ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng Tin học Bài tập đại số áp dụng từ k62 Nhóm ngành ( Kinh tế ) (Kiểm tra kỳ chung toàn khóa: Tự luận, 60 phút, sau học tám tuần, hệ số 0,3, nội dung : Các chương 2) Chương I Tập hợp – Logic – Ánh xạ - - Số phức Bài Lập bảng giá trị chân lý biểu thức mệnh đề sau b)  A   B  C    B a)  A   B  C    C Bài Chứng minh mệnh đề sau : a)  A   A  C    C c)  A   A  B    B b)  A  B    B  C     A  C  d)  A  B    A  C    B  C    C Bài Chứng minh rằng:   a) A  B  A  B   A  B tương đương logic b)  A  B  C A   B  C  không tương đương logic c) A  B A  B tương đương logic Bài Cho A tập hợp tập số thực, cận x A kí hiệu Inf(A) = x xác định mệnh đề sau: “ Với x A có x  x với x1 có tính chất x1  x với x A suy x1  x ” Hãy dùng kí hiệu để diễn tả mệnh đề mệnh đề phủ định Từ đưa cách chứng minh số Inf(A) Bài Giả sử f (x), g(x) hàm số xác định R Kí hiệu A  x  f (x)  0 , B  x  g(x)  0 Xác định tập nghiệm phương trình: b)  f (x)  g(x)   a) f (x)g(x)  Bài Cho tập hợp  A  x   x  4x   , B  x  định tập hợp sau:  A  B  C  A  B  C Bài Cho A, B, C tập hợp bất kì, chứng minh:   x 1  , C  x   x  5x   Xác ĐHBKHN a) A   B \ C    A  B \  A  C  Viện Toán ứng dụng Tin học b) A   B \ A   A  B Bài Cho hai ánh xạ \ 0  f: x  g: x x 2x 1 x2 a) Ánh xạ đơn ánh, toàn ánh Tìm g( ) b) Xác định ánh xạ h  g f Bài Chứng minh tính chất ảnh nghịch ảnh ánh xạ f: X  Y a) f (A  B)  f (A)  f (B); A, B  X b) f (A  B)  f (A)  f (B); A, B  X Nêu ví dụ chứng tỏ điều ngược lại không c) f 1 (A  B)  f 1 (A)  f 1 (B); A, B  Y d) f 1 (A  B)  f 1 (A)  f 1 (B); A, B  Y e) f 1 (A \ B)  f 1 (A) \ f 1 (B); A, B  Y f) Chứng minh f đơn ánh f (A  B)  f (A)  f (B); A, B  X Bài 10 Cho ánh xạ f :  xác định f  x   x  x  5, x   , A  x  3  x  3 Xác định tập hợp f(A), f-1(A) Bài 11 Viết số phức sau dạng tắc: b)  i a) (1  i 3)9 c) (1  i) 21 (1  i)13 d) (2  i 12)5 (  i)11 Bài 12 Tìm nghiệm phức phương trình sau: a) z  z   d) z  7z3   b) z  2iz   e) Bài 13 Chứng minh z  (z  i) 1 (z  i) c) z  3iz   f) z8 (  i)   i 1  2cos z n  n  2cosn, n  z z Bài 14 a) Tính tổng bậc n b) Tính tổng bậc n số phức z g) z2  (7  i)z  14  5i  ĐHBKHN c) Cho k  cos Viện Toán ứng dụng Tin học 2k 2k  i sin ; k  0,1, , (n  1) Tính tổng S    k m n n k 0 n 1 m   (x  1)9  0 Bài 17 Cho phương trình x a) Tìm nghiệm phương trình b) Tính môđun nghiệm c) Tính tích nghiệm từ tính  sin k 1 k Bài 18 Tìm nghiệm phức phương trình sau: a) z  1024 z3 b) z  z  z Bài 19 Cho x, y, z số phức có môđun So sánh môđun số phức x + y + z xy + yz + zx Chương II Ma trận - Định thức - Hệ phương trình 1 3   1  1      Bài Cho ma trận A   1 , B   2  , C     2     2  Tính ma trận : A+BC, AtB-C, A(BC), (A+3B)(B-C) Bài Tìm ma trận X thoả mãn:  2 3 0 1 2   2X   a)       3    5  1 3     6  b) X   4  1    2   5  1   4 8  1 2 3 Bài Cho ma trận A   4 1 hàm số f (x)  3x  2x  Tính f(A)  5 3 ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng Tin học a  b) Cho A  0 a  Tính An   0 a  cosa -sina  Bài a) Cho A   Tính An   sina cosa  Bài Tìm tất ma trận vuông cấp thoả mãn: 0  a) X    0  1  b) X    0  a b  Bài a) Chứng minh ma trận A   thoả mãn phương trình sau: x  (a  d)x  ad  bc   c d Ak  0,(k  2)  A  b) Chứng minh với A ma trận vuông cấp thoả mãn Bài Không khai triển định thức mà dùng tính chất định thức để chứng minh: a1  b1x a1  b1x a1 b1 c1 a) a  b x a  b x c2  2x a a  b3 x a  b x c3 a3 b2 c2 b3 c3 a bc c1 a2 a a b) b ac  b b c ab c c a3 a a2 c) b b3  (a  b  c) b b c c3 c c2 Bài Tính định thức sau: a) A  1 1 1 1 7 1 d) D  1 2x a a  b ab a  b c) C  b) B  b  c bc b  c c  a ca a  c 2 3 3  x2 e) E  b c d b a d c c d a b d c b a 1 x 1 1 1 x 1 1 1 z 1 1 1 z Bài Chứng minh A ma trận phản xứng cấp n lẻ det(A)=0 Bài 10 Tìm hạng ma trận sau: ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng Tin học 4 8  b) B    4 8 1 1  1 1   a) A    1    7  5 7 8 1 3  7  5  6  Bài 11 Biện luận theo a hạng ma trận sau:  1 a b) B   1  1 3 a 2 1   a) A   1 10 17    4 3 1 1 1 1 1 a 1  2 1  Bài 12 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 3  a) A    5  0  a  a   c) C    0 a    1 0  4 5 b) B   3 1  5 1 Bài 13 Chứng minh ma trận A vuông cấp n thoả mãn a k A k  a k 1A k 1   a1A  a E  0, (a  0) A ma trận khả nghịch  1   1   12 10    Bài 14 Cho A    ; B    ;C   Tìm ma trận X thỏa mãn AX  B  C T   16   1   Bài 15 Giải hệ phương trình sau:  x1  2x  x   a)  2x1  x  x   x  x  x  1   3x1  5x  7x   b)  x1  2x  3x  2x  x  5x  2  3x1  5x  2x  4x   c)  7x1  4x  x  3x  5x  7x  4x  6x  3   3x1  x  3x   4x  2x  x   d)   2x1  x  4x  10x1  5x  6x  10 Bài 16 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss  2x1  3x  4x   3x  x  x   e)  5x1  2x  5x   x1  4x  3x  ĐHBKHN  2x1  3x  x  x    3x  x  2x  4x    a)   x1  x  3x  2x    x1  2x  3x  5x   Viện Toán ứng dụng Tin học 3x1  2x  x  x   b) 3x1  2x  x  x   x  x  2x  5x    2x1  2x  x  x  x   x1  2x  x  x  2x   c)   4x1  10x  5x  5x  7x   2x1  14x  7x  7x  11x  1 Bài 17 Giải biện luận hệ phương trình :  ax1  x  x  x   a)  x1  ax  x  x  a  x  x  ax  x  a 2  (2  a)x1  x  x   b)  x1  (2  a)x  x   x  x  (2  a)x    x1  ax  a x  a  c)  ax1 -a x  ax   ax  x  a x   Bài 18 Tìm đa thức bậc : p(x)  ax3  bx  cx  d thoả mãn p(1) = 0; p(-1) = ; p(2) = 5; p(-2) = -15 a  1  1   Bài 19 Cho phương trình ma trận:  2a  1 X       4a  a) Giải phương trình a = b) Tìm a để