DÃY SỐ1. Lý thuyết cơ bảnCác bài toán về dãy số có nội dung khá đa dạng. Ở đây ta quan tâm đến 2 dạng chính: 1) Các bài toán tìm công thức tổng quát của một dãy số, tính tổng các số hạng của một dãy số (bản chất đại số)2) Các bài toán tìm giới hạn dãy số (bản chất giải tích)Với loại toán thứ nhất, chúng ta có một số kiến thức cơ bản làm nền tảng như:1) Các công thức về cấp số cộng, cấp số nhân2) Phương pháp phương trình đặc trưng để giải các phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng (thuần nhất và không thuần nhất)Các phương pháp cơ bản để giải các bài toán dãy số ở loại thứ nhất là bằng các biến đổi đại số, đưa bài toán về các bài toán quen thuộc, tính toán và đưa ra các dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp toán học. Trong một số bài toán, phép thế lượng giác sẽ rất có ích.Với các bài toán tính tổng hoặc đánh giá tổng, ta dùng phương pháp sai phân. Cụ thể để tính tổngSn = f(1) + f(2) + … + f(n) ta đi tìm hàm số F(k) sao cho f(k) = F(k+1) – F(k). Khi đó Sn = F(2) – F(1) + F(3) – F(2) + … + F(n+1) – F(n) = F(n+1) – F(1) Với loại toán thứ hai, ta cần nắm vững định nghĩa của giới hạn dãy số và các định lý cơ bản về giới hạn dãy số, bao gồm:1) Định lý Veierstrass: Dãy đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.2) Định lý kẹp: Nếu xn ≤ yn ≤ zn với mọi n ≥ n0 và azxnnnn==∞→∞→limlimthì aynn=∞→lim.3) Tiêu chuẩn Cô-si: Dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m, n ≥ N ta có |xm – xn| < ε.Một trong những dạng dãy số thường gặp nhất là dãy số xác định bởi x0 = a, xn+1 = f(xn) với f là một hàm số nào đó. Và với loại dãy số này, câu hỏi thường gặp nhất là:1) Chứng minh dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn2) Tìm tất cả các giá trị của a sao cho dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn Để giải các bài toán dạng này, ta có một số tính chất cơ bản sau1) Nếu f là hàm số tăng thì dãy {xn} sẽ là dãy đơn điệu. 2) Nếu f là hàm số giảm thì các dãy {x2n} (dãy với chỉ số chẵn) và {x2n+1} (dãy với chỉ số lẻ) sẽ là các dãy đơn điệu.3) Nếu với mọi x, y ta có |f(x) – f(y)| ≤ q|x-y| với q là hằng số 0 < q < 1 và {xn} bị chặn thì {xn} hội tụ. Đặc biệt nếu |f’(x)| ≤ q < 1 thì ta luôn có điều này.Trang 1 Một trường hợp đặc biệt của dãy số dạng xn+1 = f(xn) là dãy số dạng xn+1 = xn + a(xn)α. Với dãy số dạng này thì giới hạn của {xn} thường bằng 0 hoặc bằng ∞ (một cách hiển nhiên), do đó người ta thường nghiên cứu thêm “bậc của 0” cũng như “bậc của ∞” của các dãy số này. Với dãy số dạng này, định lý dưới đây sẽ rất có ích: Định lý (Cesaro). Nếu axxnnn=−+∞→)(lim1 thì .lim anxnn=∞→2. Một số bài tập có lời giảiBài toán 1. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số {an} xác định bởi a0 = 1, 23221−+=+ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Các dạng Toán Đại Số thường gặp đề thi tuyển sinh vào 10 Các dạng toán Đại số thi môn Toán: Dạng 1: Rút gọn Tính giá trị biểu thức chứa thức bậc hai Phương pháp giải: * Vận dụng đẳng thức đáng nhớ * Vận dụng công thức biến đổi thức bậc hai VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Chú ý: Đôi khi, đề thi vào trường chuyên gặp phải dạng toán thức bậc cao (như bậc ba hay bậc n), ta áp dụng phương pháp sau: * Ví dụ 1: c Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị số nguyên < Trích đề thi tuyển sinh vào 10 THPT, TP Hà Nội năm 2016 - 2017 > Dạng 2: Hàm số đồ thị y = ax + b, y = ax2 (a≠0) Phương pháp giải: * Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b, y = ax2 Các bước giải: - Tìm tập xác định - Lập bảng giá trị - Vẽ đồ thị - Nhận xét tổng quan đồ thị * Lập phương trình đường thẳng (d) : y = ax + b VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Loại 1: Lập phương trình đường thẳng (d) biết (d) // (d'), (d') : y = a'x + b (d) qua A(xA,yA) Các bước giải: - Tìm a, (d) // (d') => a = a′,b≠b′ - Tìm b, A∈(d) => yA = axA + b Loại 2: Lập phương trình đường thẳng (d) : y = ax + b, biết (d) qua A(xA,yA),B(xB,yB) Cách giải: * Xác định tọa độ giao điểm hai đồ thị: cách - Cách 1: Vẽ hai đồ thị hệ trục tọa độ => Xác định tọa độ giao điểm chúng - Cách 2: Lập phương trình hoành độ giao điểm => Giải phương trình, ta tìm hoành độ giao điểm => Xác định tung độ giao điểm => Xác định tọa độ giao điểm chúng * Sự tương giao parabol (P) : y = ax2 (a≠0) đường thẳng (d) : y = mx + n (m≠0) Phương pháp giải: Tọa độ điểm chung (P) (d) nghiệm hệ sau:  y  ax  y  ax    ax  mx  n(*)  y  mx  n Phương trình (*) phương trình hoành độ điểm chung hai đồ thị Số nghiệm (*) số điểm chung (P) (d ) * Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thằng (d) : y = 3x + m2 − parabol (P) : y = x2 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m b Gọi x1,x2 hoành độ giao điểm (d) (P) Tìm m để (x1+1)(x2+1)=1 < Trích đề thi tuyển sinh vào 10 THPT , TP Hà Nội năm 2016 - 2017 > Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình Phương pháp giải: Phương trình chứa - Vận dụng phép biến đổi tương đương đưa phương trình cho dạng phương trình học - Vận dụng phép biến đổi kéo theo đưa phương trình cho dạng phương trình học => Giải phương trình sau biến đổi => Thử lại => Kết luận * Một số phương trình bản: Hệ phương trình bậc hai ẩn * Phương pháp thế: - Dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình cho để hệ mới, có phương trình ẩn - Giải phương trình ẩn, từ vào phương trình lại để tìm nghiệm hệ cho * Phương pháp cộng: - Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần), cho hệ số ẩn hai phương trình hệ đối - Vận dụng quy tắc cộng đại số để hệ mới, có phương trình ẩn VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí - Giải phương trình ẩn, từ vào phương trình lại để tìm nghiệm hệ cho Phương trinh bậc hai ẩn: ax2 + bx + c = (a≠0) Lập Δ = b2 − 4ac Δ′ = b′2 − ac * Trường hợp xét Δ: Phương trình quy phương trình bậc hai * Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = (a≠0) (*) Đặt t = x2 (t≥0) => (*) at2 + bt + c = Giải phương trình tìm ẩn ( t ) => ẩn (x) * Phương trình tích: Vận dụng phép biến đổi đại số đưa phương trình cho dạng: A B C = Dạng 4: Hệ thức Vi - et ứng dụng VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Phương pháp giải: Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm Các bước thực hiện: - Chứng minh phương trình có nghiệm x1, x2 (Δ ≥ Δ′ ≥ a c trái dấu)  x1  x2  x1.x2 - Biểu thị biểu thức chứa nghiệm theo :  - Từ điều kiện cho trước, kết hợp với S, P ta tìm giá trị tham số (có thể có) - Đối chiếu giá trị tham số vừa tìm với điều kiện toán => Xác định giá trị tham số thỏa mãn yêu cầu đề * Ví dụ 4: Cho phương