PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 12/10/2015 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) (Đề thi có bài, gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) Cho A = x −9 x +1 x +3 + + (x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9) x −5 x +6 x −3 2− x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A = − Bài 2: (4,5 điểm) a) Tính − 15 − + 15 x − 3x + 3x − x + 2015 b) Cho x – x – = Tính giá trị biểu thức: P = x − x − 3x − 3x + 2015 3x =6 c) Giải phương trình: x + x −9 Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên dương n bé để F = n + 4n2 – 20n – 48 chia hết cho 125 b) Chứng minh với số tự nhiên n >1 số A = n6 - n4 +2n3 + 2n2 số phương Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt tại H Chứng minh rằng: a) SABC = AB.BC.sinB AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC AD b) tanB.tanC = HD c) H giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF HB.HC HC.HA HA.HB + + = d) AB.AC BC.BA CA.CB Bài 5: (1,5 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + y + z + z + x = 2015 x2 y2 z2 + + Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = y+z z+x x+y Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị không giải thích thêm PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ I II Bài Hướng dẫn chấm có 03 trang Yêu cầu chung: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa tương ứng Bài hình học sinh không vẽ hình vẽ hình sai không cho điểm Yêu cầu cụ thể: Nội dung cần đạt Điểm a(2,0đ) A = HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2015-2016 MÔN : TOÁN x −9 x +1 x +3 + − ( x − 3)( x − 2) x −3 x −2 = x − + (2 x + 1)( x − 2) − ( x + 3)( x − 3) ( x − 3)( x − 2) 0,25 = x − + 2x − x + x − − x + x− x −2 = ( x − 3)( x − 2) ( x − 3)( x − 2) 0,5 = ( x − 2)( x + 1) x +1 = ( x − 3)( x − 2) x −3 1,0 x +1 x −3 0,25 Vậy A = b(2,0đ) Ta có: x +1 = − ⇔ x +2 = − x +3 x −3 ⇔ x = ⇔ x = (t / m) 1 Vậy x = A = − A=− ⇔ 0,75 1,0 0,25 a(1,5đ) Ta có − 15 − + 15 = − 15 + − + 15 + = ( − 3) − ( + 3) = − − − = −2 b(1,5đ) Ta có: x2 – x – = ⇒ x2 – x = ⇒ (x2 – x)3 = ⇒ x6 – 3x5 + 3x4 – x3 = Mặt khác: x2 – x – = ⇒ x2 = x + ⇒ x6 = (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + ⇒P= + 2015 2016 = =1 + 2015 2016 x >  x < −3 c(1,5đ) ĐK: x2 – > ⇔  + Nếu x > 3: Bình phương hai vế phương trình ta được: x2 + Đặt t = 9x 6x x4 x2 + = 72 ⇔ + − 72 = x2 − x2 − x2 − x2 − x2 x −9 (t ≥ 0) , phương trình: t + 6t − 72 = ⇔ t = (t/m) 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 x2 = ⇔ x4 – 36x2 + 324 = ⇔ x2 = 18 x2 − Suy : x = (t/m) x = −3 (loại) 3x < < : PT vô nghiệm + Nếu x < –3: Khi đó: x + x −9 Vậy phương trình cho có nghiệm nhất: x = Khi đó: 0,25 0,5 0,25 a(2,0đ) Ta có: F = n3 + 4n2 – 20n – 48 = (n – 4)(n + 2)(n + 6) Thử với n = 1; 2; F không chia hết cho 125 Thử với n = F = chia hết cho 125 Vậy số nguyên dương bé cần tìm là: n = b(2,0đ) A=n6 - n4 +2n3 + 2n2 = n4(n2-1) + 2n2(n+1) = n2(n+1)(n3-n2 +2) = n2(n+1)[(n+1)(n2-2n+2)] = n2(n+1)2(n2-2n +2) = n2(n+1)2[(n-1)2 +1] Ta có: (n-1)2 < (n-1)2 +1= n2 + 2(1-n) < n2 (vì n>1) ⇒ (n-1)2 +1 số phương Vậy A số phương a(2,0đ) 1,0 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 A E F H * Ta có: SABC = BC.AD B D ∆ABD vuông tại D có AD =AB.sinB, đó SABC = C BC.AB.sinB ∆ABE vuông E có AE = AB.cosA ∆BFC vuông F có BF = BC.cosB ∆ACD vuông D có CD = AC.cosC Do đó AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC AD AD b(1,5đ) Xét ∆ABD có tanB = ; ∆ACD có tanC = CD BD AD suy tanB.tanC = (1) BD.CD · · · Do HBD (cùng phụ với ACB ) nên ∆BDH ∼ ∆ADC (g.g) = CAD DH BD ⇒ = ⇒ BD.DC = DH.DA DC AD 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 AD AD = DH.AD DH · · c(1,5đ) Chứng minh ∆AEF ∼ ∆ABC (g.g) ⇒ AEF = ABC · · · · Tương tự CED nên AEF mà BE ⊥ AC = CBA = CED · · · · = 90 Từ đó suy FEB ⇒ EH phân ⇒ AEB = CEB = DEB ∆DEF Tương tự DH, FH phân giác ∆DEF nên H giao ba đường phân giác ∆DEF d(1,0đ) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB = SABC CH CE = Dễ thấy ∆CHE ∼ ∆CAF(g.g) ⇒ CA CF HB.HC HB.CE 2.SBHC SBHC ⇒ = = = AB.AC AB.CF 2.SABC SABC HC.HA SCHA HA.HB SHAB = = Tương tự có ; BC.BA SCBA CA.CB SCAB HB.HC HC.HA HA.HB SBHC SCHA SAHB + + = + + =1 Do đó: AB.AC BC.BA CA.CB SBAC SCBA SACB Kết hợp với (1) tanB.tanC = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Đặt a = x + y ; b = y2 + z ;c = z + x ⇒ a; b;c > a + b + c = 2015 Ta có: a + b2 + c2 = 2(x + y + z ) ⇒ a − b + c 2 a + b − c 2 −a + b + c ;y = ;z = 2 x2 a − b + c2 2 2 ⇒ ⇒ ≥ (y + z) ≤ 2(y + z ) = 2b y + z ≤ 2b Do đó: y+z 2b y2 a + b2 − c2 z −a + b + c ≥ , ≥ Tương tự: z+x x+y 2c 2a a + b2 + c2 b a + b2 + c2 c a + b2 + c2 a ⇒ T≥ − + − + − = 2b 2 2c 2 2a 2 1 1 a +b+c = (a + b + c )  + + ÷− ≥ 2 a b c  1  2015 ≥ (a + b + c)  + + ÷− = 2 a b c  1  2015 = (a + b + c)(a + b + c)  + + ÷− ≥ 2 a b c 2015 2015 ≥ 2015.9 − = 2 2 2015 Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 2015 2015 Vậy T = x = y = z = 2 ⇒ x2 = Người làm đáp án: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Người thẩm định: Người duyệt: ... 2.SBHC SBHC ⇒ = = = AB.AC AB.CF 2.SABC SABC HC .HA SCHA HA. HB SHAB = = Tư ng tự có ; BC.BA SCBA CA.CB SCAB HB.HC HC .HA HA.HB SBHC SCHA SAHB + + = + + =1 Do đó: AB.AC BC.BA CA.CB SBAC SCBA SACB... 0,5 A E F H * Ta có: SABC = BC.AD B D ∆ABD vu ng tại D có AD =AB.sinB, đó SABC = C BC.AB.sinB ∆ABE vu ng E có AE = AB.cosA ∆BFC vu ng F có BF = BC.cosB ∆ACD vu ng D có CD = AC.cosC Do... Do đó AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC AD AD b(1,5đ) Xét ∆ABD có tanB = ; ∆ACD có tanC = CD BD AD suy tanB.tanC = (1) BD.CD · · · Do HBD (c ng phụ với ACB ) n n ∆BDH ∼ ∆ADC (g.g) = CAD DH