ĐỀ 21 ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN LẦN Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: ( 2.0 điểm) Cho x y số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức: ( x + y ) = xy ( 3x + y + ) Chứng minh rằng: − xy số hữu tỉ Bài 2: (2,0 điểm) Cho 100 số tự nhiên a1, a2… a100 thỏa mãn: 1 + + + = 19 a1 a2 a100 Chứng minh rằng: Trong 100 số tự nhiên đó, tồn số Bài 3: ( 2.0 điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn Kẻ đường cao AD, BE tam giác ABC Trên đoạn AD lấy điểm P cho ∠BPC = 900 ; đoạn BE lấy điểm Q cho ∠AQC = 900 Chứng minh rằng: Tam giác CPQ tam giác cân Bài 4: ( 1,5 điểm) Cho n số tự nhiên d ước nguyên dương 2n Chứng minh rằng: n2 + d không số phương Bài 5: (2,5 điểm) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ 2 biểu thức : P = 14(a + b + c ) + ab + bc + ca a 2b + b c + c a Hết ĐÁP ÁN VẮN TẮT VÀ THANG ĐIỂM Bài Nội dung trình bày +) Nếu x = y = − xy = số hữu tỉ +) Nếu x ≠ y ≠ : T giả thiết ta có: x + y = xy ⇒ x2 y x4 y4 x4 y + = ⇒ + + xy = ⇒ + − xy = − xy y x y x y x  x2 y2  ⇒  − ÷ = ( − xy ) ⇒ − xy = x   y x2 y2  x2 y2  ⇒ − xy = − − số hữu tỉ  ÷ y x 4 y x  Giả sử 100 số tự nhiên cho hai số 1 1 1 + + + < + + + a1 a2 a100 100 Ta có: =1 +2(