Các bất đẳng thức phụ thường dùng trong cm BĐT

A CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG HAY SỬ DỤNGTRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

(x y)4(" " )

4(" " )

44225522

4442 22 22 2

( , , 0)(" " )

bc ac aba b c

9(" " )

1 Các đại lượng trung bình của hai số không âm:

• Với hai số không âm a, b Kí hiệu:

a bA= +

là trung bình cộng của hai số a, b.

 G= ab là trung bình nhân của hai số a, b.

Q= + là trung bình toàn phương của hai số a, b.

21 1

Từ ()2

a ba− b ≥ ⇒ −aab b+ ≥ ⇒ + ≥ ab

Dấu “=” trong các bất đẳng thức này đều xảy ra khi a = b.

• Mở rộng ra cho n số không âm a a a1, , , ,23 a ta cũng có:n

* Chú ý: A, G, Q, H theo thứ tự là viết tắt của các từ Arithmetic mean (trung bình cộng),Geometric mean (trung bình nhân), Quadratic mean (trung bình toàn phương) vàHarmonic mean (trung bình điều hòa).

+ + = + + + + +

Phép nhân:x y z22 2 =( ) ( ) ( )xy yz zx ; xyz= xyyz zx x, y, z 0(≥)

2 Kỹ thuật chọn điểm rơi:

Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” trong BĐT Côsi và các quy tắc về tínhđồng thời của dấu “ = ”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến.

3 Kỹ thuật thêm bớt hằng số.

4 Kỹ thuật tách nghịch đảo + ghép cặp nghịch đảo:

Trong kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật cần tách phần nguyên theo mẫu số để khi chuyểnsang TBN thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số.

Tuy nhiên trong kỹ thuật tách nghịch đảo đối với bài toán có điều kiện ràng buộc của ẩn thìviệc tách nghịch đảo học sinh thường bị mắc sai lầm Một kỹ thuật thường được sử dụng trong kỹthuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN sang TBC là kỹ thuật chọn điểm rơi.

5 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân:6 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng:

Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu “ ≥ ”, đánh giá từ tổng sang tích,hiểu nôm na là thay dấu “ + ” bằng dấu “ ” thì ngược lại đánh giá từ TBN sang trung bình cộng làthay dấu “ ” bằng dấu “ + ” Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũngphải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số.

8 Kỹ thuật đổi biến số:

9 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu:10 Kỹ thuật cộng mẫu:

Các bất đẳng thức hay dùng:a)

nna

b =b = = b (Quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử

cũng bằng 0).

2. Trong (*), ta chọn ii , iii

nnx

y = y = = y

3. Với a a1, , , ; , , ,2 a b bn 12 b là các số thực tùy ý:n

2222221 12 2 n n (a12 n)( 12, , )n

a b +a b + +a b ≤ + + +aab +bb (*)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2

nna

b =b = = b (Quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử

cũng bằng 0).