hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số KSHS 06: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ Kiến thức bản: AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 1) Khoảng cách hai điểm A, B: 2) Khoảng cách từ điểm M (x0; y0) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = : d(M ,d) = ax0 + by0 + c a2 + b2 Đặc biệt: + Nếu ∆: x = a d(M ,∆) = x0 − a + Nếu ∆: y = b d(M , ∆) = y0 − b + Tổng khoảng cách từ M đến trục toạ độ là: x0 + y0 3) Diện tích tam giác ABC: uuu r uuur S = AB.AC.sin A = AB2.AC − ( AB.AC ) 2 uu r uur  x + x = 2xI 4) Các điểm A, B đối xứng qua điểm I ⇔IA + IB = ⇔ A B  yA + yB = 2yI  AB ⊥ ∆ (I trung điểm AB) I ∈ ∆ x = x Đặc biệt: + A, B đối xứng qua trục Ox ⇔ B A  yB = − yA 5) Các điểm A, B đối xứng qua đường thẳng ∆⇔  xB = xA  yB = − yA + A, B đối xứng qua trục Ox ⇔ 6) Khoảng cách đường thẳng ∆ với đường cong (C) khoảng cách nhỏ điểm M ∈∆và điểm N ∈(C) 7) Điểm M (x; y) gọi có toạ độ nguyên x, y số nguyên Trang 77 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Cho hàm số y = − x3 + 3x + (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua tâm M(–1; 3) • Gọi A( x0; y0 ) , B điểm đối xứng với A qua điểm M(−1;3) ⇒ B( −2 − x0;6 − y0 ) Câu  y = − x3 + 3x + 0 A, B ∈ (C) ⇔  − y = − ( − − x0)3 + 3(−2 − x0) +  ⇔ = − x03 + 3x0 + − ( −2 − x0 ) + 3( −2 − x0 ) + ⇔ 6x02 + 12x0 + = ⇔ x0 = −1⇒ y0 = Vậy điểm cần tìm là: (−1;0) (−1;6) Cho hàm số y = − x + x2 + 3x − 11 Câu 3 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục tung  x2 = − x1 ≠  y1 = y2 • Hai điểm M (x1; y1), N(x2; y2) ∈ (C ) đối xứng qua Oy ⇔   x2 = − x1 ≠  x1 =  x1 = −3  ⇔  x3 ⇔   x 11 11  x2 = −3  x2 =  − + x1 + 3x1 − = − + x2 + 3x2 − 3   16   16  Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) đối xứng qua Oy là: M  3; ÷, N  −3; ÷ 3  3  Cho hàm số y = − x3 + 3x + (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d: 2x − y + = Câu • Gọi M ( x1; y1) ; N ( x2; y2 ) thuộc (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d  x1 + x2 y1 + y2  ; ÷, ta có I ∈ d   I trung điểm AB nên I  ) ( ( ) − x13 + 3x1 + + − x23 + 3x2 + y1 + y2 x +x = = 2 + 2 2 x + x = ⇒ − ( x1 + x2 ) + 3x1x2 ( x1 + x2 ) + 3( x1 + x2 ) = 2( x1 + x2 ) ⇒  12 2  x1 − x1x2 + x2 = Mặt khác: MN ⊥ d ⇒ ( x2 − x1) 1+ ( y2 − y1) = Có: ( ) ⇒ 7( x2 − x1) − 2( x2 − x1) x12 + x1x2 + x22 = ⇒ x12 + x1x2 + x22 = 7 - Xét x1 + x2 = ⇒ x1 = ± ; x2 = m 2  2  x2 − x x + x2 =  12  x1 + x2 = ⇔ ⇒ vô nghiệm - Xét  2  x1 + x1x2 + x2 = x x =    7  7 ;2 − ÷; − ;2 + ÷  2÷ 2÷    Vậy điểm cần tìm là:  Trang 78 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trần Sĩ Tùng Câu Khảo sát hàm số Cho hàm số y = x3 + x2 − 3x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi A, B giao điểm (C) với trục Ox Chứng minh đồ thị (C) tồn hai điểm nhìn đoạn AB góc vuông • PT hoành độ giao điểm (C) với trục hoành: x = x + x − 3x + = ⇔  3  x = −5   5 3 uuur  u u u r  5 5 ⇒AM =  a + 5; a3 + a2 − 3a + ÷, BM =  a − 1; a3 + a2 − 3a + ÷ 3 3   uuur uuur AM ⊥ BM ⇔ AM BM = ⇔(a + 5)(a − 1) + (a + 5) (a − 1) = ⇔1+ (a − 1)3(a + 5) = 0⇔a4 + 2a3 − 12a2 + 14a + = (*) ⇒A(−5;0), B(1;0) Gọi M  a; a3 + a2 − 3a + ÷∈ (C ), M ≠ A, B Đặt y = a4 + 2a3 − 12a2 + 14a + = , có tập xác định D = R 2043 y′ = 4a3 + 6a2 − 12a + 14 ; y′ = có nghiệm thực a0 ≈ − ⇒ y0 ≈ − 16 Dựa vào BBT ta suy (*) có nghiệm khác –5 Vậy tồn điểm thuộc (C) nhìn đoạn AB góc vuông Cho hàm số y = x4 − 2x2 + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm toạ độ hai điểm P, Q thuộc (C) cho đường thẳng PQ song song với trục hoành khoảng cách từ điểm cực đại (C) đến đường thẳng PQ • Điểm cực đại (C) A(0;1) PT đường thẳng PQ có dạng: y = m(m≥ 0) Vì d(A, PQ) = nên m= Khi hoành độ điểm P, Q nghiệm phương trình: x4 − 2x2 − = ⇔ x = ±2 Vậy: P (−2;9), Q(2;9) P (2;9), Q(−2;9) Câu Cho hàm số y = x4 + mx2 − m− (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = –2 2) Chứng minh m thay đổi (Cm) luôn qua hai điểm cố định A, B Tìm m để tiếp tuyến A B vuông góc với • Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0) Ta có: y′ = 4x3 + 2mx Câu Các tiếp tuyến A B vuông góc với ⇔ y′ (1).y′ (−1) = −1 ⇔ (4+ 2m)2 = ⇔ m= − ; m= − Câu Cho hàm số y = x+ 2x − 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(2; 0) B(0; 2) • PT đường trung trực đọan AB: y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hoành độ nghiệm PT: x+ 1− 1+ = x ⇔ x2 − x − = ⇔ x = ; x= 2x − 2 Trang 79 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng  1− 1−   1+ 1+  , , ÷;  ÷  ÷ ÷     Hai điểm cần tìm là:  Câu Cho hàm số y = 3x − (C) x− 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm thuộc (C) cách tiệm cận • Gọi M (x; y) ∈ (C) cách tiệm cận x = y = Ta có: x − = y − ⇔ x − = x x = 3x − x ⇔ = ±(x − 2) ⇔  − ⇔ x− = x− x− x− x = Vậy có điểm thoả mãn đề : M1( 1; 1) M2(4; 6) Câu Cho hàm số y = 2x + x+ (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ • Gọi M (x0; y0) ∈ (C), ( x0 ≠ −1) y0 = 2x0 + 1 = 2− x0 + x0 + Gọi A, B hình chiếu M TCĐ TCN thì: MA = x0 + 1, MB = y0 − = x0 + Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA + MB ≥ MA.MB = x0 + ⇒ MA + MB nhỏ x0 + = =2 x0 + x = ⇔ x0 +  x0 = −2 Vậy ta có hai điểm cần tìm (0; 1) (–2; 3) Câu hỏi tương tự: a) y = 2x − x+ Câu 10 Cho hàm số y = ĐS: x0 = −1± b) y = 3x − x− ĐS: M (1;2), M (3;4) 2x − (C) x+ 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc –9 • Giao điểm tiệm cận I (−1;2)  y −y  −3 M I Gọi M  x0;2 − x + 1÷∈ (C ) ⇒ kIM = x − x = (x0 + 1)2 M I   ′ + Hệ số góc tiếp tuyến M: kM = y (x0) = ( x0 + 1) x = + YCBT ⇔ kM kIM = − ⇔  Vậy có điểm M thỏa mãn: M(0; –3) M(–2; 5)  x0 = −2 Câu 11 Cho hàm số y = x+ x−1 Trang 80 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm M (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d :2x + y − = k=   m+  ⇔ 2m2 − 3m+ = m− ÷∈ (C ) Ta có: d(M , d) = m−  5  1  ⇔m= 2; m= ; m= −2; m= ⇒M (2;4); M  ;3÷; M (−2;0); M  ; −5÷ 2 2  2  • Gọi M  m; Câu hỏi tương tự: a) y =  16 15   11  3x − 12 7 ; d :3x − 4y + 1= 0; k = ĐS: M (1; −2); M  ; ÷; M  −2; ÷; M  ;6÷  4 x−  4 3  Câu 12 Cho hàm số y = 2x + x+ 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm M đồ thị (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d : x − 4y + = ngắn • Gọi ∆là tiếp tuyến (C) song song với d x x 13 ∆2 : y = + 4 4  3  5 Các tiếp điểm tương ứng: M1 1; ÷, M2  −3; ÷ Ta tính d(M1,∆) < d(M2,∆)  2  2  3 ⇒M1 1; ÷ điểm cần tìm  2  2x + 1 Cách 2: Giả sử M  x; ÷∈ (C ) Tính f = d(M ,d) Sử dụng phương pháp hàm số để tìm  x+  f ⇒PTTT (C) ∆1 : y = + Câu 13 Cho hàm số y= 2x − x+ 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm tọa độ điểm M ∈ (C) cho khoảng cách từ điểm I (−1; 2) tới tiếp tuyến (C) M lớn  • Giả sử M  x0; −  y− 2+  ÷∈ (C ) PTTT ∆ (C) M là: x0 + 1÷  3 = (x − x0) ⇔ 3(x − x ) − (x + 1)2(y − 2) − 3(x + 1) = 0 0 x0 + (x + 1)2 Khoảng cách từ I (−1;2) tới tiếp tuyến ∆ là: d= 3(−1− x0) − 3(x0 + 1) + ( x0 + 1) Theo BĐT Cô–si: (x0 + 1) = x0 + + (x0 + 1)4 = (x0 + 1) + (x0 + 1)2 + (x0 + 1)2 ≥ = ⇒ d ≤ Khoảng cách d lớn (x0 + 1) = (x0 + 1)2 ⇔ (x0 + 1)2 = ⇔ x0 = −1± Trang 81 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Vậy có hai điểm cần tìm là: M ( −1+ 3;2 − 3) M ( −1− 3;2 + 3) Câu 14 Cho hàm số y= 2x − x+ 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) N(–1; –1) uuuu r • MN = (2; −1) ⇒ Phương trình MN: x + 2y + = Phương trình đường thẳng (d) ⊥ MN có dạng: y = 2x + m Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d): 2x − = 2x + m ⇔ 2x2 + mx + m+ = (x ≠ −1) x+ (1) (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B ⇔ ∆ = m2 − 8m− 32 > (2) Khi A(x1;2x1 + m), B(x2;2x2 + m) với x1, x2 nghiệm (1)  x1 + x2   m m ; x1 + x2 + m÷≡ I  − ; ÷ (theo định lý Vi-et)  2   A, B đối xứng qua MN ⇔ I ∈ MN ⇔ m= −4 Trung điểm AB I  x = ⇒ A(0; –4), B(2; 0) x = Suy (1) ⇔ 2x2 − 4x = ⇔  Câu 15 Cho hàm số y = 2x x−1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A với A(2; 0) • Ta có (C ) : y = + x−1   Gọi B  b;2 +    ÷, C  c;2 + ÷ với b < 1< c b − 1 c − 1  Gọi H, K hình chiếu B, C lên trục Ox Ta có: AB = AC; ·BAC = 900 ⇒ ·CAK + ·BAH = 900 = ·CAK + ·ACK ⇒ ·BAH = ·ACK { AH = CK · · và: BHA = CKA = 90 ⇒ ∆ ABH = ∆CAK ⇒ HB = AK  2 − b = + c − b = −1 ⇔ Hay:  c=  2+ = c− b−  Vậy B(−1;1), C(3;3) { Câu 16 Cho hàm số y = C B H A K x− x+ 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm hai nhánh đồ thị (C) hai điểm A B cho AB ngắn • Tập xác định D = R \ {− 1} Tiệm cận đứng x = −1  4  4 Giả sử A −1− a;1+ ÷, B −1+ b;1− ÷ (với a > 0,b > ) điểm thuộc nhánh (C)  a  b  1   16  16  64 AB2 = (a + b)2 + 16 + ÷ = (a + b)2 1+ ≥ 4ab1+ = 4ab + ≥ 32   2 2 ab  a b  ab   ab  Trang 82 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số a = b a = b  AB = ⇔ ⇔ a= b= 4 16 ⇔  AB nhỏ ⇔  ab = a =4  ab  Khi đó: A( −1− 4;1+ 64) , B( −1+ 4;1− 64) Câu hỏi tương tự: a) y = 4x − x− ĐS: A( 3− 3;4 − 3) , B ( 3+ 3;4 + 3) Câu 17 Cho hàm số y = −x+ x− 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đồ thị (C), điểm A, B cho độ dài đoạn AB đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d : y = x • PT đường thẳng AB có dạng: y = − x + m PT hoành độ giao điểm (C) AB: −x+ = − x + m ⇔g(x) = x2 − (m+ 3)x + 2m+ 1= (1) (x ≠ 2) x− ∆ > Để có điểm A, B (1) phải có nghiệm phân biệt khác ⇔ g  g(2) ≠  ⇔(m+ 3) − 4(2m+ 1) > ⇔∀m  − (m+ 3).2 + 2m+ 1≠  x + x = m+ Ta có:  xA.x B= 2m+ Mặt khác yA = − xA + m; yB = − xB + m  A B  m= −1  m= Do đó: AB = ⇔(xB − xA )2 + (yB − yA )2 = 16 ⇔m2 − 2m− = ⇔  x = 3+ ⇒ y = − 2 + Với m= 3, thay vào (1) ta được: x − 6x + = ⇔   x = 3− ⇒ y = ⇒A(3+ 2; − 2), B(3− 2; 2) A(3− 2; 2), B(3+ 2; − 2)  x = 1+ ⇒ y = −2 − 2 + Với m= −1, thay vào (1) ta được: x − 2x − 1= ⇔   x = 1− ⇒ y = −2 + ⇒A(1+ 2; −2 − 2); B(1− 2; −2 + 2) A(1− 2; −2 + 2); B(1+ 2; −2 − 2) Câu 18 Cho hàm số y = 3x2 + 5x + 14 có đồ thị (C) 6x + Tìm tất các điểm (C) có toạ độ nguyên 1 4 • Ta có: y =  2x + 3+ 53  ÷ 6x + 1  x∈ Z  53  Điểm M (x; y) ∈ (C ) có toạ độ nguyên ⇔  ∈Z  y =  2x + 3+ 6x + 1÷   x∈ Z  x∈ Z  x∈ Z   53  53 6x + 1= ±1 ∨ 6x + 1= ±53  2x + 3+  ∈ Z ∈ Z ÷ ⇔ ⇔ 6x + ⇔ 6x + 1  2x + 3+ 53 ÷M4   53  53  x + + M x + + M  ÷ 6x + 1   ÷ 6x + 1 6x + 1   Trang 83 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng  x = ⇒ y = 14 Vậy có hai điểm thoả YCBT: (0;14), (−9; −4)  x = −9 ⇒ y = −4 ⇔ Câu 19 Cho hàm số y = x2 − 3x + có đồ thị (C) x− 1  Tìm cặp điểm đồ thị (C) đối xứng qua điểm I  ;1÷ 2  1  • Gọi M (x1; y1), N(x2; y2) ∈ (C ) đối xứng qua điểm I  ;1÷ 2   x + x =  x2 = 1− x1 ⇔ ⇒ N(1− x1;2 − y1) Khi ta có:   y1 + y2 =  y2 = − y1  x2 − 3x1 +  y1 =  x = −2; y1 = −4 x1 −  Vì M (x1; y1), N(x2; y2) ∈ (C ) nên ta có:  ⇔ 2 − y = x1 − x1 +  x1 = 3; y1 =  − x1 −  Vậy (C) có cặp điểm thoả YCBT: M (−2; −4), N(3;6) Câu 20 Cho hàm số y = x2 + x + có đồ thị (C) x+ Tìm cặp điểm đồ thị (C) đối xứng qua đường thẳng d :16x + 17y + 33 =  21  13 • ĐS: A −5; − ÷, B  3; ÷  4  4 Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 84 ...Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Cho hàm số y = − x3 + 3x + (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua tâm M(–1;... tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trần Sĩ Tùng Câu Khảo sát hàm số Cho hàm số y = x3 + x2 − 3x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi A, B giao điểm (C) với trục Ox... Trang 79 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng  1− 1−   1+ 1+  , , ÷;  ÷  ÷ ÷     Hai điểm cần tìm là:  Câu Cho hàm số y = 3x − (C) x− 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm