÷ 4     Bài 10:  ln x  e e e  ÷ log 32 x ln x ln xdx ln  I =∫ dx = ∫  dx = ∫ 2 ln 1 + 3ln x x x + 3ln x x + 3ln x dx 2 Đặt + 3ln x = t ⇒ ln x = (t − 1) ⇒ ln x = tdt Đổi cận … x Trang NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 2 ( t − 1) 1 Suy I = dx = tdt = t − 1) dt ( 3 ∫1 x + 3ln x ∫ ∫ ln t ln e log 32 x 1  =  t −t÷ = 3 ln   27 ln Bài 11: x = ⇒ u = x + ⇒ u − = x ⇒ 2udu = dx ; đổi cận:  x = ⇒ u = Đặt u = 2 x−3 2u − 8u dx = ∫ du = ∫ (2u − 6)du + 6∫ du Ta có: ∫ u + 3u + u +1 x +1 + x + 1 ( = u − 6u ) + ln u + 1 = −3 + ln 32 π π π dx Bài 12: Vậy I = − dx − d ( sin x + 2cosx + ) + ∫ ∫ ∫ 50 sin x + 2cosx + sin x + 2cosx + π π I = − x 02 − ln ( sin x + 2cosx + )  + J 5 π I = − − ( ln − ln ) + J 10 5 π 1 x  2tdt x dx Đặt t = tan ⇒ dt =  tan + 1÷⇒ dx = ∫0 sin x + 2cosx + 2  t +1 π Đổi cận : Khi x = t = Khi x = t = 2dt 1 dt dt t + = 2∫ = 2∫ Vậy J = ∫ 2 2t 1− t t + 2t + 0 ( t + 1) + + + t2 +1 t2 +1 Đặt t + = tan u suy dt = ( tan2u + 1)du π Đổi cận t = u = Khi t = u = α với tan α = Tính J = π J=∫ α ( tan u + 1) du ( tan u + 1) Do : I = π = u α4 = π −α 3π + ln − α 10 5 Bài 13: Tính Trang NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 π π cot x cot x dx = ∫ dx π  π π s inx ( s inx + cos x ) sin x sin  x + ÷ 6 4  I=∫ π = 2∫ π cot x dx s in x ( + cot x ) dx = −dt sin x π π +1 Khi x = ⇔ t = + 3; x = ⇔ t = 3 Đặt 1+cotx=t ⇒ +1 t −1 ∫ t dt = ( t − ln t ) +1 I= Vậy +1 +1   = 2 − ln ÷   ∫ 1+ x + Bài 14: Ta có : −1 = dx 1+ x2 =∫ −1 1+ x − 1+ x2 ( 1+ x ) Nên I = 1+ x − 1+ x2 dx = 2x −1 − ( 1+ x2 ) dx = ∫ 1 1  1+ x2 + dx −  ÷ ∫−1 2x dx −∫1  x  • I1 = • I2 = 1  1  + 1÷dx = ln x + x  |−1 = ∫ −1  x  1+ x2 dx Đặt t = + x ⇒ t = + x ⇒ 2tdt = 2xdx 2x ∫ −1 t = x = ⇒ Đổi cận :   x = −1  t = 2 Vậy I2= t dt ∫ ( t − 1) = Bài 15: Đặt t=cosx Tính dt=-sinxdx , đổi cận x=0 t=1 , x = Từ I = − ∫ ln t dt = t2 ∫ π t = ln t dt t2 1 dt ⇒ du = dt; v = − t t t 1 1 ln − Suy I = − ln t + ∫ dt = − t t t 2 *Đặt u = ln t;dv = *Kết I = −1− ln 2 Bài 16: Trang NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 I= π /4 sin x ∫ + x2 + x −π /4 dx = π /4 ∫ + x sin xdx + −π /4 π /4 ∫ x sin xdx = I1 + I −π /4 Áp dụng hàm lẻ, đặt x=-t I1 = , tích phân phần I kết Bài 17: π π tan( x − ) dx = − tan x + dx I=∫ ∫0 (t anx+1)2 cos2x π t = t anx ⇒ dt= Đặt x=0⇒t =0 π x= ⇒t = 3 Suy I =−∫ dx = (tan x + 1)dx cos x dt 1− = = (t + 1) t + 10 Bài 18: 1 x dx 1+ x I = ∫ x sin x3 dx + ∫ Ta tính I1 = ∫x sin x3 dx đặt t = x3 ta tính I1 = -1/3(cos1 - sin1) x dx đặt t = Ta tính I2 = ∫ 1+ x x ta tính I2 = ∫ (1 − Từ ta có I = I1 + I2 = -1/3(cos1 - 1)+ − π π )dt = 2(1 − ) = − 1+ t π Bài 19: dx dx = 8∫ 3 sin x cos x cos x sin x cos x Đặt tanx = t dx 2t ⇒ dt = ; sin x = cos x 1+ t2 dt (t + 1) ⇒ I = 8∫ = dt 2t ∫ t ( ) 1+ t2 t + 3t + 3t + =∫ dt t3 3 = ∫ (t + 3t + + t −3 ) dt = tan x + tan x + ln tan x − +C t 2 tan x I=∫ Trang 10 NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 Bài 20: sin xdx sin x cos xdx =∫ + sin x − (1 − sin x) sin x + sin x + Đặt u = sinx ⇒ du = cos xdx Ta có F ( x ) = ∫ Ta có F ( x) = G (u ) = ∫ = ln u + + udu ( u + 1) =∫ du du −∫ u +1 (u + 1) +c u +1 Vậy F ( x) = ln sinx + + +c sin x + Bài 21: Tính tích phân (1,00 điểm) e ln x + ln x 1e I =∫ dx = ∫ ln x + ln xd ( ln x ) = ∫ ( + ln x ) d ( + ln x ) x 21 1 e = ( + ln x ) e =  34 −   8 1 Bài 22: Tính: I= ∫ e x +1 dx x = → t = 2 3x + = t ; t ≥ → x + = t → dx = t.dt ;  x = → t = 2 u = t → du = dt t Vậy I= ∫ te dt Đặt 31 dv = et dt → v = et Đặt 2 t 2 t Ta có I = (te − ∫ e dt ) = e 3 Bài 23: Đặt t = sinx => − x = cos t , dx = cos tdt π ( ) A = ∫ sin t dt = A = π −2 Bài 24: e  ln x  I = ∫ + ln x ÷dx   x + ln x e I1 = ∫ e ln x dx , Đặt t = x + ln x ( + ln x ,… Tính I1 = 2 − 3 ) I = ∫ ln x dx , lấy tích phân phần lần I2 = e - Trang 11 NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 2 I = I1 + I2 = e − − 3 Bài 25: e e lnx dx+ 3∫ x2 lnxdx x + ln x 1 I=∫ e +) Tính I = ∫ ln x x + ln x dx Đặt t = 1+ lnx ⇒ t2 = 1+ lnx; 2tdt= Đổi cận: x = 1⇒ t = 1;x = e ⇒ t = I1 = ∫ (t ) ( dx x )  t3  −1 2− 2 2tdt= ∫ t − dt = 2 − t = t  1 ( ) dx  du=  u = lnx  x ⇒ +) Tính I = ∫ x lnxdx Đặt  dv= x dx v = x  e 3 3 x e x e e 2e3 + I = lnx 1e − ∫ x2dx = − 1e = − + = 31 3 3 9 e I = I + 3I = 5− 2 + 2e 3 Bài 26: I = ln x ∫ (x + 1) dx dx − Đặt u = lnx ⇒ du = x ; dv = (x + 1)-2dx ⇒ v = x + 3 x + 1) − x ( ln x 1  1 − +∫ dx = − ln + ∫  − ÷dx x x +1  1 I = x + 1 x(x + 1)  x  − ln +  ln  − ln + ln x +  1 = = Bài 27: Tính tích phân I = π x sin x dx x ∫ cos −π • Sử dụng công thức tích phân phần ta có I= π   x ∫ xd  cosx ÷ = cosx − π π − π π −∫ − π dx 4π = − J , với J = cosx π − π • Để tính J ta đặt t = sin x Khi J= π ∫ − π dx = cosx − dt t −1 ∫3 − t = − ln t + Trang 12 − = − ln dx ∫ cosx 2− 2+ NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 • Vậy I = 4π 2− − ln 2+ Bài 28: = I ∫ x +1 (1 + + 2x ) dx dx t − 2t t = + + x ⇒ dt = ⇒ dx = ( t − ) dt x = •Đặt + 2x Đổi cận x t 4 4 (t − 2t + 2)(t − 1) t − 3t + 4t −  dt = dt = ∫  t − + − •Ta có I = ∫ 2 ∫ 22 2 t t t t 2 1t 2 =  − 3t + ln t + t    = ln − Bài 29: π π ∫ π ∫ ∫ I = ( x + sin 2 x)cos xdx = xcos xdx + sin 2 xcos xdx = I + I 0 TÝnh I1 π π  du = dx  u = x x 14  ⇒ ⇒ I1 = sin x − ∫ sin xdx ®Æt  v = cos xdx 20 v = sin x   ∫ π π π = + cos x = − 8 TÝnh I2 π π 1 I = ∫ sin 2 xd (sin x) = sin x = 20 6 VËy I= π 1 π − + = − 8 12 Trang 13  dt  NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 x π Bài 30: I = d + ÷  6 +) I = − x π   cos2  + ÷  6 π π∫ Bài 31: Đặt t = cosx I = 16 ( π + 2) Bài 32: 1 t e (1 − t )dt = e ∫ 20 Bài 33: Đặt t = sin2x ⇒ I= Bài 34: Đặt t = 2x + I = ∫ t2 dt = + ln2 1+ t Bài 35: (sin4 x + cos4 x)(sin6 x + cos6 x) = 1− x dx Đặt 1+ x Bài 36: Tính H = ∫ 33 33 + cos4x + cos8x ⇒ I = π 64 16 64 128 π  π x = cos t ; t ∈  0;  ⇒ H = −  2 u = ln(1 + x) ⇒K=  dv = xdx • Tính K = ∫ x ln ( + x ) dx Đặt  π π Bài 37: I = xe − x dx + cos xdx = I1 + I2 ∫ ∫ 0 Tính: I1 = π u = x Đặt  −x ∫ xe dx −x  dv = e dx π ⇒ I1 = − e − π π – e− + π 1  π 1 + cos x x + sin x 4= + I2 = =  ÷ dx ∫0 2 0 π 1  −1 − Bài 38: Đặt t = x ⇒ I = ∫  − ÷dt = = t t +1 π  Bài 39: Ta có: sinx + cosx = 2cos  x − ÷, 6   π π  π  ∫t dt −1 π − = +1 24 π sin  x − ÷+ cos  x − ÷ sinx = sin   x − ÷+ ÷ = 6 6 6 6    π  π sin  x − ÷dx dx 6  + I= = ∫ ∫ π  16 π 16   cos3  x − ÷ cos  x − ÷ 6     π u = ln( x + x + 1) π 2+ Bài 40: Đặt  ⇒I= 12  dv = xdx 12 Bài 41: Đặt t = x + I = ln − Trang 14 NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 1 2 x+ x+ x x+ x x ( x + − ) e dx = e dx + ( x − ) e ∫1 ∫ x dx = I1 + I Bài 42: ∫ x 2 ln Tính tích phân I = ∫ dx (3 e x + 2) x ln Ta c ó I = ∫ e dx x x = e (e + 2) x x Đặt u= e ⇒ 3du = e dx ; x = ⇒ u = 1; x = ln ⇒ u = 2  1 3du I = Ta được: ∫1 u (u + 2) =3 ∫1  4u − 4(u + 2) − 2(u + 2)  du  1  1  =3  ln u − ln u + + 2(u + 2)  4 3 = ln( ) − 3 Vậy I = ln( ) − Bài 43: 3dx §Æt t = 3x + ⇒ dt = ⇒ dx = 3x + Khi x = th× t = 2, vµ x = th× t = 2tdt  t2 −1   +1   2tdt  Suy I = ∫2 t − t 4 dt = ∫ (t − 1)dt + 2∫ 92 t −1 4 21  t −1 100 =  t − t  + ln = + ln 93 t +1 27  2 Bài 44: 2 1 x+ x+ x x+ x x I = ∫1 ( x + − x )e dx = ∫1 e dx + ∫ ( x − x )e dx = I1 + I 2 Tính I1 theo phương pháp phần I1 = xe x+ x 2 e Bài 47: ⇒I= x+ − ∫ ( x − )e x dx = e − I x Trang 15 NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 ln(1 + x ) x + 2011x x[ln(x +1)+2011] dx = ∫ ln[e x2 +1 ( x + 1) x2 +1 ] ∫ ( x + 1)[ln(x +1)+1] dx Đặt t = ln(x2 + 1) + ⇒ dt = 2x dx x +1 t + 2010 dt I = t + 1005ln t + C = ∫ t 1 ln( x + 1) + + 1005ln(ln( x + 1) + 1) + C 2 Khi đí I = Bài 48: ln(x + 1) I=∫ dx x3 Đặt u = ln(x + 1),dv = I= dx x3 lấy du = 2 dx −1 −1 1 , v = ⇒ I = ln(x + 1) + ∫ x +1 2x 2x x (x + 1) −1 1 −1  1  ln(x + 1) + ∫ dx = ln(x + 1) + ∫  − + dx 2x x (x + 1) 2x 1x x x +1 ÷  1 2 −1  −1 x +1 ln(x + 1) +  + ln 2x 2 x x ÷ 1 −1 = ln + ln + = ( x − 1) dx Bài 49: Tính tích phân: I = ∫ 2 ( x + ) −1 π π dt π Đặt: x = tant với t ∈ (− ; ) Ta có: dx = ; Đổi cận: x = -1 t = − ; x =0 t =0 2 cos t 0 tan t − dt = ∫ cos t (tan t − 1) dt = − ∫ cos 2t.dt − sin 2t |0 = − ∫ I= π = π cos t π π − 2 − − − 4 4 cos t Bài 50: Trang 16 NGUYỄN VĂN SƠN 0986 035 246 π π π 0 Ta có I = ln(1 + cos x)dx + sin x ln(1 + cos x)dx − ln(1 + sin x)dx ∫ ∫ ∫ (I)1 Chứng minh: I1 = I3 Đặt: x = ( I2) π − t ⇒ dx = dt π π 0 (I3) Đổi cận π   x = ⇒ t =  x = π ⇒ t =  ⇒ I1 = ∫ ln(1 + sin t ) dt = ∫ ln(1 + sin x)dx Suy I1 - I3 = π Tính: I = sin x ln(1 + cos x)dx ∫ Đặt: t = + cos x ⇒ dt = − sin xdx : Đổi cận u = ln t Khi đó: I = ∫ ln tdt Đặt:  dv = dt 1  du = dt t  v = t x = ⇒ t =   π  x = ⇒ t = ⇒ I = t ln t − ∫ dt = (t ln t − t ) 12 = ln − Vậy: I = 2ln − 1 Trang 17 ... Tính tích phân: I = ∫ ln Bài 42: Tính tích phân ∫ I= ( e + 2) Bài 43: Tính tích phân I = ∫ dx x x2 +1 x 3x + dx x+ x ( x + − )e dx Bài 44: Tính tích phân: I = ∫1 x ln Bài 45: Tính tích phân: I... Tính tích phân: I = Bài 38: Tính tích phân: ∫ x( x I= Bài 39: Tính tích phân π ∫ + 1) dx sin xdx ( sin x + cos x ) I = ∫ x ln( x + x + 1)dx Bài 40: Tính tích phân: dx 4x + 2x + + Bài 41: Tính tích. ..  x + ln x Bài 24: Tính tích phân: I = ∫  e   ln x + 3x2 ln xdx Bài 25: Tính tích phân I = ∫    x 1+ ln x ln x ∫1 (x + 1)2 dx Bài 26: Tính tích phân: I = Bài 27: Tính tích phân I = π