Trường THPT Vĩnh Linh GV: Nguyễn Đức Hùng PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM. I. Định lí Lagrange và ứng dụng: Định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại ∈ c (a;b) sao cho f’(c) = ab afbf − − )()( . Bài tập 1: Cho n > 1 và b > a > 0. Chứng minh rằng: na n-1 (b-a) < b n – a n < nb n-1 (b-a). Bài tập 2: Cho 0 < a < b < 2 π . Chứng minh rằng: . cos tantan cos 22 b ab ab a ab − <−< − Bài tập 3: Cho a < b < c. Chứng minh rằng: ccabcabcbacbacabcabcbacbaa 33 222222 <−−−++−++<−−−++−++< Bài tập 4: Cho x > y > 1. Chứng minh rằng : 5y 4 (x-y) < x 5 – y 5 <5x 4 (x-y) Bài tập 5: Cho 1 y < x, p ∈ Z, p ≥ 2, chứng minh: 5y p-1 (x-y) < x p – y p <5x p-1 (x-y) Hệ quả: (Định lý Rolle): Nếu f(x) xác định và liên tục trên [a;b], có đạo hàm trên (a;b), f(a) = f(b) thì tồn tại ∈ c (a;b) sao cho f’(c) = 0. Bài tập 6: CMR phương trình asin7x + bcos5x +csin3x + dcosx = 0 luôn có nghiệm với mọi a, b, c, d∈R. Giải : Xét F(x) = - 7 a cos7x + 5 b sin5x - 3 c cos3x + dsinx, với x ∈ [0;2 π ]. Ta có F(x) liên tục trên [0;2 π ], có đạo hàm trên (0;2 π ). Mặt khác, ta có F(2 π ) = F(0) = - 7 a - 3 c . Do đó theo định lý Lagrange, ta có: 0 x ∃ ∈(0;2 π ) sao cho :F’(x 0 ) = 0 02 )0()2( = − − π π FF ⇔ asin7x 0 + bcos5x 0 +csin3x 0 + dcosx 0 = 0 Suy ra phương trình: asin7x + bcos5x +csin3x + dcosx = 0 luôn có nghiệm. Bài tập 7: Cho m >0 và 0 12 =+ + + + m c m b m a . Chứng minh rằng: ax 2 + bx + c =0 có nghiệm ∈ (0;1). II. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải PT, HPT, BPT: 1. Nếu f(x) là hàm số liên tục trên tập K và đơn diệu trên K thì PT f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên K. 2. cho hệ pt:      = = = )( )( )( xfz zfy yfx ; Nếu f(x) đơn điệu trên tập K thì x = y =z trên K. Chứng minh:* f(x) đồng biến trên K, Với x, y, z K∈ Giả sử zyx ≤≤ ⇒ )()()( zfyfxf ≤≤ ⇒ yxz ≤≤ ⇒ x = y =z. Các bài toán: Bài tập 1: Giảicác phương trình: a) 0431 35 =+−−+ xxx b) 82315 22 ++−=+ xxx Bài tập 2: Giải bất phương trình: 871357751 543 <−+−+−++ xxxx . Bài tập 3: Giải phương trình: (2x+1) ( ) 3)12(2 2 +++ x + 3x ( ) 392 2 ++ x = 0. Trường THPT Vĩnh Linh GV: Nguyễn Đức Hùng II. Ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số trong các bài toán PT, BPT, HPT HBPT: Bài toán 1: Tìm m để phương trình F(x,m) = 0 (1) có nghiệm trong khoảng K. Phương pháp giải bằng cách sử dụng tập giá trị của hàm số: - Biến đổi PT(1) ⇔ f(x) = g(m) (Trên K) - Xét hàm số f(x) - Lập bảng biến thiên của f(x). (tìm )(min,)(max xfxf K K ). - Từ đó suy ra tập giá trị của f(x) trên K là Y - (1) có nghiệm ⇔ g(m) ∈ Y. Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình F(x,m) > 0 ( F(x,m) ≥ 0 ) (1) có nghiệm trong khoảng K. Phương pháp giải bằng cách sử dụng tập giá trị của hàm số: - Biến đổi BPT(1) ⇔ f(x) > g(m) (f(x) ≥ g(m)) (Trên K) - Xét hàm số f(x) - Lập bảng biến thiên của f(x). (tìm )(min,)(max xfxf K K ). - Từ đó suy ra tập giá trị của f(x) trên K là Y - (1) có nghiệm ⇔ (g(m);+ ∞ )  Y ≠ ∅ ( [g(m);+ ∞ )  Y ≠ ∅) Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình F(x,m) > 0 ( F(x,m) ≥ 0 ) (1) có nghiệm với ∈∀ x K. Phương pháp giải bằng cách sử dụng tập giá trị của hàm số: - Biến đổi BPT(1) ⇔ f(x) > g(m) (f(x) ≥ g(m)) (Trên K) - Xét hàm số f(x) - Lập bảng biến thiên của f(x). (tìm )(min,)(max xfxf K K ). - Từ đó suy ra tập giá trị của f(x) trên K là Y - (1) có nghiệm ∈∀ x ⇔ Y ⊂ (g(m);+ ∞ ).( Y ⊂ [g(m);+ ∞ ).) Bài 1: Tìm m để bất phương trình: mxx >++ 12 2 có nghiệm với ∈∀ x R. Bài 2: Tìm m để bất phương trình: mxxm +<+ 92 2 có nghiệm với ∈∀ x R. Bài 3: Tìm m để bất phương trình: 352)3)(21( 2 −−+≥−− xxmxx đúng với ∈∀ x       − 3; 2 1 . Bài 4: Tìm m để bất phương trình 13 +≤−− mxmx có nghiệm. Bài 5 : Tìm m để bất phương trình mxxxx +−≤−+ 2)6)(4( 2 có nghiệm với ∈∀ x R. Bài 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: mxxxx =−+−−++ )6)(3(63 . Bài 7: Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sau có một số lẻ nghiệm thực: 2 2 (3 14 14) 4(3 7)( 1)( 2)( 4)x x x x x x m − + − − − − − = . Bài 8: Với giá trị nào của a thì bất phương trình sau: ( ) 3 23 113 −−≤−+ xxaxx có nghiệm. Bài 9: a. Cho hàm số 2 sin )(       = x x xf chứng minh rằng )(' xf < 0 với       ∈ 4 ;0 π x . b. Tìm mọi giá trị của tham số a để phương trình ax 2 + 2cosx = 2 có đúng hai nghiệm trong đoạn       2 ;0 π Bài 10: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: Trường THPT Vĩnh Linh GV: Nguyễn Đức Hùng Bài 11: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: . Bài 12: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: . Bài 13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: ( ) 4 2 4 2 422422 −=+−−+− xxxxm . Nguyễn Đức Hùng PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM. I. Định lí Lagrange và ứng dụng: Định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì. trong khoảng K. Phương pháp giải bằng cách sử dụng tập giá trị của hàm số: - Biến đổi PT(1) ⇔ f(x) = g(m) (Trên K) - Xét hàm số f(x) - Lập bảng biến thiên