Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Gọi D, E, F tiếp điểm đường tròn tâm I với cạnh BC, CA AB; K giao điểm hai đường thẳng EF BI a) Chứng minh C,D, E, I, K thuộc đường tròn b) Gọi M, N trung điểm BC, CA Chứng minh đường thẳng EF, BI, MN đồng qui c) Giả sử B, C cố định, A điểm thay đổi mặt phẳng cho góc BAC = α (00 < α < 1800) Gọi H giao điểm hai đường thẳng CI EF Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ΔHKD qua điểm cố định A K E H F N I B D M C Hướng dẫn a) ∠CDI + ∠CEI = 900 + 900 = 1800 ⇒ tgCDIE nt (1)  1800 − ∠BAC ∠ABC + ∠ACB = = ∠FBK + ∠ECI ∠AFE = ⇒ ∠ECI = ∠EKI 2  ∠AFE = ∠FBK + ∠EKI (t / c gocngoai )  ⇒ tgCIEK nt (2); tu (1) & (2) ⇒ dpcm b) ta chứng minh K; N ; M thẳng hàng ta có MN//AB (3) ( t/c đường trung bình) Mặt khác ∆BKC vuông K suy MK=MB ( t/c trung tuyến tam giác vuông) suy ∠MKB = ∠MBK = ∠ABK ⇒ KM / / AB (4) từ (3) (4) suy K, N , M thẳng hàng d) Tương tự ta chứng minh điểm B, I, F, H nằm đường tròn suy BC   ∠BHC = 90 = ∠BKC ⇒ tgBHCK nt  M ; ÷ ⇒ ∠HMK = 2∠HCK (5)   Ta lại có ∠IDH = ∠HBK = ∠HCK = ∠KDI ⇒ ∠HDK = 2∠HCK (6) Từ (5)&(6) suy ∠HCK = ∠HDK ⇒ tgHDKM nt Hay đường tròn ngoại tiếp ΔHKD qua điểm M cố định ( Bạn kiểm tra lại nhé, lần sau nhờ giải nên vẽ hình sẵn )