trình: x2 − 2mx + m − = (x ẩn số) (1) a Chứng minh (1) có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b Định m để hai nghiệm x1, x2 (1) thỏa mãn: (1  x1 )2  x2   1  x2 (2  x1 )  x12  x22  VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Chương 1: CĂN BẬC HAI- CĂN BẬC BA Bài 1: KHAI CĂN BẬC HAI I Điều kiện xác định hàm số hay biểu thức chứa bậc hai: 1.Hàm số y  A xác đònh A  B xác đònh A> 2.Hàm số y  A 3.Hàm số y  xác đònh A  A Chú ý: Cho biểu thức y  ax  bx  c  Nếu ax  bx  c  có nghiệm x ,x (x  x ) y phân 2 tích: y  a(x  x )(x  x )  Ta có: y  (x  x )(x  x )   x  x  x 2 x  x  Ta có: y  (x  x )(x  x )     x  x1 Ví dụ 1: Tìm miền xác đònh hàm số sau: a) y  x   b) y  x  5x  2x 2x  c) y  d) y  3x2  4x   2x  2x  3x  Giải: a) y  x   2x Điều kiện xác đònh hàm số : x 1  x   1 x   2  x   x  b) y  x  5x  Chú ý: x  5x   có nghiệm x  x  nên x  5x   (x  2)(x  3) Vậy điều kiện xác đònh hàm số : x  x2  5x    (x  2)(x  3)    x  2x  c) y  2x  3x  1 Chú ý: Ta có: 2x2  3x   2(x  1)(x  ) Vậy điều kiện xác đònh hàm số là: 1 2x2  3x   2(x  1)(x  )   (x  1)(x  )  2 Trang Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Trang x 1  x   2 d) y  3x  4x   2x  Chú ý: Ta có: 3x2  4x   3(x  1)(x  ) Vậy điều kiện xác đònh hàm số là: 1 3x2  4x   3(x  1)(x  )   (x  1)(x  )  3   x 1 Ví dụ 2: Tìm miền xác đònh hàm số sau: x 3x y  x 1 x2  Giải: Vậy điều kiện xác đònh hàm số :  x0 x0  1  x   3 x   x3      x2  2x3  x 1    x      x  2  x2   (x  2)(x  2)   II Các tính chất số: Nếu A,B  AB  A B Nếu A  0, B>0 A A  B B A2  A Nếu A B  A B với A  Ví dụ 1: A  48  16.3  16  B  16  42   C  (  2)2     D   22  12 Chú ý: A  , biểu thức giá trò tuyệt đối dương Nên    sai     Vậy biết giá trò A  ta mở giá trò tuyệt đối A  A giá trò A âm ta mở giá trò tuyệt đối A  A không A số dương hay âm ta phải có dấu giá trò tuyệt đối Ví dụ 2:  = (a+1)2 = a+1 (vì chưa biết a+1 có dương hay âm nên phải có dấu giá trò tuyệt đối) Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ Trang III Khai biểu thức: Ta biết tính chất sau: với A,B   A  B  AB  ( A  B)2  A  B  A  B  A  B  AB  ( A  B)2  A B 1) Khai thức dạng C  D : Chúng ta phân tích C  D thành dạng bình phương sau: C  D  A  B  A.B Tức là: phân tích D = A.B tích số dương A B cho tổng chúng C, (C = A+B) Khi đó: C  D  A  B  A.B  Tương tự cho biểu thức B cho C = A+B 2 A  B  A B   A B   A  B C  D Khi phân tích D = A.B tích số dương A C  D  A  B  A.B  2 A  B  A B   A B   A B Tóm lại: Khi phân tích D = A.B (A, B số dương) cho A + B = C ta khai nhanh chóng sau: C  D  C2 D  A  B A B Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức chứa sau: a) A   2 b) B   c) E   Giải: d) F  x  x  a) Trong A   2 có D   2.1 thỏa    C nên A   2  2+  2+1 b) Trong B   có D= = 3.2 thỏa  = = C nên B  52     c) Trong E     2(3 2)   18 có D  18  6.3 thỏa    C nên E  96     d) Trong F  x  x   x  4(x  4) có D  4.