hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A Kiến thức Giả sử hàm số y = f (x) có tập xác định D • Hàm số f đồng biến D ⇔ y′ ≥ 0,∀x∈ D y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D • Hàm số f nghịch biến D ⇔ y′ ≤ 0,∀x∈ D y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D • Nếu y' = ax2 + bx + c (a ≠ 0) thì:  ∆ ≤ a> + y' ≥ 0,∀x∈ R ⇔   ∆ ≤ a< + y' ≤ 0,∀x∈ R ⇔  • Định lí dấu tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) : + Nếu ∆ < g(x) dấu với a b + Nếu ∆ = g(x) dấu với a (trừ x = − ) 2a + Nếu ∆ > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a • So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c với số 0: ∆ ≥ ∆ ≥   x ≤ x < ⇔ P > 0 < x ≤ x ⇔ + +   P > + x1 < < x2 ⇔ P < S < S > g(x) ≤ m; • g(x) ≤ m,∀x∈ (a; b) ⇔ max (a;b) g(x) ≥ m,∀x∈ (a; b) ⇔ ming(x) ≥ m (a;b) B Một số dạng câu hỏi thường gặp Tìm điều kiện để hàm số y = f (x) đơn điệu tập xác định (hoặc khoảng xác định) • Hàm số f đồng biến D ⇔ y′ ≥ 0,∀x∈ D y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D • Hàm số f nghịch biến D ⇔ y′ ≤ 0,∀x∈ D y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D • Nếu y' = ax2 + bx + c (a ≠ 0) thì:  ∆ ≤ a> + y' ≥ 0,∀x∈ R ⇔   ∆ ≤ a< + y' ≤ 0,∀x∈ R ⇔  Tìm điều kiện để hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu khoảng (a ; b ) Ta có: y′ = f ′(x) = 3ax2 + 2bx + c a) Hàm số f đồng biến (a ; b ) ⇔ y′ ≥ 0,∀x∈ (a ; b ) y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: • Nếu bất phương trình f ′(x) ≥ ⇔ h(m) ≥ g(x) (*) g(x) f đồng biến (a ; b ) ⇔h(m) ≥ (max a ;b ) • Nếu bất phương trình f ′(x) ≥ ⇔ h(m) ≤ g(x) Trang (**) Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng g(x) f đồng biến (a ; b ) ⇔h(m) ≤ (min a ;b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ′(x) ≥ không đưa dạng (*) đặt t = x −a Khi ta có: y′ = g(t) = 3at2 + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c a > ∆ > a > ∨  – Hàm số f đồng biến khoảng (−∞; a) ⇔g(t) ≥ 0,∀t < ⇔ ∆ ≤ S >  P ≥ a >  ∆ > a > ∨  – Hàm số f đồng biến khoảng (a; +∞) ⇔g(t) ≥ 0,∀t > ⇔ ∆ ≤ S <  P ≥ b) Hàm số f nghịch biến (a ; b ) ⇔ y′ ≥ 0,∀x∈ (a ; b ) y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: • Nếu bất phương trình f ′(x) ≤ ⇔ h(m) ≥ g(x) (*) g(x) f nghịch biến (a ; b ) ⇔h(m) ≥ (max a ;b ) • Nếu bất phương trình f ′(x) ≥ ⇔ h(m) ≤ g(x) (**) g(x) f nghịch biến (a ; b ) ⇔h(m) ≤ (min a ;b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ′(x) ≤ không đưa dạng (*) đặt t = x −a Khi ta có: y′ = g(t) = 3at2 + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c a < ∆ > a < ∨  – Hàm số f nghịch biến khoảng (−∞; a) ⇔g(t) ≤ 0,∀t < ⇔ ∆ ≤ S >  P ≥ a < ∆ > a < ∨  – Hàm số f nghịch biến khoảng (a; +∞) ⇔g(t) ≤ 0,∀t > ⇔ ∆ ≤ S <  P ≥ Tìm điều kiện để hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu khoảng có độ dài k