Chứng minh đẳng thức tích trong hình hocï Híng dÉn häc sinh chøng minh ®¼ng thøc tÝch trong h×nh häc. Trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS cã nhiỊu d¹ng to¸n, nhng mét d¹ng to¸n mµ khã vµ thêng gỈp trong gi¶i to¸n lµ chøng minh ®¼ng thøc. ViƯc chøng minh mét ®¼ng thøc A = B hay ®¼ng thøc a.d = b.c trong sè häc kh«ng khã vµ cã thĨ ¸p dơng mét sè ph¬ng ph¸p nh sau: + Chøng minh VT - VP = 0 + BiÕn ®ỉi VT vỊ kÕt qu¶ b»ng VP hc ngỵc l¹i. + BiÕn ®ỉi ®ång thêi VT, VP vỊ cã cïng mét kÕt qu¶ chung. Nãi chung viƯc chøng minh mét ®¼ng thøc sè th× kh«ng khã ®èi víi häc sinh, nhng viƯc chøng minh mét ®¼ng thøc tÝch trong h×nh häc THCS th× vÉn cßn lµ mét c©u hái. LiƯu cã thĨ sư dơng c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh ®¼ng thøc trong sè häc vµo ®Ĩ chøng minh mét ®¼ng thøc tÝch trong h×nh häc hay kh«ng , nÕu ®ỵc th× cÇn ¸p dơng nh thÕ nµo? Qua thêi gian gi¶ng d¹y to¸n THCS vµ kiÕn thøc vèn cã b¶n th©n, häc hái kinh nghiƯm cđa nh÷ng ngêi thÇy ®i tríc t«i rót ra mét kinh nghiƯm ®Ĩ gi¶i c¸c bµi to¸n d¹ng chøng minh ®¼ng thøc tÝch trong h×nh häc. Nh ta ®· biÕt ®¼ng thøc a.d = c.b cã thĨ viÕt díi d¹ng c¸c tØ lƯ thøc nh sau a c a d b c b d = ; = ; = ; = d b c b d a c a mµ trong h×nh häc th× khi nãi ®Õn c¸c tØ lƯ thøc th× ta liªn tëng ®Õn ngay c¸c kiÕn thøc: §o¹n th¼ng tØ lƯ; Tam gi¸c ®ång d¹ng; §Þnh lý ®êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c; §Þnh lý TalÐt. VËy ®Ĩ lµm ®ỵc c¸c bµi to¸n nh trªn ®· ®Ỉt ra th× gi¸o viªn ph¶i n¾m c¸c kiÕn thøc trªn mét c¸ch ch¾c ch¾n, vµ ph¶i trun ®¹t cho häc sinh hiĨu mét c¸ch têng minh c¸c kiÕn thøc: §o¹n th¼ng tØ lƯ; Tam gi¸c ®ång d¹ng; §Þnh lý ®êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c; §Þnh lý TalÐt. Sau ®©y t«i xin minh ho¹ b»ng c¸ch híng dÉn häc sinh gi¶i mét sè bµi to¸n d¹ng trªn trong ch¬ng tr×nh To¸n H×nh häc 8, 9. VÝ dơ 1: (Bµi 39 SGK T8_2 tr 79). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD). Gäi O giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo AC vµ BD. Chøng minh OA.OD = OB.OC H§ GV H§ HS - Yªu cÇu häc sinh vÏ h×nh - GV vÏ h×nh b¶ng - HS vÏ h×nh Hoàng Thái Anh – THCS Mỹ Thủy Chứng minh đẳng thức tích trong hình hocï O D A B C ! §Ĩ chøng minh ®¼ng thøc tÝch ta sư dơng c¸c kh¸i niƯm: ®o¹n th¼ng tØ lƯ, ®Þnh lý ta lÐt, tam gi¸c ®ång d¹ng ! §Ĩ chøng minh OA.OD = OB.OC ta cÇn chøng minh g×? OA.OD = OB.OC OA OC OB OD = c c ! §Ĩ cã tØ lƯ thøc th× ta cÇn cã hai tam gi¸c ®ång d¹ng ! GV híng dÉn c¸ch lÊy hai tam gi¸c ®ång d¹ng tõ tØ lƯ thøc OA OC = OB OD nh sau: - NÕu lÊy trªn tư ta ph¶i cã ΔOAC ΔOBD∞ - NÕu lÊy trong mét tØ sè ta ph¶i cã ΔOAB ΔOCD∞ ! Cho HS ph¸t hiƯn c¸c u tè ®· b»ng nhau cđa hai tam gi¸c vµ yªu cÇu häc sinh chän mét trong hai cỈp tam gi¸c trªn. ! GV yªu cÇu häc sinh chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng ! Tõ ®ã yªu cÇu häc sinh rót ra tØ lƯ thøc vµ suy ra ®iỊu cÇn chøng minh. - HS nªu ®ỵc chøng minh OA OC OB OD = - HS ph¸t hiƯn c¸c u tè b»ng nhau vµ chän mét trong hai cỈp. - HS chØ chän ®ỵc ΔOAB ΔOCD∞ - HS chøng minh ΔOAB ΔOCD∞ ∠AOB = ∠COD(®èi ®Ønh) ∠ABO = ∠CDO(so le trong) ΔOAB ΔOCD⇒ ∞ VÝ dơ 2. (Bµi 48 SBT T8_2 tr 75). Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH. Chøng minh AH 2 = BH.CH H§ GV H§HS - Yªu cÇu häc sinh vÏ h×nh - GV vÏ h×nh b¶ng ! Híng dÉn häc sinh ph©n tÝch chøng minh B A C H - Häc sinh rót ra tØ sè AH CH = BH AH Hoàng Thái Anh – THCS Mỹ Thủy Chứng minh đẳng thức tích trong hình hocï 2 AH = BH.CH AH.AH = BH.CH AH CH = BH AH ? c c c ! GV híng dÉn häc sinh c¸ch lÊy hai tam gi¸c ®ång d¹ng tõ tØ lƯ thøc AH CH = BH AH nh sau: - NÕu lÊy trªn tư ta ph¶i cã AHC BHA∆ ∞ ∆ - NÕu lÊy trong mét tØ sè ta ph¶i cã AHB CHA∆ ∞ ∆ ! Yªu cÇu häc sinh chøng minh - Häc sinh chøng minh VÝ dơ 3. Tam gi¸c ABC, ph©n gi¸c AD. Qua B kỴ tia Bx sao cho CBx = BAD∠ ∠ . Tia Bx c¾t tia AD ë E. Chøng minh BE 2 = DE.AE H§ GV H§HS x E D B A C 2 BE = DE.AE BE.BE = AE.DE BE DE = AE BE ΔABE ΔBDE∞ c c c ! H·y chøng minh ABE BDE∆ ∞ ∆ + BE.BE = AE.DE + BE DE = AE BE + ABE BDE∆ ∞ ∆ XÐt ,ABE BDE∆ ∆ cã ∠ = ∠BAE DBE (gt) ∠E chung Hoàng Thái Anh – THCS Mỹ Thủy Chứng minh đẳng thức tích trong hình hocï VÝ dơ 4. Cho tam gi¸c ABC, ph©n gi¸c AD. Gäi E,F lÇn lỵt lµ h×nh chiÕu cđa B vµ C lªn AD Chøng minh AE.DF = AF.DE H§ GV H§HS F E D C B A ! ViÕt ®¼ng thøc AE.DF = AF.DE díi d¹ng tØ lƯ thøc ? Mn cã tØ lƯ thøc AE DE = AF DF th× ph¶i cã hai tam gi¸c nµo ®ång d¹ng ? Em cã nhËn xÐt nh thÕ nµo vỊ hai cỈp tam gi¸c trªn ! VËy kh«ng thĨ chøng minh ®ỵc tØ lƯ thøc trªn dùa vµo hai cỈp tam gi¸c trªn . ! Híng dÉn häc sinh chøng minh. + AD ph©n gi¸c cho ta tØ sè nµo? + §Ĩ chøng minh ®ỵc AE DE = AF DF ta cÇn chøng minh AB AE = AC AF vµ BD ED BC DF = ! Yªu cÇu häc sinh chøng minh hai tØ lƯ thøc trªn. + AE DE = AF DF + AEF DEF∆ ∞ ∆ Hc AED AFD∆ ∞ ∆ + Kh«ng t¹o thµnh tam gi¸c (Ba ®iĨm th¼ng hµng) - Häc sinh tr¶ lêi: AB BD = AC DC - Häc sinh chøng minh hai tØ lƯ thøc trªn. * Qua c¸c vÝ dơ trªn ta cã thĨ rót ra nhËn xÐt cho häc sinh nh sau: - §Ĩ chøng minh ®¼ng thøc a.b = c.d hc a 2 = bc ta ¸p dơng kh¸i niƯm hai tam gi¸c ®ång d¹ng, ®êng ph©n gi¸c trong tam gi¸c. - NÕu ®¼ng thøc d¹ng a.b = c.d th× ta cã thĨ lËp ®ỵc 2 cỈp tam gi¸c ®ång d¹ng; ®¼ng thøc a2 = b.c th× chØ cã mét cỈp tam gi¸c ®ång d¹ng. *¸p dơng ph¬ng ph¸p trªn ta cã thĨ chøng minh t¬ng tù c¸c bµi sau. (C¸c b¹n tù gi¶i ®Ĩ t×m ra ®ỵc ph¬ng ph¸p hay h¬n vµ trao ®ỉi lÉn nhau trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y.) VÝ dơ 5. (Bµi 54 SBT T8_2 tr 76). Cho tø gi¸c ABCD cã hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t nhau t¹i O, .ABD ACD ∠ = ∠ Gäi E lµ giao ®iĨm cđa hai ®êng th¼ng AD vµ BC. Chøng minh EA.ED = EB.EC Hoàng Thái Anh – THCS Mỹ Thủy Chứng minh đẳng thức tích trong hình hocï VÝ dơ 6 (Bµi 55 SBT T8_2 tr 77). Tam gi¸c ABC cã ba ®êng cao AD, BE, CF ®ång quy t¹i H. Chøng minh AH.DH = BH.EH = CH.FH VÝ dơ 7. