www.hoctoan.ga CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I KIẾN THỨC CẦN NHỚ * Định nghĩa: Cho y  f  x  xác định liên tục  a;b  x0   a;b  a) Nếu tồn số h  cho f  x   f  x0  y  f  x  x  x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực đại x0 b) Nếu tồn số h  cho f  x   f  x0  x ( x0  h; x0  h ) x  x0 ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu x0 * Định lí 1: Giả sử y  f  x  liên tục khoảng K  ( x0  h; x0  h ) có đạo hàm K K \ 0 với h > Khi đó: ( Tại x0 đạo hàm không xác định ) * Định lí 2: Giả sử y  f  x  có đạo hàm cấp hai ( x0  h; x0  h ) với h  Khi đó:  f '( x0 )  a) Nếu  x0 điểm cực tiểu y  f  x   f "( x0 )   f '( x0 )  b) Nếu  x0 điểm cực đại y  f  x  f "( x )  0  * Quy tắc tìm cực trị y = f(x) Quy tắc 1: Tìm TXĐ Tính f '  x  Tìm điểm f '  x   f '  x  không xác định Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị Quy tắc 1.Tìm TXĐ Tính f '  x  Giải phương trình f '  x   kí hiệu xi ,i  1,2,3, ,n nghiệm Tính f "  x  f "  xi   4, Dựa vào dấu f "  xi  suy tính chất cực trị xi II CÁC VÍ DỤ Biên soạn : Ths Lê Hoài Vũ Trang : www.hoctoan.ga Ví dụ Tìm cực trị hàm số y  x3  3x  Bài giải Tập xác định D   x 1 y  y  3x  cho y'   3x      x  1  y  Bảng biến thiên Hàm số đạt cực đại x  1 đạt cực tiểu x  Ví dụ Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y  x  x Bài giải Tập xác định D   x   y  y  x3  x cho y'   x  x     x  2  y  4 Bảng biến thiên Đồ thị hàm số có điểm cực đại  0;  , cực tiểu  2; 4  ; 2; 4  Ví dụ 3: Định m để hàm số y  x  3mx  (m2  1) x  đạt cực tiểu x  Bài giải Tập xác định D   y'  3x  6mx  m2  m  Hàm số đạt cực tiểu x   y '     m2  12m  11     m  11 Biên soạn : Ths Lê Hoài Vũ Trang : www.hoctoan.ga Với m  suy y  x3  3x2  2, y'  3x  x, y"  x   y' 2  3.22  6.2  Ta có  hàm số đạt cực tiểu x  y"       2 Với m  11 suy y  x3  33x  120 x   y'  3x  66 x  120  y"  x  66  y' 2  3.22  66.2  120  Ta có  hàm số đạt cực đại x  y"   66   54    2 Vậy m  thỏa mãn yêu cầu toán x2  4x  m Ví dụ 4: Định m để hàm số y  có cực đại cực tiểu 1 x Bài giải Tập xác định D    x2  x  m  Hàm số có cực đại, cực tiểu  y'  có hai nghiệm phân biệt y'  1  x    x2  x  m   có hai nghiệm phân biệt '  m    m  Ví dụ 5: Cho hàm số y  x3  mx   m   x  2m  Tìm m để hàm số có hai cực trị A 1  m  B 2  m  C m  2  m  D m  1  m  Bài giải Tập xác định D   y'  x  2mx  m  Hàm số có hai cực trị  y'  có hai nghiệm phân biệt '  m2   m    m2  m    m  1  m  Chọn đáp án D Để thuận tiện cho việc giải nhanh câu hỏi trắc nghiệm ta có ghi nhơ sau Ghi nhớ Xét hàm số y  ax3  bx  cx  d  a   Ta có y'  3ax  2bx  c  Hàm số cực trị  b2  3ac   Hàm số có hai cực trị  b2  3ac  Khi đó, gọi x1 ,x2 hoành độ hai cực trị 2b  x  x    3a ta có tính chất sau  c  x x   3a Biên soạn : Ths Lê Hoài Vũ Trang : www.hoctoan.ga Ví dụ 6: Tìm m để hàm số y  x3  3mx  3 m  1 x  2m  có hai cực trị thỏa mãn xCD  xCT  A m  0,m  B m  1,m  C m  0,m  D m  2 Bài giải 2 xCD  xCT    xCD  xCT     xCD  xCT   xCD xCT  m  Chọn đáp án C   2m    m  1   4m2  4m    m   Ghi nhớ Xét hàm số y  ax3  bx  cx  d  a   Lấy y chia cho y' ta phân tích y  p  x  y'  rx  q cực trị y'  nên đường thẳng qua cực trị y  rx  q Ví dụ 7: Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y  x3  mx   m  1 x  m  có hai điểm cực trị cho hai điểm cực trị điểm