cho trước  ∆ > a≠ • f đơn điệu khoảng (x1; x2) ⇔y′ = có nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ (1) • Biến đổi x1 − x2 = d thành (x1 + x2)2 − 4x1x2 = d2 • Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Tìm điều kiện để hàm số y = ax + bx + c (2), (a,d ≠ 0) dx + e a) Đồng biến (−∞;α ) b) Đồng biến (α ; +∞) c) Đồng biến (α ; β ) Trang (2) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số  −e y' = adx + 2aex + be− dc = f (x) Tập xác định: D = R \   , 2 d ( dx + e) ( dx + e) Trường hợp Nếu: f (x) ≥ ⇔ g(x) ≥ h(m) (i) a) (2) đồng biến khoảng (−∞;α ) Trường hợp Nếu bpt: f (x) ≥ không đưa dạng (i) ta đặt: t = x − α Khi bpt: f (x) ≥ trở thành: g(t) ≥ , với: g(t) = adt2 + 2a(dα + e)t + adα + 2aeα + be− dc a) (2) đồng biến khoảng (−∞;α )  −e  ⇔  d ≥α  g(x) ≥ h(m),∀x < α  −e  ≥α ⇔d h(m) ≤ g(x) (−∞;α ]  b) (2) đồng biến khoảng (α ; +∞)  −e  ⇔  d ≥α  g(t) ≥ 0,∀t < (ii ) a > ∆ > a > (ii ) ⇔  ∨  ∆ ≤ S >  P ≥ b) (2) đồng biến khoảng (α ; +∞)  −e  ⇔  d ≤α  g(x) ≥ h(m),∀x > α  −e  ≤α ⇔d h(m) ≤ g(x) [α ;+∞ )   −e  ⇔  d ≤α  g(t) ≥ 0,∀t > (iii ) a > ∆ > a > (iii ) ⇔  ∨  ∆ ≤ S <  P ≥ c) (2) đồng biến khoảng (α ; β )  −e  ⇔  d ∉ ( α ;β )  g(x) ≥ h(m),∀x∈ (α ; β )  −e  ∉ ( α ;β ) ⇔d h(m) ≤ g(x) [α ;β ]  Tìm điều kiện để hàm số y = ax + bx + c (2), (a,d ≠ 0) dx + e a) Nghịch biến (−∞;α ) b) Nghịch biến (α ; +∞) c) Nghịch biến (α ; β )  −e y' = adx + 2aex + be− dc = f (x) D = R \ Tập xác định:  , 2 d ( dx + e) ( dx + e) Trang Khảo sát hàm số Trường hợp Nếu f (x) ≤ ⇔ g(x) ≥ h(m) (i) a) (2) nghịch biến khoảng (−∞;α )  −e  ⇔  d ≥α  g(x) ≥ h(m),∀x < α  −e  ≥α ⇔d h(m) ≤ g(x) (−∞;α ]  b) (2) nghịch biến khoảng (α ; +∞)  −e  ⇔  d ≤α  g(x) ≥ h(m),∀x > α  −e  ≤α ⇔d h(m) ≤ g(x) [α ;+∞ )  c) (2) đồng biến khoảng (α ; β ) Trần Sĩ Tùng Trường hợp Nếu bpt: f (x) ≥ không đưa dạng (i) ta đặt: t = x − α Khi bpt: f (x) ≤ trở thành: g(t) ≤ , với: g(t) = adt2 + 2a(dα + e)t + adα + 2aeα + be− dc a) (2) đồng biến khoảng (−∞;α )  −e  ⇔  d ≥α  g(t) ≤ 0,∀t < (ii ) a < ∆ > a < (ii ) ⇔  ∨  ∆ ≤ S >  P ≥ b) (2) đồng biến khoảng (α ; +∞)  −e  ⇔  d ≤α  g(t) ≤ 0,∀t > (iii ) a < ∆ > a < (iii ) ⇔  ∨  ∆ ≤ S <  P ≥  −e  ⇔  d ∉ ( α ;β )  g(x) ≥ h(m),∀x∈ (α ; β )  −e  ∉ ( α ;β ) ⇔d h(m) ≤ g(x) [α ;β ]  Trang hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trần Sĩ Tùng Câu Khảo sát hàm số Cho hàm số y = (m− 1)x3 + mx2 + (3m− 2)x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m= 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến tập xác định • Tập xác định: D = R y′= (m− 1)x2 + 2mx + 3m− (1) đồng biến R ⇔ y′≥ 0, ∀x ⇔ m≥ Cho hàm số y = x3 + 3x2 − mx − (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m= 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng biến khoảng (−∞;0) Câu • Tập xác định: D = R y′= 3x2 + 6x − m y′ có ∆′ = 3(m+ 3) + Nếu