PHÒNG GD&ĐT VIỆT YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015-2016 MÔN THI: Toán NGÀY THI: 28/ 3/ 2016 Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Câu 1: (4 điểm) Tính: a) A = + − − + + − − + + + 2013 + 2014 − 2015 − 2016 b) B = 2.4.10 + 4.6.8 + 14.16.20 3.6.15 + 6.9.12 + 21.24.30 Câu 2: (6 điểm) a) So sánh A = 102014 + 2016 102015 + 2016 B = 102015 + 2016 102016 + 2016 b) Tìm x biết: ( 1 1 119 + + + + ).x = 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 720 c) Chứng minh rằng: p p2+2 số nguyên tố p3+2 số nguyên tố Câu 3: (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để phân số 2n + phân số rút gọn n+2 b) Trong đợt tổng kết năm học trường THCS, tổng số học sinh giỏi ba lớp 6A, 6B, 6C 90 em Biết lớp 6B số học sinh giỏi lớp 6A số học sinh giỏi số học sinh giỏi lớp 6C Tính số học sinh giỏi lớp Câu 4: (4 điểm) · Cho tam giác ABC có ACB = 600 , AB=6cm Trên cạnh AB lấy điểm D (D khác A,B) cho AD=2cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BD · · b) Tính số đo DCB biết ACD = 200 · · c) Dựng tia Cx cho DCx = 900 Tính ACx d) Trên cạnh AC lấy điểm E (E khác A,C) Chứng minh hai đoạn thẳng CD BE cắt Câu 5: (2 điểm) Tìm ba số nguyên dương a, b, c cho: 1 + + = a b c HẾT -Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN Có trang HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Câu Đáp án 1.1 (2.0 Tính A = + − − + + − − + + + 2013 + 2014 − 2015 − 2016 điểm) Điểm Tính số số hạng A (2016 - 1) : + = 2016 số hạng 0,75 A = + − − + + − − + + + 2013 + 2014 − 2015 − 2016 Nhóm số hạng liên tiếp vào nhóm: A = (1 + − − 4) + (5 + − − 8) + + (2013 + 2014 − 2015 − 2016) A=− + (−4)424444444 + + (−4) 14444444 43= −4.504 = −2016 có 504 sô' Vậy A=-2016 1.2 (2.0 điểm) B= 0.75 0.5 2.4.10 + 4.6.8 + 14.16.20 3.6.15 + 6.9.12 + 21.24.30 2.4.10 + 4.6.8 + 14.16.20 8.(1.2.5 + 2.3.4 + 7.8.10) = = 3.6.15 + 6.9.12 + 21.24.30 27.(1.2.5 + 2.3.4 + 7.8.10) 27 Vậy B= 27 B= 1.75 0.25 2.1 102014 + 2016 102015 + 2016 B = 2016 (2.0 So sánh A = 2015 10 + 2016 10 + 2016 điểm) 102014 + 2016 (102014 + 2016)(102016 + 2016) = Ta có A = 2015 10 + 2016 (102015 + 2016)(102016 + 2016) 104030 + 2016.(102014 + 102016 ) + 20162 = (102015 + 2016)(102016 + 2016) = 104030 + 2016.102014.101 + 20162 (102015 + 2016)(102016 + 2016) (1) 102015 + 2016 (102015 + 2016)(102015 + 2016) = Ta có B = 2016 10 + 2016 (102016 + 2016)(102015 + 2016) 104030 + 2.2016.102015 + 20162 = (102016 + 2016)(102015 + 2016) = 104030 + 20.2016.102014 + 20162 (102016 + 2016)(102015 + 2016) 0.75 (2) Từ (1) (2) suy A>B Vậy A>B 1 1 119 2.2 + + + + ).x = Tìm x biết: ( (1) (2.0 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 720 điểm) Ta có: 0.75 1 1 + + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 0.25 0.25 1 1 1 = ( − + − + + − ) 1.2.3 2.3.4 2.3.4 2.3.4 7.8.9 8.9.10 1 1 119 = ( − )= 720 720 Nên từ (1) suy ra: 119 119 x = =>x=3 720 720 Vậy x=3 1,25 0.5 0.25 2.3 Chứng minh rằng: p p2+2 số nguyên tố p3+2 số nguyên tố (2.0 điểm) Ta nhận xét số nguyên tố lớn chia cho có dạng 0.5 * p=3k+1 p=3k+2 ( k ∈ N ) Với p=3k+1 p2+2=9k2+6k+3 chia hết cho Với p=3k+2 p2+2=9k2-6k+6 chia hết cho 0.5 Vì p nguyên tố nên p ≥ trường hợp p 