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, F trªn c¹nh BC. Tia AF c¾t BD vµ DC lÇn lỵt ë E vµ G. Chøng minh AE 2 = EF.EG VÝ dơ 8. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH, ph©n gi¸c BD. Gäi I giao ®iĨm cđa AH, BD. Chøng minh AB.BI = BD.HB VÝ dơ 9. Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH Gäi M,N lÇn lỵt h×nh chiÕu cđa H trªn AB, AC. Chøng minh AM.AB = AN.AC VÝ dơ 10. Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, E trung ®iĨm AB . tia DE c¾t AC t¹i F c¾t CB t¹i G. Chøng minh FD 2 = FE.FG VÝ dơ 11. Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a, gãc A = 60 0 . Mét ®êng th¼ng bÊt kú ®i qua C c¾t tia ®èi cđa tia BA, DA t¬ng øng ë M,N. Chøng minh BM.DN = a 2 . * C¸c bµi to¸n d¹ng nµy còng cã trong ch¬ng tr×nh H×nh häc 9. VÝ dơ 12 Tõ mét ®iĨm A ë bªn ngoµi ®êng trßn (O) ta vÏ tiÕp tun AB vµ c¸t tun ACD . VÏ d©y BM vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cđa gãc BAC, d©y nµy c¾t CD t¹i E. Chøng minh MD 2 = ME.MB VÝ dơ 13. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i A vµ B . Trªn ®êng th¼ng AB lÊy mét ®iĨm M (M kh«ng thc ®o¹n AB) VÏ tiÕp tun MT cđa ®êng trßn (O) cµ c¸t tun MCD cđa ®êng trßn (O’). Chøng minh MT 2 = MC.MD vÝ dơ 14. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) c¾t nhau t¹i A vµ B . VÏ d©y cung BC cđa ®- êng trßn (O) tiÕp xóc víi (O’). VÏ d©y cung BD cđa ®êng trßn (O’) tiÕp xóc víi (O). Chøng minh AB 2 = AC.AD VÝ dơ 15. (Bµi 41 SGK To¸n 9 _ 1 tr 128 c). Cho ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh BC , d©y cung AD vu«ng gãc víi BC t¹i H. Gäi E,F theo thø tù lµ ch©n c¸c ®êng vu«ng gãc kỴ tõ H ®Õn AB, AC. Gäi (I), (K) theo thø tù lµ c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c HBE, HCF. Chøng minh ®¼ng thøc AE.AB = AF.AC VÝ dơ 16 (Bµi 43 SGK To¸n 9 _ 1 tr 128 b. Cho hai ®êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xóc ngoµi t¹i A, BC lµ tiÕp tun chung ngoµi, B ∈ (O), C ∈ (O’) . TiÕp tun trong t¹i A c¾t BC t¹i M. Gäi E giao ®iĨm cđa OM vµ AB, F lµ giao ®iĨm cđa O’M vµ AC. Chøng minh ®¼ng thøc ME.MO = MF.MO’. Hoàng Thái Anh – THCS Mỹ Thủy . Chøng minh VT - VP = 0 + BiÕn ®ỉi VT vỊ kÕt qu¶ b»ng VP hc ngỵc l¹i. + BiÕn ®ỉi ®ång thêi VT, VP vỊ cã cïng mét kÕt qu¶ chung. Nãi chung viƯc chøng minh. Chứng minh đẳng thức tích trong hình hoc Híng dÉn häc sinh chøng minh ®¼ng thøc tÝch trong h×nh häc. Trong ch¬ng