Nhóm 4: Lê Bá Nhựt -10520397 Lê Thị Hường -10520528 Lê Thị Ánh Tuyết -10520641 Nguyễn Đức Duy - 10520502 Lớp MAT04 Đại số Bool Giảng viên: TS Cao Thanh Tình Nội Dung Chính       Hàm Bool Các dạng biểu diễn hàm Bool Biểu đồ Karnaugh cho hàm Bool Thuật toán tìm công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool Hàm Bool mạch điện Bài tập Đại số Bool HÀM BOOL Nội Dung Chính (tt) I II Hàm Bool Đại số Bool nhị phân Hàm Bool Đại số Bool hàm Bool Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool Từ đơn Đơn thức Đơn thức tối tiểu Fn Đa thức Fn Dạng nối rời tắc hàm Bool Cách tìm dạng nối rời tắc hàm Bool Mệnh đề So sánh dạng đa thức hàm Bool Công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool Đại số Bool Nội Dung Chính (tt) III IV V VI Biểu Đồ Karnaugh Cho Hàm Bool Bảng mã Biểu đồ Karnaugh cho hàm Bool Nhận xét Tính chất Biểu đồ đơn thức Biểu đồ đa thức Tế bào tế bào lớn Thuật Toán Tìm Công Thức Đa Thức Tối Tiểu Cho Hàm Bool Họ phủ họ phủ tối tiểu Thuật toán Đại Số Các Mạch Điện Hàm Bool mạch điện Các loại cổng cớ Thiết kế mạng cổng tổng hợp hàm Bool Tối ưu hóa việc thiết kế mạng cổng tổng hợp hàm Bool Bài Tập Đại số Bool HÀM BOOL Đại số Bool I Hàm Bool George Boole (1815-1864) Đại số Bool I Hàm Bool Đại số Bool nhị phân: Đại số bool số nhị phân thỏa trường hợp (luật) mệnh đề Luât phủ định kép ¬ ¬E E Luật lũy đẳng E ˄ E E E ˅ E E Luật giao hoán F˄ E E ˄ F F ˅ E E ˅ F Luật kết hợp (E ˄ F) ˄ G E ˄ (F ˄ G) (E ˅ F) ˅ G E ˅ (F ˅ G) Luật phân phối E ˄ (G ˅ F) (E ˄ G) ˅ (E ˄ F) E ˅ (G ˄ F) (E ˅ G) (E ˅ F) Luật phủ định De-Morgan ¬ (E ˄ F) ¬E ˅ ¬F ¬ (E ˅ F) (¬E) ˄ (¬F) Luật hấp thụ E ˄ (E ˅ F) E ; E ˅ (E ˅ F) E Luật trung hòa E ˄ E E ˅ E Luật thống trị E ˄ E ˅ Luật bù E ˄ ¬E E ˅¬E Luật kéo theo E → F ¬E ˅ F Phủ định kéo theo ¬( E → F) E ˄ ¬F Đại số Bool I Hàm Bool Hàm Bool: a Định nghĩa Chon ≥ n ∈ N Hàm Bool n biến ánh xạ f : Bn → B, B = {0, 1} Một hàm Bool n biến hàm số có dạng f = f(x1 ,x2,…,xn), biến x1, x2,…, xn f nhận giá trị B = {0, 1} Ký hiệu Fn để tập hàm Bool n biến Ví dụ: Biểu thức logic E = E(p1,p2,…,pn) theo n biến p1, p2,…, pn hàm Bool n biến Đại số Bool I Hàm Bool Hàm Bool: b Bảng chân trị Xét hàm Bool n biến f(x1,x2,…,xn) Vì biến xi nhận hai giá trị 0, nên có 2n trường hợp biến (x1,x2,…,xn)  Do đó, để mô tả f ta lập bảng gồm 2n hàng ghi tất giá trị f tùy theo 2n trường hợp biến Ta gọi bảng chân trị f  Đại số Bool I Hàm Bool 10 Hàm Bool: b Bảng chân trị Ví dụ: cho mạch điện hình vẽ A M N B C Tùy theo cách trạng thái cầu dao A, B, C mà ta có dòng điện qua MN Bảng giá