BÀI TOÁN TIẾP ĐIỂM Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M0 ∈ (C) thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Bước 1: Giả sử M0 ∈ (C) với y0 = f(x0) Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới phương trình (hoặc bất phương trình) theo x0, từ suy y0 kết luận điểm cần tìm Loại 1: Tìm điểm liên quan tới tiếp tuyến VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 1: Tìm đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng điểm mà tiếp tuyến đồ thị Giải Gọi M0(x0; y0) ∈ (C) ⇔ Tiếp tuyến ∆ điểm M có hệ số góc: k1 = y’(x0) = x02 – với y’ = x2 – Đường thẳng d: có hệ số góc Theo giả thiết: ∆ ⊥ d ⇔ k1.k2 = -1 ⇔ ( Vậy có hai điểm thỏa mãn )( ( ) ) ⇔ ( ⇔[ ) Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 – 3x + (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d có phương trình y = -3x + cho từ M kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến vuông góc với Giải Gọi M(a; b) điểm cần tìm M thuộc d nên b = -3a + Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm (x0; y0) là: y= (3x02 – 3)(x – x0) + x03 – 3x0 + >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tiếp tuyến qua M(a; b) ⇔ - 3a + =(3x02 – 3)(a – x0) + x03 – 3x0 + ⇔2x03 – 3ax02 = ⇔ x0 = x0 = Có hai tiếp tuyến qua M với hệ số góc là: k1 = f’(0) = -3 k2 = ( ) Hai tiếp tuyến vuông góc với ⇔k1.k2 = -1 ⇔ √ ⇔ Vậy có hai điểm thỏa mãn đề là: √ ( √ ) Ví dụ 3: Cho hàm số y =x(x2 – 1) (1) Tìm (C) hai điểm M, N phân biệt cho MN = tiếp tuyến với (C) hai tiếp điểm M, N song song với Giải Xét điểm M(x1; y1), N(x2; y2) phân biệt (C) Các tiếp tuyến với (C) hai tiếp điểm M, N song song với nên kM = kN ⇔3x12 – = 3x22 – => x1 = -x2 (loại trường hợp x1 = x2 M, N phân biệt) Suy M(x1, x13 – x1), N(-x1, - x13 + x1) đối xứng qua O Do MN = ⇔ OM = ⇔ x12 + (x13 – x1)2 = ⇔x16 – 2x14 + 2x12 – 1= ⇔ x12 = Vậy M(1;0), N(-1;0) hai điểm cần tìm Ví dụ 4: Cho hàm số có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm tọa độ điểm M (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng IM Giải Hàm số cho Xét M(a;b) ∈ (C) => b = - ( ) ( ( ) ) Hệ số góc tiếp tuyến với (C) M k1 = y’(a) = ( ) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Hệ số góc IM ( ) Theo đề =>k1.k2 = - ⇔ (a + 4)4 = ⇔ a + = √ √ ⇔[ √ √ √ Vậy điểm phải tìm ( √ )( √ √ ) √ Ví dụ 5: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) y = x3 – 3x2 +1 cho tiếp tiếp (C) A B song song với đồ thị đoạn AB = √ Giải Giả sử A(a; a3 – 3a2 +1), B(b; b3 – 2b2 + 1) (a ≠ b) Vì tiếp tuyến (C) A B song song suy y’(a) = y’(b) ⇔ (a – b) (a + b – 2) = ⇔a + b – = ⇔ b = – a =>a ≠ (Vì a ≠ b) AB2 = (b – a)2 + (b3 – 3b2 +1 – a3 + 3a2 -1)2 = 4(a – 1)6 – 24 (a – 1)4 + 40 (a – 1)2 AB = 4√ ⇔ 4(a – 1)6 – 24(a – 1)4 +40 (a – 1)2 = 32 ⇔ * =>A(3;1) B(-1; -3) Ví dụ 6: Cho hàm số Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ điểm I(-1; 2) tới tiếp tuyến (C) M lớn Giải Giả sử ( ) ∈ ( ) tiếp tuyến M có phương trình ( ) ( ) hay (x – x0) – (x0 +1)2 (y – 2) – (x0 + 1) = Khoảng cách từ I(-1; 2) tới tiếp tuyến là: ( ) √ ( ( ) ) √ ( ) √ ( ) ( ) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Theo bất đẳng thức Cô si ( ( ) ) √ , Vậy d Khoảng cách d lớn √ ( ) ( ) ⇔( ) ⇔[ Vậy có hai điểm M: M(-2; 3) M(0;1) Ví dụ 7: Cho hàm có đồ thị (C) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn Giải ) ∈ ( ) Ta có: ( Lấy điểm Tiếp tuyến d M có phương trình: ( ) ( ) ( ) ( Giao điểm d với tiệm cận đứng là: ( ) ) Giao điểm d với tiệm cận ngang là: B(2x0 – 2; 2) *( Ta có: ) ( ) + ( ) ( ( Dấu “=” xảy [ ( ) √ ) ) Vây điểm M cần tìm có tọa độ là: M(2;2) Ví dụ 8: Cho hàm số có đồ thị (C) Gọi I giao điểm đường tiệm cận (C) Tìm điểm M (C) cho tiếp tuyến với (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có chu vi nhỏ Giải Với x0 ≠ 1, tiếp tuyến (d) với (C) ( ) ( ( ) có phương trình: ) Đường thẳng d cắt tiệm cận đứng A( ) Đường thẳng d cắt tiệm cận ngang B(2x0 – 1; 1) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Tam giác IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có đường kính AB Goi P chu vi đường tròn, ta có: P = π.AB P nhỏ AB nhỏ nhất, ta có: √( ) √ ( ( ) ( ) ⇔( ) ( ) √ Dấu xảy khi: ( ) Với ta có M(0;0) Với ta có M(2;2) Ví dụ 9: Cho hàm số ) ⇔[ có đồ thị (C) Gọi H giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận A B thỏa mãn IA2 + IB2 = 40 Giải TCĐ (d1): x =-1, TCN (d2): y = =>I(-1;2) Gọi Phương trình tiếp tuyến với (C) M: (∆): ( )∈( ) ( ( ) ( ) ) Tọa độ điểm A =(∆) ∩ (d1) nghiệm hệ { ( ) ( ) ( ) Theo giả thiết: IA2 + IB2 = 40 ⇔ {( ( ⇔{ ) ( ( ) ) ) ⇔x0 = => y0 = =>M(2; 1) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ( ) Gọi M điểm đồ thị (C), tiếp tuyến M Ví dụ 10: Cho hàm số cắt tiệm cận (C) A, B Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác ABI nhỏ (I giao điểm hai tiệm cận) Giải Gọi ( )∈( ) Tiếp tuyến M có phương trình: ( ) ( ) Giao điểm với tiệm cận đứng x = -1 ( ) Giao điểm với tiệm cận ngang y = B(2a +1; 2) Giao hai tiệm cận I(-1;2) Ta có √ √ (PIAB)min = √ √ ⇔ √ Vậy điểm M( √ => ( ) √ √ √ ) thỏa mãn >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ... = ⇔ x12 + (x13 – x1)2 = ⇔x16 – 2x14 + 2x12 – 1= ⇔ x12 = Vậy M(1;0), N(-1;0) hai điểm cần tìm Ví dụ 4: Cho hàm số có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm tọa độ điểm M (C) cho tiếp. .. Vậy có hai điểm thỏa mãn đề là: √ ( √ ) Ví dụ 3: Cho hàm số y =x(x2 – 1) (1) Tìm (C) hai điểm M, N phân biệt cho MN = tiếp tuyến với (C) hai tiếp điểm M, N song song với Giải Xét điểm M(x1; y1),... ) ⇔[ Vậy có hai điểm M: M(-2; 3) M(0;1) Ví dụ 7: Cho hàm có đồ thị (C) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn Giải ) ∈ ( ) Ta có: ( Lấy điểm Tiếp tuyến d M có