phương trình có vô số nghiệm  x1  2x  x  mx    x  x  3x  2x  k  Bài 20 Cho hệ phương trình  2x  x  3x  (m  1)x 3   x1  x  x  2mx  a) Giải hệ phương trình m = 2, k = b) Tìm điều kiện để hệ có nghiệm b) Tìm điều kiện để hệ phương trình có vô số nghiệm Chương III Không gian véc tơ Một vài ký hiệu thường gặp: n   (x1 , x ,  , x n ) x i  , i  1, n ĐHBKHN  Pn  x   a  a1x  Viện Toán ứng dụng Tin học   a n x n a i  , i  0, n M mn = tập ma trận kích thước mxn Đặc biệt Mn tập ma trận vuông cấp n Bài Tập V với phép toán có phải không gian véc tơ không? a) V  (x, y, z) x, y, z   với phép toán xác định sau (x, y, z)  (x ', y ', z ')  (x  x ', y  y ', z  z ') k(x, y, z)  ( k x, k y, k z) b) V  x  (x1 , x ) x1  0, x  0  với phép toán xác định sau: (x1 , x )  (y1, y2 )  (x1y1, x y2 ) k(x1 , x )  (x1k , x k ) k số thực Bài Chứng minh tập hợp không gian véc tơ quen thuộc sau không gian véc tơ chúng: a) Tập E   x1 , x , x   2x1  5x  3x  0 b) Tập đa thức có hệ số bậc (hệ số x )của KGVT Pn[x] c) Tập ma trận tam giác tập ma trận vuông cấp n d) Tập ma trận đối xứng tập ma trận vuông cấp n e) Tập ma trận phản xứng tập ma trận vuông cấp n ( a ij  a ji ) f) Tập hàm khả vi không gian hàm số xác định [a,b] Bài Cho V1 , V2 hai không gian véc tơ KGVT V Chứng minh: a) V1  V2 KGVT V b) Cho V1  V2 : u1  u u1  V1 , u  V2  Chứng minh V1  V2 KGVT V Bài Cho V1 , V2 hai không gian véc tơ KGVT V Ta nói V1 , V2 bù V1  V2  V, V1  V2   Chứng minh V1 , V2 bù véc tơ u V có biểu diễn dạng u  u1  u , (u1  V1 , u  V2 ) Bài Cho V KGVT hàm số xác định [a,b] Đặt   V1  f (x)  V f (x)  f (  x), x  a, b    ; V2  f (x)  V f (x)  f (  x), x  a, b  Chứng minh V1 , V2 bù ĐHBKHN Bài Cho V1 , V2 hai không gian véc tơ KGVT V, v1 , v2 , u1, u , , u n  hệ sinh V2 Chứng minh v1 , Bài Trong KGVT V, cho hệ véctơ u1 , u , , vm , u1 , u , , u n  hệ sinh V1  V2 , u n , u n 1 phụ thuộc tuyến tính u1 , u , tuyến tính Chứng minh u n 1 tổ hợp tuyến tính véc tơ u1 , u , Bài Trong , vm  Viện Toán ứng dụng Tin học hệ sinh V1 , , u n  hệ độc lập , un xét xem hệ véc tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: a) v1  (1;2;3), v2  (3;6;7) b) v1   4; 2;6  , v2  (6;3; 9) c) v1  (2;3; 1), v2  (3; 1;5), v3   1;3; 4  Bài Trong , chứng minh v1  (1;1;1), v2  (1;1; 2), v3  1; 2;3 lập thành sở Xác định ma trận chuyển từ sở tắc sang sở tìm toạ độ x  (6;9;14) sở theo hai cách trực tiếp dùng công thức đổi tọa độ Bài 10 Trong trường hợp sau, chứng minh B  v1 , v2 , v3 sở tìm  v B biết rằng: a) v1  (2;1;1), v2  (6;2;0), v3  (7;0;7), v  15;3;1 b) v1  (0;1;1), v2  (2;3;0), v3  1;0;1 , v  (2;3;0) Bài 11 Tìm sở số chiều KGVT sinh hệ véc tơ sau: a) v1  (2;1;3;4), v2  (1;2;0;1), v3  (1;1; 3;0) b) v1  (2;0;1;3; 1), v2  (1;1;0; 1;1), v3  (0; 2;1;5; 3), v4  (1; 3;2;9; 5) Bài 12 Trong cho véc tơ : v1  (1;0;1;0), v2  (0;1; 1;1), v3  (1;1;1;2), v  (0;0;1;1) Đặt V1  span{v1 , v2}, V2  span{v3 , v4} Tìm sở số chiều KGVT V1  V2 , V1  V2 Bài 13 Trong P3  x  cho véc tơ v1  1, v   x, v3  x  x , v  x  x a) Chứng minh B  v1 , v2 , v3 , v4  sở P3  x  b) Tìm toạ độ véc tơ v   3x  x  2x sở c) Tìm toạ độ véc tơ v  a  a1x  a x  a x sở Bài 14 Cho KGVT P3  x  với sở tắc E  1, x, x , x  cở sở B  1, a  x, (a  x) , (a  x)3  Tìm ma trận chuyển sở từ E sang B ngược lại từ B sang E Từ tìm tọa độ véc tơ v   2x  x  3x sở B ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng Tin học 3 Bài 15 Cho KGVT P3  x  hệ véc tơ v1   x  x , v  x  x  2x , v1   x  3x , v  1  x  x  2x a) Tìm hạng hệ véc tơ b) Tìm sở không gian span{v1 , v2 , v3 , v4 } Bài 16 Tìm sở số chiều không gian nghiệm hệ phương trình sau:  x1  x  2x  2x  x   x  2x  3x  x  5x   a)  2x  x  x  x  3x 0  3x1  x  2x  x  x   2x1  x  3x  2x  4x   b) 4x1  2x  5x  x  7x   2x  x  x  8x  2x   Bài 17 Cho A,B không gian hữu hạn chiều Chứng minh dim(A  B)  dim(A)  dim(B)  dim(A  B) Chương IV Ánh xạ tuyến tính Bài Cho ánh xạ f :  xác định công thức f (x1, x , x )  (3x1  x  x , 2x1  x ) a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b) Tìm ma trận f cặp sở tắc c) Tìm sở kerf Bài Cho ánh xạ f :  xác định công thức f (x1 , x , x3 )  (x1  x , x  x , x  x1, x1  x  x ) a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b) Tìm ma trận f cặp sở tắc Bài Cho ánh xạ đạo hàm D : Pn  x   Pn  x  xác định D(a  a1x  a x   a n x n )  a1  2a x   na n x n 1 a) Chứng minh D ánh xạ tuyến tính b) Tìm ma trận D sở tắc E  1, x, x , , xn c) Xác định kerf imf Bài Cho ánh xạ f : P2  x   P4  x  xác định sau: f (p)  p  x p, p  P2  x  a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính b) Tìm ma trận f cặp sở tắc E1  1, x, x  P2  x  E  1, x, x , x , x  P4  x  ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng Tin học c) Tìm ma trận f cặp sở E1 '  1  x, 2x,1  x  P2  x  E  1, x, x , x , x  P4  x  Bài Xét giống tập véc tơ thông thường mặt phẳng có gốc gốc tọa độ Cho f phép quay góc  Tìm ma trận f sở tắc  a b   a  b b  c  Bài Cho ánh xạ f : M2  M2 xác định sau: f        c d   c  d d  a  a) Chứng minh f ánh xạ tuyến tính 1  0  0  0  , e2   , e3   , e4   b) Tìm ma trận f sở tắc e1       0 0 0 0 1  0  M2 1 1 Bài Cho A    ma trận axtt f : P2  x   P2  x  sở B  v1 , v2 , v3 đó:  2  v1  3x  3x , v  1  3x  2x , v3   7x  2x b) Tìm f (1  x ) a) Tìm f (v1 ),f (v2 ),f (v3 ) Bài Cho ánh xạ f :  xác định f  x1 , x , x   (x1  x  x , x1  x  x , x1  x  x ) Tìm ma