trị Đại số Bool 41 IV THUẬT TOÁN TÌM CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU  Ví dụ: f ∈ F4: 𝑓 = 𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑧̅𝑡 + 𝑥𝑧̅𝑡̅ + 𝑥̅ 𝑦𝑦𝑦 + 𝑥̅ 𝑦�𝑡 Ta có biểu đồ S = 𝑘𝑘𝑘(𝑓) 𝑥 𝑥 x 𝑧 𝑧 x x x x x 𝑡 Ta viết tế bào lớn: 𝑇1 = 𝑥𝑥; 𝑇4 = 𝑥̅ 𝑧𝑧; 𝑡 𝑇2 = 𝑥𝑧̅; 𝑇5 = 𝑥̅ 𝑦�𝑡; x x 𝑡 𝑡 𝑇3 = 𝑦𝑦𝑦; 𝑇5 = 𝑦�𝑧̅𝑡, Đại số Bool 42 IV THUẬT TOÁN TÌM CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU Ta bắt đầu với ô thuộc tế bào lớn 1,2 ∈ 𝑇1 4,1 ∈ 𝑇2 Ta 𝑇1 → 𝑇2 Ta thấy 𝑆\{𝑇1 ∪ 𝑇2 } ≠ ∅ Ta xét ô thuộc tế bào lớn  (2,2) nằm 𝑇3 với (2,2) bị chọn (vì nằm 𝑇1 )  (3,4) nằm 𝑇6 với (3,1) bị chọn (vì nằm 𝑇2 )  (2,4) không nằm ô bị chọn.-> Ta chọn (2,4) Đại số Bool 43 IV THUẬT TOÁN TÌM CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU 2,4 ∈ 𝑇4 2,3 ∈ 𝑆(𝑇1 ∪ 𝑇2 ) � 2,4 ∈ 𝑇5 Ta được: 3,4 ∈ 𝑇5 3,4 ∈ 𝑆(𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇4 ) � 3,4 ∈ 𝑇6 Ta Ta thấy: 𝑆\(𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇4 ∪ 𝑇5 ) = ∅ ⇒ 𝑆 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇4 ∪ 𝑇5 ; số Bool 𝑆\(𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇4 ∪ 𝑇6 ) = ∅ ⇒ 𝑆 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇4 ∪ 𝑇6Đại 44 IV THUẬT TOÁN TÌM CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU 2,3 ∈ 𝑇3 2,3 ∈ 𝑆(𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇5 ) � 2,3 ∈ 𝑇4 Ta Ta thấy: 𝑆\(𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇5 ∪ 𝑇3 ) = ∅ ⇒ 𝑆 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇5 ∪ 𝑇3 ; 𝑆\(𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇5 ∪ 𝑇4 ) = ∅ ⇒ 𝑆 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇5 ∪ 𝑇4 Đại số Bool 45 IV THUẬT TOÁN TÌM CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU Vậy ta có 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑥𝑥 ∨ 𝑥𝑧̅ ∨ 𝑥̅ 𝑧𝑧 ∨ 𝑥̅ 𝑦�𝑡 = 𝑥𝑥 ∨ 𝑥𝑧̅ ∨ 𝑥̅ 𝑧𝑧 ∨ 𝑦�𝑧̅𝑡 = 𝑥𝑥 ∨ 𝑥𝑧̅ ∨ 𝑥̅ 𝑦�𝑡 ∨ 𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 ∨ 𝑥𝑧̅ ∨ 𝑥̅ 𝑦�𝑡 ∨ 𝑥̅ 𝑧𝑧 Do đa thức đơn giản ngang nhau, ta có đa thức tối tiểu toán ban đầu Đại số Bool ĐẠI SỐ MẠCH ĐIỆN 46 Đại số Bool 47 V Đại số mạch điện Hàm Bool mạch điện: a Mạch điện: dây dẫn công tắc điện  Công tắc điện tương đương biến bool (0,1)  Trên dây dẫn công tắc: mắc nối tiếp mắc song song B b A a t(a,b) = a t(a,b) b = a.b có điện qua dây t(a,b) = điện qua dây A a t(a,b) B b t(a,b) = aVb Đại số Bool V Đại số mạch điện 48 Hàm bool mạch điện: b Mạch điện có n công tắc điện A1, A2,…An(n biến bool a1, a2,…,an)  Hàm Bool cho mạch điện: B (không có điện) f: Bn (a1, a2,…,an) f (a1, a2,…,an) = (có điện)  Từ cấu trúc mắc nối tiếp mắc song song mạch ta biểu diễn f thành công thức đa thức theo a1, a2,…,an Ví dụ: B D A f(a,b,c,d) C ¬C ¬A f(a,b,c,d) = {[a.(bVc)] V (¬c ¬a)}.d = (a.b V a.c V ¬a ¬c).d = abc V acd V ¬a¬cd Đại số Bool 49 V Đại số mạch điện Các loại cổng bản: a Bộ đảo (cổng NOT) x ¬x Bảng chân trị Ví dụ: Cho đầu vào A= 01001 Khi sau qua đảo, đầu ¬A = 10110 Đại số Bool 50 V Đại số mạch điện Các loại cổng bản: b Cổng OR x x1 x1 + x2 +…+ xn xn Bảng chân trị Ví dụ: Cho đầu vào A = 011101, B = 100110 đầu cổng OR 111111 Đại số Bool X=A+B = 51 V Đại số mạch điện Các loại cổng bản: c Cổng AND x1.x2…xn Bảng chân trị Ví dụ: Cho đầu vào A = 110001, B = 011100 Khi đầu cổng AND X = A.B = 010000 Đại số Bool V Đại số mạch điện 52 Thiết kế mạng cổng tổng hợp hàm Bool:  f ∈ Fn f có dạng đa thức: f = U1 V u2 V V Uk (u1, u2,uk đơn thức)  f ∈ F3 dùng cổng AND, OR, NOT để thiết kế mạng tổng hợp f Ví dụ: Có f(x,y,z) = xyz V x¬y¬z V x¬y¬z V xy¬z V ¬xy¬z (dạng đa thức) f Mạng cổng tổng hợp f:  cổng AND loại dây  cổng NOT  cổng loại dây Đại số Bool Đại số mạch điện V 53 Tối ưu hóa việc thiết kế mạng cổng tổng hợp hàm bool:  Việc thiết kế mạng cho f dựa vào công thức đa thức F F có nhiều dạng đa thức khác nhau, ta chọn công thức đa thức tối tiểu f để thiết kế mạng cho Như ta tiết kiệm chi phí mua cổng dây dẫn Ví dụ: f ∈ F3 có f(x,y,z) = xyz V x¬y¬z V x¬y¬z V xy¬z V ¬xy¬z (dạng đa thức) Kar(f) = Kar(xyz) V Kar(x¬y¬z) V Kar(x¬y¬z) V Kar(¬xy¬z) Biểu đồ Karnaugh f Các tế bào lởn S:  T1 = x.y  T2 = x.¬z  T3 = y.¬z Chọn Ô (1,2) ∈ S (1,2) ∈ T1 Chọn Ô (2,1) ∈ S\ T1 (2,1) ∈ T2 Chọn Ô (2,3) ∈ S\(T1 V T2) (2,3) ∈ T3 Chọn Ô S\(T1 V T2 V T3) = => S = T1 V T2 V T3 f(x,y,z,t) = x.y V x¬z V y¬z (công thức tối tiểu f) Đại số Bool 54 V Đại số mạch điện Tối ưu hóa việc thiết kế mạng cổng tổng hợp hàm Bool: f( x,y,z)=x.y V x¬z V y¬z Mạng cổng tổng hợp f:  cổng AND loại dây  cổng NOT  cổng OR loại dây Đại số Bool 55 Đại số Bool ... Hàm Bool Đại số Bool nhị phân Hàm Bool Đại số Bool hàm Bool Các Dạng Biểu Diễn Hàm Bool Từ đơn Đơn thức Đơn thức tối tiểu Fn Đa thức Fn Dạng nối rời tắc hàm Bool Cách tìm dạng nối rời tắc hàm Bool. .. thiết kế mạng cổng tổng hợp hàm Bool Bài Tập Đại số Bool HÀM BOOL Đại số Bool I Hàm Bool George Boole (1815-1864) Đại số Bool I Hàm Bool Đại số Bool nhị phân: Đại số bool số nhị phân thỏa trường...       Hàm Bool Các dạng biểu diễn hàm Bool Biểu đồ Karnaugh cho hàm Bool Thuật toán tìm công thức đa thức tối tiểu cho hàm Bool Hàm Bool mạch điện Bài tập Đại số Bool HÀM BOOL Nội Dung Chính