PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 − 2013 MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) §Ò 22 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (4 điểm): 1  Chứng minh: x − x + =  x − ÷ + với x > 2  Từ đó, cho biết biểu thức có giá trị lớn bao nhiêu? Giá trị đạt x − x +1 x bao nhiêu? Bài (3 điểm): Một người từ nhà đến sân ga Trong 12 phút đầu, người 700m thấy đến sân ga chậm 40 phút, quãng đường lại, người với vận tốc 5km/h nên đến sân ga sớm phút Hãy tính quãng đường từ nhà đến sân ga Bài (4 điểm): a) Chứng minh với số nguyên n n2 + n + không chia hết cho b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 +2012x2+2011x +2012 Bài (2 điểm): Giải phương trình: ( 1+ x ) − x3 = − x Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn có độ dài BH = 4cm HC = 9cm Gọi T E hình chiếu H cạnh AB AC a) Tính độ dài TE b) Các đường thẳng vuông góc với TE T E cắt BC theo thứ tự M N Chứng minh M trung điểm BH, N trung điểm CH c) Tính diện tích tứ giác TENM Bài (3 điểm): Cho hình bình hành ABCD có A = 1200 , AB = a, BC = b Các đường phân giác ∧ bốn góc A, B, C, D cắt tạo thành tứ giác MNPQ Tính diện tích tứ giác MNPQ? HẾT UBND HUYỆN BÌNH SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 − 2013 MÔN: TOÁN LỚP ĐỀ CHÍNH THỨC Bài Câu Nội dung Điểm      Ta có:  x − ÷ + =  x − ÷ x − ÷+ = x − x + 2   2  1 1  Vậy: x − x + =  x − ÷ + 2  1,0 1 1  Ta có:  x − ÷ + ≥ dấu xảy x = hay x = 2  1  Do  x − ÷ + ≥ dấu xảy x = 4 2  Vậy x − x + có giá trị nhỏ giá trị đạt x = 4 Suy có giá trị lớn giá trị đạt x = x − x +1 0,5 0,5 1,0 1,0 0,25 * Gọi x (km) quãng đường lại, x > 0; Vận tốc quãng đường 700m là: 0,7 : 12 = 3,5km/h 60 0,25 * Gọi t thời gian quy định từ nhà đến sân ga x 40 40 Ta có 3,5 = t + 60 60 x =t− Vận tốc 5km/h đến sớm phút Ta có 60 x x Từ (1) (2) ta có phương trình: 3,5 − = (3) Vận tốc 3,5km/h chậm 40 phút hay (1) 0,5 (2) 0,5 0,5 Giải phương trình (3) ta x = 8,75 (km) Vậy quãng đường từ nhà đến ga là: 8,75km + 0,7km = 9,45km = 9450m a b Giả sử: (n2 + n + 1) M9 Suy ra: (n2 + n + 1) M3 Ta có: n2 + n + = (n – 1)(n + 2) + Suy (n – 1) M3 (n + 2) M3 Mà (n + 2) – (n – 1) = nên hai số (n + 2) (n – 1) chia hết cho Do (n – 1)(n + 2) M9 Suy n2 + n + chia dư 3, mâu thuẩn với (1) Vậy n2 + n + không chia hết cho với số nguyên n 0,5 0,5 (1) 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta có: x4 +2012x2+2011x +2012 = x4 + x3 + x2 + 2011(x2 + x + 1) – (x3– 1) = x2(x2 + x + 1) + 2011(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 + 2011 – x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2012) Vậy x4 +2012x2+2011x +2012 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2012) ( 1+ x ) 2,0 (1) − x3 = − x 4 2 2 Ta có: x + − 3x = −3x + x + x − x + = + x − x ( 3x − x + 1) (2) Thay (2) vào (1) ta có: (1) ⇔ ( + x ) − ( + x ) = − x ( 3x 2 ) (3) − 4x +1 Đặt y = + x , với y ≥ Suy x = y −1 2 Thay vào (3): y − y = ( − y ) ( 3x − x + 1) ⇔ y ( y − 1) − ( − y ) ( x − x + 1) = ⇔ ( y − 1)  y + ( y + 1) ( 3x − x + 1)  =  y −1 = ⇔  y + ( y + 1) ( 3x − x + 1) = * Với y = x = thỏa mãn phương trình 2 * Với y ≠ y ≥ 1, ta có: y + ( y + 1) ( 3x − x + 1) = (4) 2 1  Vì 3x − x + =  x − ÷ − ≥ − y > thay vào vế trái (4)  3 3   13   13 y − ( y + 1) =  y − ÷ − > 1 − ÷ − = lớn   36   36 Do (4) vô nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm x = a Xét hai tam giác vuông ABH CAH có: · · · (vì phụ với góc BAH ) ABH = CAH Do ∆ABH ∽ ∆CAH (g.g) Suy ra: AH BH = CH AH ⇒ AH2 = BH.CH = 4.9 = 36 ⇒ AH = 36 = (cm) Mặt khác: HT ⊥ AB HE ⊥ AC nên ATHE hình chữ nhật Suy ra: TE = AH = (cm) 2,0 Vẽ hình ghi 0,5 A E O T B C M H N 1,0 b c Gọi O giao điểm đường chéo hình chữ nhật ATHE; · · · · Xét tam giác MTH có: MTH (vì phụ với OTH ) = OHT = MHT Suy tam giác MTH cân M, MT = MH · · · · Ta có MTB (vì phụ với MTH ) = MBT = MHT Suy tam giác MTB cân M, MB = MT Từ (1) (2) suy M trung điểm BH · · · · Xét tam giác NEH có: NEH (vì phụ với OEH ) = NHE = OHE Suy tam giác NEH cân N, NE = NH · · · · Ta có NEC (vì phụ với NEH ) = NCE = NHE Suy tam giác NEC cân N, NE = NC Từ (3) (4) suy N trung điểm HC Theo chứng minh ta có: TM = MH = (1) (2) 1,0 (3) (4) 0,5 1 1 BH = = (cm); EN = NH = CH = = 4,5 (cm); 2 2 TE = AH = (cm) TENM hình thang vuông, diện tích là: 1 1,0 STENM = (TM + EN)TE = (2 + 4,5).6 = 19,5 (cm2) 0 · · Ta có: DAB = 60 = 120 (gt) nên ADC Đường phân giác góc A cắt đường phân giác góc D M tam giác ADM có hai góc 600 300 nên đường phân giác vuông góc với Lập luận tương tự chứng tỏ tứ giác MNPQ có góc vuông nên hình chữ nhật D Trong tam giác vuông ADM có · DM = ADsin DAM = bsin600 = A B N M P Q C Trong tam giác vuông BCP có CP = CBcos600 = a−b a 3 0,5 Trong tam giác vuông DCN có CN = CDcos600 = Vậy NP = CN – CP = 1,0 b · Trong tam giác vuông DCN có DN = DCsin DCN = asin600 = Vậy MN = DN – DM = (a – b) Vẽ hình ghi 0,5 a b Suy diện tích hình chữ nhật MNPQ là: MN.NP = ( a − b ) 0,5 (đvdt) Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đạt điểm tối đa 0,5 ... hay x = 2  1  Do  x − ÷ + ≥ dấu xảy x = 4 2  Vậy x − x + có giá trị nhỏ giá trị đạt x = 4 Suy có giá trị lớn giá trị đạt x = x − x +1 0,5 0,5 1,0 1,0 0,25 * Gọi x (km) quãng đường lại,... có góc vuông nên hình chữ nhật D Trong tam giác vuông ADM có · DM = ADsin DAM = bsin600 = A B N M P Q C Trong tam giác vuông BCP có CP = CBcos600 = a−b a 3 0,5 Trong tam giác vuông DCN có CN =... 5km/h đến sớm phút Ta có 60 x x Từ (1) (2) ta có phương trình: 3,5 − = (3) Vận tốc 3,5km/h chậm 40 phút hay (1) 0,5 (2) 0,5 0,5 Giải phương trình (3) ta x = 8,75 (km) Vậy quãng đường từ nhà đến ga