PHÒNG GD&ĐT VIỆT YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2015-2016 MÔN THI: Toán NGÀY THI: 28/ 3/ 2016 Thời gian làm bài: 120 phút Bài (4 điểm): 1) Thực phép tính cách hợp lý: 1 + 0, − + 0, 25 − + 0,125 7−3 A= 8 7 + − + − 0, + 16 2) Tìm tất cặp số (x; y) thỏa mãn: ( x − y ) 2016 + x2 − 2017 ≤0 Bài (4 điểm): 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x − 2015 + 2016 − x + x − 2017 2) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: xy + x - y = Bài (4 điểm): 1) Cho hàm số f ( x) xác định với x ∈ ¡ Biết với x, ta có: f ( x) + f ( ) = x Tính f (2) x 2) Cho x, y, z số nguyên dương x + y + z số lẻ, số thực a, b, c thỏa mãn: a−b b−c a−c = = Chứng minh rằng: x y z a =b =c Bài (6 điểm): Cho tam giác ABC cân A, (Â ⇒ y + > Mà: = 3.1 = 1.3 = -1.(-3) = (-3).(-1) Nên y + = x - = Từ tìm y = 2; x = (thỏa mãn) 0,5 0,5 Kết luận: x, y nguyên dương thỏa mãn là: x = 2; y = Bài (Trong chương trình lớp HS chưa học TXĐ hàm số nên thiếu ĐK x ≠ không trừ điểm) 0,5 1 2 Ta có: f ( x ) + f ( ) = x nên f (2) + f ( ) = = x (2.0 điểm) (1) 1 1 f ( ) + f (2) =  ÷ = ⇒ f (2) + f ( ) = 4 2 −13 −13 ⇒ f (2) = Từ (1) (2) ta có: f (2) = 32 (2) Kết luận 0,5 0,5 0,5 a −b b −c a −c = = áp dụng tính chất dãy tỉ số x y z a − b b − c a − c a − b + b − c + a − c 2(a − c ) = ta có: x = y = z = (1) x+ y+z x+ y+z 0,5 a −b b −c a −b +b −c a −c = = = (2) x y x+ y x+ y 2( a − c ) a − c Từ (1), (2) ⇒ x + y + z = x + y (3) 0,5 Nếu a − c ≠ : Từ (3) ⇒ ( x + y ) = x + y + z (Vô lý (x + y + z) lẻ (theo đề bài); 2(x+y) chẵn với x, y) Do a – c = Thay vào dãy tỉ số cho tìm a = b = c 0,5 Theo đề : Và (2.0 điểm) Kết luận Bài (Chấm theo hình vẽ học sinh khả năng: Hình hình có chung lời chứng minh HS không cần xét trường hợp) Vẽ hình, ghi GT, KL xác 0,5 (2.0 điểm) (Hình 1) (Hình 2) +) Chứng minh ∆ADG = ∆CDK (cạnh huyền- góc nhọn) ⇒ DK = DG(2 cạnh tương ứng) +) Chứng minh V ADK =VCDG (cgc) ⇒ AK = CG(2 cạnh tương ứng) Kết luận Vậy AK=CG (3.0 +) Chứng minh ∆ABG = ∆CAH (cạnh huyền- góc nhọn) điểm) ⇒ AG = CH(2 cạnh tương ứng) (1) +) Từ ∆ADG = ∆CDK (chứng minh trên) ⇒ AG = CK(2 cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) ⇒ CH = CK +) Chứng minh V HEC =V KEC (cạnh huyền-cạnh góc vuông) · · (2 góc tương ứng) ⇒ HCE = KCE 0,75 0,25 0,5 · Mà CE nằm CH, CK nên CE phân giác HCK Kết luận +) Từ V HEC =V KEC (chứng minh trên) · · (2 góc tương ứng) (3) ⇒ CEH = CEK · · · · + CEH góc ∆CEA đỉnh E nên: CEH = CAE (4) + ECA 0,5 0,25 · · · · góc ∆CEB đỉnh E nên: CEK = CBE (5) CEK + ECB · · · · Từ (3), (4), (5) ⇒ CBE = CAE (6) + ECB + ECA (1.0 điểm) · Mặt khác, ∆ABC cân A (gt) nên ·ABC = ACB (tính chất) (7) · · · · ⇒ CBE + ABE = ECB + ECA · · · · Lấy (6) trừ (7) theo vế ta được: ECB − ABE = CAE − ECB · · · ⇒ ECB = ABE + CAE · · · · · · ⇒ ECB Mà CAE (gt) Nên 2.ECB = ABE = 2.CAE = CAE · · hay ECB ( đpcm) Kết luận = DAE 0,25 0,25 0,25 Bài Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n - 2; n - 1; n; n + 1; n + 2, n ∈ ¥;n ≥ ; Tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp là: A = (n - 2)2 + (n - 1)2 + n2 + (n + 1)2 +(n + 2)2 = 5(n2 + 2) (2.0 Vì n2 có chữ số tận 8, nên (n + 2) điểm) chia hết cho Do 5(n2 + 2) không số phương, hay A không số phương Vậy: Tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp số phương =================Hết=============== 0,5 0,5 0,5 0,5 ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Đáp án Bài1 1 3 1 1 + 0, 25 − + 0,125 + − + − + 5 A= − = − 8 7 8 7 7 + − + − 0, + + − + − +... − 2015 + 2016 − x + x − 20 17 = ( x − 2015 + 20 17 − x ) + 2016 − x (2.0 điểm) Ta có x − 2015 + 20 17 − x ≥ x − 2015 + 20 17 − x = với x Dấu “=” xảy khi: 2015 ≤ x ≤ 20 17 (1) Lại có: 2016 − x ≥ với... 20 17 ≥ với ∀x x − nên ( x − y ) 0,5 0,5 + x −4 20 17 ≥ ∀x, y Mà theo đề bài: ( x − y ) 2016 + x2 − nên ( x − y ) 20 17 =0 2016 2016 + x2 − 20 17 0,5 ≤0 Do đó: (5x – y )2016 = x2 - = Từ tìm x =