m≤ −3 ∆′ ≤ ⇒y′ ≥ 0,∀x ⇒hàm số đồng biến R ⇒m≤ −3 thoả YCBT + Nếu m> −3 ∆′ > ⇒PT y′ = có nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) Khi hàm số đồng biến khoảng (−∞; x1),(x2; +∞)  ∆′ >   m> −3   S >  −2 > Do hàm số đồng biến khoảng (−∞;0) ⇔0≤ x1 < x2 ⇔ P ≥ ⇔ −m≥ (VN) Vậy: m≤ −3 Cho hàm số y = 2x3 − 3(2m+ 1)x2 + 6m(m+ 1)x + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (2; +∞) Câu • Tập xác định: D = R y' = 6x2 − 6(2m+ 1)x + 6m(m+ 1) có ∆ = (2m+ 1)2 − 4(m2 + m) = 1> x = m y' = ⇔  Hàm số đồng biến khoảng (−∞; m), (m+ 1; +∞)  x = m+ Do đó: hàm số đồng biến (2; +∞) ⇔ m+ 1≤ ⇔ m≤ Cho hàm số y = x3 + (1− 2m)x2 + (2 − m)x + m+ 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm đồng biến khoảng K = (0; +∞) Câu • Hàm đồng biến (0; +∞) ⇔ y ′= 3x2 + 2(1− 2m)x + (2 − m) ≥ với ∀x∈ (0; +∞) ⇔ f (x) = Ta có: f ′(x) = 6(2x2 + x − 1) (4x + 1) 3x2 + 2x + ≥ m với ∀x∈ (0; +∞) 4x + = ⇔ 2x2 + x − 1= ⇔ x = −1; x =  1 Lập BBT hàm f (x) (0; +∞) , từ ta đến kết luận: f  ÷ ≥ m⇔ ≥ m  2 Câu hỏi tương tự: a) y = (m+ 1)x3 − (2m− 1)x2 + 3(2m− 1)x + (m≠ −1) , K = (−∞; −1) b) y = (m+ 1)x3 − (2m− 1)x2 + 3(2m− 1)x + (m≠ −1) , K = (1; +∞) c) y = (m+ 1)x3 − (2m− 1)x2 + 3(2m− 1)x + (m≠ −1) , K = (−1;1) Trang ĐS: m≥ 11 ĐS: m ≥ ĐS: m≥ Khảo sát hàm số Câu Trần Sĩ Tùng Cho hàm số y = (m2 − 1)x3 + (m− 1)x2 − 2x + (1) (m≠ ±1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K = (−∞;2) • Tập xác định: D = R; y′ = (m2 − 1)x2 + 2(m− 1)x − Đặt t = x– ta được: y′ = g(t) = (m2 − 1)t2 + (4m2 + 2m− 6)t + 4m2 + 4m− 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞;2) ⇔ g(t) ≤ 0, ∀t < a <  m2 − 1< TH1:  ⇔  ∆ ≤ 3m2 − 2m− 1≤ Vậy: Với Câu  m2 − 1< a <  ∆ > 3m − 2m− 1> TH2:  ⇔4m2 + 4m− 10 ≤  S >  −2m−  P ≥  >0  m+ −1 ≤ m< hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞;2) Cho hàm số y = (m2 − 1)x3 + (m− 1)x2 − 2x + (1) (m≠ ±1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K = (2; +∞) • Tập xác định: D = R; y′ = (m2 − 1)x2 + 2(m− 1)x − Đặt t = x– ta được: y′ = g(t) = (m2 − 1)t2 + (4m2 + 2m− 6)t + 4m2 + 4m− 10 Hàm số (1) nghịch biến khoảng (2; +∞) ⇔ g(t) ≤ 0, ∀t >  m2 − 1< a <  ∆ > 3m − 2m− 1>  a <  m2 − 1< TH1:  ⇔ TH2:  ⇔4m2 + 4m− 10 ≤  ∆ ≤ 3m − 2m− 1≤  S <  −2m−  P ≥  , y′= có nghiệm phân biệt: − m, 0, m Hàm số (1) đồng biến (1; 2) ⇔ m ≤ ⇔ < m≤ Vậy m∈ ( −∞;1 Câu hỏi tương tự: a) Với y = x4 − 2(m− 1)x2 + m− ; y đồng biến khoảng (1;3) ĐS: m≤ Câu 10 Cho hàm số y = mx + x+ m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m= −1 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞;1) • Tập xác định: D = R \ {–m} y ′= m2 − (x + m)2 Hàm số nghịch biến khoảng xác định ⇔ y′< ⇔ −2 < m< (1) Để hàm số (1) nghịch biến khoảng (−∞;1) ta phải có − m≥ 1⇔ m≤ −1 (2) Kết hợp (1) (2) ta được: −2 < m≤ −1 Câu 11 Cho hàm số y = 2x2 − 3x + m (2) x−1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến khoảng (−∞; −1) 2x2 − 4x + 3− m f (x) = • Tập xác định: D = R \ {1} y' = 2 (x − 1) (x − 1) Ta có: f (x) ≥ ⇔ m≤ 2x2 − 4x + Đặt g(x) = 2x2 − 4x + ⇒ g'(x) = 4x − g(x) Hàm số (2) đồng biến (−∞; −1) ⇔ y' ≥ 0, ∀x∈ (−∞; −1) ⇔ m≤ (−∞ ;−1] Dựa vào BBT hàm số g(x), ∀x∈ (−∞; −1] ta suy m≤ Vậy m≤ 9thì hàm số (2) đồng biến (−∞; −1) Câu 12 Cho hàm số y = 2x2 − 3x + m (2) x−1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến khoảng (2; +∞) 2x2 − 4x + 3− m f (x) = • Tập xác định: D = R \ {1} y' = 2 (x − 1) (x − 1) Ta có: f (x) ≥ ⇔ m≤ 2x − 4x + Đặt g(x) = 2x − 4x + ⇒ g'(x) = 4x − 2 g(x) Hàm số (2) đồng biến (2; +∞) ⇔ y' ≥ 0, ∀x∈ (2; +∞) ⇔ m≤ [2; +∞ ) Trang Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Dựa vào BBT hàm số g(x), ∀x∈ (−∞; −1] ta suy m≤ Vậy m≤ hàm số (2) đồng biến (2; +∞) Câu 13 Cho hàm số y = 2x2 − 3x + m (2) x−1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến khoảng (1;2) 2x2 − 4x + 3− m f (x) = • Tập xác định: D = R \ {1} y' = 2 (x − 1) (x − 1) Ta có: f (x) ≥ ⇔ m≤ 2x2 − 4x + Đặt g(x) = 2x2 − 4x + ⇒ g'(x) = 4x − g(x) Hàm số (2) đồng biến (1;2) ⇔ y' ≥ 0, ∀x∈ (1;2) ⇔ m≤ [1;2] Dựa vào BBT hàm số g(x), ∀x∈ (−∞; −1] ta suy m≤ Vậy m≤ hàm số (2) đồng biến (1;2) Câu 14 Cho hàm số y = x2 − 2mx + 3m2 (2) 2m− x Tìm m để hàm số (2) nghịch biến khoảng (−∞;1) • Tập xác định: D = R \ {2m} y' = − x2 + 4mx − m2 (x − 2m) = f (x) (x − 2m)2 Đặt t = x − Khi bpt: f (x) ≤ trở thành: g(t) = −t2 − 2(1− 2mt ) − m2 + 4m− 1≤ 2m> Hàm số (2) nghịch biến (−∞;1) ⇔ y' ≤ 0, ∀x∈ (−∞;1) ⇔   g(t) ≤ 0, ∀t < (i )  m= ∆ ' =   m≠  ∆ ' >  m= (i ) ⇔   ⇔  ⇔  4m− >  S >  m≥ +  m2 − 4m+ 1≥   P ≥  Vậy: Với m≥ + hàm số (2) nghịch biến (−∞;1) Câu 15 Cho hàm số y = x2 − 2mx + 3m2 (2) 2m− x Tìm m để hàm số (2) nghịch biến khoảng (1; +∞) • Tập xác định: D = R \ {2m} y' = − x2 + 4mx − m2 (x − 2m) = f (x) (x − 2m)2 Đặt t = x − Khi bpt: f (x) ≤ trở thành: g(t) = −t2 − 2(1− 2mt ) − m2 + 4m− 1≤ 2m< Hàm số (2) nghịch biến (1; +∞) ⇔ y' ≤ 0, ∀x∈ (1; +∞) ⇔   g(t) ≤ 0, ∀t > (ii )  m= ∆ ' =  m≠  ∆ ' > (ii ) ⇔   ⇔  ⇔ m≤ −  4m− <  S <  m2 − 4m+ 1≥   P ≥  Vậy: Với m≤ − hàm số (2) nghịch biến (1; +∞) Trang ... đại học môn toán Trần Sĩ Tùng Câu Khảo sát hàm số Cho hàm số y = (m− 1)x3 + mx2 + (3m− 2)x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m= 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng... Trang Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Dựa vào BBT hàm số g(x), ∀x∈ (−∞; −1] ta suy m≤ Vậy m≤ hàm số (2) đồng biến (2; +∞) Câu 13 Cho hàm số y = 2x2 − 3x + m (2) x−1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến... m+ Vậy: Với −1< m< hàm số (1) nghịch biến khoảng (2; +∞) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m (1), (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến đoạn