trận f sở B  v1  (1;0;0), v2  (1;1;0), v3  (1;1;1) Bài Cho V KGVT V*  Hom(V, R) ={f: V  R, f ánh xạ tuyến tính} 1 Giả sử V có sở {e1,e2, ,en} Xét tập hợp {f1,f2, ,fn}  V* f i (e j )   0 i  j i  j Chứng minh {f1,f2, ,fn} sở V*, gọi sở đối ngẫu ứng với {e1,e2, ,en} Bài 10 Cho A ma trận vuông cấp n Ta xác định ánh xạ f A : Mn  Mn sau f A (X)  AX a) Chứng minh f A biến đổi tuyến tính b) Giả sử det(A)  Chứng minh f A đẳng cấu tuyến tính a b  c) Cho A    Tìm ma trận f A sở tắc M2 c d 1  0  0 0 0 0 E1   , E2   , E3   , E3       0 0 0 0 1  0 1 10 ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng Tin học 3 2  Bài 11 Cho ma trận A    ma trận ánh xạ tuyến tính f :    3 1 B  v1 , v2 , v3 , v4  B'  u1 , u , u 3  cặp sở : v1  (0;1;1;1), v2  (2;1; 1; 1), v3  (1;4; 1;2), v4  (6;9;4;2) u1  (0;8;8), u  (7;8;1), u  (6;9;1) a) Tìm f (v1 )B' , f (v2 )B' , f (v3 ) B' , f (v ) B' b) Tìm f (v1 ),f (v2 ),f (v3 ),f (v4 ) c) Tìm f (2; 2;0;0) Bài 12 Cho toán tử tuyến tính Tìm ma trận xác định bởi: sở tắc tìm Bài 13 Cho V,V' KGVT n chiều f : V  V ' ánh xạ tuyến tính Chứng minh khẳng định sau tương đương: a) f đơn ánh b) f toàn ánh c) f song ánh Bài 14 Tìm giá trị riêng sở không gian riêng ma trận: 3  a) A    8 1 10 9  b) B     2   0 d) D   4   2   5  e) E   7   9   1  c) C   3   1 2  1 0 f) F   0  1 0 0 0  0 0  0 1 Bài 15 Cho ánh xạ tuyến tính f : P2  x   P2  x  xác định sau: f (a  a1x  a x )  (5a  6a1  2a )  (a1  8a )x  (a  2a )x a) Tìm giá trị riêng f b) Tìm véc tơ riêng ứng với giá trị riêng tìm Bài 16 Tìm ma trận P làm chéo hóa A xác định P-1AP với: 11 ĐHBKHN  14 12  a) A     20 17  Viện Toán ứng dụng Tin học 1 0   2    c) C  1 d) D        0 1   0  1  b) B     1 Bài 17 Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo không? Nếu có , tìm ma trận cheo đó:  1 2  a) A   3     3  5 0 b) B  1    0  Bài 18 Cho ánh xạ tuyến tính f :  0 0 c) C  0 0      xác định sau: f (x1 , x , x )  (2x1  x  x , x1  x , x1  x  2x ) Hãy tìm sở để f có dạng chéo Bài 19 Tìm cở sở để ma trận f :  có dạng chéo f (x1 , x , x3 )  (2x1  x  x3 , x1  2x  x , x1  x  2x ) Bài 20 Cho f : V  V toán tử tuyến tính Giả sử f  f f : V  V có giá trị riêng  Chứng minh giá trị   giá trị riêng f Bài 21 Cho D : Pn  x   Pn  x  ánh xạ đạo hàm, g : Pn [x]  Pn [x] xác định g(a  a1x  a x   a n x n )  (2x  3)(a1  2a x   na n x n 1 ) Tìm giá trị riêng D g Bài 22 Cho A ma trận kích thước m  n , B ma trận kích thước n  p Chứng minh rank(AB)  rank(A), rank(B) , với rank(A) = hạng ma trận A Chương V Không gian Euclide Bài Giả sử V KGVT n chiều với sở B  e1 ,e2 , ,en  Với u, v véc tơ V ta có u  a1e1  a 2e2   a n en ; v  b1e1  b2e2   bn en Đặt  u, v  a1b1  a 2b2   