(x  4) thỏa + (x  4)  x = C nên F  x  x    x    x  2) Khai thức dạng C  D : Ta chuyển trường hợp 1) sau: C D  2C  D  2C  D Và ta khai 2 1) Ví dụ 2: a) E   b) F   2C  D trường hợp Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ a) E    42   Trong đó: 2 D   3.1 thỏa    C nên Vậy E  42  1 42  Trang 4  có   1 b) Ta có: F     Trong đó:  có: D   7.1 thỏa    C nên Vậy F        1 1 Ví dụ 3: Rút gọn thức sau: a) A    13  48 b) B    13   10  c) C    10   29  12 Giải: a) Trong biểu thức A xét: 13  48  13  12  12   12    (do ta phân tích D = 12 = 12.1 thoả 12 + = 13 = C) nên A trở thành: A    (2  1)    mà ta lại có:      (do ta phân tích D = = 3.1 thoả + = = C) nên A   2(  1)       b) B    13   10  Vì    12   2 (do Em nhờ Thầy giải dùm em sau Em cảm ơn thầy nhiều  xy = x + Bài 1: Giải hệ phương trình:  (1)  y + 10 y + 10 = xy − x (2) 2 Bài 2: Cho a, b, c ≥ a + b + c = Chứng minh: 1 + + ≤ − ab − bc − ca -Hướng dẫn : Bài 1: Từ (2) ⇒ y + 10 y + 10 = xy − x ⇔ ( y − x ) + 10 y + 10 = xy 2 y − x + = 2 y − x + = Thay (1) vào ta được: ( y − x ) + ( y − x ) + = ⇔ ( y − x + 1) ( y − x + ) = ⇔  Sau giải hệ PT sau:  xy = x +  xy = x +  x = y + ⇔   2 y − x + = 2 y − x + =  y ( y + 1) = ( y + 1) +  Được nghiệm là: ( −1; −1) ; 12;  11   − 63   + 63  ; + 63; ÷  ÷ ÷;  − 63;  2  ÷ ÷   Bài 2: Ta có: 1  1  1 1 ab bc ca   P= − ÷+  − ÷+  − ÷=  + + 2 2 2  − ab   − bc   − ca   a + b + c − ab a + b + c − bc a + b + c − ca  a + b2 a + b) Lại có theo BDT Cô si: ab ≤ ab ≤ ( với a,b>0 Suy ra: 2 2 2   1 b + c) c + a) a + b) b + c) c + a) ( ( ( ( (  ( a + b)   P≤  + + = + +   a + b + 2c 2a + b2 + c a + 2b + c   ( c + a ) + ( c + b ) ( a + b ) + ( a + c ) ( b + c ) + ( b + a )    Áp dụng BDT Bunhinacopxky dạng cộng mẫu số ta có 2 a + b) b + c) c + a) ( ( ( 1     ( c2 + a ) + ( c + b2 ) ( a2 + b ) + ( a + c2 ) ( b2 + c2 ) + ( b2 + a )    2 2 2  1 a b b c c a ≤  + + + 2+ 2+ = = 2 2 ÷ 6 c +a c +b a +b a +c b +c b +a  P≤ + + 1 1 + + ≤ 1+ = − ab − bc − ca 2 Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c = Suy -Bạn kiểm tra kỹ lại, làm vội đánh máy nhầm ! NHỜ QUÝ THẦY CÔ BÀI BĐT SAU: 2a + 3b 2b + 3a + 2a + 3b3 2b3 + 3a x4y y4z z4x + + ≥ 2) Cho x, y, z > thỏa xyz =1 Chứng minh rằng: x +1 y +1 z +1 1) Cho a, b > thỏa a + b =2 Tìm giá trị nhỏ A = EM XIN CẢM ƠN NHIỀU Hướng dẫn 2: Áp dụng kỹ thuật Cô-si ngược dấu, ta có: x y ( x + 1) − x y x4 y x2 y x2 y xy 2 = = x y − ≥ x y − = x2 y − 2 x +1 x +1 x +1 2x y4 z yz z4x zx ≥ y2 z − Chứng minh tương tự : ; ≥ z2x − y +1 z +1 x4 y y4 z z4x xy + yz + zx + + ≥ x2 y + y z + z x − Suy ra: x +1 y +1 z +1 Áp dụng BDT Cô si: x y + x y + y z ≥ 3 x y z = 3 x y ( xyz ) = 3xy Tương tự: y z + y z + z x ≥ yz z x + z x + x y ≥ 3zx 2 2 2 Suy ( x y + y z + z x ) ≥ ( xy + yz + zx ) ⇔ x y + y z + z x ≥ xy + yz + zx (1) Lại có theo BDT Cô-si thì: xy + yz + zx ≥ 3 xy yz.zx = (2) Từ (1) (2) suy ra: x2 y + y z + z x − Vậy nên xy + yz + zx xy + yz + zx ≥ ≥ 2 x4y y4z z4 x + + ≥ 2 x +1 y +1 z +1 Dấu “=” xảy  x = y = z = - Bài số nghĩ giải cách vận dụng bất đẳng thức Bunhiacoxky, bạn chờ giải tiếp Bài số 1: bạn nên xem lại điều kiện đề Mình nghĩ với dk tìm max(A)  ... khi, đề thi vào trường chuyên gặp phải dạng toán thức bậc cao (như bậc ba hay bậc n), ta áp dụng phương pháp sau: * Ví dụ 1: c Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị số nguyên < Trích đề thi tuyển. .. Phương trình tích: Vận dụng phép biến đổi đại số đưa phương trình cho dạng: A B C = Dạng 4: Hệ thức Vi - et ứng dụng VnDoc - Tải... x1,x2 hoành độ giao điểm (d) (P) Tìm m để (x1+1)(x2+1)=1 < Trích đề thi tuyển sinh vào 10 THPT , TP Hà Nội năm 2016 - 2017 > Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình Phương pháp giải: Phương