Phương trình và bất phương trình mũ logarit

21 96 0
Phương trình và bất phương trình mũ logarit

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT CHUYÊN ĐỀ Kiến thức cần nhớ 1.1 Hàm số mũ: • • • Tập xác định : Tập giá trị : Tính đơn điệu: *a>1 Dạng : D= R T = R+ : *01 ∀x ∈ R đồng biến Đồ thị hàm số mũ : y ≠ (a>0,a 1) R y y=ax x 0 )) D = R+ Tập xác định : T=R Tập giá trị Tính đơn điệu: y = loga x R+ *a>1 : đồng biến y = loga x R+ *0 a f ( x) = b ⇔   f ( x ) = log a b b) b a g ( x ) (*) - Với - Với d) a a >1 x < a b a f ( ) > a g ( x) ⇔ f ( x ) > g ( x ) a f ( ) > a g ( x) ⇔ f ( x ) < g ( x ) x TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn - Với f ( x) b ≤ 0, bất phương trình nghiệm với x ∈ D, D tập xác định - Với b > 0: f ( x) > b ⇔ f ( x ) > log a b a >1 a + : f ( x) > b ⇔ f ( x ) < log a b < a 25 Lời giải a) 76 x +3 x −7 ≤ 49 ⇔ 76 x + x −7 ≤ 72 ⇔ x2 + 3x − ≤ ⇔ x2 + 3x − ≤ TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn x = VT = ⇔ x + x − = ⇔   x = −3 Xét dấu VT ta tập nghiệm bất phương trình S = [-3; 1] − x2 + x + 3 b)  ÷ 5 − x2 +7 x+ 3 > ⇔ ÷ 25 5 Tập nghiệm bất phương trình 3 >  ÷ ⇔ − x2 + x + < ⇔ − x2 + x < 5 S = ( −∞;0 ) ∪ ( 7; +∞ ) 23 x − x −10 Bài (ĐH) Giải phương trình: Lời giải Phương trình tương đương: 23 x − x −10 ⇔ (2 x ⇔ 22 x 2 + 22 x − x −12 − x −12 −2 x −8 − 2x − 1)(2 x 2 + x+ + x −2 + 4x − 16 = ⇔ 23 x + 1) = ⇔ 22 x 2 − x −4 − x −14 − x −12 − 2x + 22 x 2 + x +2 − x −12 − 16 = − 2x + x −2 −1 = −1 =  x = −2 = 20 ⇔ x − x − 12 = ⇔  x = Vậy phương trình có nghiệm x = −2, x = 2log3 ( 4x − 3) + log1 ( 2x + 3) ≤ Ví dụ 4: Giải bất phương trình Bài giải 4x − > 2x + > ⇔  ♥ Điều kiện: ♥ Khi đó: x >  ⇔x>  x > −  (*) (1) TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn ( 1) ⇔ log3 ( 4x − 3) ≤ + log3 ( 2x + 3) ⇔ log3 ( 4x − 3) ≤ log3 [ 9( 2x + 3) ] ⇔ ( 4x − 3) ≤ 9( 2x + 3) ⇔ 16x2 − 42x − 18 ≤ ⇔− ≤x≤3 ♥ So với điều kiện ta nghiệm bpt(1) (1) ⇔ log x + log 22 x + log 23 x = 11 1 ⇔ log x + log x + log x = 11 11 ⇔ log x = 11 ⇔ log x = ⇔ x = 26 = 64 (nhan) Vậy phương trình có nghiệm x = 64 b) log x + log 25 x = log 0,2 (2) Điều kiện: x > x=2 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn (2) ⇔ log x + log 52 x = log 5−1 ⇔ ( ) −1 ⇔ log x + log x = log 3 log x = log ⇔ log x = log 3 ⇔ log x = log5 ( 3) ⇔ log5 x = log5 3 ⇔x= 33 Vậy phương trình có nghiệm c) log 22 x − log x − = (3) Điều kiện: x > Đặt x=33 t = t2 − t − = ⇔  t = t = log x   PT (3) trở thành t = ⇔ log x = ⇔ x = 23 = t = ⇔ log x = ⇔ x = 2 = (thỏa mãn) (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = x = d ) 4log 22 x + log x = (4) Điều kiện x > (4) ⇔ 4log 22 x + log x = ⇔ 4log 22 x + 2log x − = 22 Đặt t = log x PT (4’) trở thành (4’) t = −1 4t + 2t − = ⇔  t =  t = −1 ⇔ log x = −1 ⇔ x = 2−1 =  (t / m) TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn 1 t = ⇔ log x = ⇔ x = = (t / m) 2  x= Vậy phương trình có nghiệm e) 3log 32 x = 10log x − (5) Điều kiện x > t = log x ta x= t = 3t = 10t − ⇔ 3t − 10t + = ⇔  t =  Đặt 2 t = ⇔ log x = ⇔ x = 33 = 27 (nhan)  1 t = ⇔ log x = ⇔ x = 33 = 3 (nhan) 3  Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 