S GD&T VNH PHC CHNH THC K THI CHN HSG LP 10 THPT NM HC 2013-2014 THI MễN: TON (Dnh cho hc sinh THPT chuyờn) Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt xy + y y + = 3xy + y Cõu (2,0 im) Gii h phng trỡnh: xy + y + = y y + ( ) Cõu (1,0 im) Xột 2014 s thc khụng õm x1 , x2 ,K , x2014 tha xk + xk +1 + xk + 1, k = 1, 2, , 2014, ( õy quy c x2015 = x1 , x2016 = x2 ) Tỡm giỏ tr ln nht cú th c ca tng S = x1 x3 + x2 x4 + x3 x5 + x4 x6 + L + x2013 x1 + x2014 x2 Cõu (3,0 im) Cho tam giỏc nhn ABC khụng cõn ni tip ng trũn (O), cú ng cao AH v tõm ng trũn ni tip l I ng thng AI ct li ng trũn (O) ti im th hai M Gi A' l im i xng vi A qua O ng thng MA' ct cỏc ng thng AH, BC theo th t ti N v K a) Chng minh rng t giỏc NHIK ni tip ng trũn b) ng thng AI ct li ng trũn (O) ti im th hai D, hai ng thng AD v BC ct ti im S Chng minh rng nu AB + AC = BC thỡ I l trng tõm ca tam giỏc AKS * Cõu (2,0 im) Xột hp S = { x + x | x Ơ } Chng minh rng vi mi s nguyờn dng k 2, tn ti mt gm k + phn t ca S m cú mt phn t bng tng k phn t cũn li Cõu (2,0 im) Chng minh rng vi mi s nguyờn n > 1, s: 11 + 33 + 55 + 77 + 99 + L + ( 2n 1) 2n chia ht cho 2n nhng khụng chia ht cho 2n+1 Ht -Chỳ ý: Thớ sinh khụng c s dng ti liu v mỏy tớnh cm tay Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh:. S bỏo danh S GD&T VNH PHC K THI CHN HSG LP 10 THPT NM HC 2013-2014 P N MễN: TON (Dnh cho hc sinh THPT chuyờn) (ỏp ỏn cú 04 trang) I LU í CHUNG: - Hng dn chm ch trỡnh by mt cỏch gii vi nhng ý c bn phi cú Khi chm bi hc sinh lm theo cỏch khỏc nu ỳng v ý thỡ cho im ti a - im ton bi tớnh n 0,25 v khụng lm trũn - Vi bi hỡnh hc nu thớ sinh khụng v hỡnh phn no thỡ khụng cho im tng ng vi phn ú II P N: Cõu Ni dung trỡnh by im KX: y 0, xy + 0, xy + y + Vi y = khụng tho h 0.25 Vi y chia hai v phng trỡnh th nht h cho y v chia hai v phng trỡnh th hai h cho Cõu (2.0 im) y ta c 7 x + y + y = xy + x + y + y = xy + x + +1 + 3y +1 = x + y + + + x + y + + xy + 21 + = 25 y y y a > a = x + y + y t , K b b = xy + a = b Khi ú h phng trỡnh tr thnh a + + a + b + 16 = 25 0.50 0.25 a = b + a = b + 2 b + 10 + b + b + 24 = 25 b + b + 24 = 15 b (*) b 15 b 15 (*) b = 2 4b + 4b + 96 = 225 30b + b 3b + 34b 129 = 0.5 ( a; b ) = ( 11;3) Cõu (1,0 ( x; y ) = ( 1;1) x + y + y = 11 y 11y + = y = 1, y = Suy ( x; y ) = ; ữ xy = xy + = xy = (1) x2 k x2 k x2 k +1 Vi mi k = 1, 2, ,1007 ta cú: (2) x2 k + x2 k x2 k +1 0.5 0.25 Nhõn hai v ca (1) vi x2 k +1 v hai v ca (2) vi x2k ri cng hai bt ng thc cựng chiu ta c: x2 k x2 k +1 + x2 k x2 k + ( x2 k x2 k +1 ) x2 k +1 + ( x2 k x2 k +1 ) x2 k = ( x2 k + x2 k +1 ) ( x2 k x2 k +1 ) im) 0.50 ( x + x2 k +1 ) + ( x2 k x2 k +1 ) 2k ữ = 1007 T ú S = ( x2 k 1.x2 k +1 + x2 k x2 k +2 ) k =1 1007 A Du ng thc xy chng hn x2 k = 0, x2 k = , vi k = 1, 2, ,1007 O I 1007 Kt lun: Giỏ tr ln nht cú th c ca tng S l B H 3a (1,5 im) L C 0.25 K A' M N 0.25 Ta cú: Cõu (3.0 im) ã ã OAC = 900 ãAOC = 900 ãABC = BAH m AI l phõn giỏc gúc A nờn ã ã , suy tam giỏc ANA' cõn ti A HAI = OAI Gi L l giao im ca MA v BC ã ã ã ã , suy t giỏc ALAK ni tip Ta cú HKN = 900 HNK = HAM = LAA