S GIO DC V O TO PH TH K THI TUYN SINH VO LP 10 TRUNG HC PH THễNG CHUYấN HNG VNG NM HC 2015-2016 Mụn Toỏn (Dnh cho thớ sinh thi vo lp chuyờn Toỏn) Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao thi cú 01 trang CHNH THC Cõu (1,5 im) a) Chng minh rng nu s nguyờn n ln hn tho n + v n + 16 l cỏc s nguyờn t thỡ n chia ht cho b) Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: x y ( x y ) = 2( x + 1) Cõu (2,0 im) a) Rỳt gn biu thc: A = ( 3+ ) 2 + 3+ + ( ) 2 b) Tỡm m phng trỡnh: ( x ) ( x 3) ( x + ) ( x + 5) = m cú nghim phõn bit Cõu (2,0 im) a) Gii phng trỡnh: x x = x ( x ) x + xy 10 y = b) Gii h phng trỡnh: 2 x + y = 10 Cõu (3,5 im) Cho ng trũn (O; R) v dõy cung BC = R c nh im A di ụng trờn cung ằ cho tam giỏc ABC nhn Gi E l im i xng vi B qua AC v F l im ln BC i xng vi C qua AB Cỏc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc ABE v ACF ct ti K (K khụng trung A) Gi H l giao im ca BE v CF ã a) Chng minh KA l phõn giỏc gúc BKC v t giỏc BHCK nụi tip b) Xỏc nh v trớ im A din tớch t giỏc BHCK ln nht, tớnh din tớch ln nht ca t giỏc ú theo R c) Chng minh AK luụn i qua mụt im c nh Cõu (1,0 im) Cho s thc dng x, y, z tha món: 1 + + = Tỡm giỏ tr nh nht ca x y z biu thc: y2 z2 z x2 x2 y P= + + x ( y2 + z ) y ( z + x2 ) z ( x2 + y ) HT -H v tờn thớ sinh: Sụ bao danh: Thớ sinh khụng c s dng ti liu Can b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm S GIO DC V OTO PH TH CHNH THC K THI TUYN SINH VO LP 10 TRUNG HC PH THễNG CHUYấN HNG VNG NM HC 2015-2016 HNG DN CHM MễN: TON (Dnh cho thớ sinh thi vo lp chuyờn Toỏn) (Hng dn chõm gm 05 trang) I Mt s chỳ ý chm bi Hng dõn chm thi di õy da vo li gii s lc ca mụt cỏch, chm thi, cỏn bụ chm thi cn bỏm sỏt yờu cu trỡnh by li gii y , chi tit, hp lụ-gic v cú th chia nh n 0,25 im Thớ sinh lm bi theo cỏch khỏc vi Hng dõn m ỳng thỡ t chm cn thng nht cho im tng ng vi thang im ca Hng dõn chm im bi thi l tng im cỏc cõu khụng lm trũn s II ỏp ỏn-thang im Cõu (1,5 im) a) Chng minh rng nu s nguyờn n ln hn tho n + v n + 16 l cỏc s nguyờn t thỡ n chia ht cho b) Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: x y ( x y ) = 2( x + 1) Ni dung im a) (0,5 im) Ta cú vi mi s nguyờn m thỡ m chia cho d , hoc 0,25 + Nu n chia cho d thỡ n = 5k + n + = 5k + M5; k Ơ * nờn n + khụng l s nguyờn t + Nu n chia cho d thỡ n = 5k + n + 16 = 5k + 20M5; k Ơ * 0,25 nờn n + 16 khụng l s nguyờn t Vy n M hay n chia ht cho b) (1,0 im) x y ( x y ) = 2( x + 1) x 2( y + 1) x + 2( y 1) = (1) 0,25 phng trỡnh (1) cú nghim nguyờn x thỡ ' theo y phi l s chớnh phng Ta cú ' = y + y + y + = y + y + = ( y 1) 0,25 ' chớnh phng nờn ' { 0;1;4} + Nu ' = ( y 1) = y = thay vo phng trỡnh (1) ta cú : x = x2 4x = x ( x 4) = x = + Nu ' = ( y 1) = y  0,25 y = + Nu ' = ( y 1) = y = + Vi y = thay vo phng trỡnh (1) ta cú: x x + 16 = ( x ) = x = + Vi y = thay vo phng trỡnh (1) ta cú: x = x = Vy phng trỡnh (1) cú nghim nguyờn : ( x; y ) { ( 0;1) ; ( 4;1) ; ( 4;3) ; ( 0; 1) } 0,25 Cõu (2,0 im) a) Rỳt gn biu thc: A = ( 3+ ) 2 + 3+ + ( ) 2 b) Tỡm m phng trỡnh: ( x ) ( x 3) ( x + ) ( x + ) = m cú nghim phõn bit Ni dung a) (1,0 im) A= 2(3 + 5) 4+ 6+2 + 2(3 5) im 0,25 62 3+ 5 3+ 5 = = + 5+ + 5 ữ ữ + ( + 1) ( 1) (3 + 5)(5 5) + (3 5)(5 + 5) 15 + 5 + 15 + 5 = ữ = ữ 25 (5 + 5)(5 5) 20 = = Vy A = 20 b) (1,0 im) 2 Phng trỡnh ( x ) ( x 3) ( x + ) ( x + ) = m ( x + x 8)( x + x 15) = m ( 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 t x + x + = ( x + 1) = y ( y ) , phng trỡnh (1) tr thnh: ( y ) ( y 16 ) = m y 25 y + 144 m = (2) Nhn xet: Vi mụi giỏ tr y > thỡ phng trỡnh: ( x + 1) = y cú nghim phõn bit, ú phng trỡnh (1) cú nghim phõn bit phng trỡnh (2) cú nghim dng phõn bit ' > ' = 4m + 49 > 49 S > 25 > < m < 144 P > 144 m > 49 < m < 144 thỡ phng trỡnh (1) cú nghim phõn bit Cõu (2,0 im) Vy vi 0,25 0,25 0,25 a) Gii phng trỡnh: x x = x ( x ) x + xy 10 y = b) Gii h phng trỡnh: 2 x + y = 10 Ni dung a) (1,0 im) iu kin: x (*) 2 Ta cú: x x = x ( x ) x + x x + x 2( x + x 1) = t x + x = y (iu kin: y ( **) ), phng trỡnh tr thnh y y = y = y y = ( y + 1) ( y 3) = y = +Vi y = khụng tha iu kin (**) + Vi y = ta cú phng trỡnh: im 0,25 0,25 0,25 0,25 x x x x = x x = x = 2 x = 6x + x x x + 10 = x = x + x = tha iu kin (*) Vy phng trỡnh cú nghim x = b) (1,0 im) x + xy x + y y = (1) x + xy 10 y = 2 2 x + y = 10 (2) x + y = 10 T phng trỡnh (1) ta cú x + xy ( x + y ) y = x + xy x y y = ( ) x x y + x y xy + 3xy y = ( x y ) ( x + xy + y 2 2 0,25 ) =0 x = 2y ( x y ) ( x + xy + y ) = 2 x + xy + y = y 11 y 2 =0 x= y =0 + Trng hp 1: x + xy + y = x + ữ + Vi x = y = khụng tha phng trỡnh (2) + Trng hp 2: x = y thay vo phng trỡnh (2) ta cú: y =1 x = y + y = 12 y = y = x = 0,25 0,25 0,25 Vy h phng trỡnh cú nghim ( x ; y ) { ( 2;1) ; ( 2; 1) } Cõu (3,5 im) ằ Cho ng trũn (O; R) v dõy cung BC = R c nh im A di ụng trờn cung ln BC cho tam giỏc ABC nhn Gi E l im i xng vi B qua AC v F l im i xng vi C qua AB Cỏc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc ABE v ACF ct ti K (K khụng trung A) Gi H l giao im ca BE v CF ã a) Chng minh KA l phõn giỏc gúc BKC v t giỏc BHCK nụi tip b) Xỏc nh v trớ im A din tớch t giỏc BHCK ln nht, tớnh din tớch ln nht ca t giỏc ú theo R c) Chng minh AK luụn i qua im c nh Ni dung im a) (1,5 im) Ta cú ãAKB = ãAEB (vỡ cung chn cung ằAB ca ng trũn ngoi tip tam giỏc AEB) M ãABE = ãAEB (tớnh cht i xng) suy ãAKB = ãABE (1) ãAKC = ãAFC (vỡ cung chn cung ằAC ca ng trũn ngoi tip tam giỏc AFC) ãACF = ãAFC (tớnh cht i xng) suy ãAKC = ãACF (2) ã Mt khỏc ãABE = ãACF (cung phu vi BAC ) (3) T (1), (2) , (3) suy ãAKB = ãAKC ã hay KA l phõn giỏc ca gúc BKC Gi P, Q ln lt l cỏc giao im ca BE vi AC v CF vi AB 1ã ã = 1200 ; ãBAC = BOC = 600 Trong tam giỏc vuụng ABP Ta cú BC = R nờn BOC cú ãAPB = 900 ; ãBAC = 600 ãABP = 300 hay ãABE = ãACF = 300 T giỏc APHQ cú ãAQH + ãAPH = 1800 PAQ ã ã ã ã + PHQ = 1800 PHQ = 1200 BHC = 1200 (i inh) Ta cú ãAKC = ãABE = 300 , ãAKB = ãACF = ãABE = 300 (theo chng minh phn a) ã ã ã M BKC = ãAKC + ãAKB = ãAFC + ãAEB = ãACF + ãABE = 600 suy BHC + BKC = 1800 nờn t giỏc BHCK nụi tip b) (1,5 im) Gi (O) l ng trũn i qua bn im B, H,C, K Ta cú dõy cung BC = R 3, ã ã nờn bỏn kớnh ng trũn (O) bng bỏn kớnh R ca ng trũn (O) BKC = 600 = BAC Gi M l giao im ca AH v BC thỡ MH vuụng gúc vi BC, ke KN vuụng gúc vi BC (N thuục BC), gi I l giao im ca HK v BC 1 Ta cú S BHCK = S BHC + S BCK = BC.HM + BC KN = BC ( HM + KN ) 2 1 S BHCK BC ( HI + KI ) = BC.KH (do HM HI; KN KI ) 2 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Ta cú KH l dõy cung ca ng trũn (O; R) suy KH R (khụng i) nờn S BHCK ln nht KH = R v HM + KN = HK = R Giỏ tr ln nht S BHCK = R 3.2 R = R Khi HK l ng kớnh ca ng trũn (O) thỡ M, I, N trung suy I l trung im ằ ca BC nờn ABC cõn ti A Khi ú A l im chớnh gia cung ln BC c) (0,5 im) ã ã ã Ta cú BOC = 1200 ; ãBKC = 600 suy BOC + BKC = 1800 nờn t giỏc BOCK nụi tip ng trũn ằ = OC ả BKO ã ã ã Ta cú OB=OC=R suy OB hay KO l phõn giỏc gúc BKC = CKO ã theo phn (a) KA l phõn giỏc gúc BKC nờn K ,O, A thng hng hay AK i qua O c nh Cõu (1,0 im) 1 Cho s thc dng x, y, z tha món: + + = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: x y z 2 2 y z z x x2 y P= + + x ( y2 + z ) y ( z + x2 ) z ( x2 + y ) Ni dung P= + 0,25 0,25 0,25 0,25 im + 1 1 x + ữ y + ữ z + ữ x y y z z x 1 t = a; = b; = c thỡ a, b, c > v a + b + c = x y z a b c a2 b2 c2 P= 2 + + = + + b + c c + a a + b2 a ( a ) b ( b2 ) c ( c2 ) Ta cú 0,25 0,25 0,25 Ap dung bt ng thc Cụsi cho s dng ta cú 2a + a + a 2 2 a ( a ) = 2a (1 a )(1 a ) = ữ 2 27 a2 3 a (1 a ) a (1) a (1 a ) 3 b2 3 c2 3 b (2); c Tng t: 2 b(1 b ) c(1 c ) 2 (3) 3 3 a + b2 + c2 ) = ng thc xy a = b = c = ( 2 3 Vy giỏ tr nh nht ca P l 0,25 T (1); (2); (3) ta cú P hay x = y = z = HT 0,25 ...Thớ sinh khụng c s dng ti liu Can b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm S GIO DC V OTO PH TH CHNH THC K THI TUYN SINH VO LP 10 TRUNG HC PH THễNG CHUYấN HNG VNG NM HC 2015- 2016 HNG DN CHM... MễN: TON (Dnh cho thớ sinh thi vo lp chuyờn Toỏn) (Hng dn chõm gm 05 trang) I Mt s chỳ ý chm bi Hng dõn chm thi di õy da vo li gii s lc ca mụt cỏch, chm thi, cỏn bụ chm thi cn bỏm sỏt yờu cu... 2 x = 6x + x x x + 10 = x = x + x = tha iu kin (*) Vy phng trỡnh cú nghim x = b) (1,0 im) x + xy x + y y = (1) x + xy 10 y = 2 2 x + y = 10 (2) x + y = 10 T phng trỡnh (1) ta cú