f ) ln( x − x + 7) = ln( x − 3) (6) Điều kiện x=33  x2 − 6x + >  x − >  x = (loai ) (6) ⇔ x − x + = x − ⇔ x − x + 10 = ⇔   x = ( nhan) Vậy phương trình có nghiệm x = Bài (TN) Giải bất phương trình sau: b) log 0,5 ( x − x + 6) ≥ −1 a ) log (4 x − 3) < c) log (2 x + 4) ≤ log ( x − x − 6) Lời giải d ) lg(7 x + 1) ≥ lg(10 x − 11x + 1) TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn a ) log (4 x − 3) < 4x − > ⇔ x > Điều kiện log (4 x − 3) < ⇔ x − < 32 ⇔ x < 12 ⇔ x < 3  S =  ;3 ÷ 4  Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm b) log 0,5 ( x − x + 6) ≥ −1 Điều kiện x < x2 − 5x + > ⇔  x > log 0,5 ( x − x + 6) ≥ −1 ⇔ x − x + ≤ ( 0,5 ) −1 ⇔ x2 − 5x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm c) log (2 x + 4) ≤ log ( x − x − 6) S = [ 1; ) ∪ ( 3;4]  x > −2 2 x + >  ⇔   x < −2 ⇔ x >  x − x − >  x >  Điều kiện: log (2 x + 4) ≤ log ( x − x − 6) ⇔ x + ≥ x − x − 3 ⇔ x − 3x − 10 ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm d ) lg(7 x + 1) ≥ lg(10 x − 11x + 1) S = ( 3;5] TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn  x > −   7 x + >  −1  ⇔  ⇔ x ∈  ; ÷∪ ( 1; +∞ )   10  10 x − 11x + >   x < 10   x > Điều kiện: lg(7 x + 1) ≥ lg(10 x − 11x + 1) ⇔ x + ≥ 10 x − 11x + ⇔ 10 x − 18 x ≤ ⇔ ≤ x ≤ Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm Bài (ĐH) Giải phương trình: log ( x − 1) + log    9 S = 0; ÷∪  1;   10    ( x − 1) = a) log ( x + 1) + = log b) Lời giải − x + log8 ( + x ) (2) < x ≠1 Điều kiện: ⇔ 2log x − + 2log ( x − 1) = ⇔ log x − + log ( x − 1) =   < x <   2 x − x + = 0(vn)   x >  ⇔ log x − ( x − 1) = log 3 ⇔ x − ( x − 1) = ⇔  2 x − x − = ⇔x=2 b) Điều kiện: x +1 ≠ −4 < x <  4 − x > ⇔   x ≠ −1 4 + x >  TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn (2) ⇔ log x + + = log ( − x ) + log ( + x ) ⇔ log x + + = log ( 16 − x ) ⇔ log x + = log ( 16 − x ) ⇔ x + = 16 − x + Với −1 < x < ta có phương trình x + x − 12 = (3) ; x = (3) ⇔   x = −6 ( lo¹i ) + Với −4 < x < −1 ta có phương trình x − x − 20 = (4);  x = − 24 ⇔ ( )   x = + 24 ( lo¹i ) Vậy phương trình cho có hai nghiệm x=2 ( x = 1− Bài (ĐH) Giải bất phương trình: a) log x − x + + log x − > log ( x + 3) 3 log log b) Lời giải ( ) x + + x > log3 log ( x2 + − x x>3 Điều kiện: Bất phương trình cho tương đương: 1 log ( x − x + ) + log 3−1 ( x − ) > log 3−1 ( x + ) 2 ⇔ 1 log ( x − x + ) − log ( x − ) > − log ( x + 3) 2 ⇔ log ( x − ) ( x − 3)  > log ( x − ) − log ( x + 3) ) ) TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn  x−2 x−2 ⇔ log3 ( x − ) ( x − 3)  > log  ÷ ⇔ ( x − ) ( x − 3) >  x+3 x+3  x < − 10 ⇔ x2 − > ⇔   x > 10 Giao với điều kiện, ta nghiệm phương trình cho x>0 b) Đk: ( 1) ⇔ log3 log ( ) x + − x + log log 5  ⇔ log  log  ⇔ log 52 ( < log5 log *) ( ) x + − x log ( ) ) x2 + + x < )  x + + x ÷<  x2 + + x < ⇔ < log *) ( ( x > 10 ( ( ) x2 + + x < ) x2 + + x ⇔ x > ) x + + x < ⇔ x + + x < ⇔ x + < − x ⇔ ⇔ x < Vậy BPT có nghiệm 12  12  x ∈  0; ÷  5 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ: t = ax , t >  Đặt  Thay vào phương trình bất phương trình để biến đổi phương trình theo t  Giải phương