A  0;  thẳng hàng Bài giải Ta có y'  x  2mx  m  m 1 Lấy y chia y' ta y   x   y'   m2  m  1 x  m   m  m  1 3 3 3 Suy đường thẵng qua hai cực trị : d : y    m2  m  1 x  m   m  m  1 Hai 3 m  cực trị A  0;  thẳng hàng d qua A  0;   m2  4m  12     m  6 Đối với hàm bậc trùng phương y  ax  bx  c  a   x  Ta có y'  4ax  2bx    b x  2a  Đến có ghi nhớ sau Biên soạn : Ths Lê Hoài Vũ a Trang : www.hoctoan.ga Ghi nhớ Hàm bậc trùng phương có cực trị, số cực trị hàm phụ thuộc vào số nghiệm phương trình  a  Cụ thể b  Nếu   tức a,b dấu b  phương trình  a  vô nghiệm 2a có nghiệm x  , hàm số có cực trị x  b  Nếu   tức a,b trái dấu phương trình  a  có hai nghiệm phân biệt khác 2a b 0, hàm số có ba cực trị x  0,x   Cụ thể 2a b o a  0,b  hàm số có hai cực tiểu x   cực đại x  2a b o a  0,b  hàm số có hai cực đại x   cực tiểu x  2a Hình vẽ minh họa dạng đò thị hàm bậc trùng phương a  0,b  a  0,b  a  0,b  a  0,b  Ví dụ 8: Tìm tham số m để hàm số y  mx   2m  3 x  có ba cực trị Biên soạn : Ths Lê Hoài Vũ Trang : www.hoctoan.ga A m  B m  C  m  D m   m  Bài giải Chọn C Ví dụ 9: Tìm tham số m để hàm số y  mx   m2  2m  3 x  5m  có hai cực tiểu Hàm số có ba cực trị  m  2m  3    m  cực đại A m  B 1  m  C m  Bài giải Hàm số có hai cực tiểu cực đại m     m  Chọn D m  m    D  m   Từ ghi nhớ ta có a.b  hàm y  ax  bx  c có ba cực trị A  0;c  , B     b  ;  , 2a 4a   b  C   ;   với   b2  4ac Hơn từ hình vẽ ta nhận thấy ABC cân A 2a 4a   Ta có ghi nhớ sau Ghi nhớ    Tam giác ABC vuông cân  AB.AC   Tam giác ABC  AB2  BC  Diện tích tam giác ABC tính S  BC.AH với H trung điểm  b2  BC  H  0;    AH  4a  4a  Ví dụ 10 Cho hàm số y  x  2mx  m  Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác A m  B m  3 C m  D m  Bài giải Để hàm số có ba cực trị 2m   m  Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A  0;m  1 , B  m; m2  m  , C     m; m2  m  Khi ta có AB2  m  m4 , BC  4m Tam giác ABC m   AB  BC  m  m4  4m   m  Vậy m  3 chọn B Biên soạn : Ths Lê Hoài Vũ Trang : www.hoctoan.ga  Nhận xét Trong trường hợp tổng quát ta có A  0;c  , B     b  ;  , 2a 4a  2   b    b4 b b   C   ;   suy AB      c    2a   4a  16a 2a 2a 4a     b4 b b b  b3 b3 b Và BC  nên AB  BC          24   16a 2a 2a 2a  8a a 2a  Với nhận xét ta hoàn toàn giải nhanh ví dụ 10 sau  2m   24  m3   m  3 Nhưng tất nhiên việc nhớ nhiều công b3  24  a thức khiến bạn bị hao tốn nhớ Ví dụ 11 Cho hàm số y  x   m  1 x  m2 Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực rị tạo thành tam giác vuông A m  1 B m  C m  D m  Bài giải Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị  2  m  1   m    m  1   Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A  0;m2  , B  m  1; 2m  , C    m  1; 2m  Suy AB   m  1; m2  2m  , AC         m  1; m2  2m   m  1 m   Tam giác ABC vuông  AB.AC     m  1   m  1    Chọn đáp án C Ở ta có nhận xét tương tự ví dụ ta chứng minh để tam giác ABC tam giác vuông b3  8 việc chứn minh hệ thức kha đơn giản dành cho a bạn đọc tự chứng minh Một số tập rèn luyện Cho hàm số y  x4  2( m  )x2  m (1).Tìm m để đồ thị hs (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC, A cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại ĐS: m =  2 (thỏa m > -1) Cho hàm số y  x4  2mx2  m  (1), Xác định m để hs (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị a/ Tạo thành tam giác ĐS: b/ Tạo thành tam giác vuông ĐS: c/ Tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp Biên soạn : Ths Lê Hoài Vũ Trang : www.hoctoan.ga II CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Nhận biết Câu 1: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Hàm số có cực trị A B C D Câu 2:Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Hàm số có cực trị A B C D y x -3 -2 -1 -1 -2 -3 Câu 3:Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: Phát biểu sau đúng? A Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu (0;3), điểm cực đại (2;-1) B Đồ thị hàm số có điểm cực đại (0;3), điểm cực tiểu (2;-1) C Đồ thị hàm số có điểm cực đại (3;0), điểm cực tiểu (-1;2) D Hàm số đạt cực đại cực tiểu -1 Câu 4: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: Phát biểu sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = B Hàm số có cực trị C Giá trị cực tiểu hàm số D Hàm số đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = -1 Biên soạn : Ths Lê Hoài Vũ Trang : www.hoctoan.ga Câu 5: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình vẽ Phát biểu sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x  1 cực tiểu x  B Hàm số đạt cực đại x  2 cực tiểu x  C Hàm số đạt cực đại x  cực tiểu x  1 D Hàm số có ba cực trị Câu 6: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình vẽ Phát biểu sau đúng? A Hàm số có ba cực trị B Hàm số có hai cực trị C Hàm số có cực trị D Hàm số cực trị x4  x  Hàm số đạt cực đại tại: A x  2 B x  C x  D x  2 x Câu 8: Cho hàm số f ( x)   x  Hàm số đạt cực tiểu tại: A x  B x  4 C x  D x  Câu 7: Cho hàm số f ( x)  Câu 9: Hàm số y  x  x  đạt cực trị điểm có hoành độ là: A B C -1 D 2 Câu 10: Cho hàm số y   x  Câu nào sau đúng ? A Hàm số đạt cực đại x  B Hàm số đạt cực tiểu x  C Hàm số cực đại D Hàm số nghịch biến Câu 11: Cho hàm số y = –x + 3x – 3x + 1, mệnh đề sau đúng? A Hàm số nghịch biến B Hàm số đồng biến; C Hàm số đạt cực đại x = D Hàm số đạt cực tiểu x = Câu 12: Đồ thi hàm số sau có điểm cực trị? A y  x  x  B y  x  x  C y  x  x  D y   x  x  Câu 13: Đồ thi hàm số sau có cực trị? Biên soạn : Ths Lê Hoài Vũ Trang : www.hoctoan.ga A y  x  x  B y  x3  x  x2 2x  D y  x  x  C y  Câu 14: Cho hàm số y  x  x  , mệnh đề sau đúng? A cực tiểu cực đại B cực đại cực tiểu C cực tiểu hai cực đại D cực đại hai cực tiểu Câu 15: Tìm điểm cực tiểu hàm số y  x  x2  x  A x  B x  C x  1 Câu 16: Tìm điểm cực tiểu đồ thị hàm số y  x3  3x2  A  2;0  B  0;  C  0;0  Câu 17: Tìm giá trị cực tiểu hàm số y  f  x   x3  3x 1 A f CT  1 B f CT  C fCT  3 D x   D  2; 16  D f CT  Câu 18: Tìm điểm cực tiểu đồ thị hàm số y   x3  x 2   2 A  1;   B 1;  C 1;0  D  1;0  3   3 Câu 19: Tìm điểm cực tiểu hàm số y   x3  3x2  A x  B x  C x  2 D x  Câu 20: Tìm giá trị cực tiểu hàm số y  f  x    x  3x 1 A fCT  3 B f CT  C f CT  D fCT  Câu 21: Hàm số y  x  x đạt cực tiểu A x  1 B x  C x  D x  1 Câu 22: Điểm cực tiểu đồ thị hàm số y   x  x  A  0; 1 B  0;1 C  1;0  D 1;0  Câu 23: Điểm cực đại đồ thị hàm số y  x  x  A  0;3 B  0;1 C  1;  D 1;  Câu 24: Điểm cực tiểu hàm số y  x4  8x2  A x  B x  2 C x  D x  2 Câu 25: Số điểm cực tiểu hàm số y  x  x  A B C D Câu 26: Cho hàm số y  x  x  Mệnh đề ? A Cực tiểu hàm số B Cực tiểu hàm số C Cực tiểu hàm số -1 D Cực tiểu hàm số 1 Câu 27: Cho hàm số f có đạo hàm cấp ( a;b ) chứa x0 Chọn khẳng định khẳng định sau đây? Biên soạn : Ths Lê Hoài Vũ Trang : 10 www.hoctoan.ga  f '( x0 )  A Nếu  hàm số f đạt cực đại điểm x0 f ''( x )  0   f '( x0 )  B Nếu  hàm số f đạt cực tiểu điểm x0  f ''( x0 )  C Nếu f '( x0 )  hàm số f đạt cực trị điểm x0  f '( x0 )  D Nếu  hàm số f đạt cực trị điểm x0 f ''( x )  0  Thông hiểu Câu 28: Bảng biến thiên sau phù hợp với hàm số nào? A B C D y y y y  2x3  6x  2x3  6x  2x3  6x   2x3  6x – Câu 29: Bảng biến thiên sau phù hợp với hàm số nào? 2x  x 1 2 x  C y  x 1 2 x  x 1 2x  D y  x 1 A y  B y  Câu 30:Bảng biến thiên sau phù hợp với hàm số nào? A B C D y  x4  x2 y   x4  x2 y   x4  x2 y  x4  2x2  Câu 31: Giá trị cực tiểu hàm số y   x3  x  A 10 B C 14 D  Câu 32: Điểm cực đại đồ thị hàm số y  x3  x  là: Biên soạn : Ths Lê Hoài Vũ Trang : 11 www.hoctoan.ga  50   50  B  ;  C  0;2  D  ;   27   27  Câu 33: Hàm số f có đạo hàm f '( x)  x ( x  1)2 (2 x  1) Số điể m cực tri ̣của hàm số là: A B C D A  2;0  Câu 34 : Cho hàm số y  x3 – 3x  Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 Khi x1  x2 A B C D 3 Câu 35: Điểm cực tiểu đồ thị hàm số y  3x  x là: 1      1  A  ; 1 B   ;1 C   ; 1 D  ;1 2      2  Câu 36: Số cực trị hàm số y  4 x  x  là: A B C D Câu 37: Giá trị cực đại hàm số y  x3  3x  là: B C D 1 Câu 38: Hàm số y  x  đạt cực trị điểm có hoành độ là: x A B C -1 D -1;1 A Câu 39: Giá trị cực tiểu hàm số y  x  x  là: A 1 B C Câu 40: Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai ? A Hàm số y  2 x   cực trị x2 B Hàm số y  x   D 1 có hai cực trị x 1 C Hàm số y  –x3  3x – có cực đại cực tiểu D Hàm số y  x3  3x  có cực trị Câu 41:Hàm số f  x  có đạo hàm f '  x   x  x   Số cực trị hàm số là: A B C D 2 Câu 42:Hàm số f  x  có đạo hàm f '  x   x  x  1  x   Số cực trị hàm số là: A B C D 2 Câu 43:Hàm số f  x  có đạo hàm f '  x   x  x  1 Số cực trị hàm số là: A B C D 3 Câu 44:Hàm số f  x  có đạo hàm f '  x   x  x  1  x   Số cực trị hàm số là: A B C D Biên soạn : Ths Lê Hoài Vũ Trang : 12 www.hoctoan.ga Vận dụng Câu 45: Cho đường cong y  x3  3x Gọi  đường thẳng nối liền cực đại cực tiểu Khi  đường thẳng A qua điểm M(-1; -2) B qua điểm M(1; -2) C song song với trục hoành D không qua gốc toạ độ Câu 46: Xác định m để hàm số y  x  3mx  3 m2  1 x  m đạt cực tiểu x  A m  m  B m  C m  D m  1 Câu 47: Tìm giá trị tham số m để hàm số y    m  5m  x  6mx  x  đạt cực tiểu x  A m  3 B m  2 C m  m  2 D m  Câu 48: Tìm m để hàm số y  x  mx  có cực trị A m = B m ≠ C m ≥ D m > Câu 49: Xác định m để hàm số y  x  3mx  (m  1) x  đạt cực tiểu x = A m  B m  C m  1 D m  Câu 50: Với giá trị m, hàm số y  x  3x  mx đạt cực tiểu x  A m  B m  C m  D m  Câu 51: Tìm m để hàm số y  x  2(m  1) x  m có cực tri?̣ A m  B m  1 C m  D m  1 Câu 52: Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số y  x  2mx  m2  m có điểm cực trị A m  B m  C m  D m  B   m  Câu 53: Cho hàm số y  x3  mx2  mx  Tìm m để hàm số cực trị : A m  C 1  m  D m  1 x2 + x  m Câu 54 : Tìm m để hàm số y  đạt cực tiểu cực đại? x 1 A m  B m  C m  2 D m  2 Câu 55 : Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ bên Kết luận sau A Hàm số y  f  x  có cực trị B Hàm số y  f  x  đạt cực đại x  C Hàm số y  f  x  đạt cực tiểu x  1 cực đại x  D Hàm số y  f  x  đạt cực tiểu x  cực đại x  1 y -3 -2 -1 -1 -2 -3 Biên soạn : Ths Lê Hoài Vũ Trang : 13 x www.hoctoan.ga Câu 56 : Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ bên Kết luận sau A Hàm số y  f  x  có cực trị B Hàm số y  f  x  đạt cực đại x   C Hàm số y  f  x  đạt cực tiểu x  2 cực đại x  D Hàm số y  f  x  đạt cực tiểu x  cực đại x  2 y -6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Câu 57 : Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ bên Kết luận sau A Hàm số y  f  x  có cực trị B Hàm số y  f  x  có cực tiểu C Hàm số y  f  x  cực trị D Giá trị cực tiểu hàm số y  Câu 58 : Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ bên Kết luận sau A Hàm số y  f  x  có cực tiểu B Hàm số y  f  x  có cực cực đại C Hàm số y  f  x  cực trị D Hàm số đạt cực đại x  Câu 59: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ bên Kết luận sau A Hàm số y  f  x  có cực trị B Hàm số y  f  x  có hai cực trị C Hàm số y  f  x  cực trị D Hàm số có ba cực trị Biên soạn : Ths Lê Hoài Vũ Trang : 14 x 1.5 2.5 3.5 4.5 www.hoctoan.ga Vận dụng cao Câu 60: Cho hàm số y  x3   m   x  3mx  m Tìm giá trị tham số m để hàm số 1 có cực đại, cực tiểu x1; x2 thỏa   2x1x2 ? x1 x2 2 C m  D m  3 Câu 61: Tìm m để đồ thị hàm số y  x  2(m  1) x  m có điểm cực trị tạo thành đỉnh tam giác vuông B m  C m  D m  A m  A m  1 B m  1, m  Câu 62: Cho hàm số y  x3  3mx  4m3 có đồ thị ( Cm ) Xác định m để (Cm ) có điểm cực đại, cực tiểu đối đối xứng qua đường thẳng (d) : y  x 1 A m   B m   C m  D m   ;m  2 1 Câu 63: Cho hàm số y  mx3   m  1 x  3 m   x  Với giá trị m hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  ? 2 A m  2; m  B m  2; m  C m  1; m  D m  ; m  3 Câu 64: Tìm tham số m cho khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số y  x3  3mx  m2  x  m3  3m đến gốc tọa độ nhỏ   A m  B m  1 C m  D m  4 2 Câu 65: Cho hàm số y  x   m   x  m  5m   Cm  Với giá trị m đồ thị  Cm  có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời cực đại cực tiểu tạo thành tam giác B m   C m   3 D m   3 A m   Câu 66: Hàm số y  x  2mx có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông Khi giá trị m A B C D Câu 67: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y  x4  2mx  2m  m4 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác A m  B m  3 C m  3 D m  Câu 68: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y  x  2mx  2m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích Biên soạn : Ths Lê Hoài Vũ Trang : 15 www.hoctoan.ga A m  B m  C m  D m  1 Câu 69: Biết A 1;  ,B  3; 4  điểm cực trị đồ thị hàm số y  ax3  bx  cx  d  a   Tính giá trị hàm số x  A y 1  B y 1  2 Biên soạn : Ths Lê Hoài Vũ C y 1  D y 1  Trang : 16 ...  1 D Hàm số có ba cực trị Câu 6: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình vẽ Phát biểu sau đúng? A Hàm số có ba cực trị B Hàm số có hai cực trị C Hàm số có cực trị D Hàm số cực trị x4... Câu 25: Số điểm cực tiểu hàm số y  x  x  A B C D Câu 26: Cho hàm số y  x  x  Mệnh đề ? A Cực tiểu hàm số B Cực tiểu hàm số C Cực tiểu hàm số -1 D Cực tiểu hàm số 1 Câu 27: Cho hàm số f có... Số cực trị hàm số là: A B C D 2 Câu 43 :Hàm số f  x  có đạo hàm f '  x   x  x  1 Số cực trị hàm số là: A B C D 3 Câu 44 :Hàm số f  x  có đạo hàm f '  x   x  x  1  x   Số cực