2+2 lớn chia hết cho Tức p2+2 hợp số => p2+2 nguyên tố p=3 (khi p2+2=11 số nguyên tố) => p3+2=27+2=29 số nguyên tố Vậy p p2+2 số nguyên tố p3+2 số nguyên tố 2n + 3.1 Tìm số tự nhiên n để phân số phân số rút gọn (2.0 n+2 điểm) Gọi d ƯCLN(2n+1,n+2) (d ∈ N * ) Ta có 2n+1 Md, n+2 Md => [(2n+4)-(2n+1)] Md => Md Vì d ∈ N * nên d ∈ {1;3} 2n + rút gọn d=3 n+2 => n+2=3k ( k ∈ N * ) => n=3k-2 ( k ∈ N * ) 2n + Vậy với n=3k-2 ( k ∈ N * ) phân số phân số rút gọn n+2 Để phân số 0.75 0.25 0.75 0.75 0.5 Trong đợt tổng kết năm học trường THCS, tổng số học sinh giỏi ba lớp 6A, 3.2 6B, 6C 90 em Biết số học sinh giỏi lớp 6A số học sinh giỏi (2.0 điểm) lớp 6B số học sinh giỏi lớp 6C Tính số học sinh giỏi lớp Số học sinh giỏi lớp 6B : = ( số học sinh giỏi lớp 6A) 5 0.5đ Số học sinh giỏi lớp 6C : = ( số học sinh giỏi lớp 6A) 5 0.5đ Số học sinh giỏi lớp 1+ 0.5đ + = ( số học sinh giỏi lớp 6A) 5 Vậy số học sinh giỏi lớp 6A 90: = 30 học sinh, lớp 6B 36 học sinh 0.5đ lớp 6C 24 học sinh Cho tam giác ABC có ·ACB = 600 , AB=6cm Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD=2cm a) Tính độ dài đoạn thẳng BD (4.0 b) Tính số đo góc DCB biết ·ACD = 200 điểm) c) Dựng tia Cx cho DCx · = 900 Tính ·ACx d) Trên cạnh AC lấy điểm E Chứng minh hai đoạn thẳng CD BE cắt E E Trường hợp Trường hợp a) D nằm A B => AD+BD=AB=>BD=6-2=4cm 0.75 KL 0.25 b) Tia CD nằm hai tia CA tia CB · · => ·ACD + DCB = ACB 0.75 · => DCB =40 0.25 KL c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Hai tia CD Cx nằm phía so với đường thẳng CB Tính góc ACx = 900- ·ACD = 700 0.5 K.L - Trường hợp 2: Hai tia CD Cx nằm hai phía so với đường thẳng CB Tính góc ACx = 900 + ·ACD = 1100 0.5 K.L - Xét đường thẳng CD Do CD cắt AB nên đường thẳng CD chia mặt phẳng làm nửa: nửa MP có bờ CD chứa điểm B nửa MP bờ CD chứa điểm A => tia CA thuộc nửa MP chứa điểm A E thuộc đoạn AC => E thuộc nửa MP bờ CD chứa điểm A 0.5 => E B nửa MP bờ CD => đường thẳng CD cắt đoạn EB - Xét đường thẳng BE Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EB cắt đoạn CD Vậy đoạn thẳng EB CD cắt 0.5 1 Tìm ba số nguyên dương a, b, c cho: + + = (1.0 a b c điểm) Không làm tính tổng quát, ta giả sử: a ≤ b ≤ c ta có: 15 ≥ , a≤ a 0.5 Nếu a=1 được, a= a=3 1 + = b c 10 20 Suy ≥ , b ≤ b 10 Nếu a=2 0.5 Suy b=4 b= b=6 < 10 Suy số a, b, c thỏa mãn (a=2,b=4,c=20) (a=2,b=5,c=10) Nếu a=3 1 + = b c 15 30 từ ≥ , b ≤ suy b=3 b=4 Không có trường hợp thỏa mãn b 15 K.L có 12 số thỏa mãn hoán vị hai ba số (2,4,20) (2,5,10) Điểm toàn 0.5 0.5 20 điểm ... 1020 16 ) + 20 162 = (102015 + 20 16) (1020 16 + 20 16) = 104030 + 20 16. 102014.101 + 20 162 (102015 + 20 16) (1020 16 + 20 16) (1) 102015 + 20 16 (102015 + 20 16) (102015 + 20 16) = Ta có B = 20 16 10 + 20 16 (1020 16. .. 20 16 102015 + 20 16 B = 20 16 (2.0 So sánh A = 2015 10 + 20 16 10 + 20 16 điểm) 102014 + 20 16 (102014 + 20 16) (1020 16 + 20 16) = Ta có A = 2015 10 + 20 16 (102015 + 20 16) (1020 16 + 20 16) 104030 + 20 16. (102014... 20 16 10 + 20 16 (1020 16 + 20 16) (102015 + 20 16) 104030 + 2.20 16. 102015 + 20 162 = (1020 16 + 20 16) (102015 + 20 16) = 104030 + 20.20 16. 102014 + 20 162 (1020 16 + 20 16) (102015 + 20 16) 0.75 (2) Từ (1) (2)