trình, bất phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn  Nếu có nghiệm thỏa thay t = ax để tìm x kết luận Bài (TN) Giải phương trình sau: a ) x − 10.3x + = b) 25 x + 3.5 x − 10 = c ) x − 3− x − = d ) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = Lời giải a ) x − 10.3x + = ⇔ 32 x − 10.3x + = Đặt t = 3x , t > Phương trình trở thành: t = ⇔ 3x = ⇔ x = t = ( nhan) t − 10t + = ⇔  t = (nhan) t = ⇔ xx = ⇔ x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = b) 25 x + 3.5 x − 10 = ⇔ 52 x + 3.5x − 10 = Đặt t = 5x , t > t = 2( nhan) t + 3t − 10 = ⇔  t = −5(loai ) Phương trình trở thành: t = ⇔ x = ⇔ x = log x = log Vậy phương trình cho có nghiệm c) x − 23− x − = ⇔ x − x − = ⇔ 2 x − 2.2 x − = Đặt t = 2x , t > TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Phương trình trở thành: t = ⇔ 2x = ⇔ x = t = (nhan) t − 2.t − = ⇔  t = −2 (loai ) Vậy phương trình có nghiệm x = x x 2x x 9 6 3 3 d ) 6.9 − 13.6 + 6.4 = ⇔  ÷ − 13  ÷ + = ⇔  ÷ − 13  ÷ + = 4 4 2 2 x x x x Đặt 3 t = ÷ , t >0 2 Phương trình trở thành  t = 6t − 13t + = ⇔  t =  (nhan) 2 (nhan) x t= 3 3 ⇔  ÷ = ⇔ x =1 2 2 x 2 3 t = ⇔  ÷ = ⇔ x = −1 3 2 Vậy phương trình có nghiệm x = -1 x = x − 3.2 x + < Bài (TN) Giải bất phương trình: Lời giải x − 3.2 x + < ⇔ 2 x − 3.2 x + < Bất phương trình t = 2x , t > Đặt t − 3t + < ⇔ < t < ⇔ < x < ⇔ < x < Bất phương trình trở thành: Vậy bất phương trình có nghiệm S = (0; 1) log x log x 2x 10 + − 10 − = Bài (ĐH) Giải phương trình: Lời giải Điều kiện: x > ( ) ( ) TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn ( ) 10 + log3 x − ( ) 10 − log3 x Ta có phương trinhg tương đương với: log3 x  10 +  ⇔ ÷   log3 x  10 −  − ÷   log3 x = Đặt  10 +  t = ÷   t − = ⇔ 3t − 2t − = t Phương trình trỏ thành: (t > 0)  + 10 t = ⇔  − 10 t =  (loại) + 10 Với t = ta giải x = Vậy phương trình cho có nghiệm x =3 Bài (ĐH) Giải bất phương trình log x a) +x (2 + 3) x 2log x − x +1 − 20 ≤ + (2 − 3) x − x −1 ≤ b) 2− Lời giải 4log 22 x Điều kiện: x> ; BPT ⇔ t = log x x = 2t Đặt Khi +x 2log x − 20 ≤ y = 22t 42t + 22t − 20 ≤ BPT trở thành Đặt BPT trở thành y2 + y - 20 ≤ ⇔ - ≤ y ≤ ; y ≥ Đối chiếu điều kiện ta có: Do - ≤ log x ≤1⇔ 22t ≤ ⇔ 2t ≤ ⇔ t ≤ 1 ≤x≤2 = 3log3 x ⇔ - ≤ t ≤ TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn ( ⇔ 2+ b) Bpt ( t = 2+ Đặt ) ) x2 −2 x x2 −2 x ( + 2− ) x2 −2 x ≤4 (t > 0) t + ≤ ⇔ t − 4t + ≤ ⇔ − ≤ t ≤ + t BPTTT: ( 2− ≤ 2+ ) x −2 x ≤ 2+ (tm) ⇔ −1 ≤ x − x ≤ ⇔ x − 2x −1 ≤ ⇔ − ≤ x ≤ + BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1:Giải phương trình bất phương trình: 1) x− x −5 − 12.2 x −1− +8 = (3 + 5) + 16.(3 − 5) = x 3) x −5 x 2) x+ 4) ( + 3) (5− ) x − 3( − ) + = x ( x 21 + + 21 ) x ≥ 8.2 x Bài 2: Giải hệ phương trình sau 1) 3) ìï x + log3 y = ï í ïï ( y - y +12) 3x = 81 y î 2) ïìï log x + log y = + log í ïïî x + y = 20 4) ìï xy + xy ïï = 32 í ïï log x - y = 1- log x + y ) ) 3( 3( ïî ïìï log x - log y = í ïïî x y - y + = 2.3 Phương pháp lô ga rít hóa: Bài (TN) Giải phương trình: x +1 x2 = 1) 2) 2.4 Phương pháp hàm số: x 2  ÷ 5 x+2 1 = ÷ 7 x 3) 58 x −1 x = 500 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) phương trình f(x)=k (k∈R) có không nghiệm khoảng (a;b) Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) ∀u, v ∈(a,b) ta có f (u ) = f ( v ) ⇔ u = v Tính chất 3: Nếu hàm f tăng g hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f(x)=g(x) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b) log x2 + x + = x − 3x + 2 2x − 2x + Bài (ĐH) Giải phương trình Lời giải u = x + x + 1; v = x − x + ( u > 0, v > ) v – u = x − 3x  +2 Đặt suy u log = v − u ⇔ log u − log v = v − u ⇔ log u + u = log v + v v PT cho trở thành (1) f ( t ) = log t + t , t > Xét hàm đặc trưng: f ' (t ) = + > 0, ∀t > t.ln Ta có nên hàm số đồng biến t > Từ (1) ta có f(u) = f(v), suy u = v hay v-u=0, tức x2-3x+2=0 x = 1, x = Phương trình có nghiệm u log a = v − u v Lưu ý: Với phương trình dạng với u > 0, v > < a, ta thường biến đổi ⇔ logau - logav = v – u logau + u = logav Vì hàm số f(t) = logat + t đồng biến t > 0, suy u = v Bài (ĐH) Giải bất phương trình Lời giải 1  log (4 x − x + 1) − x > − ( x + 2) log  − x ÷  2 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn  1  x <  −x>0 x <  ⇔ ⇔ ⇔ x< 2 4 x − x + > (2 x − 1) > x ≠    ( *) ĐK: Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với: 2log (1 − x) − x > + ( x + 2) [ log (1 − x) − 1] ⇔ x [ log (1 − x) + 1] <  x >  x >  x >     log (1 − x) + < log 2(1 − x) <  2(1 − x) <  x >    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x <  x <  x <     x < log (1 − x ) + > log 2(1 − x ) > 2(1 − x ) >       Kết hợp với điều kiện (*) ta có: 1 < x< Bài (ĐH) Giải bất phương trình Lời giải x < x(3log x − 2) > 9log x − ⇔ 3( x − 3) log x > 2( x − 1) x>0 Điều kiện: Bất phương trình Nhận thấy x=3 không nghiệm bất phương trình x −1 log x > x>3 ⇔ x −3 TH1 Nếu BPT f ( x) = log x ( 0;+∞ ) Xét hàm số: đồng biến khoảng biến khoảng Với x4 f ( x) < f (4) = 3  g ( x ) > g (4) =  ⇒ :Ta có f ( x) > f (4) = 3  g ( x) < g (4) =  ⇒ Bpt vô nghiệm g ( x) = x −1 x −3 Bpt có nghiệm nghịch x>4 * TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN PHƯƠNG THỨC TỰ HỌC WTS Địa chỉ: Tầng 3,số 5, ngõ 43, Trung Kính,Đống Đa, Hà Nội Hottline: 0973.332.916 Email: wts@gmail.com/ Website: wts.edu.com /nguyenvanson.vn TH 2:Nếu 0< x1 :Ta có đồng biến ( 0;+∞ ) f ( x ) > f (1) =   g ( x) < g (1) =  ⇒ nghiệm x g (1) =  ⇒ Bpt có nghiệm < x 0 < x <  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giải phương trình bất phương trình: 1) 32 x + 42 x = 25 x 1− x x2 −2 1− x x2 = 3) 5) 2) x−2 2x x −5 7) −e x −1 6) = 1 − 2x − x −1 21− x − x +  Đặt  Thay vào phương trình bất phương trình để biến đổi phương trình theo t  Giải phương trình, bất phương trình tìm t, đối chiếu... (TN) Giải bất phương trình: Lời giải x − 3.2 x + < ⇔ 2 x − 3.2 x + < Bất phương trình t = 2x , t > Đặt t − 3t + < ⇔ < t < ⇔ < x < ⇔ < x < Bất phương trình trở thành: Vậy bất phương trình có nghiệm... < x< Bài (ĐH) Giải bất phương trình Lời giải x < x(3log x − 2) > 9log x − ⇔ 3( x − 3) log x > 2( x − 1) x>0 Điều kiện: Bất phương trình Nhận thấy x=3 không nghiệm bất phương trình x −1 log x >

Ngày đăng: 09/09/2017, 14:33

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan