ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN QUỐC DUY TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐẶT CHỈNH TIKHONOV CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG TỪ ĐIỂN Ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số ngành: 62460112 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TP Hồ Chí Minh – Năm 2017 ✬ Công trình hoàn thành trường Đại Học Khoa học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh ✩ Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lâm Quốc Anh GS.TSKH Phan Quốc Khánh Phản biện 1: TS Nguyễn Bá Thi Phản biện 2: TS Nguyễn Đình Tuấn Phản biện 3: TS Nguyễn Hồng Quân Phản biện độc lập 1: PGS.TS Trương Xuân Đức Hà Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Xuân Hải Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Cơ sở đào tạo trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - HCM vào lúc ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - HCM ✫ ✪ Chương Kiến thức bổ trợ Chương trình bày số kiến thức sở dùng cho chương sau 1.1 Tính liên tục ánh xạ đơn trị Định nghĩa 1.1.1 Cho f : E → R ∪ {+∞}, a ∈ R, x¯ ∈ E {xn } dãy E hội tụ x ¯ Hàm f gọi (a) a-mức đóng x¯ mệnh đề kéo theo sau thỏa mãn [ f (xn ) ≥ a, ∀n] =⇒ [ f (x) ¯ ≥ a] (b) a-mức đóng mạnh x¯ ∀νn ↓ ta có mệnh đề kéo theo sau [ f (xn ) + νn ≥ a, ∀n] =⇒ [ f (x) ¯ ≥ a] (c) nửa liên tục x¯ f (x) ¯ ≤ lim inf f (xn ) n→∞ (d) giả liên tục x¯ mệnh đề kéo theo sau thỏa mãn [ f (x) < f (x)] ¯ =⇒ f (x) < lim inf f (xn ), ∀xn → x¯ n→∞ (e) nửa liên tục (tương ứng, giả liên tục trên) x¯ (− f ) nửa liên tục (tương ứng, giả liên tục dưới) x; ¯ Hàm f gọi liên tục (tương ứng, giả liên tục) x¯ f nửa liên tục nửa liên tục (tương ứng, giả liên tục giả liên tục dưới) x ¯ Ta nói f thỏa mãn tính chất X ⊂ E thỏa mãn tính chất với điểm x ∈ X 1.2 Tính lồi tính đơn điệu hàm giá trị thực Định nghĩa 1.2.1 Cho X ⊂ E tập lồi Hàm f : X → R ∪ {+∞} gọi (i) lồi X với x, y ∈ X t ∈ (0, 1), ta có f (tx + (1 − t)y) ≤ t f (x) + (1 − t) f (y) Chương Kiến thức bổ trợ (ii) lồi mạnh với hệ số α > X với x, y ∈ X t ∈ (0, 1), ta có f (tx + (1 − t)y) ≤ t f (x) + (1 − t) f (y) − α t(1 − t) x − y , Hàm f gọi lõm (tương ứng, lõm mạnh) X − f hàm lồi (tương ứng, lồi mạnh) X Định nghĩa 1.2.2 (Xem Crouzeix et al., 20001 ) Song hàm g : X × X → R gọi (a) giả đối xứng, với cặp x, y ∈ X, g thỏa mãn điều kiện sau đây: g(x, y) = =⇒ g(y, x) = 0; (b) tựa đơn điệu, g(x, y) > =⇒ g(y, x) ≤ 0, với x, y ∈ X; (c) giả đơn điệu, g(x, y) ≥ =⇒ g(y, x) ≤ 0, với x, y ∈ X; (d) giả đơn điệu∗ , giả đơn điệu X với cặp x, y ∈ X, g(x, y) = g(y, x) = với z ∈ X tồn số thực dương k phụ thuộc vào x, y, z cho g(x, z) = kg(y, z); (e) giả đối xứng∗ , g giả đối xứng giả đơn điệu∗ 1.3 Tính liên tục ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.3.1 Ánh xạ đa trị F từ kh� (A4); (ii) f2 thỏa mãn giả thiết (A1); (iii) toán bị phạt (PLEP) có nghiệm x(ε), ¯ với ε > đủ nhỏ Khi đó, điểm tụ x¯ dãy {x(ε)} ¯ ε>0 nghiệm toán cân từ điển gốc (LEP) Kết sau cho ta điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân từ điển bị phạt (PLEP) Định lý 5.1.2 Giả sử (i) f1 (·, y) f2 (·, y) hàm nửa liên tục với y ∈ X; (ii) f1 (x, ·) f2 (x, ·) hàm lồi nửa liên tục với x ∈ X; (iii) f1 X; (iv) f2 đơn điệu mạnh X Khi đó, với ε > 0, tập nghiệm toán (PLEP) tập khác rỗng 5.2 Hàm gap cận sai số cho toán cân từ điển bị phạt Cố định số thực δ > cho h : X × X → R hàm khả vi, lồi theo biến thứ hai thỏa mãn (i) h(x, y) ≥ 0, với x, y ∈ X; (ii) h(x, x) = ∇2 h(x, x) = 0, với x ∈ X Chúng ta xét toán sau: (APLEP) Tìm x¯ ∈ X cho φε,δ (x, ¯ y) ≥ 0, 20 ∀y ∈ X, Chương Phương pháp hàm phạt cho toán cân từ điển φε,δ (x, y) := gε (x, y) + δ h(x, y) Trước thiết lập tương đương toán (PLEP) toán (APLEP), nhắc lại số khái niệm kết tiếng đóng vai trò quan trọng cho việc nghiên cứu kết phần lại chương Định nghĩa 5.2.1 Hàm h : E → R gọi liên tục Lipschitz tập X ⊂ dom h tồn số κ > cho h(x ) − h(x) ≤ κ x − x , ∀x , x ∈ X Hằng số κ gọi số Lipschitz Định nghĩa 5.2.2 Cho E không gian Banach với không gian đối ngẫu E ∗ h : E → R ∪ {+∞} hàm thường lồi Điểm x∗ ∈ E ∗ gọi gradient h x, h(y) ≥ h(x) + x∗ , y − x , với y ∈ E Tập hợp tất gradient h x gọi vi phân h x ký hiệu ∂ h(x) Nếu ∂ h(x) khác rỗng h gọi khả vi phân x Mệnh đề sau cho ta tương đương hai toán (PLEP) (APLEP) Mệnh đề 5.2.1 Với x ∈ X, fi (x, ·), i = 1, 2, lồi, khả vi phân liên tục điểm X toán (PLEP) toán (APLEP) có tập nghiệm với ε > Bây giờ, nhắc lại khái niệm hàm gap Mastroeni3 giới thiệu cho toán cân Định nghĩa 5.2.3 Hàm p : X → R gọi hàm gap cho toán (PLEP) thỏa mãn tính chất sau: (i) p(x) ≥ 0, với x ∈ X; (ii) p(x) ¯ = x¯ nghiệm toán (PLEP) Mệnh đề cho ta cách xác định hàm gap cho toán (PLEP) Mastroeni, G.: Gap functions for equilibrium problems Journal of Global Optimization 27, 411–426 (2003) 21 Chương Phương pháp hàm phạt cho toán cân từ điển Mệnh đề 5.2.2 Giả sử giả thiết Mệnh đề 5.2.1 nghiệm đúng, giả thiết thêm rằng, fi (x, ·), i = 1, 2, nửa liên tục h(x, ·) hàm lồi mạnh với x ∈ X Khi đó, với δ > 0, hàm pε,δ (x) := max{−gε (x, y) − δ h(x, y) | y ∈ X} hàm gap cho toán (PLEP) Định lý 5.2.1 Giả sử φε,δ ∇-đơn điệu chặt X, nghĩa ∇1 φε,δ (x, y) + ∇2 φε,δ (x, y), y − x > 0, ∀x, y ∈ X, x = y (5.1) (ε) (a) Nếu x không nghiệm toán (PLEP), yδ (x) − x hướng giảm pε,δ x, tức (ε) ∇pε,δ (x), yδ (x) − x < (b) Nếu x¯ điểm dừng pε,δ X, tức ∇pε,δ (x), ¯ y − x¯ ≥ 0, ∀y ∈ X, x¯ nghiệm toán (PLEP) Bằng cách sử dụng hàm gap hiệu chỉnh pε,δ (x), xét kết cận sai số cho toán (PLEP) Mệnh đề 5.2.3 Giả sử (i) f1 đơn điệu X; (ii) f2 đơn điệu mạnh với hệ số 2τ X; (iii) ∇2 h(x, ·) liên tục Lipschitz với số