a n bn a) Chứng minh  u, v  tích vô hướng V b) Áp dụng cho trường hợp V  , với e1  1;0;1 ,e2  1;1; 1 ,e3   0;1;1 , u   2; 1; 2  , v   2;0;5  Tính  u, v  c) Áp dụng cho trường hợp V  P2  x  , với B  1; x; x  , u   3x , v   3x  3x Tính  u, v  12 ĐHBKHN Viện Toán ứng dụng Tin học d) Áp dụng cho trường hợp V  P2  x  , với B  1  x; 2x; x  x  , u   3x , v   3x  3x Tính  u, v  Bài Xét không gian P3  x  Kiểm tra dạng  p, q  sau có phải tích vô hướng hay không? a)  p, q  p(0)q(0)  p(1)q(1)  p(2)q(2) b)  p, q  p(0)q(0)  p(1)q(1)  p(2)q(2)  p(3)q(3) c)  p, q   p(x)q(x)dx 1 Trong trường hợp tích vô hướng tính  p, q  với p   3x  5x  x3.q   x  3x  2x Bài Cho V không gían Euclide Chứng minh: a)  uv  uv 2 u  v 2 2  b) u  v  u  v  u  v , u, v  V 2 Bài Cho sở không gian chuẩn hóa Gram-Schmidt sở để thu sở trực chuẩn với tích vô hướng tắc Trực tìm tọa độ véc tơ sở Bài Tìm hình chiếu trực giao véc tơ u lên không gian sinh véc tơ v: a) u  1;3; 2;4  , v   2; 2;4;5  b) u   4;1; 2;3; 3 , v   1; 2;5;1;  Bài Cho không gian với tích vô hướng tắc véc tơ Đặt Xác định hình chiếu trực giao véc tơ lên không gian Bài Cho với tích vô hướng tắc Cho u1   6;3; 3;6  , u   5;1; 3;1 Tìm sở trực chuẩn không gian sinh bỡi u1 , u  Bài Trong P2  x  định nghĩa tích vô hướng  p, q   p(x)q(x)dx với p,q  P2  x  1 a) Trực chuẩn hoá Gram – Smit sở B  1; x; x  để nhân sở trực chuẩn A 13 ĐHBKHN b) Xác định ma trận chuyển sở từ B sang A Viện Toán ứng dụng Tin học c) Tìm  r A biết r   3x  3x Bài Cho không gian Euclide V hữu hạn chiều, W không gian V u véctơ V Chứng minh: a) Tồn véc tơ u' W cho  u  u '  W b) Khi u  u '  u  w , w  W Bài 10 Trong với tích vô hướng tắc cho véc tơ  v1  1;1;0;0;0  , v2   0;1; 1;2;1 , v3   2;3; 1;2;1 Gọi V  x  a) Chứng minh V không gian véc tơ b) Tìm dimV 5  x  vi ,i  1; 2;3 Bài 11 Cho V không gian Ơclit n chiều, V1 không gian m chiều V Gọi V2  x  V x  v, v  V1 a) Chứng minh V2 không gian véc tơ V b) Chứng minh V1 V2 bù c) Tìm dimV2 Bài 12 Cho V không gian Ơclit n chiều, chứng minh điều kiện cần đủ để ánh xạ f : V  tuyến tính tồn véc tơ a cố định V để f (x)  a, x , x  V Bài 13 Chéo hoá trực giao ma trận sau 1 0  a) A  0 1  0 1   7 24  b) B     24   1   2  c) C   1  d) D   2   0    Bài 14 Đưa dạng toàn phương dạng tắc phương pháp trực giao a) x12  x 2  x 32  2x1x b) 7x12  7x 2  48x1x c) 2x12  2x 2  3x 32  2x1x  2x x Bài 15 Cho Q  x1 , x , x   9x12  7x 2  11x 32  8x1x  8x1x a) Tìm Max x12  x 22  x 32 1 Q  x1 , x , x  , Min x12  x 22  x 32 1 Q  x1 , x , x  Với giá trị Q  x1 , x , x  đạt max, 14 ĐHBKHN b) Tìm Max x12  x 22  x 32 16 Q  x1 , x , x  , Min x12  x 22  x 32 16 Q  x1 , x , x  15 Viện Toán ứng dụng Tin học