Do ú MA.MK = ML.MA (1) 0.50 D thy hai tam giỏc MCL v MAC ng dng, suy ML.MA = MC (2) 0.25 Do I l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ABC nờn MI = MC (3) 0.25 ã T (1), (2), (3) suy MN MK = MI NIK = 900 Vy t giỏc NHIK ni tip 3b (1,5 im) ã ã ã M = IAD ã * T t giỏc NHIK ni tip suy IHK = INK Suy t giỏc AIHS = IA 0.25 ã ni tip Do ú ãAIS = IHS = 900 0,25 A D T l S B H O L C K A' M N ả = TAI ã ã ã Gi T l trung im ca cnh SA Khi ú TIA , suy ba im = INK = MIK T , I , K thng hng (4) * Tip theo ta s chng minh L l trung im ca SK AI AB BL AB BL AB AB = = = = BL = AB Ta cú v IL BL LC AC BC AB + AC gt BC AI = (5) Do ú IL p dng nh lý Menelaus cho tam giỏc ASL vi cỏt tuyn TIK ta cú: TA KS IL = (6) T (5) v (6) suy KS = KL , tc L l trung im ca SK TS KL IA (7) T (4) v (7) suy I l trng tõm tam giỏc AKS (pcm) Vi mi a = x + x S thỡ a = x ( x + 1) l tớch ca hai s nguyờn liờn tip nờn a l s chn Ta s chng minh bi toỏn bng quy np Tht vy, d thy 12 = ì 4,30 = ì 6, 42 = ì u l phn t ca S Hn na 12 + 30 = 42 nờn bi toỏn ỳng vi k = Gi s bi toỏn ỳng vi k , cú A = { a1 , a2 , , ak , bk } S cho Cõu (2 im) 0,25 0,50 0,50 0,25 0,25 a1 + a2 + L + ak = bk 0,25 Do bk S nờn bk chn Tc l bk = 2c vi c l s nguyờn dng no ú Do bk a1 + a2 nờn c 0,25 Vỡ c nờn c ( c 1) 2c = bk > a j , j = 1, 2, , k 0,25 ý rng c ( c + 1) = c ( c 1) + 2c nờn hp B = { a1 , a2 , , ak , c ( c 1) , c ( c + 1) } l cú k + phn t ca S , ng thi 0,50 c ( c + 1) = c ( c 1) + 2c = c ( c 1) + ak + ak + L + a1 Vy bi toỏn ỳng vi k + Theo nguyờn lý quy np ta suy iu phi chng minh Cõu (2,0 im) ( ) 2 Vi mi s nguờn k l thỡ k = ( k 1) ( k + 1) ( k + 1) k + l tớch ca n + n n tha s chn v ớt nht hai tha s u tiờn chia ht cho Suy k 1( mod 2n + ) (1) n 0,25 0,25 Vi mi n > thỡ ( k + 2n ) = k k + k k k 1.2n + Ck2 k k 22 n +L cú tt c cỏc s hng, k ngoi tr hai s hng u tiờn, u chia ht cho 2n+ Do ú (k +2 ) n k k k ( + n ) ( mod n+ ) 2n1 t S n = ( 2k 1) k 0,25 (2) v Rn = Sn +1 Sn Ta s chng minh bi toỏn bng quy np k =1 3 Tht vy : Vi n = 2, S = + = 28 S ( mod ) , S / ( mod ) 0,25 n n +1 Gi s mnh ỳng vi n tc l S n ( mod ) , Sn / ( mod ) ý rng S n +1 = S n + Rn v Rn l tng ca 2n1 s dng m m , ú m = 2n + k vi k l s nguyờn dng l nh hn 2n ; Kt hp vi (1) suy m m = m ìm k m k ( mod 2n + ) n 0,50 (3) T (2) v (3) suy Rn ( + 2n ) + ( + 2n ) + L ( mod 2n + ) Sn ( + 2n ) ( mod 2n + ) n n+2 n n+2 Do ú S n +1 S n + S n ( + ) ( mod ) 2S n ( + ) ( mod ) n +1 n+2 Kt hp vi gi thit quy np, suy S n +1 ( mod ) , S n +1 / ( mod ) T ú theo nguyờn lý quy np, ta c iu phi chng minh -Ht - 0,50 0.25 ...ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên) (Đáp án có 04 trang) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải... ·AOC = 900 − ·ABC = BAH mà AI phân giác góc A nên · · , suy tam giác ANA' cân A HAI = OAI Gọi L giao điểm MA BC · · · · ′ , suy tứ giác ALA′K nội tiếp Ta có HKN = 900 − HNK = HAM = LAA Do MA′.MK... n+2 n −1 n+2 Do S n +1 ≡ S n + S n ( + ) ( mod ) ≡ 2S n ( + ) ( mod ) n +1 n+2 Kết hợp với giả thi t quy nạp, suy S n +1 ≡ ( mod ) , S n +1 ≡/ ( mod ) Từ theo nguyên lý quy nạp, ta điều phải