κ < 4ετ/δ Nếu tập nghiệm SPLEP (X, gε ) khác rỗng thì, với x ∈ X, d (x, SPLEP (X, gε )) ≤ Mệnh đề 5.2.4 Giả sử (i) f1 đơn điệu X; (ii) f2 đơn điệu mạnh X với hệ số τ; (iii) fi (x, ·), i = 1, 2, lồi với x ∈ X; 22 2pε,δ (x) 4ετ − δ κ Chương Phương pháp hàm phạt cho toán cân từ điển (iv) fi , i = 1, 2, khả vi X × X; (v) ∇1 fi (·, ·), ∇2 fi (·, ·), i = 1, 2, liên tục Lipschitz X × X ∇2 h(x, ·) liên tục Lipschitz với x ∈ X; giả sử thêm SPLEP (X, gε ) khác rỗng Khi đó, với x ∈ X, d (x, SPLEP (X, gε )) ≤ L √ ετ δ α L số dương độc lập với ε 23 2pε,δ (x), Kết luận Mục tiêu luận án nghiên cứu tính ổn định nghiệm tính đặt chỉnh toán liên quan đến tối ưu theo thứ tự từ điển Chúng đạt kết sau: 1) Thiết lập điều kiện đủ cho tính nửa liên tục, tính đóng tính liên tục ánh xạ nghiệm toán cân từ điển 2) Thiết lập điều kiện đủ cho tính đặt chỉnh Tikhonov, đặt chỉnh Tikhonov theo dãy, đặt chỉnh Zolezzi đặt chỉnh Levitin-Polyak theo nghĩa Zolezzi toán cân từ điển trường hợp tập ràng buộc compact 3) Bằng cách sử dụng độ đo tính không compact, thiết lập điều kiện cần đủ cho tính đặt chỉnh toán trường hợp tập ràng buộc không compact 4) Ứng dụng kết đạt vào toán bất đẳng thức biến phân toán tối ưu theo thứ tự từ điển 5) Giới thiệu phương pháp hàm phạt cho toán cân từ điển Sử dụng hàm gap hiệu chỉnh để thiết lập kết cận sai số toán bị phạt 24 Danh mục công trình (1) Anh, L.Q., Duy, T.Q., Kruger, A.Y., Thao, N.H.: Well-posedness for lexicographic vector equilibrium problems In: Demyanov, V.F et al (eds.), Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics, pp 159–174 Springer (2014) (2) Anh, L.Q., Duy, T.Q., Khanh, P.Q.: Continuity properties of solution maps of parametric lexicographic equilibrium problems Positivity 20, 61–80 (2016) (3) Anh, L.Q., Duy, T.Q.: Tykhonov well-posedness for lexicographic equilibrium problems Optimization 65, 1929–1948 (2016) (4) Anh, L.Q., Duy, T.Q.: On penalty method for equilibrium problems in lexicographic order Positivity, first online (2017) (5) Anh, L.Q., Duy, T.Q., Khanh, P.Q.: Levitin-Polyak well-posedness for parametric vector equilibrium problems in lexicographic order Optimization, submitted 25 ...ạ nghiệm toán cân từ điển 2) Thiết lập điều kiện đủ cho tính đặt chỉnh Tikhonov, đặt chỉnh Tikhonov theo dãy, đặt chỉnh Zolezzi đặt chỉnh Levitin-Polyak theo nghĩa Zolezzi toán cân từ điển trườn...n cứu tính ổn định nghiệm tính đặt chỉnh toán liên quan đến tối ưu theo thứ tự từ điển Chúng đạt kết sau: 1) Thiết lập điều kiện đủ cho tính nửa liên tục, tính đóng tính liên tục ánh xạ nghiệm toá...t (A1); (iii) toán bị phạt (PLEP) có nghiệm x(ε), ¯ với ε > đủ nhỏ Khi đó, điểm tụ x¯ dãy {x(ε)} ¯ ε>0 nghiệm toán cân từ điển gốc (LEP) Kết sau cho ta điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán cân từ điển b